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宁夏银川市六盘山高中2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年宁夏银川市六盘山高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (文)抛物线 y =x 的焦点坐标是( A. B. C.
2

) D.

2.命题“若 A=B,则

cosA=cosB”的否命题是(



A.若 A=B,则 cosA≠cosB B.若 cosA=cosB,则 A=B C.若 cosA≠cosB,则 A≠B D.若 A≠B,则 cosA≠cosB

3.“x﹣3=0”是“(x﹣3) (x+4)=0”的( A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分又不必要

)条件.

4.已知 F1,F2 是椭圆 是( A.2a ) B.4a C.8a D.2a+2b

的两个焦点,AB 是过 F1 的弦,则△ABF2 的周长

5.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是( A.存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 B.不存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 C.对任意实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 D.至多有一个实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根
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6.抛物线 y =12x 上与焦点的距离等于 7 的点的横坐标是( A.6 B.5 C.4 D.3

2



7.双曲线: A.

的渐近线方程和离心率分别是( B. C.

) D.

8.过抛物线 y =4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( A.2 B.4 ) C.6 D.8

2

9. 椭圆 A.8 B.9

的焦点 F1, F2, P 为椭圆上的一点, 已知 PF1⊥PF2, 则△F1PF2 的面积为 ( C.10 D.12



10. 一抛物线型拱桥, 当水面离桥顶 2m 时, 水面宽 4m, 若水面下降 1m 时, 则水面宽为 ( A. m B.2 m C.4.5m D.9m



11.已知双曲线 8kx ﹣ky =8 的一个焦点为(0,3) ,则 k 的值为( A. B. C.1 D.﹣1

2

2



12.我们把离心率 e=

的椭圆叫做“优美椭圆”,设椭圆

+

=1 为优美椭圆,F、A )

分别是它的右焦点和左顶点,B 是它短轴的一个端点,则∠ABF 等于( A.60° B.75° C.90° D.120°

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.椭圆 是 + =1 上的点 P 到它的左焦点的距离是 8,那么点 P 到它的右焦点的距离 .

14.双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为



15.已知 P(4,﹣1) ,F 为抛物线 y =8x 的焦点,M 为此抛物线上的点,且使|MP|+|MF|的值 最小,则 M 点的坐标为 .

2

16.若椭圆

的离心率为 ,则 k 的值为



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知椭圆 C: 和是 6. (1)求椭圆 C 的离心率的值; (2)若 PF2⊥x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q,求点 Q 的坐标. =1(a>2)上一点 P 到它的两个焦点 F1(左) ,F2 (右)的距离的

18.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣2,0) , (2,0) ,并且经过点( ,﹣ ) ,求它的标 准方程.

19.已知双曲线与椭圆可

共焦点,它们的离心率之和为

,求双曲线方程.

20.从抛物线 y =8x 上任一点 P 向 x 轴作垂线段,垂足为 D,求垂线段中点 M 的轨迹方程.

2

21. (文)已知椭圆

的一条 弦的 中点为 P(4,2) ,求此弦所在直线 l 的方程.

22.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 .点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证:MF1⊥MF2; (3)求△F1MF2 的面积.

,且过点

2015-2016 学年宁夏银川市六盘山高中高二(上)第二次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (文)抛物线 y =x 的焦点坐标是( A. B. C.
2

) D.

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先确定抛物线开口向右,焦点在 x 轴的正半轴上,且 2p=1,从而可求抛物线的焦点 坐标. 【解答】解:由题意,抛物线开口向右,焦点在 x 轴的正半轴上,且 2p=1 ∴ ∴抛物线 y =x 的焦点坐标是 故选 C. 【点评】本题以抛物线的标准方程为载体,考查抛物线的几何性质,确定抛物线的类型是关 键.
2

2.命题“若 A=B,则 cosA=cosB”的否命题是(



A.若 A=B,则 cosA≠cosB B.若 cosA=cosB,则 A=B C.若 cosA≠cosB,则 A≠B 【考点】四种命题. 【专题】证明题. 【分析】对所给命题的条件和结论分别否定,即:A≠B、cosA≠cosB,作为否命题的条件和 结论. 【解答】解:“若 A=B,则 cosA=cosB”的否命题: “若 A≠B,则 cosA≠cosB.” 故选 D. D.若 A≠B,则 cosA≠cosB

【点评】本题考查了否命题的定义,属于基础题.

3.“x﹣3=0”是“(x﹣3) (x+4)=0”的( A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分又不必要

)条件.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】方程思想;综合法;简易逻辑. 【分析】先求出方程的根,结合充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:由(x﹣3) (x+4)=0,解得:x=3 或 x=﹣4, 故 x﹣3=0 是“(x﹣3) (x+4)=0”的充分不必要条件, 故选:B. 【点评】本题考查了充分必要条件,是一道基础题.

