当前位置:首页 >> 数学 >>

2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《2.5等比数列的前n项和 》


金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

2.5 等比数列的前 n 项和(第一课时)
一 教学内容分析:
《等比数列的前 n 项和》(第一课时)是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生 活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透 的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的 数学素养。 教学目标为理解等比数列前 n 项和公式的推导方法, 掌握等比数列前 n 项和公式及应用; 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特殊到 一般的数学思想,培养学生观察问题、思考问题的能力,并能灵活运用基本概念分析问题、 解决问题的能力,锻炼数学思维能力; 同时渗透如上所说的多种数学思想, 激发学生求知欲, 鼓励学生大胆尝试、敢于探索、创新的学习品质。 在此之前,学生已学习了数列的定义、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本 节的学习起着铺垫作用,而本节内容也为以后学习数列求和、数列极限打下基础。同时数列 是函数的延续,它实质上是一种特殊的函数,因此还可以用函数的观点去分析求和公式。

二 学生学习情况分析:
本节课学生很容易在以下三个地方产生错误或困惑: 1. 对错位相减法的理解。
2 n ?1 将 S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q 的两边同乘公比 q 以后得到:

qS n ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q 3 ? ? ? a1 q n ,将两式相减,消去哪些项、剩下项的符号是
学生容易错误或困惑的地方。 2. 漏掉 公比q ? 1 的情况。 3. 公式的应用中有两个地方易错: ① 公式中对 n的理解 ; ② 求和公式 n和通项公式 n的中 的指数不一样,前者是 后者是 ?1, 很 容 易 混 S a q n, n 淆。三

教学目标:

1.知识与技能目标: 1)掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。 2)通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。 2 过程与方法目标: 通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特 殊到一般的数学思想,同时渗透如上所说的多种数学思想。 3.情感与态度目标: 通过公式的推导与简单应用,激发学生求知欲,鼓励学生大胆尝试,敢于探索、创新的 学习品质。

四 教学重点与难点: 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
教学重点:

wx.jtyjy.com

等比数列项前 n 和公式的推导与简单应用。

教学难点:
等比数列 n 项和公式的推导。

五 教学过程: (一).复习旧知:
问题 1:等比数列定义及通项公式; 问题 2:等比数列的项之间有何特点? 说明: 如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点: 从第二项起每一项比前一项多 乘以 q ,从而为“错位相减法”求等比数列前 n 和埋下伏笔。

(二)问题情境:
问题 3:从前,一个穷人到富人那里去借钱,原以为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来, 但提出了如下条件:在 30 天中,富人第一天借给穷人 1 万元,第二天借给穷人 2 万元,以 后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借钱第一天,穷人还 1 分钱,第二天还 2 分钱,以 后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算,但怕上当 受骗,所以很为难。请在座的同学思考一下,帮穷人出个主意. 注:师生合作分别给出两个和式:

S30 ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? 30??①
T3 0 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2 8 ? 2 2 9 ??②
①学生会求,对②学生知道是等比数列项前 n 和的问题但却感到不会解! 问题 4:能不能用等差数列求和方法去求?(不行)

(三).新课探究:
问题 5:如何求和: T3 0 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2 8 ? 2 2 9 分析: 1) 等式右边各项有什么特点?(等比数列 30 项和) 2) 公比是多少?(2) 即:从第二项起每一项比前一项多乘以 2. 3)因此,如果两边把等式两边同乘以公比 2 T3 0 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2 8 ? 2 2 9 从而有:

2T3 0 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 2 9 ? 2 3 0
问题 6:如何求 T30 ?求解的方法:作差 注:①学生解出 T30 ,并与 S 30 比较(到底能不能向富人借钱)。这种求和的方法叫错位相 减法。 ②此处先不忙介绍“错位相减法”的要点,只让学生有个大致印象,后面还有应用,体 现从特殊到一般、学生自主探究教材的新教材理念。 问题 7:如何求等比数列 {an } 的前 n 项和 S n :

S n ? a1 ? a1 q ? a1 q 2 ? ? ? a1 q n ?1
分析:①错位相减法;

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

2 n ?1 ②将 S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q 两边同时乘以公比 q 后会得到

qS n ? a1 q ? a1 q 2 ? a1 q3 ? ? ? a1 q n ,
两个等式相减后,哪些项被消去,还剩下哪些项,剩下项的符号有没有改变?这些都是 用错位相减法求等比数列前 n 项和的关键所在,让学生先思考,再讨论.

a1 (1 ? q n ) ③两等式作差得到 (1 ? q ) S n ? a1 (1 ? q ) 时,会有学生直接得到 S n ? , 1? q
n

(等一会用练习反馈这个易错知识点,从而掌握公式的本质!)

