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2015-2016高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的相关概念练习 新人教A版选修1-2


3.1.1
基 础 梳 理 1.虚数单位 i.

数系的扩充和复数的相关概念

(1)它的平方等于-1,即 i =-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立. 2.复数的代数形式. (1)形如 z=a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,a+bi 叫做复数的代数形式,a 和 b 分别叫 做复数 z 的实部和虚部. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的分类. 实数(b=0) ? ? ? 复数? ?纯虚数(a=0,且b≠0) ? 虚数( b ≠0) ? ?非纯虚数(a≠0,b≠0) ? ?

2

3.复数相等的充要条件. 复数 a+bi=c+di(a, b, c, d∈R)?a=c 且 b=d(把复数问题划归为实数问题). ,基 础 自 测 1.复数(2+ 3)i 的实部是(D) A.2 B. 3 C.2+ 3 D.0

解析:复数(2+ 3)i 的实部是 0,故选 D. 2.如果 C,R 和 I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集,那么有(D) A.C=R∪I B.R∩I={0} C.R=C∩I D.R∩I=? 解析:复数系的构成是: 复数 z=a+bi(a,b∈R) 实数(b=0时) ? ? ?纯虚数(a=0时) ? ? 虚数(b≠0时)? ? ? ? ?非纯虚数(a≠0时)

1

由此不难得到答案应为 D. 3.下列命题:①i 是-1 的一个平方根;②-i 是一个负数;③如果 a+bi=3+4i(a、

b∈C) , 则

a = 3 , b = 4. 其 中 正 确 的 命 题 的 个 数 是

________________________________________________________________________. 解析:由复数的定义和性质知②错,③错,①对. 答案:1 个

(一)虚数单位i及其性质 为了解决 x +1=0 这样的方程在实数集中无解的问题, 人们引进了一个新数 i, 叫做虚 数单位,它的平方等于-1,它可以与实数进行四则运算. (二)复数的代数形式和复数的分类 (1)复数的代数形式 z= a+bi 要求 a 和 b 必须是实数,否则不是代数形式. (2)若 z 是纯虚数,可设 z=bi(b≠0,b∈R);若 z 是虚数,可设 z=a+bi(b≠0,b∈ R);若 z 是复数,可设 z=a+bi(a,b∈R). (3)形如 z=bi 的数不一定是纯虚数,只有 b≠0,b∈R 时,才是纯虚数,否则不是纯虚 数. (三)复数相等的概念 (1)两个复数相等的充要条件是两个复数的实部和虚部分别相等,它是把复数问题转化 为实数问题的主要手段. (2)应用复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两边的复数形式写成代数形式, 即分离实部和虚部,然后列出方程求解. 注意:(1)根据复数相等的定义,在 a=c,b=d 两式中,只要有一个不相等,则 a+bi ≠c+di.
2
2

(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小.反之,若两个复数能比较大小,则它们必
? ?a>0, 是实数(如 a+bi>0?? ) ?b=0 ?

(3)若两个数不全是实数,则不能比较大小.

1.虚数单位 i 具有两条性质: (1)它的平方等于-1,即 i =-1. (2)实数可以与它进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍成立. 2.关于复数的代数形式 z=a+bi(a,b∈R),注意以下几点: (1)a,b∈R,否则不是代数形式. (2)从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数. 反之,若 z 是纯虚数,可设 z=bi(b≠0,b∈R); 若 z 是虚数,可设 z=a+bi(b≠0,b∈R); 若 z 是复数,可设 z=a+bi(a,b∈R). (3)形如 bi 的数不一定是纯虚数,只有 b≠0 且 b∈R 时,才是纯虚数. 3.两个复数只能说相等或不相等,不一定能比较大小. 关于这一点的理解要注意以下几点: (1)根据复数 a+bi 与 c+di(a,b,c,d∈R)相等的定义,可知在 a=c,b=d 两式中, 只要有一个不成立,那么就有 a+bi≠c+di. (2)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.
2

1.(2013·广州一模)已知 i 是虚数单位,则复数 1-2i 的虚部为(D) A.2 B.1 C.-1 D.-2 2.若复数 z=(x -1)+(x+1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为(A) A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1 3.若 x,y∈R,且 3x+y+3=(x-y-3)i,则 x=______,y=______.
2

3

? ?3x+y+3=0, 解析:由题意,得? ? ?x-y-3=0,

解得?

