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【数学】1.3《弧度制》


弧度制
B

r

A
C

复习:
①小学:角度制:用度数做单位度量角的方 法. 单位(1°角):圆周角的1/360为1°. 圆周长L=2πR
L?

②初中: 圆心角所对的圆弧长。 ?正

2?R ?? 0 360

③上节:角

? ?零 ?负都是以度数形式给出的。 ?

弧度制的定义:用弧度做单位来度量

角的制度叫做 弧度制

1.定义:把长度等于半径长的弧所对的圆 心角叫做1弧度的角.用符号rad表示。

2.任一已知角α的弧度数的绝对值

|α| = r 其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的
长,r为圆的半径.

l —

3.

l = |α| r

(弧长计算公式)

4.角度制与弧度制的换算: 360? = 2π rad, 180? = π rad

5 .特殊角的度数与弧度数的对应表:

1?= 180 rad?0.01745rad 1rad = ( 180) ?? 57.3? =57? 18′ π
0? 30? 45? 60? 90? 180? 270? 0 ??? ??4 ??3 ??2 ? 3??2

π

正角

正数

负角
零角 任意角的集合

负数
0 实数集R

6.正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数

正数 负数



二、例题: 例题1. 1) 把67°30′化成弧度; 3? 2) 把 rad化成度数;
5

3) 用弧度表示图中阴影部分角的集合。
y 120°
O

你会?角度与
弧度互化
x

y

? 3
x

O

240°

?

?
3

例3.利用弧度制来推导扇形的公式:
1 2 (1)S ? ?R ; 2 1 (2)S ? lR. 2
O R S l

例4:

设集A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ},
B={x| X2 -36<0},求A∩B

解∵A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ}=┄∪{x| -2π≤x≤-π}∪ {x|0≤x≤π} ∪{x| 2π≤x≤2π+π}∪┄, B={x|-6≤x≤6}, ∴A∩B={x|-6≤x≤-π或0≤x≤π}

思考:弧度数
与实数是一一 对应的

例5 1)已知扇形所在圆半径为5,圆心角
为135°,求扇形面积。

解:1)

1350 3? 15? ? R ? 5, ? ? ? ? ? , ? L ? ? ? R ? 4 4 1800 1 1 1 15? 75? ? S ? LR ? ?R 2 ? ? ? 25 ? 2 2 2 4 8

2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的 中心角为多大时,它有最大面积? 这是? 解:2) 设圆半径为R, 则 (弧长,扇 1 1 形面积) L ? 20 ? 2 R ? ? R, S ? LR ? (20 ? 2 R) R ? (10 R ? R) R ?
2

2 ? 10 ? ? R 2 ? 10 R ? ?( R ? 5) 2 ? 25. ? ? R ? 10 ? ?当R ? 5时,即L ? 10 ? ? R ? 5? ? ? ?1 ? ?? ? 2时,Smax ? 25

练习1.化下列各角为度数或弧度:
? 1)-225° 2) 12

2.已知扇形OAB的圆心角为120°, 半径为6,求扇形弧长及所含弓形的面积。

思考:钟表分针和时针在3点到5点40分 这段时间里 分针转过_______弧度的角, 时针转过___弧度的角。 若时针转过3cm,则时针转过的弧长是 _________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.

小结:
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)


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