(四)课堂练习
1. 用等比数列求和公式求和:

1)S 9 ? 3 ? 32 ? 33 ? ? ? 39 2)S100 ? 5 ? 5 ? ?5(100 5相加) 个
注:此组练习目的:熟悉等比数列求和公式的直接应用。 问题 8: 公比q ? 1 , 公式还能用吗 ? 时

?na1 (q ? 1) ? 从而得到:等比数列 {an } 前 n 项和 S n 公式应为: S n ? ? a1 (1 ? q n ) . (q ? 1) ? 1? q ?
2.求和: 1)

1?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 19 ? 2 2 2

1? (1 ?

1 ) 22 0 1 1? 2

2)等比数列 an } , a1 ? 6, q ? 2, an ? 192 求{an }前n项和Sn . { 中 ,
注:①练习 1)中数列的项数的确定是很容易失误的地方,学生误解为是 19 项。从而强调 求和公式 S n 中的“ n ”指的是项数.另外,还要指出等比数列求和公式中的公比 q 的指数是
n ?1 “ n ”,而等比数列通项公式 a n ? a1 q 的公比 q 的指数是“ n ? 1 ”.

② 练 习 2 ) 的 目 的 在 于 引 出 等 比 数 列 求 和 的 第 二 个 公 式 形 式 :

?na1 (q ? 1) ? ,根据所给条件选择哪个求和公式进行求解。很多学 S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?
生会根据条件先求出 n ,再带到求和公式中去求 S n ,而直接用 S n 的另一个公式去求,可使 计算过程简化,从而自然引出这个知识点. ① 求和公式中共有五个量: Sn , a1 , q, n, an ,可用方程(组)思想:知三求二.

(五)例题讲解

? 中,a3 ? 3 , S3 ? 4 1 , 求a1. 已知等比数列an ? 2 2
金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

解:当 q ? 1时候, a1 ? a2 ? a3 , 此时正好有 1 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 , 适合题意。 2 ? 2 3 ?a1q ? 2 ? 当q ? 1时,依题意有 ? 解之, a1 (1 ? q 3 ) 1 ? ?4 , ? 1? q 2 ?
3 得a1 ? 6,综上得 a1 ? 或a1 ? 6. 2
注: 在不知道公比是否为 1 的情况下,利用等比数列求和公式求和时一定要对公比要进行分 类讨论,这是学生容易忽视的问题.

(六)强化理解 2 3 28 29 对于问题: T3 0 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2
还可以这样考虑:
28 8 1? 9 T3 0 ? 1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 2?? 2 2 2(1 ? 2 ? ?? 2 )

? 1 ? 2(T3 0 ? 2 2 9 )

?T3 0 ? 2 3 0 ? 1
问题 9:从这种证法中,大家受何启发?你能用这种方法证明等比数列的前 n 项和公式吗? .

S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ? 2 ? a1q n ?1

? a1 ? q(a1 ? a1q ? a1q2 ??? a1qn?2 ) ? a1 ? q( S n ? a1q n ?1 )
? (1 ? q ) S n ? a1 ? a1q n

? a1 (1 ? q n ) ? ? ? Sn ? ? 1 ? q ?na ? 1 ?
(七) 课堂小结
特殊数列求和

q ?1 q ?1

一般情况下等比数列求和
29

T3 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 2

S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? ? a1 q
2

n ?1

公式 应用

错位相减法

六.课后作业
习案与学案

方程(组)思想: 知三求二

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

2.5 等比数列的前 n 项和(第二课时)
一 教学内容分析:
《等比数列的前 n 项和》(第二课时)是数列这一章中的一个重要内容,在现实生活中有 着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式应用过程中所渗透的化归、 整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 在此之前,学生已学习了等比数列的通项公式和求和等知识内容,而本节内容是求和公 式的应用,也为以后学习数列极限打下基础。

二 学生学习情况分析:
本节课学生很容易在以下三个个地方产生错误或困惑: 4. 对题意的理解,把问题转化为数学模型. 5. 公比q 的各种情况的讨论。 3. 公式的灵活应用

三 教学目标:
1.知识与技能目标: 能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题; 理解分期付款中的有关规定,掌握分期付款中的有关计算.能运用等差、等比数列的有关知 识解决一些与数列相关的实际应用问题。 2 过程与方法目标: 通过对公式的应用提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力;体会公式探求中从特殊到 一般的数学思想。 3.情感与态度目标: 通过公式的应用,激发学生求知欲。

四 教学重点与难点:
教学重点:
进一步熟悉掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式的理解、推导及应用.

教学难点:
将实际问题转化为数学问题(数学建模).

五 教学过程: (一).复习旧知:
问题 1:等比数列的通项公式; 问题 2:等比数列的求和公式;

(二)问题情境:
某厂去年的产值记为 1 , 计划在今后的五年内每年的产值比上一年增长 10% , 则从今年起到 第五年,这个厂的总产值为多少? 问题 3:从今年起的五年内这个厂的逐年产值有什么特征?利用什么公式求总产值? 由于每年的产值比上一年增长 10% ,所以从今年起的五年内这个厂的逐年产值组成等比 q 数列记为 {an } , 其中 a1 ? 1.1 , ? 1 ? 10% , 可利用等比数列的前 n 项求和公式求总产值 S5 .

a1 (1 ? q5 ) ? 11(1.15 ? 1) . 1? q (三) 公式应用 S5 ?