4.已知 F1,F2 是椭圆 是( A.2a ) B.4a C.8a D.2a+2b

的两个焦点,AB 是过 F1 的弦,则△ABF2 的周长

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的定义直接求解. 【解答】解:∵F1,F2 是椭圆 AB 是过 F1 的弦, ∴△ABF2 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2| =2a+2a =4a. 故选:B. 【点评】本题考查椭圆的定义的应用,是基础题,解题时要熟练掌握椭圆的简单性质. 的两个焦点,

5.命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,则“非 p”形式的命题是(

2



A.存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 B.不存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 C.对任意实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 D.至多有一个实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根 【考点】命题的否定. 【专题】计算题. 【分析】根据命题的否定可知,存在的否定词为任意,再根据非 p 进行求解; 【解答】解:∵p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有实数根,存在的否定词为任意, ∴非 p 形式的命题是对任意实数 m,使方程 x +mx+1=0 没有实数根, 故选 C. 【点评】此题主要考查命题的否定,此题是一道基础题.
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6.抛物线 y =12x 上与焦点的距离等于 7 的点的横坐标是( A.6 B.5 C.4 D.3

2



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线 y =12x 的方程可得焦点 F(3,0) ,准线方程为 x=﹣3.再由抛物线的定 义可得抛物线 y =12x 上与焦点的距离等于 7 的点到准线 x=3 的距离也等于 7, 故有 x+3=7, 由此求得 x 的值, 即为所求. 【解答】解 :∵抛物线 y =12x 的焦点 F(3,0) ,故准线方程为 x=﹣3. 根据抛物线的定义可得,抛物线 y =12x 上与焦点的距离等于 7 的点到准线 x=﹣3 的距离也等 于 7, 故有 x+3=7,∴x=4,即与焦点的距离等于 7 的点的横坐标是 4, 故选 C. 【点评】本题主要考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,属于中档题.
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7.双曲线:

的渐近线方程和离心率分别是(



A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据双曲线的标准方程,求得其特征参数 a、b、c 的值,再利用双曲线渐近线方 程公式和离心率定义分别计算即可 【解答】解:双曲线: 的 a=1,b=2,c= =

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x=±2x;离心率 e= = 故选 D 【点评】本题考查了双曲线的标准方程,双曲线特征参数 a、b、c 的几何意义,双曲线几何 性质:渐近线方程、离心率的求法,属基础题

8.过抛物线 y =4x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 中点的横坐标为 3,则 |AB|等于( A.2 B.4 ) C.6 D.8

2

【考点】抛物线的应用;抛物线的定义. 【专题】计算题. 【分析】线段 AB 的中点到准线的距离为 4,设 A,B 两点到准线的距离分别为 d1,d2,由抛物 线的定义知|AB|的值. 【解答】解:由题设知知线段 AB 的中点到准线的距离为 4, 设 A,B 两点到准线的距离分别为 d1,d2, 由抛物线的定义知: |AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8. 故选 D. 【点评】本题考查抛物线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的 隐含条件,积累解题方法.

9. 椭圆

的焦点 F1, F2, P 为椭圆上的一点, 已知 PF1⊥PF2, 则△F1PF2 的面积为 (



A.8

B.9

C.10

D.12

【考点】椭圆的应用. 【专题】计算题. 【分析】先设出|PF1|=m,|PF2|=n,利用椭圆的定义求得 n+m 的值,平方后求得 mn 和 m +n 的 关系,代入△F1PF2 的勾股定理中求得 mn 的值,即可求出△F1PF2 的面积. 【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n, 由椭圆的定义可知 m+n=2a, ∴m +n +2nm=4a , ∴m +n =4a ﹣2nm 由勾股定理可知 m +n =4c , 求得 mn=18, 则△F1PF2 的面积为 9. 故选 B. 【点评】本题主要考查了椭圆的应用,椭圆的简单性质和椭圆的定义.考查了考生对所学知 识的综合运用.
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10. 一抛物线型拱桥, 当水面离桥顶 2m 时, 水面宽 4m, 若水面下降 1m 时, 则水面宽为 ( A. m B.2 m C.4.5m D.9m



【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】 建立适当的直角坐标系, 设抛物线方程为 x =﹣2Py (P>0) , 由题意知抛物线过点 ( 2, ﹣2) ,进而求得 p,得到抛物线的标准方程.进而可知当 y0=﹣3 时 x0 的值,最后根据水面宽 为 2|x0|求得答案. 【解答】解:建立适当的直角坐标系,设抛物线方程为 x =﹣2Py(P>0) ,由题意知,抛物线 过点(2,﹣2) , ∴4=2p×2.∴p=1.∴x =﹣2y. 当 y0=﹣3 时,得 x0 =6. ∴水面宽为 2|x0|=2 .
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【点评】本题主要考查了抛物线的性质.属基础题.

