当前位置:首页 >> 数学 >>

已整理八年级数学培优资料word版(全年级全章节培优)


目录

第1讲 第2讲 第3讲 第4讲 第5讲 第6讲 第7讲 第8讲 第9讲 第 10 讲 第 11 讲 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 第 15 讲 第 16 讲 第 17 讲 第 18 讲 第 19 讲 第 20 讲 第 21 讲 第 22 讲 第 23 讲 第 24 讲 模拟测试一 模拟测试二 模拟测试三

全等三角形的性质与判定(P2----11) 角平分线的性质与判定(P12----16) 轴对称及轴对称变换(P17----24) 等腰三角形(P25----36) 等边三角形(P37----42) 实 数(P43----49) 变量与函数(P50----54) 一次函数的图象与性质(P55----63) 一次函数与方程、不等式(P64----68) 一次函数的应用(P69----80) 幂的运算(P81----86) 整式的乘除((P87----93) 因式分解及其应用(P94----100) 分式的概念?性质与运算(P101----108) 分式的化简 求值 与证明(P109----117) 分式方程及其应用(P118----125) 反比例函数的图像与性质(P126----138) 反比例函数的应用(P139----146) 勾股定理(P147-----157) 平行四边形(P158-----166) 菱形矩形(P167-----178) 正方形(P179-----189) 梯形(P190-----198) 数据的分析(P199-----209)

1

第 01 讲

全等三角形的性质与判定

考点·方法·破译
1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同; 2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、 角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等; 3.全等三角形判定方法有:SAS,ASA,AAS,SSS,对于两个直角三角形全等的判定方法, 除上述方法外,还有 HL 法; 4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角, 再根据选定的判定方法, 确定还需要证明 哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明; 5. .证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并 不全等, 这时需要添加辅助线构造全等三角形, 构造全等三角形常用的方法有: 平移、 翻折、 旋转、等倍延长线中线、截取等等.

经典·考题·赏析
【例1】如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90° ,AB=CD,那么图中有全等三角形( ) A.5 对 B.4 对 C.3 对 D.2 对 D A 【解法指导】从题设题设条件出发,首先找到比较明显的一 E 对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用的条件,从而推出 第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解:⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC=90. ∴∠DCB=90. B C F 在△ABC 和△DCB 中

AB ? DC ? ? ?∠ABC ? ∠DCB ? BC ? CB ?

∴△ABC≌∴△DCB(SAS ) ∴∠A=∠D

⑵在△ABE 和△DCE 中

? ∠A ? ∠D ? ?∠AED ? ∠DEC ? AB ? DC ?

∴△ABE≌∴△DCE

∴BE=CE

⑶在 Rt△EFB 和 Rt△EFC 中

? BE ? CE ? ? EF ? EF
∴Rt△EFB≌Rt△EFC(HL)故选 C. 【变式题组】 01. (天津)下列判断中错误的是( ) A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
2

02. (丽水)已知命题:如图,点 A、D、B、E 在同一条直线上,且 AD=BE,∠A=∠FDE, 则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,如果是真命题,请给出证明; 如果是假命题,请添加一个适当条件使它成为真命题,并加以证明. C

A

D

B

E

F 03.(上海)已知线段 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 AB、DC,E 为 OB 的中点,F 为 OC 的中 点,连接 EF(如图所示). ⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC; ⑵分别将“∠A=∠D”记为①, “∠OEF=∠OFE”记为②, “AB=DC”记为③,添加 ①、③,以②为结论构成命题 1;添加条件②、③,以① A D 为结论构成命题 2.命题 1 是______命题, 命题 2 是_______ 命题(选择“真”或“假”填入空格). E O F

B

C

【例2】已知 AB=DC,AE=DF,CF=FB. 求证:AF=DE. 【解法指导】 想证 AF=DE, 首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中,而 DE 在△CDE 和△DEF 中,因而只需证明△ABF≌△DCE 或△AEF≌△DFE 即可.然 后再根据已知条件找出证明它们全等的条件. 证明:∵FB=CE ∴FB+EF=CE+EF,即 BE=CF A D

? AB ? DC ? 在△ABE 和△DCF 中, ? AE ? DF ? BE ? CF ?
∴△ABE≌△DCF(SSS) ∴∠B=∠C C E F B

? AB ? DC ? 在△ABF 和△DCE 中, ?∠B ? ∠C ? BF ? CE ?

∴△ABF≌△DCE ∴AF=DE

【变式题组】 01.如图,AD、BE 是锐角△ABC 的高,相交于点 O,若 BO=AC,BC=7,CD=2,则 AO 的长为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

3

A E B

A D C C 第 2 题图 E

O B 第 1 题图 D

02.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90° ,AE 是过 A 点的一条直线,AE⊥CE 于 E, BD⊥AE 于 D,DE=4cm,CE=2cm,则 BD=__________. \ 03. (北京)已知:如图,在△ABC 中,∠ ACB=90° ,CD⊥AB 于点 D,点 E 在 AC 上,CE =BC,过点 E 作 AC 的垂线,交 CD 的延长线于点 F. 求证:AB=FC. F

B D A E C

【例3】如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC 和△DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合,把△ DEF 绕点 B 顺时针方向旋转,这时 AC 与 DF 相交于点 O. ⑴当△DEF 旋转至如图②位置,点 B(E) 、C、D 在同一直线上时,∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________; ⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时, ⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________. A C B D 图① A E B(E) F F O C 图② D B(E) C 图③ D A

F

【解法指导】⑴∠AFD=∠DCA ⑵∠AFD=∠DCA 理由如下: 由△ABC≌△DEF, ∴AB=DE, BC=EF, ∠ABC=∠DEF, ∠BAC=∠EDF ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠CBF, ∴∠ABF=∠DEC

AB ? DE ? ? 在△ABF 和△DEC 中, ?∠ABF ? ∠DEC ? BF ? EC ?
∴△ABF≌△DEC ∠BAF=∠DEC ∴∠BAC-∠BAF=∠EDF-∠EDC, ∴∠FAC= ∠CDF ∵∠AOD=∠FAC+∠AFD=∠CDF+∠DCA ∴∠AFD=∠DCA
4

【变式题组】 01. (绍兴)如图,D、E 分别为△ABC 的 AC、BC 边的中点,将此三角形沿 DE 折叠,使 点 C 落在 AB 边上的点 P 处.若∠CDE=48° ,则∠APD 等于( ) A.42° B.48° C.52° D.58° 02. 如图, Rt△ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到△DEF, 下列结论中错误的是 ( ) A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90° C. AC=DF D.EC=CF C A D A E G D

P 第 1 题图

B

B

E

第 2 题图

C

F

03.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下 图形式,使点 B、F、C、D 在同一条直线上. ⑴求证:AB⊥ED; ⑵若 PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明. A A E C E M F B B F C D P N

D

【例4】 (第 21 届江苏竞赛试题)已知,如图,BD、CE 分别是△ABC 的边 A C 和 AB 边上的高,点 P 在 BD 的延长线,BP=AC,点 Q 在 CE 上,CQ=AB. 求证:⑴ AP=AQ; ⑵AP⊥AQ 【解法指导】证明线段或角相等,也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察,证 AP=AQ,也就是证△APD 和△AQE,或△APB 和△QAC 全等,由已知条件 BP=AC,CQ= AB,应该证△APB≌△QAC,已具备两组边对应相等,于是再证夹角∠1=∠2 即可. 证 AP ⊥AQ,即证∠PAQ=90° ,∠PAD+∠QAC=90° 就可以. 证明:⑴∵BD、CE 分别是△ABC 的两边上的高, ∴∠BDA=∠CEA=90° , ∴∠1+∠BAD=90° ,∠2+∠BAD=90° ,∴∠1=∠2. A E
1

P D

F Q

? AB ? QC ? 在△APB 和△QAC 中, ?∠1 ? ∠2 ? BP ? CA ?
∴AP=AQ
5

B ∴△APB≌△QAC,

2 C

⑵∵△APB≌△QAC,∴∠P=∠CAQ, ∴∠P+∠PAD=90° ∵∠CAQ+∠PAD=90° ,∴AP⊥AQ 【变式题组】 01.如图,已知 AB=AE,∠B=∠E,BA=ED,点 F 是 CD 的中点,求证:AF⊥CD. A B E

C F 02. (湖州市竞赛试题)如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂 直距离 MA 为 am,此时梯子的倾斜角为 75° ,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙 上,此时梯子顶端距地面的垂直距离 NB 为 bm,梯子倾斜角为 45° ,这间房子的宽度是 ( ) A.

