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2015年济宁市第一中学学科擂台赛数学试题


2015 年山东省济宁市第一中学学科擂台赛试卷


一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. 集合 A 满足:若 a ? A ,则






审题人:张永存 考试用时:120 分钟

命题人:贾广素

第一部分(满分 100 分)
1 ? A ,则满足条件的元素最少的集合 A 中的元素个数有 1? a
( A.1 B.2 C.3 D.4 )

2. 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 并 满 足 f ( x ? 2) ? ?

1 . 当 2 ? x ? 3 时, f ( x)
( )

f ( x) ? x ,则 f (5.5) ?

姓名

A. 5.5

B. ?5.5

C. ?2.5

D. 2.5 )

3. 一个空间几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积是(
2 2

2 2 正(主)视图

2 2 侧(左)视图

俯视图

A. 2π+ 3π

B. π

8 3

C. 4π+

2 3 π 3

D. 2π+

3 π 3


班级

4.设扇形的圆心角为 60 ,面积是 6 π ,将它围成一个圆锥,则该圆锥的表面积是( A.

13 π 2

B. 7 π

C.

15 π 2
2 2

D. 8 π

5.若直线 l :ax ? by ? 1 ? 0 平分圆 C : x ? y ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 的周长,则 ab 的取值范围 是( )

A. (??, ]

1 4

B. (??, ]

1 8

C. (0, ]

1 4

D. (0, ] )

1 8

x 6. 设方程 log 4 x ? ( ) ? 0 与 log 1 x ? ( ) ? 0 的根分别为 x1 , x2 ,则(
x

1 4

4

1 4

A. 0 ? x1x2 ? 1

B. x1x2 ? 1

C. 1 ? x1x2 ? 2

D. x1x2 ? 2
1

7.某届足球赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分.某球队参赛 15 场,积 33 分.若不考虑比赛顺序,则该队胜、平、负的情形有( )种. A.15 B.11 C.9 D.3

1 ? 2x ?1 , x ? (??, ? ), 2 ? ? x 2 8. 已知函数 f ( x) ? ? g ( x) ? x2 ? 4x ? 4. ?ln( x ? 1), x ? [? 1 , ??), ? ? 2
设 b 为实数,若存在实数 a ,使得 f (a) ? g (b) ? 0 ,则实数 b 的取值范围是( A. [?1,5] B. (??, ?1] C. [?1, ??) D. (??,5] )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9. 已知 x ? R ,则函数 f ( x) ?

x2 ? x ? 1 ? x 2 ? x ? 1 的值域是

.

10. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对任意的 x ? R ,都有 f [ f ( x) ? 3x ] ? 4 ,则

f (2) ?

.

11. 设 Ak ? {x | x ? kt ? 是 .

1 1 , ? t ? 1} ,其中 k ? 2 , 3 ?, 2015 ,则所有 Ak 的交 集 kt k 2
D1

C1
F

12.如右图所示,记正方体 ABCD-A1B1C1D1 的中心为 O , 面 B1BCC1 的中心为 E , B1C1 的中点为 F . 则空间四边形 在该正方体各个面的上投影可能是 DOEF 1 (把你认为正确命题的序号填写在答题纸上) .

A1
O
D

B1
E

C
B

A

1 ○

2 ○

3 ○

4 ○

2

三、解答题(第 13 题满分 12 分,第 14 满分 13 分、第 15 题满分 15 分,共 40 分) 13.(本题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) 的二次系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 {x |1 ? x ? 3}. (1)若函数 y ? f ( x) ? 6a 有且只有一个零点,求 f ( x ) 的解析式; (2)记 f ( x ) 的最大值为 h(a) ,求 h(a) 的最小值.

14.(本题满分 13 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知侧棱 AA 1 ? 平面

A1

ABC ,?ABC 是边长为 2 的等边三角形,M 是 AA1 上的一点, M
且由点 P 沿棱柱侧面 AA1 =4 ,A1M ? 1. P 是棱 BC 上的一点, 经过棱 CC1 到点 M 的最短距离为 3 2 . 设此最短距离的折线

B1

C1
N C
P

A B

姓名 班级

与 CC1 交于点 N . (1)求证: A1B / / 平面 MNP ; (2)求平面 MNP 和平面 ABC 所成二面角(锐角)的正切值.