?x=0, ? ?y=-3. ?

答案:0 -3 4.如果(m -1)+(m -2m)i>0,求实数 m 的值. 解析:因为当两个复数都是实数时,才能比较大小.
? ?m -1>0, ? ?m>1或m<-1, 故有? 2 ?? ? m=2. ?m -2m=0 ?m=0或m=2 ? ?
2 2 2

∴m=2 时,(m -1)+(m -2m)i>0.

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1.已知复数 z=a+bi(a,b∈R),则 z∈R 的充要条件是(A) A.a+b=a-bi B.a+bi=-a+bi C.ab=0 D.a=b=0 2.如果(x+y)i=x-1,那么实数 x,y 的值为(A) A.x=1,y=-1 B.x=0,y=-1

C.x=1,y=0 D.x=0,y=0 3.( 3-1)i 的实部是(D) A. 3 B.1 C.-1 D.0
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4.i 是虚数单位,1+i 等于(D) A.i B.-i C.1+i D.1-i 5.已知集合 A={x|x=a+(a -1)i,a∈R,i 是虚数单位},若 A? R,则 a=(C) A.1 B.-1 C.±1 D.0 6.设 a,b∈R,i 是虚数单位,则“ab=0”是“复数 a-bi 为纯虚数”的(B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件
2

解析:“ab=0”则 a=0 或 b=0, “复数 a-bi 为纯虚数”则 a=0 且 b≠0,那么“ab =0”是“复数 a-bi 为纯虚数”的必要不充分条件,故选 B. 7.m=________时,复数 lg(m +2m+1)+(m +3m+2)i 是实数. 答案:-2 8.若 log2(x -3x-2)+ilog2(x +2x+1)>1,则实数 x=________. 解析:由于含有虚部的复数不能比较大小,所以虚部必须为 0 且 x 有定义,故有 x -3x
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2 2 2 2 2

-2>0 且 x +2x+1=1,得 x=-2,有 log2 8=3>1,显然成立,故 x=-2. 答案:-2 9.已知 M={1,(m -2m)+(m +m-2)i},P={1,-1,4i},若 M∪P=P,求实数 m. 解析:∵M∪P=P,∴M? P. ∴(m -2m)+(m +m-2)i=-1 或(m -2m)+(m +m-2)i=4i. 若(m -2m)+(m +m-2)i=-1,则 m=1. 若(m -2m)+(m +m-2)i=4i,则 m=2. 经检验,m=1 或 m=2 都符合题意. ∴m=1 或 m=2. 10.已知,关于实数 x,y 的方程组:
? ?(2x-1)+i=y-(3-y)i, ? ?(2x+ay)-(4x-y+b)i=9-8i ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

① ②

有实数解,求实数 a,b.
?2x-1=y, ? 解析:根据复数相等的充要条件有? ?1=-(3-y), ?

5 ? ?x= , 解得? 2 (*) ? ?y=4.
? ?5+4a=9, 将(*)代入②式,得 5+4a-(6+b)i=9-8i,且 a,b∈R,所以有? 解得 a ?6+b=8, ?

=1,b=2. ?品味高考

1. (2014·江苏高考改编)已知复数 z=25+20i+4i (i 为虚数单位), 则 z 的实部为 21. 2.(2013·安徽卷改编)设 i 是虚数单位,若复数(a-3)-i(a∈R)是纯虚数,则 a 的值 为(D) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:复数(a-3)-i 为纯虚数,∴a-3=0,∴a=3.故选 D.

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