11.已知双曲线 8kx ﹣ky =8 的一个焦点为(0,3) ,则 k 的值为( A. B. C.1 D.﹣1

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2



【考点】双曲线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】双曲线 8kx ﹣ky =8 化为
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=1,由于双曲线的一个焦点为(0,3) ,可得﹣

﹣ =3 ,解出即可 【解答】解:双曲线 8kx ﹣ky =8 化为 ﹣ =1,
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∵双曲线的一个焦点为(0,3) , ∴﹣ ﹣ =3 , 解得 k=﹣1. 故选 D. 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质,考查运算能力,属于基础题.
2

12.我们把离心率 e=

的椭圆叫做“优美椭圆”,设椭圆

+

=1 为优美椭圆,F、A )

分别是它的右焦点和左顶点,B 是它短轴的一个端点,则∠ABF 等于( A.60° B.75° C.90° D.120° 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 由 e= 【解答】解:∵e=
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可得 2c = (3﹣
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) a, 验证|FA| =|FB| +|AB| 成立, 所以∠FBA 等于 90°. )a , ,
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2

,∴2c =(3﹣

在椭圆中有 b +c =a ,|FA|=a+c,|FB|=a,|AB|=
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∴|FA| =(a+c) =a +c +2ac,|FB| +|AB| =2a +b =3a ﹣c ,

∴|FA| =|FB| +|AB| = ∴∠FBA 等于 90°. 故选:C.

2

2

2

a,

2

【点评】解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质,以及利用边长关系判断三角形的形 状的问题.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 椭圆 + =1 上的点 P 到它的左焦点的距离是 8, 那么点 P 到它的右焦点的距离是 12 .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由椭圆方程求出椭圆的长轴长,然后结合椭圆定义求得答案. 【解答】解:由椭圆方程 + =1,得 a =100,∴a=10.
2

设点 P 到椭圆的右焦点的距离为|PF2|, 则由题意 8+|PF2|=2a=20, ∴|PF2|=12. 故答案为:12. 【点评】本题考查椭圆的定义,考查了椭圆的标准方程,是基础题.

14.双曲线

的两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的标准方程,则可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出 其斜率之积为﹣1 进而求得 a 和 b 的关系,进而根据 c= 线的离心率可得. 【解答】解:∵双曲线方程为 ∵两条渐近线互相垂直, ,则双曲线的渐近线方程为 y=± x 求得 a 和 c 的关系,则双曲

∴ ×(﹣ )=﹣1 ∴a =b , ∴c= ∴e= = 故答案为: . =
2 2

【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生转化和化归思想和对双曲线基础知 识的把握.

15.已知 P(4,﹣1) ,F 为抛物线 y =8x 的焦点,M 为此抛物线上的点,且使|MP|+|MF|的值 最小,则 M 点的坐标为 ( ,﹣1) . 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】根据抛物线 的方程算出焦点为 F(2,0) ,准线 l 的方程为:x=﹣2.利用抛物线的定 义与平面几何知识,可知当且仅当点 M,N,P 共线时,|MP|+|MF|有最小值,进而可求出 M 的 坐标. 【解答】解:∵抛物线为 y =8x, ∴2p=8,得 =2,可得焦点为 F(2,0) ,准线 l 的方程为:x=﹣2. 过点 M 作 MN⊥l,垂足为 N,则 根据抛物线的定义,可得|MN|=|MF|. 由平面几何知识,当且仅当点 M,N,P 共线时, |MP|+|MF|取得最小值, 此时 M( ,﹣1) 故答案为: ( ,﹣1)
2

2

【点评】本题给出抛物线上的动点,求|MP|+|MF|的最小值,着重考查了抛物线的定义、标准 方程与简单几何性质等知识,属于中档题.

16.若椭圆

的离心率为 ,则 k 的值为 k=4 或



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】若焦点在 x 轴上,则 求出答案. 【解答】解:若焦点在 x 轴上, 则 解得 k=4. 若焦点在 y 轴上, 则 解得 k=﹣ . 故答案为:4 或﹣ . 【点评】本题考查椭圆的性质和应用,解题时要注意焦点的位置,避免丢解. , , ,若焦点在 y 轴上,则 ,由此能

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.已知椭圆 C: 和是 6.

=1(a>2)上一点 P 到它的两个焦点 F1(左) ,F2 (右)的距离的

(1)求椭圆 C 的离心率的值; (2)若 PF2⊥x 轴,且 p 在 y 轴上的射影为点 Q,求点 Q 的坐标. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、 性质与方程. 【分析】 (1)根据椭圆的定义即可求出 a=3,所以离心率 e= ;

(2)由椭圆方程



,所以 PF2 所在直线方程为 x=

,带入椭圆方

程即可求出 y,即 P 点的纵坐标,从而便可得到 Q 点坐标. 【解答】解: (1)根据椭圆的定义得 2a=6,a=3; ∴c= ∴ ; ; ; ;

即椭圆的离心率是 (2)

∴x=

带入椭圆方程 ) .