D

a?b m 2

B.

a ?b m 2
B

C.bm C

D.am

M N

D 75° 45° C 第 2 题图

A

B

A 第 3 题图

E

03.如图,已知五边形 ABCDE 中,∠ ABC=∠AED=90° ,AB=CD=AE=BC+DE=2, 则五边形 ABCDE 的面积为__________

演练巩固·反馈提高
01. (海南)已知图中的两个三角形全等,则∠α 度数是( A.72° B.60° C.58° D.50° 50° a c a α
/



A/ B B/
/

A C O

A P B D 第 3 题图

58°

72° b 第 1 题图
/ / /

c

第 2 题图

C

02.如图,△ACB≌△A C B ,∠ BCB =30° ,则∠ACA 的度数是( ) A.20° B.30° C.35° D.40° 03. (牡丹江)尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下:以 O 为圆心,任意长为半径画弧交 OA、OB 于 C、D,再分别以点 C、D 为圆心,以大于

1 CD 长为半径画弧,两弧交于 2


点 P,作射线 OP,由作法得△OCP≌△ODP 的根据是(
6

A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 04. (江西)如图,已知 AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC 的是( ) A. CB=CD B.∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90° D A B 第 4 题图 C C A 第 5 题图 B E D D N C 第 6 题图 E B 1 M 2 A

05.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起, 将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当 A、B、D 不在一条直线上时,下面的结论 不正确的是( ) A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE=∠CBD C. ∠ABC=∠EBD=45° D. AC∥BE 06.如图,△ABC 和共顶点 A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E. BC 交 AD 于 M,DE 交 AC 于 N,小华说: “一定有△ABC≌△AED.”小明说: “△ABM≌△AEN.”那么( ) A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对 07.如图,已知 AC=EC, BC=CD, AB=ED,如果∠BCA=119°,∠ACD=98°,那么∠ECA 的度数是___________. 08.如图,△ABC≌△ADE,BC 延长线交 DE 于 F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC= 10°,则∠DFB 的度数为_______. 09. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , DE⊥AB 于 D, BC=BD. AC=3, 那么 AE+DE=______ E D A E C 第 7 题图 B D F O A C B A D E 第 9 题图 C B B A E 第 10 题图 C D

第 8 题图

10.如图,BA⊥AC, CD∥AB. BC=DE,且 BC⊥DE,若 AB=2, CD=6,则 AE=_____. 11.如图, AB=CD, AB∥CD. BC=12cm,同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发,沿 CB 方向 爬行, P 的速度是 0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时, △APB≌△QDC. A P Q D B

.

.
C

7

12.如图, △ABC 中,∠BCA=90°,AC=BC,AE 是 BC 边上的中线,过 C 作 CF⊥AE, 垂足为 F,过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D. A ⑴求证:AE=CD; D ⑵若 AC=12cm, 求 BD 的长. F C E 13. (吉林)如图,AB=AC,AD⊥BC 于点 D,AD 等于 AE,AB 平分∠DAE 交 DE 于点 F, 请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明. E F B D C A B

14.如图,将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上,从另两个顶点 A、B 分别 作 l 的垂线,垂足分别为 D、E. ⑴找出图中的全等三角形,并加以证明; E C D ⑵若 DE=a,求梯形 DABE 的面积.(温馨提示:补形法) A 15.如图,AC⊥BC, AD⊥BD, AD=BC,CE⊥AB,DF⊥AB, 垂足分别是 E、F.求证:CE=DF. B C D

l

A

E

F

B

16.我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么 情况下,它们会全等? ⑴阅读与证明: 对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等; 对于这两个三角形均为钝角三角形,可证明它们全等(证明略) ; 对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下; 已知△ABC、 △A1B1C1 均为锐角三角形, AB=A1B1, BC=B1C1, ∠C=∠C1.求证: △ABC ≌△A1B1C1.(请你将下列证明过程补充完整) B B1

C

D

A

C1

D1

A1

⑵归纳与叙述:由⑴可得一个正确结论,请你写出这个结论.

8

培优升级·奥赛检测
01.如图,在△ABC 中,AB=AC,E、F 分别是 AB、AC 上的点,且 AE=AF,BF、CE 相 交于点 O,连接 AO 并延长交 BC 于点 D,则图中全等三角形有( ) A.4 对 B.5 对 C.6 对 D.7 对 A E O B D 第 1 题图 C O F D E B B A D F 2 第 3 题图 3 C A E A E 2 1 N F 第 6 题图 B C

1

M

C 第 2 题图

02.如图,在△ABC 中,AB=AC,OC=OD,下列结论中:①∠A=∠B ②DE=CE,③连 接 DE, 则 OE 平分∠AOB,正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 03.如图,A 在 DE 上,F 在 AB 上,且 AC=CE , ∠1=∠2=∠3, 则 DE 的长等于() A.DC B. BC C. AB D.AE+AC 04.下面有四个命题,其中真命题是( ) A.两个三角形有两边及一角对应相等,这两个三角形全等 B.两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等 05.在△ABC 中,高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点,且 BH=AC,则∠ABC=_______. 06.如图,EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N,∠E=∠F=90° ,∠B=∠ C, AE=AF. 给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD=DB, 其中正确的结论有___________.(填序号) 07.如图,AD 为在△ABC 的高,E 为 AC 上一点,BE 交 AD 于点 F,且有 BF=AC,FD= CD. ⑴求证:BE⊥AC; ⑵若把条件“BF=AC”和结论“BE⊥AC”互换,这个命题成立吗?证明你的判定. A F B E

D

C

08.如图,D 为在△ABC 的边 BC 上一点,且 CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的 中线.求证:AC=2AE. A

B

E

D

C

9

09.如图,在凸四边形 ABCD 中,E 为△ACD 内一点,满足 AC=AD,AB=AE, ∠BAE+ ∠BCE=90° , ∠BAC=∠EAD.求证:∠CED=90° . B E D C

A

10. (沈阳)将两个全等的直角三角形 ABC 和 DBE 按图①方式摆放,其中∠ACB=∠DEB =90° ,∠A=∠D=30° ,点 E 落在 AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. ⑴求证:AF+EF=DE; ⑵若将图①中△DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 α, 且 0° <α<60°, 其他条件不变, 请在图②中画出变换后的图形,并直接写出(1)中结论是否仍然成立; ⑶若将图①中△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 β, 且 60° <β<180°,其他条件不 变,如图③你认为(1)中结论还成立吗?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出 此时 AF、EF 与 DE 之间的关系,并说明理由。 D B E C F 图① A C 图② A F D C 图③ A B E B

11. (嵊州市高中提前招生考试)⑴阅读理解:课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题: 在△ABC 中,AB=5,AC=13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值范 A 围. 小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长 AD 到 E,使得 DE=AD,再连接 BE,把 AB、AC、2AD 集中在 B C D △ABE 中,利用三角形的三边关系可得 2<AE<8,则 1<AD <4. E 感悟:解题时,条件中若出现“中点” “中线”等条件,可 以考虑中线加倍, 构造全等三角形, 把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三 角形中. ⑵问题解决:受到⑴的启发,请你证明下面命题:如图,在△ABC 中,D 是 BC 边 上的中点,DE⊥DF,DE 交 AB 于点 E,DF 交 AC 于点 F,连接 EF. 求证:BE+CF>EF; A E B D F C

10

⑶问题拓展: 如图, 在四边形 ABDC 中, ∠B+∠C=180° , DB=DC, ∠BDC=120° , 以 D 为顶点作一个 60° 角,角的两边分别交 AB、AC 于 E、F 两点,连接 EF,探索线 段 BE、CF、EF 之间的数量关系,并加以证明. A E B D 12. (北京)如图,已知△ABC. ⑴请你在 BC 边上分别取两点 D、E(BC 的中点除外) ,连接 AD、AE,写出使此 图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件,并表示出面积相等的三角形; ⑵请你根据使⑴成立的相应条件,证明:AB+AC>AD+AE. A F C

B

C

13.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=180° . AH⊥AH 于 H,HA 的延长线交 DE 于 G. 求证:GD=GE. G D E A B C

H

14. 已知, 四边形 ABCD 中, AB⊥AD, BC⊥CD, BA=BC, ∠ABC=120° , ∠MBN=60° , ∠MBN 绕 B 点旋转,它的两边分别交 AD、DC(或它们的延长线)于 E、F. 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时,如图 1,易证:AE+CF=EF; (不需证明) 当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF 时,如图 2 和图 3 中这两种情况下,上述结论是 否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,线段 AE、CF、EF 又有怎样的数量关系? 请写出你的猜想,不需证明. A B E M D N B A E M D N图2 B F N C 图3 D E M A

C F 图1

C F

11

第 02 讲
考点·方法·破译

角平分线的性质与判定

1.角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 2.角平分线的判定定理:角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 3.有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析
【例1】如图,已知 OD 平分∠AOB,在 OA、OB 边上截取 OA=OB,PM⊥BD,PN ⊥AD.求证:PM=PN 【解法指导】由于 PM⊥BD,PN⊥AD.欲证 PM=PN 只需∠3=∠4,证∠3=∠4,只 需∠3 和∠4 所在的△OBD 与△OAD 全等即可. 证明:∵OD 平分∠AOB ∴∠1=∠2 B M

?OB ? OA ? 在△OBD 与△OAD 中, ??1 ? ?2 ?OD ? OD ?

