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5.4两角和的余弦、正弦和正切


5.4两角和差的余弦、正 弦和正切

(1)两角和差的余弦公式

问题探讨
1、下列两个等式成立吗?为什么?

(1) cos 750 ? cos(450 ? 300 ) ? cos 450 ? cos300 ; (2) cos15 ? cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30

0 0 0 0 0
0

2、 cos750

? ?cos15 ? ?cos(45 ? 30 ),cos(45 ? 30 )
0 0 0 0

能否用

450 和 30 0 的三角比表示?

预习
在同角三角比的基本关系式中,我们研究了同一 个角α的各个三角比之间的关系. 如果知道了角α与β的三角比,那么能否求出α+β 或α-β的三角比呢?这就是从本节课开始要研 究的问题。 cosl5°=cos(45°-30°)=?

预备知识:平面内两点间距离公式+ 单位圆上点的坐标
y

. P2(x2,y2)

平面内P1(x1,y1), P2(x2,y2) 两点间的距离公式:

o
P1(x1,y1)

x

| P1 P2 |? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2

2

.
例如:平面内A(2, 1),B(3,5),则

| AB |?
y

?3 ? 2? ? ?5 ?1? ? 17
2 2

P(x,y)

o

x

在直角坐标系中,单位圆上的点P可 以表示(cos α,sin α) 其中α为点P所在终边所对应的角

一、两角和差的余弦公式的推导
利用单位圆

cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ?

cos ? ? cos ? ? sin ? sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? sin ?

二、两角和的余弦公式的推广 cos?? ? ? ? ? cos? ? cos? ? sin ? sin ?
cos?? ? ? ? ? cos? ? cos? ? sin ? sin ?
α,β为任意的角 例如:α,β可取一些特殊的值 (1)α不变,β变为-β (2)α变为π/2,β变为α

?? ? cos? ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

这两个公式告诉我们: 1、利用任意角α、β的正弦和余弦可以求出α±β的余弦; 2、公式中出现的α、β以及α±β都是任意角; 3、cos(α-β)的展开式是两个角的同名三角比乘积的和, cos(α+β)的展开式则是其差。

三、两角和与差的余弦公式的应用
例1:(1)求cos15°

(2)、求值:cosl8°cos42°-sinl8°sin42°

练习:求下列各式的值:
(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°;
(2)cos(80°+2α)cos(5°+2α)+sin (80°+2α)sin(5°+2α); (3)cos215°-sin215°; (4)-cos100°cos10°-sin80°sin10°。

例2:已知点A的坐标为(0.6,0.8),将OA绕坐标原 点逆时针旋转90度至OA’,求A’的坐标(x,y)
y
/ A ( x, y)

A(0.6,0.8)

x

小结
? 本节课利用已学过的知识构造图形,并运用数

形结合的思想方法,推导了两角和的余弦公式, ? 用代换思想推导了两角差的余弦公式, ? 并对公式进行了简单的应用(逆用和活用)。 ? 下节课我们将对公式的应用进行更深入的探讨。
cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? sin ?

思考题
(1)用两角和差余弦定理证明:

?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?

(2)用(1)的结论证明

?? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ? ?? ? tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ?

(3)证明:

回家作业(共7题)
1、默写两角和差的余弦公式 2、求值(1) cos15
?

(2) cos105

?

3、化简(1) cos ?? ? ? ? cos ? ? sin ?? ? ? ? sin ?
? ? ? ? (2) cos 60 ? ? cos 30 ? ? ? sin 60 ? ? sin 30 ? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

4、已知点 A 的坐标为(0.6,0.8),将 OA 绕坐标原点 逆时针旋转 60 度至 OA’,求 A’的坐标(x,y)

5、利用两角和差的余弦公式展开(保留展开的过程) (1) cos ?? ? ? ? (2) cos ?

?? ? ?? ? ?2 ?

(3) cos ?

?? ? ? ?? ? ? ? ? ?2 ?

(4) cos ? ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 2 ?

?? ? 6、 (1)用两角和差余弦定理证明: cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?? ? (2)用(1)的结论证明: sin ? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?? ? (3)证明: tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ?
7、预习并抄写两角和差的正弦公式及另外几组诱导公式。

5.4两角和差的余弦、正 弦和正切
(2)诱导公式 两角和差的正弦公式

诱导公式(2)
另外四组

所有诱导公式的口诀
(纵变横不变,符号随象限)

?? ? ?? ? ? 3? ? 3? ? sin ? ? ? ? ? cos? sin ? ? ? ? ? ? cos? sin ? ? ? ? ? ? cos? sin ? ? ? ? ? ? cos? ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? 3? ? 3? ? cos? ? ? ? ? sin ? cos? ? ? ? ? ? sin ? cos? ? ? ? ? ? sin ? cos? ? ? ? ? ? sin ? ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?? ? ? 3? ? 3? ? t an? ? ? ? ? cot? t an? ? ? ? ? ? cot? t an? ? ? ? ? ? cot? t an? ? ? ? ? ? cot? ? ?2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ?

?3 ? sin ?? ? ? ? cos ? ? ? ? ? tan ?? ? 3? ? ?2 ? 化简 ? ? ?? ? ? cos ? 2? ? ? ? cot ? ? ? ? sin ? ? ? ? 2? ?2 ? ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos? sin ?

一、两角和差的正弦公式推导

这两个公式告诉我们: 1、利用任意角α、β的正弦和余弦可以求出α±β的正弦; 2、公式中出现的α、β以及α±β都是任意角; 3、sin(α+β)的展开式是两个角的异名三角比乘积的和, sin(α-β)的展开式则是其差。

练一练
5? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 例1:化简 cos ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ?? ? ? 12 ? 6? 12 ? 3? ? ? ? ?

sin

3? ? 3? ? cos ? cos sin 8 8 8 8

例2:求证sin ?? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos ? ? cos ?
2 2

小结
? 所有的诱导公式

(奇变偶不变,符号随象限)

? 两角和差的正弦公式

回家作业(共6题)
1、默写 4 组诱导公式、两角和与差的正弦公式 2、利用两角和差的正弦公式,求值 (1) sin 75
?

(2) sin165

?

? ? ? ? 3、化简: (1) sin ? ? 105 cos ? ? 15 ? cos ? ? 105 sin ? ? 15

?

?

?

?

?

? ?

?

(2) sin

?? ? 3? ? cos ? cos sin 8 8 8 8

4、利用诱导公式化简:
? ? ? ? (1) cos ? ? 90 ? sin 180 ? ? ? sin ? ? 180 ? sin ?? ? 360

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? cot ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ?? ? 2 ? ? (2) tan ?? ? ? ? ?? ? sin ? 2? ? ? ? tan ? ? ? ? ?2 ?

5、证明下列恒等式

sin ?? ? ? ? (1) ? tan ? ? tan ? cos ? cos ?
(2) sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ? cos? ? sin ? cos ? 6、 (1)已知 cos? ?

?3 ?? ?? ? ? , ? ? ? , ? ? ,求 sin?? ? ? 5 6? ?2 ? ?

1 1 (2)已知 sin ? ? sin ? ? ? , cos ? ? cos ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值 3 2

两角和差的正弦、余弦 公式

典型习题

二、两角和差的典型例题
例1: 角的变换:要合适的选择α、β,有时单角要用复角来表示 ?3 ?? ? ,? ? ? , ? ? (1)已知 cos? ?

5 ?2 ? ?? ? 求 sin ? ? ? ? 6? ? ? ? ?3 ? ? 5? ? (2)已知 cos? ,? ? ? , ? ?? ? ? ? 6? 5 ? ?3 6 ? sin ? 求
(3)若 cos?? ? ? ? ?


4 ?3 ? 3? ? ?? ? , cos?? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ,2? ?? ? ? ? ? , ? ? 5 5 ? 2 ? ?2 ?

cos 2? ,sin 2?

1 11 ? ? ? , ?为锐角, cos ? ? , cos ? ? ? ? ? , 求 cos ? 7 14

回家作业(共4题)
8 5 ?? ? 1、 (1)已知 sin ? ? , cos ? ? ? , ? , ? ? ? , ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值 17 13 ?2 ?
(2)已知 sin ? ?

5 3 , cos ? ? ? , ,且 ? , ? 都是第二象限角, 13 5

求 sin ?? ? ? ? 、 cos ?? ? ? ? , tan ?? ? ? ? 的值 2、 (1)已知 sin ? ? ?

? ?

?? 3

? ? 5? ? , ? ? ? ? , 6? 5 ?3 6

? ? ,求 cos ? ?

2 ?? ? ? (2)已知 sin ? 45 ? ? ? ? ? , ? ? ? , ? ,求 sin ? 3 ?4 2?
?

sin ? 2? ? ? ? sin ? ? 2cos ?? ? ? ? ? 3、 (1)求证: sin ? sin ?
(2)已知 cot ?? ? ? ? ? 0 ,求证 sin ?? ? 2? ? ? sin ?

sin 9? ? sin 6? cos15? 4、化简(1) cos 9? ? sin 6? sin15?

?? ?? ? ? (2) cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 4? 4? ? ?

二、两角和差的典型例题
例2: 辅助角公式:将正弦余弦的和差转化为一个三角比 ?? ? (1)求证: 3 sin ? ? cos? ? 2 sin? ? ? ?

?

6?

(2)把下列各式化为

A sin ?? ? ? ?

? A ? 0?

形式

1 3 (a) sin ? ? cos ? 2 2 (b) sin ? ? cos ?

?? ? ?? ? 化简:3 sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ?6 ? ?6 ?

(c) a sin ? ? b cos ?

a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? a b ?由 cos? ? , sin ? ? 确定 2 2 2 2 a ?b a ?b

回家作业(共4题)
1、将下列各式化成 Asin ?? ? ? ?? A ? 0? 的形式 (1) 3 sin ? ? cos ? (2) sin ? ? cos ? (3) 5sin ? ? 12sin ? (4) sin ? ? ?

? ?

??

?? ? ? cos ? ? ? ? ? 4? 4? ?

1 2、计算(1) 1 ? sin15? ? cos15?
3、求证

cos15? ? sin15? (2) cos15? ? sin15?

1 3 csc10? ? sec10? ? 2 2 2
2m ? 1 ,则 m 的取值范围为_______________ 3? m

4、已知 sin ? ? 3 cos ? ?

二、两角和差的典型例题
例3: 判定角在第几象限:可以通过计算两个三角比值的符号来确定 2 3 ? ? ?? ? 已知: sin ? ? , cos ? ? ? , 且? ? ? ? ,? ? , ? ? ? ,? ? 3 4 ?2 ? ?2 ? 计算sin(α-β),cos(α-β)的值 判断α-β为第几象限的角 练习 已知:sinx=-4/5,且x为第四象限的角, 判断2x在第几象限

二、两角和差的典型例题
三角形中的角都是在0到π,注意一解还是两解,最保险的是计 例4: 算正弦余弦两个值

已知:在三角形ABC中,

4 12 2 cos A ? 12 ,sin B ? 3 4 5 ? ? 3 sin A ? ,cos B ? ? ? ?1? cos A ? , cos B ? 13 5 5 5 5 13
求C的正弦,余弦

例5: 已知:在三角形ABC中, 判断三角形形状

sin A sin B ? cos A cos B

回家作业(共5题)
1、已知 sin ? ?

5 10 , ? , ? 都是锐角,求 ? ? ? 的值 ,sin ? ? 5 10
3? 3? 5 10 ,求 ? ? ? 的值 ,? ? ? ? ,sin ? ? ? ,cos ? ? ? 2 2 5 10

2、已知 ? ? ? ?

3 5 sin A ? , cos B ? 3、在三角形 ABC 中, ,求 cos C 和 sin C 的值 5 13

4 4 ? 7? ? ? 3? ? cos A ? B ? , cos A ? B ? ? 4、若 ,其中 A ? B ? ? , 2? ? , A ? B ? ? , ? ? , ? ? ? ? 5 5 ? 4 ? ? 4 ?
则 cos 2? ? _____________________ 5、已知:在三角形 ABC 中,两内角 A,B 满足 cotAcotB>1, 5、已知:在三角形ABC中,两内角A,B满足cotAcotB>1 则三角形 ABC 的形状为______________

则三角形ABC的形状为______________

小结:几种典型题
1. 求不同角的三角比 2. 辅助角公式 3. 利用三角比判断角的象限

4. 在三角形中,求角的三角比

5.4两角和差的余弦、正 弦和正切

(4)两角和差的正切公式

复习
? 两角和差的正弦公式

sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos? sin ? ? 两角和差的余弦公式
cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? sin ? cos?? ? ? ? ? cos? ? cos ? ? sin ? sin ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? cos? sin ?

任意角的正切公式推导

sin ? sin (? ? ?) ?? ?? ?) ( ? 当? ? ? ? ?时 tan cos ? cos (? ? ?)

sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

sin ? cos ? ? sin ? cos ? tan (? ? ?) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
当cos ? cos ? ? 0时,

分子分母同时除以cos?cos?
tan ? ? tan ? tan (? ? ?) ? 1 ? tan ? tan ?
tan (? ? ?)=?

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1- tan ? tan ?
上式中以??代?得

tan ? ? tan(? ? ) tanαtanβ tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tanαtanβ

tanα- tanβ ∴tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

两角和与差的正切公式

tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 - tan ? tan ? tan ? - tan ? tan(? - ? ) ? 1 ? tan ? tan ?
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱 ? tan( ?? ) 不 导公式来解。如:已知tan ? =2,求 2 能用公式 2?注意公式的结构,尤其是符号。

注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。

问:如何求cot(a+β)? 有关两角和差的余切问题,一般都是将它由同角公 式的倒数关系化为两角和差的正切,用公式来解决.

1 1- tanαtanβ cot(α+β)= = tan(α+β) tanα+ tanβ
1 1+ tanαtanβ cot(α-β)= = tan(α-β) tanα- tanβ

例题
1 t an? ? 例题1、已知 3 t an ? ? ?2
求下列三角比 (1) tan?? ? ? ? (2) cot?? ? ? ? 例题2、求值 (1) tan15?
?

( 2)

tan 75

例题3、运用两角和与差的正切公式 1 ? tan15。 计算 . 。 1- tan15
方法一: ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) tan 450 ? tan 300 ? 1 ? tan 450 tan 300 3 1? 3 ? 2? ? 3 1? 3 3 3

1? 2 ? 3 ? 原式 ? ? 1? (2- 3 )

1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 方法二: ? 。 1- tan15 1- tan 45。tan15。 ? tan(45。? 15。 ) ? tan 60。? 3

例题4、在等腰直角三角形ABC中

?C ? 90? , 点D, E分别为BC的三等分点,求 tan ?

tan ? , tan ?
? A

C

?

?

B

巩固与提高

(1) tan(? ? ? )(1- tan ? tan ? ) 1、化简: tan(? - ? ) ? tan ? (2) 1- tan(? - ? ) tan ?
答案:

(1)tanα+ tanβ

(2)tanα
2、求值: (1) tan71 - tan26 答案: (1) 1
o o

1+ tan71o tan26o
(2) -1

1- 3tan75o (2) o 3 + tan75

3、求下列各式的值:
1 ? tan 75? (1) 1 ? tan 75?
(2) tan17?+tan28?+tan17?tan28?

tan 45? ? tan 75? ? ? ? 解:1?原式= ? tan( 45 ? 75 ) ? tan 120 ?? 3 ? ? 1 ? tan 45 tan 75 ? ? tan 17 ? tan 28 2? ∵ tan( 17? ? 28? ) ? 1 ? tan17? tan 28?

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17? tan28?) =1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1

小结
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

变形:

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

回家作业
? 练习部分

习题5.4 A组 1(3),6,8 习题5.4 B组 3,4,5

5.4两角和差的余弦、正 弦和正切
(4)两角和差的正切公式(习题课)

复习
化简:(1)

tan(? - ? )+ tan? 1 - tan(? - ? )tan ?

tanα+ tanβ tan(α+β)= 1 - tanαtanβ tanα- tanβ tan(α-β)= 1+ tanαtanβ

答案:

(1)tanα

? 2 ? tan(? + ? )(1 - tan? tan ? ) (2)tanα+ tanβ ? 3?1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ?
(3)
公式变形:

tan ?? ? ? ?

tanα+ tanβ= tan(α+β)(1- tanαtanβ)
tanα- tanβ= tan(α-β)(1+ tanαtanβ)
tan? ? tan? (1 ? tanαtanβ)= tan(? ? ? )

例题1、求值

tan15? ? tan 30? ? tan15? tan 30?
??

例题2(1) 若A ? B

?

4 ( 1 ? tan1?)(1 ? tan 2?)(1 ? tan 3?)... ( 2)

, 求(tan A ? 1)(tan B ? 1)的值

(1 ? tan 43?)(1 ? tan 44?)(1 ? tan 45?) ? _______

tan ? , tan ? 例题3、 的两根
(1)求证:

是方程

3x ? 5 x ? 7 ? 0
2

2sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? 0

sin ?? ? ? ? (2)计算(a) cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?
(b) cos
2

?? ? ? ? ? 3sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ?

思考
已知关于x的方程mx 2 ? (2m ? 3) x ? (m ? 2) ? 0 (m ? 0)两根为 tan ? , tan ?

()求 1 m的取值范围

(2)求 tan(? ? ? )的最小值 m sin 2 (? ? ? ) ? (2m ? 3) sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? (m ? 2) cos 2 (? ? ? ) 的值

(3)求

填空题保留部分解答过程 1、已知若 tan ? ? ? 2、已知 ? ? ? ?

回家作业(共8题)
? ?

??

填空题保留部分解答过程

? ? 2 ,则 tan ? ? _________ 4?

?
4

,则 ?1 ? tan ? ??1 ? tan ? ? 的值为____________

cos15? ? sin15? 3、 =________________ ? ? cos15 ? sin15
4、 tan10 ? tan 50 ? 3 tan10 tan 50 ? ________________
? ? ? ?

5、已知 sin 30 ? ? ?
?

?

?

3 ,60 ? ? ? ? 150 ? ,则 tan ? 75? ? ? ? =____________ 5
2

6、已知 tan ? , tan ? 是方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 的两个根,求证 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? 7、在锐角三角形 ABC 中,求证 tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C 8、若锐角 ? ,? 满足 sin ? ?

5 26 3 , tan ? ? , 求 ? +? 的值 26 2


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