得,y=



所以 Q(0,

【点评】考查椭圆的标准方程,椭圆的焦点,椭圆的定义,以及椭圆的离心率,直线和椭圆 交点坐标的求法,以及点在线上的射影的概念.

18.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(﹣2,0) , (2,0) ,并且经过点( ,﹣ ) ,求它的标 准方程. 【考点】椭圆的标准方程. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知条件利用椭圆定义求解. 【解答】解:∵椭圆的焦 点在 x 轴上,

∴设它的标准方程为 由椭圆的定义知:



, ∴ . (6 分)

又∵c=2, (8 分) ∴b =a ﹣c =6, (10 分) ∴椭圆的标准方程为 . (12 分)
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【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆定义的合 理运用.

19.已知双曲线与椭圆可

共焦点,它们的离心率之和为

,求双曲线方程.

【考点】双曲线的标准方程;椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 【专题】计算题. 【分析】先根据椭圆方程求得椭圆的焦 点和离心率,进而根据题意求得双曲线的焦点和离心 率,进而求得双曲线方程得长轴和短轴,则双曲线方程可得. 【解答】解:依 题意可知椭圆方程中 a=5,b=3, ∴c= =4

∴椭圆焦点为 F(O,±4) ,离心率为 e= 所以双曲线的焦点为 F(O,±4) ,离心率为 2,

从而双曲线中

求得 c=4,a=2,b= 所以所求双曲线方程为



【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程和圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线 的综合理解.

20.从抛物线 y =8x 上任一点 P 向 x 轴作垂线段,垂足为 D,求垂线段中点 M 的轨迹方程. 【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先设出垂线段的中点为 M(x,y) ,P(x0,y0)是抛物线上的点,把它们坐标之间的 关系找出来,代入抛物线的方程即可. 【解答】解:设 M(x,y) ,P(x0,y0) ,D(x0,0) , 因为 M 是 PD 的中点,所以 x0=x,y= y0, 有 x0=x,y0=2y, 因为点 P 在抛物线上,所以 y0=8x0,即 4y =8x, 所以 y =2x,所求点 M 轨迹方程为:y =2x. 【点评】本题主要考查求轨迹方程的方法,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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2

21. (文)已知椭圆

的一条弦的中点为 P(4,2) ,求此弦所在直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设弦的端点坐标为(x1,y1) , (x2,y2) ,则 x1+x2=8,y1+y2=4,代入椭圆方程可得,

①, 注意检验.

,两式相减变形可求得直线斜率,利用点斜式可得直线方程,

【解答】解:设弦的端点坐标为(x1,y1) , (x2,y2) , 则 x1+x2=8,y1+y2=4,

代入椭圆方程可得,

①,

②,

①﹣②得,



整理可得

=﹣

=﹣ ,

即 kAB=﹣ , 由点斜式可得直线方程为:y﹣2=﹣ (x﹣4) ,即 x+2y﹣8=0, 经检验符合题意, 此弦所在直线 l 的方程:x+2y﹣8=0. 【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,属中档题,涉及弦中点问题常采取“平方差法” 解决.

22.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 .点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求 证:MF1⊥MF2; (3)求△F1MF2 的面积. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

,且过点

【分析】 (1)先求出 a,b 的关系,设出双曲线的方程,求出参数的值,从而求出双曲线方程 即可; (2)先表示出 MF1 和 MF2 的斜率,从而求出 m 的值,进而求出斜率的乘积为﹣1,证出结论; (3)分别求出 MF1 和 MF2 的长度,从而求出三角形的面积即可. 【解答】解: (1)∵
2

,∴
2

,∵c =b +a ∴a =b ?(1 分) ?(2 分)

2

2

2

2

2

∴可设双曲线方程为 x ﹣y =λ (λ ≠0) . ∵双曲线过点
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,∴16﹣10=λ ,即 λ =6?(3 分)

∴双曲线方程为 x ﹣y =6.?(4 分) (2)由(1)可知,在双曲线中 ∴ ∴ ,∴ . ,?(6 分)
2 2

, ?(5 分)

又∵点 M(3,m)在双曲线上,∴9﹣m =6,m =3.

∴ ∴MF1⊥MF2?(8 分) (3)由(2)知 MF1⊥MF2, ∴△MF1F2 为直角三角形. 又 由两点间距离公式得 ,

?(7 分)



或 , ,?(10 分) ,



= 即△F1MF2 的面积为 6.?(12 分) .



【点评】本题考察了双曲线问题,考察斜率问题,考察学生的计算能力,是一道中档题.


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