15(本题满分 15 分) 已知定义域为 [0,1] 的函数 f ( x ) 同时满足下列三个条件: 1 对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ; ○ 2 f (1) ? 1 ; ○ 3 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立 ○ 则称函数 f ( x ) 为“友谊函数”. (1)已知 f ( x ) 是“友谊函数” ,求 f (0) 的值; (2)函数 g ( x) ? 2 ? 1在区间 [0,1] 上是否是“友谊函数”?说明你的理由.
x

(3) 已知 f ( x ) 是 “友谊函数” , 假定存在 x0 ? [0,1] , 使得 f ( x0 ) ?[0,1] , 且 f [ f ( x0 )] ? x0 . 求证: f ( x0 ) ? x0 .

3

第二部分(满分 50 分)
本部分共三道解答题,第 1、2 题每题 15 分,第 3 题 20 分,满分 50 分 1(本题满分 15 分) 自锐角 ?ABC 的顶点 A 向边 BC 引垂线,垂足为 D. 在 AD 上任取一点 H ,直线 BH 交 AC 于点 E , CH 交 AB 于点 F . 证明: ?EDH ? ?FDH . (即 AD 平分 ED 与 DF 所成的角)

A F

H

E

B

C
D

2(本题满分 15 分) 四个半径为 1 的球彼此相切,三个在水平面上,第四个在它们的上面.其中,给出一个 边长为 a 的正四面体,使得任一球与该正四面体的三个面相切,求实数 a 的值.

3(本题满分 20 分) 已知 a 、b 、c 、d 为非负实数, f ( x ) ? 若x??

ax ? b ( x?R ) , 且 f (19) ? 19 , f (97) ? 97 , cx ? d

d ,对任意的实数 x 均有 f ( f ( x)) ? x 成立,试求出 f ( x ) 值域外的唯一数. c

4

2015 年济宁市第一中学学科擂台赛试卷 数学试题参考答案及评分标准 第一部分(满分 100 分)
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1. C 提示: { , 2, ?1}

1 2

由2? A ?

1 1 1 ? ?1? A ;由 ?1? A ? ? ? A ,又 1? 2 1 ? (?1) 2



1 1 1? 2

? 2 ? A .此时,集合元素个数最少.

2. D 提示: f (5.5) ? ?

1 1 1 1 ?? ? f (1.5) ? f (?1.5) ? ? ?? ? f (2.5) ? 2.5. 1 1 f (3.5) f (0.5) ? ? f (1.5) f (2.5)
1 π 2 ? r ,得 r ? 6 . 2 3

3.D 提示:由三视图可知,该几何是一个圆锥与一个圆柱的组合体. 4.B 提示:设扇形的半径为 r ,则由 6 π ? 于是扇形的弧长为 l ?

π ? 6 ? 2 π. 即圆锥的底面周长为 2 π ,其半径为 1. 所以底面面积为 3

π ?12 ? π ,所以圆锥的表面积是 S ? 6 π ? π ? 7 π.
5.B 提示:圆周 C 被直线 l 平分,所以圆心 (?1, 2) 在直线 l 上,即 ?a ? 2b ? 1 ? 0 ,从而

1 1 1 a ? 2b ? 1 ,所以 ab ? (1 ? 2b)b ? ?2b 2 ? b ? ?2(b ? ) 2 ? ? . 4 8 8 1 1 x 6.A 提示:显然 x2 ? ,设 f ( x) ? log4 x ? ( ) ,由 f (1) f (2) ? 0,知 1 ? x1 ? 2 ,所以 2 4

0 ? x1x2 ? 1.
y、 7.D 提示: 设该球队的胜、 平、 负的场次分别为 x 、 则? z,

? ?1 5 , ? x ?y z y 解得 x ? 11 ? , 3 3 . ?3x ? y ?

? x ? 11, ? x ? 10, ? x ? 9, ? ? ? 所以 ? y ? 0, , ? y ? 3, , ? y ? 6, 共 3 种情形. ?z ? 4 ?z ? 2 ? z ? 0. ? ? ?
8.A 提示:当 x ? (??, ? ) 时,易得 f ( x) ? ( ? 1) ? 1 ? [ ?1,0) ,又当 x ? [? , ??) 时,
2

1 2

1 x

1 2

易知 f ( x) ? ln(x ? 1)? [? ln 2,?? ),所以 f ( x) ?[?1, ??) ,所以只要 g (b) ? (?? ,1] 就一
2 定存在实数 a 满足 f (a) ? g (b) ? 0 ,即 (b ? 2) ? 8 ? (??,1] ,解得 b ? [?1,5].

5

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9. (?1,1) 提示:由于 f ( x) ? x2 ? x ? 1 ? x2 ? x ? 1 ? ( x ? )2 ? (0 ?

1 2

32 1 3 ) ? ( x ? )2 ? (0 ? )2 , 2 2 2

考虑其几何意义,构造点 P( x,0) , A(? ,

1 3 1 3 ) , B( , ) ,函数 f ( x) 的值域表示 2 2 2 2

| PA | ? | PB | 的 取 值 范 围 . 由 于 三 角 形 的 两 边 之 差 小 于 第 三 边 , 从 而

| PA | ? | PB | ?| AB |? 1,故函数 f ( x) 的值域为 (?1,1).
10. 10 提示: 依题意,f ( x) ? 3x 为常数, 设 f ( x) ? 3x ? m , 则 f (m ) ? 4 ,f ( x) ? 3x ? m .

m m m 所以 3 ?m ? 4 , 3 ?m?4 ? 0 ,易知方程 3 ?m?4 ? 0 有唯一解 m ?1 ,所以

x f ( x )? 3 ? ,从而 1 f (2) ? 32 ? 1 ? 10.

1 1 1 1 ? t ? 1 知 ? kt ? k ,所以 Ak ? [2, k ? ] ,且 k ? 在 [2, ??) 上 2 k k k k 5 递增,因此所有 Ak 的交集是 A2 ? [2, ]. 2
11. [2, ] 提示:由 12.○ 1 ○ 2 ○ 3 提示:当向前后两个底面投影时,得到○ 1 ;当向左右两个侧面投影时,得到 2 ;当向上下两个面投影时,得到○ 3 . ○ 三、解答题(第 13 题满分 12 分,第 14 题满分 13 分,第 15 题满分 15 分,共 40 分)

5 2

x) ? 2x 0 ? 的解集为 {x |1 ? x ? 3} 知 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3)( a ? 0 ) 13.解: (1) 由 f( .
则 f ( x) ? a( x ?1)( x ? 3) ? 2 x ? ax ? (2 ? 4a) x ? 3a
2

1 ?????????4 分 ○

2 又因为 y ? f ( x) ? 6a 有且只有一个零点,即方程 ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0 有两个相等的实
2 2 根,于是 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,即 5a ? 4 a ?1 ? 0 ,解得 a ? ? 或 a ? 1 (舍) ,

1 5

将 a ? ? 代入○ 1 式,得 f ( x) ? ?

1 5

1 2 6 3 x ? x ? . ??????????????8 分 5 5 5

(2)由○ 1 及 a ? 0 知, f ( x ) 的最大值 h(a) ? ?

a 2 ? 4a ? 1 1 ? ?a ? ? 4 . a a
1 ? 4 ? 2 ? 4 ? ?2 , 当且仅当 a ? ?1 时, a

又因为 ? a ? 0 , 由对勾函数的性质, 得 h( a ) ? ? a ? 等号成立.

故 h(a) 的最小值为 ? 2. ?????????????????????????12 分

6

ABC 及 ?ABC 是等边三角形,知侧面均为全等的矩形. 14.解: (1)由 AA 1 ? 平面
如图所示, 将侧面旋转 120 , 使其与侧面 ACC1 A 点P 运 1 在同一个平面上.在同一个平面内, 动到 P 1, 1 位置,联结 MP

P 沿棱柱侧面经过棱 CC1 到点 M 的最短路径. ??????????3 分 则 MP 1 即为点
2 2 x ? 1 .故 P 为 BC 的 设 PC =x ,则 PC ? x ,在 Rt?MAP 1 ,注意到 (2 ? x) ? x ? 18 ,得 1

中点,于是 NC ? 1. 设 AC 1 与 MN 交于点 Q ,则 Q 为 AC 1 的中点,所以 A 1B / / PQ ,所以

A1B / / 平面 MNP. ???????????????????????????6 分 A1
M

O

B1

C1
N C
P

A B

H

P1

(2)如图,连接 PP 1 ,则 PP 1 即为平面 MNP 与平面 ABC 的交线.

H ,连接 CH . 作 MH ? PP 1 于点
又因为 CC1 ? 平面 ABC ,从而 CH ? PP 1. 故 ?NHC 即为平面 ABC 与平面 MNP 所成二面角的平面角.??????????10 分

1 1 ?PCP . 1 ? 60 ,则 CH ? 2 2 NC ? 2. ??????????????????13 分 在 Rt ?NHC 中, tan ?NHC ? CH
在 Rt ?PHC 中,由 ?PCH ?

0 ) ?f ( 0 ) 15.解: (1) 令 x1 ? x2 ? 0 , 得 f(

? ( 0 ) f

) ? 0 , , 知 f (x 又由○ 1 知对任意 x ? [0,1]

都有 f ( x) ? 0 ,所以 f (0) ? 0. ??????????????????????3 分 (2)显然 g ( x) ? 2 ? 1在 [0,1] 上满足○ 1 ,即 g ( x) ? 0 ,也满足○ 2 ,即 g ( x) ?1 ,下面只
x

需验证 g ( x) 是否满足条件○ 3 . 若 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1 ,则有
7

g ( x1 ? x2 ) ? [ g ( x1) ? g( x2 )] ? 2x1?x2 ?1 ? [(2x1 ?1) ? (2x2 ?1)]
? (2x2 ?1)(2x1 ?1) ? 0 .
故 g ( x) 满足条件○ 1 ○ 2 ○ 3 ,所以 g ( x) ? 2x ? 1在 [0,1] 上是“友谊函数”.????6 分 ( 3 )由 ○ 3 知任给 x1 , x2 ? [0,1] ,且 x1 ? x2 ? 1 ,不妨设 x2 ? x1 ,则存在 ?x ,使得

x2 ? x1 ? ?x ,其中必有 0 ? ?x ? 1. 所以 f ( x2 ) ? f ( x1) ? f ( x1 ? ?x) ? f ( x1) ? f ( x1) ? f (?x) ? f ( x1) ? f (?x) ? 0.
所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ). 依题意必有 f ( x0 ) ? x0 .?????????????????10 分 下用反证法证明之. 假设 f ( x0 ) ? x0 ,则 f ( x0 ) ? x0 或 f ( x0 ) ? x0 . 若 f ( x0 ) ? x0 ,则 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ,而 f [ f ( x0 )] ? x0 ,从而 x0 ? f ( x0 ) ,矛盾; 若 f ( x0 ) ? x0 ,则 f [ f ( x0 )] ? f ( x0 ) ,而 f [ f ( x0 )] ? x0 ,从而 x0 ? f ( x0 ) ,矛盾; 故由上述两个矛盾可知假设不成立,则必有 f ( x0 ) ? x0 . ?????????????15 分

第二部分(满分 50 分)
本部分共三道解答题,第 1、2 题每题 15 分,第 3 题 20 分,满分 50 分 1.证法一: 以 D 为坐标原点,BC 所在的直线为 x 轴,

DA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系如图所示.
设 A(0, a ) , B(b,0) ,C (c,0) , H (0, h) ,于是 BH 所在的直线方程为

A F

y E

H

B x y D 为 ? ? 1. ???????????????5 分 c a x y x y 过 BH 与 AC 交点的 E 的直线系是 ? ? 1 ? ? ( ? ? 1) ? 0. b h c a 1 1 1 1 令 ? ? ?1 ,得 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0. (*)?????????????10 分 b c h a 直线(*)经过坐标原点,因此(*)即为 DE 所在的直线方程. 1 1 1 1 同理, DF 所在的直线方程为 ( ? ) x ? ( ? ) y ? 0. c b h a

x y ? ? 1 , AC 所在的直线方程 b h

C

x

8

显然,直线与直线 DF 的斜率互为相反数,即 kDE ? ?kDF , 故 AD 平面 ED 与 DF 所成的角.?????????????????????15 分 解法二:过 A 作直线 l / / BC ,延长 DF 、 DE 分别交 l 于 P 、 Q.

AP AF AQ AE ? ? . ??????5 分 , BD FB DC EC AF BD CE ? ? ? 1, 又同塞瓦定理,知 FB DC EA
于是有 所以

P F

A

Q
H
E

l

AP BD DC ? ? ? 1 ,所以 AP ? AQ. BD DC AQ

B

C
D

所以 Rt ?ADP ? Rt ?ADQ ,

从而 ?EDH ? ?FDH . ???????????????????????????15 分 2.解:四个球的球心是边长为 2 的正四面体的顶点,设该四面体为 ABCD. 过点 A 的高交底 面 BCD 于点 G , 则 G 为 ?ABC 的重心.取 BC 的中点 E , 析出平面图形 ?AEG , 如图所示.

A

A1
A

B

D

G
E

C

E1

E

G

G1

与球都外切的四面体的各面到球心四面体 ABCD 相应各面的距离都是 1,仍然是一个正四 面体,????????????????????????????????5 分 于是将 ?AEG 扩展为该四面体中相应的 ?A 1E1G 1 ,只须分别作 A 1E1 / / AE , E1G1 / / EG , 平行线间距均为 1,即可得到 ?A 1E1G 1 ,通过 ?AEG 求出 ?A 1E1G 1 的边, 进而可求出 a 的值.????????????????????????????5 分 事实上,易知 AE =

3 2 6 1 3 2 2 AC ? 3 , EG ? DE ? , AG ? AE ? EG ? , 2 3 3 3

AA1 1 AE 2 ? ? 3. 所以 AG 6. ,所以 AA1 ? 1 1 ? A 1 A ? AG ? GG1 ? 4 ? AE EG EG 3
又因为

A1G1 A1G1 AG A G ? AE ? ? ? 2 ? 2 6. ?????????15 分 ,得 a ? 1 1 A1E1 AE 3 3 a AG 2 2

9

d 3.解:由题设,对任意实数 x ? ? 有 f ( f ( x)) ? x ,即 c

ax ? b ?b cx ? d ? x ,化简,得 ax ? b c? ?d cx ? d a?

(a ? d )cx2 ? (d 2 ? a2 ) x ? b(a ? d ) ? 0 ,
由于上述方程对 x ? ?

d 2 2 恒成立,故 a ? d ? 0 ,且 d ? a ? 0 ,所以 d ? ?a. ???10 分 c ax ? b ? x 的两个根,即方程是 又 f (19) ? 19 , f (97) ? 97 ,即 19 、 97 是方程 cx ? d a?d d ? 116 , ? ? ?1843 ,结合 cx2 ? ( d ? a) x? b ? 0的两个根,故由韦达定理,得 c c 58 x ? 1843 1521 d ? ? a ,得 a ? 58c , b ? ?1843c , d ? ?58c ,所以 f ( x) ? ? 58 ? . x ? 58 x ? 58

于是 f ( x ) 取不到 58 这个数,即 58 是 f ( x ) 值域外的唯一的数.??????????20 分

10


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