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网
例 1.教科书第 56 面例 2

wx.jtyjy.com

(四)课堂练习
教科书第 58 面第 3 题

(五) 巩固提高
例 2.在等比数列

?a ?中,已知 S10 ? 5 , S 20 ? 15 ,求 S30 。
n

(六)形成规律
* Sn 为等比数列的前 n 项和, Sn ? 0 ,则 S k , S 2 k ? S k , S3k ? S 2 k ( k ? N ), 是等比数列.

解:设等比数列 ?an ? 首项是 a1 ,公比为 q, ①当 q=-1 且 k 为偶数时, S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k 不是等比数列. ∵此时, Sk ? S2k ? Sk ? S3k ? S2k =0. (例如:数列 1,-1,1,-1,?是公比为-1 的等比数列, S 2 ? S 4 ? S 2 ? S6 ? S 4 S2=0 ) ②当 q≠-1 或 k 为奇数时, S k = a1 ? a2 ? a3 ? ?ak ? 0
k S2k ? Sk = q (a1 ? a 2 ? a3 ? ? a k ) ? 0 2k S3k ? S 2k = q ( a1 ? a 2 ? a3 ? ? a k ) ? 0

? S k , S 2k ? S k , S3k ? S 2k ( k ? N ? )成等比数列.
评述:①注意公比 q 的各种取值情况的讨论, ②不要忽视等比数列的各项都不为 0 的前提条件.

(七)课堂练习
1.教科书第 58 面第 2 题 2.设等比数列

?a ?的前 n 项和 Sn ? 3 ? a ,求常数 a
n
n
*

的值。

(八)探索研究
在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S 偶与 S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则

S偶 S奇

?

q

.

(九) 课堂小结
1. 审清题意,建立正确的数学模型; 2.Sn 为等比数列的前 n 项和,则 S n , S 2 n ? S n , S3n ? S 2 n , 一定是等比数列. 3.在等比数列中,若项数为 2n (n∈N ),S 偶与 S 奇分别为偶数项和与奇数项和,则
*

S偶 S奇

?q.

(十)备用题目

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com
. . -2

①等比数列中,S10= 10,S20= 30,则 S30= 70 ②等比数列中,Sn= 48,S2n= 60,则 S3n= 63

②设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若 Sn?1, Sn , Sn? 2 成等差数列,则 q 的值为

六.课后作业
习案与学案

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com


相关文章:
湖南省长沙一中高一数学必修5全套教案
湖南省长沙一中高一数学必修5全套教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高考...等差数列的 前 n 项和 §2.3.3《学海导航 §2.4.1 等比数列§2.5.1 ...
高二数学 2.5《等比数列的前n项和》(1课时)教案(新人教...
高二数学 2.5《等比数列的前n项和(1课时)教案(新人教A版必修5) 隐藏>> 课题: §2.5 等比数列的前 n 项和 授课类型:新授课 (1 课时)●三维目标 知识与...
高一数学《2.5等比数列前n项和(一)》
湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一必修 5 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和(一)教学目标(一) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (二) 过程与...
高一数学《2.5等比数列前n项和(一)》
高一数学《2.5等比数列前n项和(一)_数学_高中教育_教育专区。人教A版高中数学教案2.5 等比数列的前 n 项和 (一) 教学设计 授课教师: 授课班级: 授课时间:...
...人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和1
【金识源】高中数学新人教A版必修5教案 2.5 等比数列的前n项和1_数学_高中教育_教育专区。数学学习总结资料 2.5 等比数列的前 讲授新课 课本“国王对国际象棋的...
高一数学《2.5等比数列前n项和(二)》
湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一必修 5 第二章 数列 2.5 等比数列的前 n 项和(二)教学目标(一) 知识与技能目标 等比数列前 n 项和公式. (二) 过程与...
高中数学课时作业必修5
高中数学课时作业必修5_数学_高中教育_教育专区。...(2009.湖南)在锐角△ABC 中,BC=1, ∠B=2∠A,...请说明理由. * * 2.5 等比数列的前 n 项和 ...
高中数学必修五教学设计:2.5《等比数列的前n项和》教案...
高中数学必修五教学设计:2.5《等比数列的前n项和》教案(2课时)(新人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五教学设计 ...
高中数学必修五教学设计:2.5等比数列的前n项和(2)
高中数学必修五教学设计:2.5等比数列的前n项和(2)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修五教学设计 2.5 等比数列的前 n 项和(2)教学目标 1.进一步掌握等比...
...教案-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版
等比数列前n项和第一课时教案-数学-高一必修5第二章数列2.5人教A版_数学_高中教育_教育专区。精品教学设计,十年教学经验转化教学逻辑,根据学情进行微调即可适应多...
更多相关标签: