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沈阳市六校2011-2012学年度考期末考试数学试题


沈阳市六校 2011-2012 学年度考期末考试 数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的. 1.
1- tan 75 ? tan 75 ?
2 3 3
2

的值是(

).
2 3 3

>A.

B.-

C.2
3

3

D.-2

3

2.在矩形 ABCD 中,| AB |= ( ). A.2 C.3

,| BC |=1,则向量( AB + AD + AC )的长等于

B.2 D.4

3

(第 2 题)

3.如图,D,E,F 是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则 AF - DB 等于( A. FD C. FE B. FC D. BE

).

4.已知 A.
4 3

1 ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ?



1 2

,则 tan ?=(
4 3

). C. ?
3 4

(第 3 题)

B. ?

D.

3 4

5.tan(? +45°)-tan(45°-?)等于( A.2tan 2? B.-2tan 2?

). C.
3 5 2 tan 2 ?

D.-

2 tan 2 ?

6. 已知 sin(?-?)cos??-cos(?-?)sin ?= A.
4 5

, ??为第三象限角, cos ?等于( 且 则 C. ). C.y=sin
x 2 3 5

).

B.-

4 5

D.-

3 5

7.下列函数中,最小正周期为 ??的是( A.y=cos 4x B.y=sin 2x

D.y=cos ).

x 4

8.已知向量 a=(4,-2),向量 b=(x,5),且 a∥b,那么 x 等于(

A.10

B.5
4 3

C.-

5 2

D.-10

9.若 tan ?=3,tan ?= A.-3

,则 tan(?-?)等于( C.-

).
1 3

B.3

D.

1 3

10.设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则 ①(a·b)·c-(c·a)·b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2 中,是真命题的是( A.①② B.②③ C.③④ ). D.②④

11.已知△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-1,0),B(1,2),C(0,c),若 AB ⊥ BC , 那么 c 的值是( A.-1 ). B.1
? 2

C.-3 ]上为减函数的是( ).

D.3

12.下列函数中,在区间[0, A.y=cos x C.y=tan x

B.y=sin x D.y=sin(x-
? 3

)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上 13.在 ABCD 中, AB =a, AD =b, AN =3 NC ,M 为 BC 的中点,

则 MN =_______.(用 a,b 表示) 14. 求函数 y=(sin x+cos x)2+2cos2x 的最小正周期= .
(第 13 题)

15.已知向量 a=(3,2),b=(0,-1),那么向量 3b-a 的坐标 是 . 16. 某地一天中 6 时至 14 时的温度变化曲线近似满 足函数 T=Asin(?t+?)+b(其中
? 2

T/℃ 30 20 10 O 6 8 10 12 14 t/h

<?<?),6 时至 14

时期间的温度变化曲线如图所示,它是上述函数的半个 周期的图象,那么这一天 6 时至 14 时温差的最大值是 °C;图中曲线对应的函数解析式是 ________________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 9 分)

已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),求证△ABC 是直角三角形.

18. (本小题满分 9 分) 已知 0<?<
? 2

,sin ?=

4 5



(1)求 tan ?的值; (2)求 cos 2?+sin(?+
? 2

)的值

19.(本小题满分 9 分) 已知|m|=4,|n|=3,m 与 n 的夹角为 60°,a=4m-n,b=m+2n, c=2m-3n.求: (1)a2+b2+c2. (2)a·b+2b·c-3c·a. )

20.(本小题满分 10 分) (1)已知 tan(?-?)= (2)已知 cos(?- 的值.
?
2
1 2

,tan ?=?
1 9

1 7

,且?,?∈(0,?),求 2?-?的值.
2 3

)= ?

,sin(

?
2

-?)=

,且

? 2

<?<?,0<?<

? 2

,求 cos(?+?)

21.(本小题满分 9 分)
?π ? 2 ,2?∈ ? , π ? ?2 ?

2 cos

2

?
2

- sin ? - 1

已知 tan 2?=??

,求

?π ? 2 sin ? + ? ? ? 4 ?

22.(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=sin ?x(?>0). (1)当 ?=?时,写出由 y=f(x)的图象向右平移 解析式; (2)若 y=f(x)图象过点(
2π 3 ? 6

个单位长度得到的图象所对应的函数

,0),且在区间(0,

? 3

)上是增函数,求 ??的值.

参考答案
一、选择题: 1.D 7.B 2.D 8.D 3.D 9.D 4.B 10.B 5.A 11.D 6.B 12.A

二、填空题: 13. -
1 4

a+

1 4

b.

14. ?.???????????
? 8

????(-3,-5) ???????????????????????????16.20;y=10sin( 三、解答题:

x+

3? 4

)+20,x∈[6,14].

17.解析:∵ AB =(2-1,3-2)=(1,1), AC =(-2-1,5-2)=(-3,3). ∴ AB · AC =1×(-3)+1×3=0. ∴ AB ⊥ AC . 18.解:(1)因为 0<?< (2)cos 2?+sin(
? 2

? 2

,sin ?=

4 5

, 故 cos ?=
32 25

3 5

,所以 tan ?=
3 5

4 3



+?)=1-2sin2? +cos ?=?-





8 25



19.答案:(1)366,(2)-157. 解析:∵|m|=4,|n|=3,m 与 n 的夹角为 60°, ∴m·n=|m||n|cos 60°=4×3× (1)a2+b2+c2 =(4m-n)2+(m+2n)2+(2m-3n)2 =16|m|2-8m·n+|n|2+|m|2+4m·n+4|n|2+4|m|2-12m·n+9|n|2 =21|m|2-16m·n+14|n|2 =21×16-16×6+14×9 =366. (2)a·b+2b·c-3c·a =(4m-n)·(m+2n)+2(m+2n)·(2m-3n)-3(2m-3n)·(4m-n) =-16|m|2+51m·n-23|n|2 =-16×16+51×6-23×9 =-157.
1 2

=6.

另解:a·b+2b·c-3c·a=b·(a+2c)-3c·a=…=-157. 20.答案:(1)2?-?=- 解析:(1)∵tan(?-?)= ∴tan 2(?-?)=
3 4 1 2 π

;(2)cos(?+?)=-

239 729



, =
4 3
1 7

2 tan( ? - ? ) 1- tan ( ? - ? )
2

. ,

又∵2?-?=2(?-?)+?且 tan ?=- ∴tan(2?-?)=
tan 2( ? - ? ) tan ? + 1- tan 2( ? - ? ) tan ?
1 7

=1.

∵?,?∈(0,?)且 tan ?=- tan ?=
tan( ? - ? ) tan ? + 1- tan( ? - ? ) tan ?
? 4

<0,

= ∈(0,1),
3
? 2
3 4 π

1

∴0<?<



? 2

<?<? ? 0<2?<

,-?<-?<- ,

? 2

?

-?<2?-?<0,

而在(-?,0)内使正切值为 1 的角只有一个- ∴2?-?=- (2)∵
? 2
3 4 π


? 2

<?<?,0<?<
?
2

,∴
?
2

? 4

<?-
2 3

?
2

<?,?

? 4



?
2

-?<

? 2



又∵cos(?- ∴sin(?- ∴cos
?
2

)=-
4 9 5

1 9

,sin(
?
2

-?)= ,
5 3

)=

,cos(
?
2

-?)=
?
2



? ? ?
2

=cos[(?-
?
2

)-(

-?)]
?
2

=cos(?- =
7 5

)cos(

?
2

-?)+sin(?-

)sin(

?
2

-?)


?+ ?
2

27

∴cos(?+?)=2cos2 21.答案:-3+2
2 cos
2

-1= ?

239 729



2


cos ? - sin ? cos ? + sin ? 1- tan ? 1+ tan ?

?
2

- sin ? - 1

解析:

?π ? 2 sin ? + ? ? 4 ? ?







∵tan 2?=

2 tan ? 1- tan ?
2

=-2

2





2

tan2?-tan ?-
2

2

=0,
2 2

解得 tan ?= ∵
? 2

或 tan ?=-
? 4


2

<2?<?,∴
1? 1? 2 2

<?<

? 2

,∴tan ?=



∴原式=

=-3+2

2


? 6

22.解:(1)由已知,所求函数解析式为 f(x)=sin(x- (2)由 y=f(x)的图象过( 即 ?=
3 2

).
2? 3

2? 3

,0)点,得 sin

2? 3

?=0,所以

?=k?,k∈Z.

k,k∈Z.又?>0,所以 k∈N*.
3 2

当 k=1 时,?= 此时 f(x)在 ? 0 ,
? ?

,f(x)=sin

3 2

x,其周期为

4? 3



?? ? 3?

上是增函数;
2?

当 k≥2 时,?≥3,f(x)=sin ?x 的周期为 此时 f(x)在 ? 0 ,
? ? ?? ? 3?

?



2? 3



4? 3



上不是增函数.

所以,?=

3 2




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