∴△OBD≌△OAD

O

1 2

P A

3 4

D

N

∴∠3=∠4 ∵PM⊥BD,PN⊥AD 所以 PM=PN 【变式题组】 01.如图,CP、BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM、∠CBN.求证:点 P 在∠BAC 的平分线 上. M P C

A

B N

02.如图,BD 平分∠ABC,AB=BC,点 P 是 BD 延长线上的一点,PM⊥AD,PN⊥CD. 求证:PM=PN

A M B DN P C

12

【例2】 (天津竞赛题)如图,已知四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE⊥AB 于点 E, 且 AE=

1 (AB+AD),如果∠D=120°,求∠B 的度数 2 1 (AB+AD)得 DF=EB, 于是可证△CFD≌△CEB, 则∠B=∠CDF=60°. 2

【解法指导】由已知∠1=∠2,CE⊥AB,联想到可作 CF⊥AD 于 F,得 CE=CF,AF =AE, 又由 AE=

或者在 AE 上截取 AM=AD 从而构造全等三角形. 解:过点 C 作 CF⊥AD 于点 F.∵AC 平分∠BAD,CE⊥AB,点 C 是 AC 上一点, ∴CE=CF A

D

C

?CF ? CE 在 Rt△CFA 和 Rt△CEA 中, ? ? AC ? AC
又∵AE=

E

B

∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF=AE

1 (AE+BE+AF-DF),2AE=AE+AF+BE-DF,∴BE=DF 2
D
1 2

∵CF⊥AD,CE⊥AB,∴∠F=∠CEB=90°

F C

?CE ? CF ? 在△CEB 和△CFD 中, ??F ? ?CEB ,∴△CEB≌△CFD ? DF ? BE ?
∴∠B=∠CDF 【变式题组】

A

E B

又∵∠ADC=120°,∴∠CDF=60°,即∠B=60°.

01.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB,AC=5,BC=3.求

S?ACD S?CBD
A

C

D

B

02.(河北竞赛)在四边形 ABCD 中,已知 AB=a,AD=b.且 BC=DC,对角线 AC 平分∠ BAD, 问 a 与 b 的大小符合什么条件时, 有∠B+∠D=180°, 请画图并证明你的结论.

【例3】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BE 平分∠ABC,CE⊥BE.求证: CE=

1 BD 2

【解法指导】由于 BE 平分∠ABC,因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而 构造全等三角形. 证明:延长 CE 交 BA 的延长线于 F,∵∠1=∠2,BE=BE,∠BEF=∠BEC ∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE=EF, ∴CE= ∴∠1=∠3
??1 ? ?3 在△ABD 和△ACF 中, ? AB ? AC ,∴△ABD≌△ACF ? ??BAD ? ?CAF ?

1 CF 2

∵∠1+∠F=∠3+∠F=90°,
F A E
1 2

D

3

∴BD=CF

1 ∴CE= BD 2
13

B

C

【变式题组】 01.如图,已知 AC∥BD,EA、EB 分别平分∠CAB、∠DBA,CD 过点 E,求证:AB=AC +BD. E C
A B

D

02.如图,在△ABC 中,∠B=60°,AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F. ⑴请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系,并说明理由; B ⑵求证:AE+CD=AC.

E A

F

D C

演练巩固·反馈提高
01.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,若 CD=n,AB=m, 则△ABD 的面积是( ) A.

1 mn 3

B.

1 mn 2

C. mn

D.2 mn

02.如图,已知 AB=AC,BE=CE,下面四个结论:①BP=CP;②AD⊥BC;③AE 平分∠ BAC;④∠PBC=∠PCB.其中正确的结论个数有( )个 A. 1 B.2 C.3 D.4 03.如图,在△ABC 中,P、Q 分别是 BC、AC 上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是 R、S.若 AQ=PQ,PR=PS,下列结论:①AS=AR;②PQ∥AR;③△BRP≌△CSP.其 中正确的是( ) A. ①③ B.②③ C.①② D.①②③ A A E B
A D B B
第1题图

P D
第2题图

R

A
P

C
A Q
第3题图

E
S C

F D
第4题图

C

E

B

C

C

第5题图

B

04.如图,△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是 E、F, 则下列四个结论中:①AD 上任意一点到 B、C 的距离相等;②AD 上任意一点到 AB、 AC 的距离相等;③AD⊥BC 且 BD=CD;④∠BDE=∠CDF.其中正确的是( ) A.②③ B.②④ C.②③④ D.①②③④ 05.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,∠ACB 的平分线与∠ABC 的外 角平分线交于 E 点,则∠AEB 的度数为( ) A.50° B.45° C.40° D.35° 06.如图,P 是△ABC 内一点,PD⊥AB 于 D,PE⊥BC 于 E,PF⊥AC 于 F,且 PD=PE= PF,给出下列结论:①AD=AF;②AB+EC=AC+BE;③BC+CF=AB+AF;④点 P

14

是△ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是( ) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 07.如图,点 P 是△ABC 两个外角平分线的交点,则下列说法中不正确的是( ) A.点 P 到△ABC 三边的距离相等 B.点 P 在∠ABC 的平分线上 C.∠P 与∠B 的关系是:∠P+

1 1 ∠B=90° D.∠P 与∠B 的关系是:∠B= ∠P 2 2
A

A D P B E
第6题图

E
F CB

A

K
D
E

A C

P F B
C 第8题图 E

A
C D B

Q N M

第7题图

第9题图

B

第10题图 C

08.如图,BD 平分∠ABC,CD 平分∠ACE,BD 与 CD 相交于 D.给出下列结论:①点 D 到 AB、AC 的距离相等;②∠BAC=2∠BDC;③DA=DC;④DB 平分∠ADC.其中正 确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 09.如图,△ABC 中,∠C=90°AD 是△ABC 的角平分线,DE⊥AB 于 E,下列结论中: ①AD 平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③ DE 平分∠ADB;④AB=AC+BE.其中正确 的个数有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.4 个 10.如图,已知 BQ 是∠ABC 的内角平分线,CQ 是∠ACB 的外角平分线,由 Q 出发,作点 Q 到 BC、AC 和 AB 的垂线 QM、QN 和 QK,垂足分别为 M、N、K,则 QM、QN、QK 的关系是_________ 11.如图,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F,且 DB=DC.求证:BE= CF E
D B A F C

12.如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.求证: AD⊥EF.
A

E B D

O

F C

15

培优升级·奥赛检测
01.如图,直线 l1、l2、l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条 公路的距离相等,则可选择的地址有( ) A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 02.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交 BC 于 D,若 BC=32,且 BD:CD= 9:7,则 D 到 AB 边的距离为( ) A.18 B.16 C.14 D.12 03.如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的平分线,有一个动点 P 从 A 向 B 运动. 已知:DC=3cm,DB=4cm,AD=8cm.DP 的长为 x(cm),那么 x 的范围是__________ E B A B A

l1

C

D

l2 l3
第1题图

P
B

F D

E

O
第5题图

A

第3题图

P

C

第4题图

G

C

D

04.如图,已知 AB∥CD,PE⊥AB,PF⊥BD,PG⊥CD,垂足分别为 E、F、G,且 PF= PG=PE,则∠BPD=__________ 05.如图,已知 AB∥CD,O 为∠CAB、∠ACD 的平分线的交点,OE⊥AC,且 OE=2,则 两平行线 AB、CD 间的距离等于__________ 06.如图,AD 平分∠BAC,EF⊥AD,垂足为 P,EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G. 求证:∠G=

1 (∠ACB-∠B) 2
E B D P

A

F C G

07.如图,在△ABC 中,AB>AC,AD 是∠BAC 的平分线,P 为 AC 上任意一点.求证:AB-AC >DB-DC
A

P

B

D

C

08.如图,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠ACB=40°,P、Q 分别在 BC、AC 上,并且 AP、 BQ 分别为∠BAC、∠ABC 的角平分线上.求证:BQ+AQ=AB+BP
A Q

B

P

C

16

第3讲
考点·方法·破译

轴对称及轴对称变换

1.轴对称及其性质 把一个图形沿着某一条直线折叠, 如果它能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形 关于这条直线成轴对称,这条直线叫对称轴. 轴对称的两个图形有如下性质: ①关于某直线对称的两个图形是全等形; ②对称轴是任 何一对对应点所连线段的垂直平分线; ③两个图形关于某条直线对称, 如果它们的对应线段 或延长线相交,那么交点在对称轴上. 2.线段垂直平分线 线段垂直平分线也叫线段中垂线,它反映了与线段的两种关系:①位置关系——垂直; ②数量关系——平分. 性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 3.当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高(或垂线) 、或求几条折线段的最小 值等情况时,通常考虑作轴对称变换,以“补齐”图形,集中条件.

经典·考题·赏析
【例1】 (兰州)如图所示,将一张正方形纸片对折两次,然后在上面打 3 个洞,则纸 片展开后是( )

【解法指导】对折问题即是轴对称问题,折痕就是对称轴.故选 D. 【变式题组】 01.将正方形纸片两次对折,并剪出一个菱形小洞后铺平,得到的图形是( )

02. (荆州)如图,将矩形纸片 ABCD 沿虚线 EF 折叠,使点 A 落在点 G 上,点 D 落在点 H 上;然后再沿虚线 GH 折叠,使 B 落在点 E 上,点 C 落在点 F 上,叠完后,剪一个直 径在 BC 上的半圆,再展开,则展开后的图形为( )

17

【例 2】 (襄樊)如图,在边长为 1 的正方形网格中,将△ABC 向右平移两个单位长度 得到△A’B’C’,则与点 B’关于 x 轴对称的点的坐标是( ) A. (0,-1) B. (1,1) C. (2,-1) D. (1, -1) 【解法指导】在△ABC 中,点 B 的坐标为(-1,1) ,将△ ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’C’,由点的坐标平移规律 可得 B’(-1+2,1) ,即 B’(1,1).由关于 x 轴对称的点的 坐标的规律可得点 B’关于 x 轴对称的点的坐标是(1,-1) ,故 应选 D. 【变式题组】 01.若点 P(-2,3)与点 Q(a,b)关于 x 轴对称,则 a、b 的值分别是( ) A.-2,3 B.2,3 C.-2,-3 D.2,-3 02.在直角坐标系中,已知点 P(-3,2) ,点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点,将点 Q 向右平 移 4 个单位得到点 R,则点 R 的坐标是___________. 03. (荆州)已知点 P(a+1,2a-1)关于 x 轴的对称点在第一象 限,则 a 的取值范围为___________. 【例 3】如图,将一个直角三角形纸片 ABC(∠ACB=90°) , 沿线段 CD 折叠,使点 B 落在 B1 处,若∠ACB1=70°,则∠ACD =( ) A.30° B.20° C.15° D.10° 【解法指导】由折叠知∠BCD=∠B1CD.设∠ACD=x,则∠BCD=∠B1CD=∠ACB1+ ∠ACD=70°+x.又∠ACD+∠BCD=∠ACB,即 x+(70°+x)=90°,故 x=10°.故 选 D. 【变式题组】 01. (东营)如图,把一个长方形纸片沿 EF 折叠后,点 D、C 分别落在点 D’、C’的位置. 若∠EFB=65°,则∠AED’等于( ) A.70° B.65° C.50° D.25° 02.如图,△ABC 中,∠A=30°,以 BE 为边,将此三角形对折,其次,又以 BA 为边, 再一次对折,C 点落在 BE 上,此时∠CDB=82°,则原三角形中∠B=___________.

18

03. (江苏)⑴观察与发现:小明将三角形纸片 ABC(AB>AC)沿过点 A 的直线折叠,使 得 AC 落在 AB 边上,折痕为 AD,展平纸片(如图①) ;再次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF,展平纸片后得到△AEF(如图②).小明认为△AEF 是等腰 三角形,你同意吗?请说明理由. ⑵实践与运用: 将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠, 使点 A 落在 BC 边上的点 F 处, 折痕为 BE (如图③) ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点 D’处,折痕为 EG(如 图④) ;再展平纸片(如图⑤).求图⑤中∠α 的大小.

【例 4】如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,EF 是 AD 的垂直平分线,E 为垂 足,EF 交 BC 的延长线于点 F,求证:∠B=∠CAF. 【解法指导】∵EF 是 AD 的中垂线,则可得△AEF ≌△DEF,∴∠EAF=∠EDF.从而利用角平分线的定 义与三角形的外角转化即可. 证明:∵EF 是 AD 的中垂线,∴AE=DE,∠AEF =∠DEF ,EF= EF ,∴△ AEF≌△DEF ,∴∠2 +∠ 4 =∠3,∴∠3=∠B+∠1,∴∠2+∠4=∠B+∠1,∵ ∠1=∠2,∴∠B=∠4 【变式题组】 01.如图,点 D 在△ABC 的 BC 边上,且 BC=BD+AD,则点 D 在__________的垂直平分 线上.

02.如图,△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=15°,DE⊥AC 于 E,且 AE=EC,若 AB=3cm, 则 DC=___________cm. 03.如图,△ABC 中,∠BAC=126°,DE、FG 分别为 AB、AC 的垂直平分线,则∠EAG =___________.

19

04.△ABC 中,AB=AC,AB 边的垂直平分线交 AC 于 F,若 AB=12cm,△BCF 的周长为 20cm,则△ABC 的周长是___________cm. 【例 5】 (眉山)如图,在 3?3 的正方形格点图中,有格点△ABC 和△DEF,且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称,请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF.

【解法指导】在正方形格点图中,如果已知条件中没有给对称轴,在找对称轴时,通常 找图案居中的水平直线、 居中的竖直直线或者斜线作为对称轴. 若以图案居中的水平直线为 对称轴, 所作的△DEF 如图①②③所示;若以图案居中的竖直直线为对称轴,所作的△DEF 如图④所示;若以图案居中的斜线为对称轴,所作的△DEF 如图⑤⑥所示.

【变式题组】 01. (泰州)如图,在 2?2 的正方形格点图中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找 出格点图中所有与△ ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有 ___________个. 02. (绍兴)如图甲,正方形被划分成 16 个 全等的三角形,将其中若干个三角形涂黑, 且满足下列条件: ⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半; ⑵涂黑部分成轴对称图形. 如图乙是一种涂法, 请在图 1-3 中分别设计另外三种涂法. (在所 设计的图案中,若涂黑部分全等,则认为是同一种不同涂法, 如图乙与图丙)

【例 6】如图,牧童在 A 处放牛,其家在 B 处,若牧童从 A 处出发牵牛到河岸 CD 处饮 水后回家,试问在何处饮水,所求路程最短? 【解法指导】⑴所求问题可转化为 CD 上取一点 M,使其 AM +BM 为最小;⑵本题利用轴对称知识进行解答. 解:先作点 A 关于直线 CD 的对称点 A’,连接 A’B 交 CD 于 点 M,则点 M 为所求,下面证明此时的 AM+BM 最小. 证明:在 CD 上任取与 M 不重合的点 M’, ∵AA’关于 CD 对称,∴CD 为线段 AA’的中垂线, ∴AM=A’M,M’=A’M’,在△A’M’B 中,有 A’B< A’M’+BM’, ∴A’M+BM<A’M’+BM’,∴AM+BM<AM’+BM’,
20

即 AM+BM 最小. 【变式题组】 01. (山西)设直线 l 是一条河,P、Q 两地相距 8 千米,P、Q 两地到 l 地距离分别为 2 千 米、5 千米,欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站向 P、Q 两地供水.现在如下四种铺 设管道方案,图中的实线表示辅设的管道,则铺设的管道最短的是( )

02.若点 A、B 是锐角∠MON 内两点,请在 OM、ON 上确定点 C、点 D,使四边形 ABCD 周长最小,写出你作图的主要步骤并标明你确定的点.

演练巩固·反馈提高
01. (黄冈)如图,△ABC 与△A’B’C’关于直线 l 对称,且∠A=78°,∠C’=48°, 则∠B 的度数是( ) . A.48° B.54° C.74° D.78°

02. (泰州)如图,把一张长方形纸片对折,折痕为 AB,再以 AB 的中点 O 为顶点把平角∠ AOB 三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以 O 为顶点的等腰三 角形,那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是( ) A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 03. 图 1 是四边形纸片 ABCD, 其中∠B=120°, ∠D=50°, 若将其右下角向内折出△PCR, 恰使 CP∥AB,RC∥AD,如图 2 所示,则∠C=( ) A.80° B.85° C.95° D.110°

21

04. 如图, 阴影部分组成的图案既是关于 x 轴成轴对称的图形又是关于 y 轴成轴对称的图形, 若点 A 的坐标是(1,3) ,则点 M 和点 N 的坐标分别是( ) A.M(1,-3) ,N(-1,-3) B.M(-1,-3) ,N(-1,3) C.M(-1,-3) ,N(1,-3) D.M(-1,3) ,N(1,-3) 05.点 P 关于 x 轴对称的对称点 P’的坐标是(-3,5) ,则点 P 关于 y 轴对称的对称点的 坐标是( ) A. (3,-5) B. (-5,3) C. (3,5) D. (5,3) 06.已知 M(1-a,2a+2)关于 y 轴对称的点在第二象限,则 a 的取值范围是( ) A.-1<a<1 B.-1≤a≤1 C.a>1 D.a>-1 07. (杭州)如图,镜子中号码的实际号码是___________. 2 08. (贵阳)如图,正方形 ABCD 的边长为 4cm,则图中阴影部分的面积为___________cm . 09.已知点 A(2a+3b,-2)和 B(8,3a+2b)关于 x 轴对称,则 a+b=___________. 10.如图,在△ABC 中,OE、OF 分别是 AB、AC 中垂线,且∠ABO =20°,∠ABC=45°,求∠BAC 和∠ACB 的度数.

11.如图,C、D、E、F 是一个长方形台球桌的 4 个顶点,A、B 是桌面上的两个球,怎样 击打 A 球,才能使 A 球撞击桌面边缘 CF 后反弹能够撞击 B 球?请画出 A 球经过的路 线,并写出作法.

12.如图,P 为∠ABC 的平分线与 AC 的垂直平分线的交点,PM⊥BC 于 M,PN⊥BA 的延 长线于 N.求证:AN=MC.

13. (荆州)有如图“

”的 8 张纸条,用每 4 张拼成一个正方形图案,拼成的正方形

的每一行和每一列中,同色的小正方形仅为 2 个 ,且使每个正方形图案都是轴对称图 形,在网格中画出你拼成的图. (画出的两个图案不能全等)

22

培优升级·奥赛检测
01. (浙江竞赛试题)如图,直线 l1 与直线 l2 相交,∠α =60°, 点 P 在∠α 内(不在 l1l2 上) .小明用下面的方法作 P 的对称 点:先以 l1 为对称轴作点 P 关于 l1 的对称点 P1,再以 l2 为对称 轴作 P1 关于 l2 的对称点 P2,然后再以 l1 为对称轴作 P2 关于 l1 的对称点 P3,以 l2 为对称轴作 P3 关于 l2 的对称点 P4,??如 此继续,得到一系列 P1、P2、P3??Pn 与 P 重合,则 n 的最小 值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 02.在平面直角坐标系中,直线 l 过点 M(3,0) ,且平行于 y 轴. ⑴如果△ABC 三个顶点的坐标分别是 A(-2,0) ,B(-1,0) ,C(-1,2) ,△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1,△A1B1C1 关于直线 l 的对称图形是△A2B2C2,写出△ A2B2C2 的三个顶点的坐标; ⑵如果点 P 的坐标是(-a,0) ,其中 a>0,点 P 关于 y 轴的对称点是点 P1,点 P1 关 于直线 l 的对称点是 P2,求 PP2 的长.

03. (荆州)某住宅小区拟栽种 12 棵风景树,若想栽成 6 行,每行 4 棵,且 6 行树所处位置 连成线后能组成精美的对称图案, 请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方 案.

04. (宜昌)已知:如图,AF 平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为 E,点 D 与点 A 关于点 E 对称, PB 分别与线段 CF、AF 相交于 P、M. ⑴求证:AB=CD; ⑵若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F 与∠MCD 的数量 关系,并说明理由.

23

05.在△ABC 中,∠BAC=90°,点 A 关于 BC 边的对称点为 A’,点 B 关于 AC 边的对称 点为 B’,点 C 关于 AB 边的对称点为 C’,若 S△ABC=1,求 S△A’B’C’.

06. (湖州市竞赛试题)小王同学在小组数学活动中,给本小组出了这样一道“对称跳棋” 题:如图,在作业本上画一条直线 l,在直线 l 两边各放一粒围棋子 A、B,使线段 AB 长 a 厘米,并关于直线 l 对称,在图中 P1 处有一粒跳棋子,P1 距 A 点 b 厘米、与直线 l 的距离 C 厘米,按以下程序起跳:第 1 次,从 P1 点以 A 为对称中心跳至 P2 点;第 2 次, 从 P2 点以 l 为对称轴跳至 P3 点;第 3 次,从 P3 点以 B 为对称中心跳至 P4 点;第 4 次, 从 P4 以 l 为对称轴跳至 P1 点; ⑴画出跳棋子这 4 次跳过的路径并标注出各点字母; (画图工具不限) ⑵棋子按上述程序跳跃 2011 次后停下,假设 a=8,b=6,c=3,计算这时它与 A 的距 离是多少?

07. (湖州)如图,已知平面直角坐标系,A、B 两点的坐标分别为 A(2,-3) ,B(4,-1) . ⑴若 P(p,0)是 x 轴上的一个动点,则当 p=___________时,△PAB 的周长最短; ⑵若 C(a,0) ,D(a+3,0)是 x 轴上的两个动点,则当 a=___________时 ,四边 形 ABCD 的周长最短; ⑶设 M、N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点,请问:是否存在这样的点 M(m,0) 、N(0, n) , 使四边形 ABMN 的周长最短?若存在, 请求出 m=___________, n=___________ (不必写解答过程) ;若不存在,请说明理由.

24

第4讲
考点·方法·破译

等腰三角形

1.等腰三角形及其性质 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,等腰三角形是轴对称图形,因此它的性质有: ⑴等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) ;⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中 线、底边上的高互相重合(即等腰三角形三线合一) 2.等腰三角形的判定 证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是: ⑴从定义入手, 证明一个三角形有两条边 相等;⑵从角入手,证明一个三角形有两个角相等,依据是等腰三角形判定定理;等角对等 边. 3.构造等腰三角形的常用方法 ⑴角平分线+平行线=等腰三角形 ⑵角平分线+垂线(或高)=等腰三角形 ⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形
1 2 1 3 2
(1) (2) (3)

2 1
(4)

经典·考题·赏析
等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 40 ,则这个等腰三角形的 底角为________________. 【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高, 则要分别考虑三角形的高是在三角形的外, 三角形内的情况. 0 0 解:如图 1,当一腰上的高在三角形内时,∠ACD=40 ,∴∠A=50 ∴∠B=∠ACB=错误!未找到引用源。 0 0 如图 2,当一腰上的高在三角形外时,∠ACD=40 ,∠DAC=50 ∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B 0 0 0 ∴∠B=∠ACB=25 ,故填 65 或 25 .
A D A D B C B C

【例1】

0

图1

图2

【变式题组】 01. (呼和浩特)在等腰⊿ABC 中,AB=AC,一边上的中线 BD 将这个三角形的周长分为 15 和 12 两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( ) A.7 B.11 C.7 或 11 D.7 或 10 02.(黄冈)在⊿ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到锐角为 500,则∠B=___________度.
25

03.(襄樊)在⊿ABC 中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D 为 BC 的中点,动点 P 从 B 点出发, 以每秒 1cm 的速度沿 B→A→C 的方向运动.设运动时间为 t,那么当 t=_________秒 时,过 D、P 两点的直线将⊿ABC 的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的 2 倍.

【例2】 如图,在⊿ABC 中,AB=AC,点 D 在 AC 上,AD=BD=BC,求∠A 的度 数. 【解法指导】 图中的等腰三角形多,可利用等腰三角形的性质,用方程的思想求角的 度数. A 解:设∠A=x, ∵BD=AD,∴∠A=∠ABD=x, ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x, D ∵BD=BC,∴∠C=∠BDC=2x, ∵AB=AC,∴∠ C=∠ABC=2x, B C ∵在△ABC 中, ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴x+2x+2x=180° , x=36° ,∴∠A=36° . 【变式题组】 01.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,求∠A 的度数.

02.如图,在⊿ABC 中,AB=AC,BC=BD= ED=EA,求∠A 的大小.

【例3】 已知坐标原点 O 和点 A(2,-2) ,B 是坐标轴上的一点.若⊿AOB 是等腰 三角形,则这样的点 B 一共有( )个 A.4 B.5 C.6 D.8 【解法指导】 ⊿AOB 是等腰三角形,但不能确定哪条边是等腰三角形的底,因而要 分三种情况进行说明①AO=OB,②OA=AB,③BA=BO,又∵B 是坐标轴上的点.要考虑 x 轴 与 y 轴两种情况. 解:①如图 1,当 OA 是底边时,B 在 OA 的中垂线上,又 B 在坐标轴上,因而 B 是 OA 中垂线与坐标轴的交点; ②如图 2,当 OA 为腰时,若 O 为顶点,则 B 在以 O 为圆心,OA 为半径的圆上,又 B 在坐标轴上,因而 B 是圆与坐标轴的交点; ③如图 3,当 OA 为腰时,若 A 为顶点,则 B 在以 A 为圆心,OA 为半径的圆上,又 B
26

在坐标轴上,因而 B 是圆与坐标轴的交点.故选 D.
y y B4 B1 O B2 A B6
图1 图2

y O B7 x A A B8
图3

x

B5

O

B3 x

【变式题组】 01.(海南竞赛试题)在平面直角坐标系 xOy 内,已知 A(3,-3) ,点 P 是 y 轴上一点,则 使⊿AOP 为等腰三角形的点 P 共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 02.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(1,0),点 B 的坐标是(0,错误!未找到引 用源。 ) ,点 C 在坐标平面内.若以 A、B、C 为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底 角为 30 度,则满足条件的点 C 有_________个.

A E P

D

B 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图

C

03.(南昌)如图,已知长方形纸片 ABCD,点 E 是 AB 的中点,点 G 是 BC 上一点,∠BEG >600,现沿直线 EG 将纸片折叠,使点 B 落在纸片中的点 H 处,连接 AH,则与∠BEG 相等的角的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 04.(济南)如图所示,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=错误!未找到引用源。 ,点 E 是折线段 A-D-C 上的一个动点(点 E 与点 A 不重合) ,点 P 是点 A 关于 BE 的对称点.在点 E 运动的过程中,使△PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 B M 【例4】 (枣庄)两个全等的含 30° ,60° 角的三角板 ADE D 和三角板 ABC 如图所示放置,E,A,C 三点在一条直线上,连结 BD,取 BD 的中点 M,连结 ME,MC.试判断△ EMC 的形状, 并说明理由. E A C 【解法指导】 判断⊿MEC 为等腰直角三角形, M 为直角顶 (例 4 题图) 点,即想证∠EMC=900,而⊿ABD 为等腰三角形,M 是 BD 的中 点,若连接 AM 则有∠AMD=900,因而只需证∠DME=∠AMC,利用全等三角形即可. 解: △EMC 的形状是等腰直角三角形,理由如下:
27

连接 AM ,由题意得:

DE ? AC,∠DAE ? ∠BAC ? 90? . ?∠DAB ? 90? . 又? DM ? MB , 1 ? MA ? DB ? DM,∠MAD ? ∠MAB ? 45? . 2 ?∠M D E? ∠ M A1 ? C 0, 5∠ ? D M ? 9 A 0 ? . ?△E D M ≌△ C A .M ?∠DME ? ∠AMC,EM ? MC . 又∠DME ? ∠EMA ? 90? , ?∠EMA ? ∠AMC ? 90? . ? C M? E . M 所以 △ECM 的形状是等腰直角三角形.
【变式题组】 01.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,P 是斜边 BC 的中点,以 P 为直角顶点的两边分别与 边 AB、AC 交于点 E、F,当∠EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合),⊿PEF 也 始终是等腰三角形,请你说明理由.

02.如图,在等腰三角形 ABC 中,∠ACB=900,D 是 BC 的中点,DE⊥AB 垂足为 E,过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F,连接 CF 交 AD 于 G. ⑴求证:AD⊥CF; ⑵连接 AF,试判断⊿ACF 的形状,并说明理由.

03.如图,⊿ABC 中,∠ACB=900,AC=BC,CO 为中线.现将一直 角三角板顶点放在点 O 上并绕点 O 旋转, 若三角板的两直角边分 别交 AC、CB 的延长线于点 G、H. ⑴试写出图中除 AC=BC,OA=OB=OC 外其他所有相等的线段; ⑵请选一组你写出的相等线段给予证明.

【例5】 我们知道:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地,我们定义:至 少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形. ⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称; ⑵如图,在 △ ABC 中,点 D,E 分别在 AB, AC 上,设 CD, BE 相交于点 O ,若
28

?A ? 60° ,?DCB ? ?EBC ?

1 ?A .请你写出图中一个与 ? A 相等的角,并猜想图中哪 2

个四边形是等对边四边形; ⑶在 △ ABC 中,如果 ? A 是不等于 60 ° 的锐角,点 D,E 分别在 AB, AC 上,且

?DCB ? ? EBC ?
你的结论.

1 ? A.探究:满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形,并证明 2 A
D
E

O
B

C

【解法指导】 证明两条线段相等时,若两条线段在同一三角形中,可证明它们所对的 角相等. 若两条线段在不同的三角形中, 则证它们所在的两个三角形全等, 若三角形不全等, 即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题. 解:⑴如:平行四边形、等腰梯形等 ⑵答:与∠A 相等的角是∠BOD(或∠COE) ,四边形 DBCE 是等对边四边形; ⑶答:此时存在等对边四边形,是四边形 DBCE. A 证法一:如图 1,作 CG⊥BE 于 G 点,作 BF⊥CD 交 CD 延长线于 F 点. ∵∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A,BC 为公共边,

∴△BCF≌△CBG, D G ∴BF=CG, O D ∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A, B ∴∠BDF=∠BEC, C 可证△BDF≌△CEG, 图1 ∴BD=CE ∴四边形 DBCE 是等边四边形. 证法二:如图 2,以 C 为顶点作∠FCB=∠DBC,CF 交 BE 于 F 点. A ∵∠DCB=∠EBC=错误!未找到引用源。∠A,BC 为公共边, ∴△BDC≌△CFB, E D ∴BD=CF,∠BDC=∠CFB, F ∴∠ADC=∠CFE, O D ∵∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE,∠FEC=∠A+∠ABE, B C ∴∠ADC=∠FEC, 图2 ∴∠FEC=∠CFE, ∴CF=CE,∴BD=CE, ∴四边形 DBCE 是等边四边形. 【变式题组】 01.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,∠B=2∠C,AD 为∠BAC 的平分线.求证: AC=AB+BD.

F

E

29

02.(天津初赛试题)如图,在四边形 ABCD 中,∠ACB=∠BAD=1050,∠ABC=∠ADC= 450,若 AB=2,求 CD 的长.

03.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=AC,D 在 AB 上,F 在 AC 延长线上, BD=CF.求证 DE=EF.

【变式题组】 01.(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 ( ) 0 A.20 B.1200 C.200 或 1200 D.3600 02. (云南)已知等腰三角形的两边分别为 6 和 3,则此等腰三角形周长为( A.9 B.15 C.15 D.12 或 15 03.(云南)如图,等腰错误!未找到引用源。ABC 的周长为 21,底边 BC=5,AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,则错 误!未找到引用源。BEC 的周长为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 )

04.如图,C、E 和 B、D、F 分别在∠GAH 的两边上,且 AB=BC=CD=DE=EF,若∠A =180,则∠GEF 的度数是( ) 0 0 0 A.80 B.90 C.100 D.1080

30

05.如图,Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,角平分线 AE 交 CD 于 H,EF⊥AB 于 F,则下列结论中不正确的是( ) A.∠ACD=∠B B.CH=CE=EF C.CH=HD D.AC=AF 06.如图,错误!未找到引用源。ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 F,过点 F 作 DE∥BC 交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,那么下列结论:①错误!未找到引用源。BDF 和错 误!未找到引用源。CEF 都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③错误!未找到引用源。 ADE 的周长等于 AB 与 AC 的和;④BF=CF.其中正确的有( ) A.①②③ B.①②③④ C.①② D.①

07.(武汉)如图,已知 O 是四边形 ABCD 内一点,OA=OB=OC, ∠ABC=∠ADC=700,则 ∠DAO+∠DCO 的大小是( ) 0 0 A.70 B.110 C.1400 D.1500 08. (滨州)已知等腰错误!未找到引用源。ABC 的周长为 10,若设腰长为 x,则 x 的取值 范围是____________. 09.如图所示,在错误!未找到引用源。ABC 中,已知 AB=AC,∠A=360,BC=2,BD 是错误!未找到引用源。ABC 的角平分线,则 AD=___________.

10.(威海)如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=400,则∠ABD 的度数是_________. 11.(乌鲁木齐) 在一次数学课上,王老师在黑板上画出图 6,并写下了四个等式: ① AB ? DC ,② BE ? CE ,③ ?B ? ?C ,④ ?BAE ? ?CDE . 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出 △ AED 是等腰三角形.请你试 着完成王老师提出的要求,并说明理由. (写出一种即可) 已知: 求证: △ AED 是等腰三角形. 证明: B A E C D

12. (泰安) 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置,图 2 是由它抽象出的 几何图形, B,C,E 在同一条直线上,连结 DC .
31

⑴请找出图 2 中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母) ; ⑵证明: DC ? BE . D

A B 图1 C 图2 E

13.(包头)如图,已知 △ ABC 中, AB ? AC ? 10 厘米, BC ? 8 厘米,点 D 为 AB 的中 点. ⑴如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动. ①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等,经过 1 秒后,△BPD 与 △CQP 是否全 等,请说明理由; ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等,当点 Q 的运动速度为多少时,能够使

△BPD 与 △CQP 全等?
⑵若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发,点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发,都 逆时针沿 △ ABC 三边运动,求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 △ ABC 的哪条 边上相遇? A

D

Q P C

B

? ? 14.(临沂)如图 1,已知 △ ABC 中, AB ? BC ? 1 ,∠ABC ? 90 ,把一块含 30 角的直

角三角板 DEF 的直角顶点 D 放在 AC 的中点上 (直角三角板的短直角边为 DE , 长直 角边为 DF ) ,将直角三角板 DEF 绕 D 点按逆时针方向旋转. ⑴在图 1 中, DE 交 AB 于 M , DF 交 BC 于 N . ①证明 DM ? DN ; ②在这一旋转过程中,直角三角板 DEF 与 △ ABC 的重叠部分为四边形 DMBN ,请 说明四边形 DMBN 的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若 不发生变化,求出其面积; DM ? DN ⑵继续旋转至如图 2 的位置, 延长 AB 交 DE 于 M , 延长 BC 交 DF 于 N , 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

32

DM ? DN ⑶继续旋转至如图 3 的位置, 延长 FD 交 BC 于 N , 延长 ED 交 AB 于 M , 是否仍然成立?请写出结论,不用证明. F
A M

A

D

D

E

B

N

C

B
E M

C
图2

N
F
M
B

A

D

E

图1

F

N
图3

C

培优升级·奥赛检测
01.如图,∠BAC 与∠CBE 的平分线相交于点 P,BE=BC,PB 与 CE 交于点 H,PG∥AD 交 BC 于 F,交 AB 于 G,下列结论:①GA=GP;②错误!未找到引用源。③BP 垂直平分 CE;④FP=FC;其中正确的判断有( ) A.只有①② B.只有③④ C.只有①③④ D.只有①②③④

33

02.如图,点 A 是错误!未找到引用源。网格图形中的一个网格图形中的一个格点(小正 方形的顶点) ,图中每个小正方形的边长为 1,以 A 为其中的一个顶点,面积等于 2.5 的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数是( ) A.10 个 B.12 个 C.14 个 D.16 个 03.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=BC,MN=NA, ∠BAM=∠NAC,则∠MAC =_________.

04.如图,AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC 的平分线,若 AA’=BB’=AB.则∠BAC 的度数 为______________. 05.(全国联赛)在等腰 Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,AC=BC=1,M 是 BC 的中点, CE⊥AM 于 E,交 AB 于 F.则错误!未找到引用源。 =_____________ 06.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,AB=AC,EF 为过点 A 的任意一条直线,CF⊥ BC, BE⊥BC.求证:AE=AF.
F

A

B C E

07. (湖州市竞赛试题)如图,在 Rt 错误!未找到引用源。ABC 中,∠ACB=900,CD⊥AB 于 D,AE 平分∠BAC,交 CD 于 K,交 BC 于 E,F 是 BE 上一点,且 BF=CE,求证: FK∥AB

34

08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片,若能从一个顶点出发,将其剪成 两个等腰三角形纸片,求等腰三角形纸片的顶角的度数.

09.如图,在错误!未找到引用源。ABC 中,∠ABC=460,D 是边 BC 上一点,DC=AB, ∠ DAB=210,求∠CAD 的度数.

10.(浙江省杭州市中考试题)如图,在等腰△ ABC 中, CH 是底边上的高线,点 P 是线 段 CH 上不与端点重合的任意一点,连接 AP 交 BC 于点 E ,连接 BP 交 AC 于点 F . (1) 证明: ?CAE ? ?CBF ; (2) 证明: AE ? BF ; (3) 以线段 AE, BF 和 AB 为边构成一个新的三角形 ABG (点 E 与点 F 重合于点 G ) , 记 △ ABC 和 △ ABG 的 面 积 分 别 为 S ?ABC 和 S ?ABG , 如 果 存 在 点 P , 能 使 得

S ?ABC ? S ?ABG , 求∠ C 的取值范围.

35

C F P A H B E

11.如图,已知在△ ABC 中,AB=AC,∠BAC=900,AD=AE, AF⊥BE 交 BC 于 F,过 F 作 FG⊥CD 交 BE 的延长线于 G.求证:BG=AF+FG

第五讲
考点 方法 破译

等边三角形

1.等边三角形及其性质:三边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形的三个内 角都相等,并且每一个角都等于 60.等边三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线或底 边上的高、中线所在直线; 2.等边三角形的判定:三边都相等的三角形是等边三角形;三个角都相等的三角形是 等边三角形;有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形; 3.在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半,
36

反之也成立.

经典

考题

赏析

【例 1】如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,A、C、B 三点在一条直线上.AE、 BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N. (1)求证:△ACE≌△DCB; (2)求∠AFD 的度数; (3)判断△CMN 的形状 【解法指导】根据等边三角形的性质,利用全等三角形中边角的关系可解决问题. 解:(1)∵等边三角形 DAC 与等边三角形 EBC ∴AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠BCE =60° ∴ ∠ACE=∠DCB

E

? AC ? DC ? ∴在△ACE 和△DCB 中,??ACE ? ?DCB , ∴△ACE≌△DCB ?CE ? CB ?
(2) ∵∠ACE≌∠DCB, ∴∠1=∠2 又∵∠1+∠DFA==∠2+∠ACD ∴∠AFD=∠ACD=60°

D

F

1 M C N B

2 A

??2 ? ?1 ? (3) 在△ACM 和△DCN 中, ? AC ? DC ??ACM ? ?DCN ? 60? ?
∴△ACM≌△DCN ∴CM=CN 又∵∠DCN =60°∴△CMN 是等边三角形. 【变式题组】 01.(天津)如图,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP= PQ=QC=AP=AQ, 则∠BAC 的大小等于__________ 度 02.(荆州)如图,D 是等边△ABC 的边 AB 上的一动点,以 CD 为一边向上作等边△EDC,连接 AE,找出图中的一组全等 三角形,并说明理由.
A

B

P

Q

C

A

E

D

B

C

03.如图,在正△ABC 中,D,E 分别是 BC、AC 上的一点,且 AE=CD .AD 与 BE 相交于 A 点 P,且 BQ⊥AD 于 Q.求证 BP=2PQ
E P

Q B D C

04.(黄冈)如图,过边长为 1 的等边△ABC 的边 AB 上一点 P,作 PE⊥AC 于 E,Q 是 BC 延 长线上一点,当 PA=CQ 时,连接 PQ 交 AC 于 D,求 DE 的长. A
E

37

P D

B

C

Q

【例 2】P 是△ABC 内一点,∠PBC=30°,∠PBA=8°,且∠PAB=∠PAC=22°, 求∠APC 的度数 【解法指导】 由于∠PAB =∠PAC,因而 PA 平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全 等三角形,其方法一:在 AB 边上截取;方法二:延长 AC 边,又由于∠BPA=150°是特殊 角,考虑∠BPA 的完整性,因而取方法二的可能性更大. 解:延长 AC 到 D,使 AD=AB,连接 PD、BD,∵∠PBA=8°∠PAB = 22°

A

? AB ? AD ? ∴∠BPA=150°,在△ABP 和△ADP 中, ??BAP ? ?DAP ∴△ABP≌ ? AP ? AP ?
△ADP ∴∠APB=∠APD = 150°,BP=DP ,∠PBA=∠APD =8° ∴∠BPD=60°, ∴△BPD 是正三角形 ∵∠PBC=30° ∴∠PBC=∠DBC

P

B

C

A

? BP ? BD ? 在△PBC 和△DBC 中, ??PBC ? ?DBC ? BC ? BC ?
∴△PBC≌△DBC , ∴PC=CD ∴∠CPD=∠CDP=8° ∴∠APC=∠APD 一∠CPD=150°一 8°=142° 【变式题组】 01.如图,D 是等边三角形 ABC 内一点,E 为 ABC 外部一点,满 足 DA=DB,BE=BA,∠DBE=∠DBC.求∠BED 的度数.

P B

C

D

A E

D

02. 如图. D 是△ABC 外一点. AB=AC=BD+CD, ∠ABD=60° 求∠ACD 的度数.

B
A

C

D

【例 3】如图(1),△ABC 等边三角形,△BDC 是顶角 120°的等腰 三角形,以 D 为顶点作 60°的角,它的两边分别与 AB、AC 交于点 M 和 N,连接 MN. (1)探究:MN、NC 之间的关系,并加以证明;
38

B

C

(2)若点 M、N 分别在射线 AB、CA 上,其他条件不变,再探究线段 BM、MN、NC 之间 的关系,在图(2)中画出相应的图形.并就结论说明理由
A
A

A

N

A

N
N M B C
B C

M
G

B
D

C G (3) D

B M

C

D (1)

(2)

(4)

D

【解法指导】对于(1),这时在△DMB 中,有∠DBM=∠DBC+∠CBA=30°+60°= 90° 为了把 BM,MN,NC 集中到一个三角形中去,将△DMB 绕 D 点顺时针旋转 120°得 到△DGC.如图(3).从而有 MB=GC.而此时恰又有△MND≌△GND?得 MN=NG=NC +CG=NC+BM.对于(2),此时的图形(4),仍作(1)中的旋转,类似地可以推得 MN=CN 一 BM 解(1)关系为 MN=BM+NC 证明:延长 AC 到 G,使 CG=BM,连接 DG,如图(3) ∠ABD=∠ABC+∠CBD=60°十 30°=90°同理也有∠ACD=90° 在△DMB 和△DGC 中; DB=DC.BM=CG ∴△DMB≌△DGC ∴DM=DG.∠MDB=∠GDC. 在△MND 和△GND 中,ND 公用,DM=DG,∠MDN=60° ∠GDN=∠GDC+∠DCN=∠MDB+∠CDN=60° ∴△MND≌△GND ∴ MN=GN=GC 十 NC=BM+NC (2)此时.图形如图(4),有关系式 MN=CN—BM 理由如下: 在 CN 上截取 GG=BM.连接 DG,如图(4)与(1)中情况类似.可推得 ∠ABD=∠ACD=90°.且 Rt△DMB≌△DGC ,得 DM=DG.∠MDB=∠GDC 仍与(1)中情况娄似,可推得△MND≌△GND.就有 MN=GN=NC—CG=NC—BM. 【变式题组】 01.用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成四边形 ABCD,把一个含 60°角的三角 尺与这个四边形叠合,使三角尺的 60°角的顶点与点 A 重合.两边分别与 AB、AC 重 合,将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转

(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 相交于点 E,F 时,(如图 1),通过观 察或测量 BE,CF 的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论;

39

(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 的延长线相交于点 F 时(如图 2),你在 (1)中得到的结论还成立吗,简要 说明理由.

02.如图.四边形 ABCD 中,AB=AD,∠BAD=60°,∠BCD=120° 求证:AC=BC+DC.

A

B

D

C

巩固练习

反馈提高
)

01.如图.△ABC 是等边三角形,AD⊥BC,点 E 在 AC 上,且 AE=AD,则∠DEC=( A 105° B 85° C 95° D 75°
A

A

D
E B D C

B

C

E

第 1 题图 第 2 题图 02.如图,等边△ABC,D 在 AC 上,延长 BC 到 E.使 CE=CD,若 BD=DE,给出下列 结论:① BD 平分∠ABC ② AD =

1 1 AB ③ CE= BC ④∠A=2∠E,其中正确 2 2

结论的个数是( ) A.4 个 B3个 C2个 D1个 03.(河北)如图,等边△ABC 的边长为 1cm,D、E 分别是 AB、AC 上的点,将△ABC 沿直 线 DE 折叠, 点 A 落在 A’ 处, 且 A’ 在△ABC 外部, 则阴影部分图形的周长为__________ cm
40

C

A D

D O

F C E

A

P

B

B

第 3 题图

第 4 题图

第 5 题图

04.在等边△ABC 中,AC=9,点 O 在 AC 上,且 AO=3,点 P 是 AB 上一动点,连接 OP, 将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°,得到线段 OD,要使点 D 恰好落在 BC 上,则 AP =__________. 05.如图,△ABC 是等边三角形,D、E、F 分别在 AB、BC、AC 上,且 DE⊥BC,EF⊥AC, FD⊥AB,试判断△DEF 是否为等边三角形,并说明理由.

06.请你用三种不同的分割方法,将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图 中画出分割线,并标出必要的角的度数) .

07.如图,点 D 是等边△ABC 边 AB 上的一点.AB=3AD,DE⊥BC 于点 E,AE、CD 相交 于点 F (1)求证:△ACD≌△BAE: A (2)过点 C 作 CG⊥AE, 垂足为点 G, 探究 CF 与 FG 之间的数量关系, 并证明.
D F

B

E

C

08.如图:△ABC 是等边三角形,D 是 AB 边上的点,将线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 60° 得到线段 DE,延长 ED 交 AC 于点 F,连接 DC,AE. A 求证:△ADE≌△DFC
F E D

B

C

41

09.如图:△ABC 是等边三角形,点 D、E 分别在 CA、AB 的延长线上, 的延长线交 EC 于 F. 求证:(1)DB=EC;(2) ∠BFC=60°

AD=BE.DB
D

A B

E

F

C

10.(常德)如图 1,若△ABC 与△ADE 为等边三角形,M、N 分别是 EB、CD 的中点,易证: CD=BE,△AMN 是等边三角形. (1)当把△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时,CD=BE 是否仍然成立? 若成立请证明,若 不成立请说明理由; (2) 当△ADE 绕 A 点旋转到图 3 的位置时, △AMN 是否还是等边三角形? 若成立请证明, 若不成立请说明理由.
C N D E M B

(1)

(2)

A

第 06 讲
考点·方法·破译
1.平方根与立方根:





若 x =a(a≥0)则 x 叫做 a 的平方根,记为:a 的平方根为 x=± a ,其中 a 的平方根

2

42

为 x= a 叫做 a 的算术平方根. 若 x3=a,则 x 叫做 a 的立方根.记为:a 的立方根为 x= 3 a . 2.无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数.实数与数轴上的点一一对 应.任何有理数都可以表示为分数 3 非负数: 实数的绝对值, 实数的偶次幂, 非负数的算术平方根 (或偶次方根) 都是非负数. 即 a >0,

p (p、q 是两个互质的整数,且 q≠0)的形式. q

a 2 n ≥0(n 为正整数) , a ≥0(a≥0) .

经典·考题·赏析
【例 1】若 2m-4 与 3m-1 是同一个数的平方根,求 m 的值. 【解法指导】一个正数的平方根有两个,并且这两个数互为相反数.∵2m ?4 与 3m?l 是同一个数的平方根,∴2m?4 +3m?l=0,5m=5,m=l. 【变式题组】 01.一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____. 02.已知 m 是小于 15 ? 2 的最大整数,则 m 的平方根是____. 03. 9 的立方根是____. 04.如图,有一个数值转化器,当输入的 x 为 64 时,输出的 y 是____. 输入 x 是无理数 取算术平方根 输出 y

是有理数 【例 2】 (全国竞赛)已知非零实数 a、b 满足 2a ? 4 ? b ? 2 ? 则 a+b 等于( ) A.-1 B. 0 【解法指导】若

? a ? 3 ? b 2 ? 4 ? 2a ,

C.1

D.2 有意义,∵a、b 为非零实数,∴b2>0∴a-3≥0 a≥3

? a ? 3? b 2

∵ 2a ? 4 ? b ? 2 ? ∴ 2a ? 4 ? b ? 2 ? ∴?

? a ? 3 ? b 2 ? 4 ? 2a ? a ? 3? b2 ? 4 ? 2a ,∴ b ? 2 ? ? a ? 3? b2
? 0.

? ?a ? 3 ?b ? 2 ? 0 ,∴ ? ,故选 C. 2 ? ?b ? ?2 ?? a ? 3 ? b ? 0
43

【变式题组】 0l.在实数范围内,等式 2 ? a ? a ? 2 ? b ? 3 =0 成立,则 ab=____. 02.若 a ? 9 ? ? b ? 3? ? 0 ,则
2

a 的平方根是____. b
2009

?x? 03. (天津)若 x、y 为实数,且 x ? 2 ? y ? 2 ? 0 ,则 ? ? ? y?
A.1 B.-1 C.2 D.-2 04.已知 x 是实数,则 x ? ? ? ? ? x ? A. 1 ?

的值为( )

x ?1

?

的值是( )

1

?

B. 1 ?

1

?

C.

1

?

?1

D.无法确定

【例 3】若 a、b 都为有理效,且满足 a ? b ? b ? 1 ? 2 3 .求 a+b 的平方根. 【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为 0)还是有理数,但两个无 理数的和、差、积、商(除数不为 0)不一定是无理数.∵ a ? b ? b ? 1 ? 2 3 , ∴ ?

? ? ?a ? 13 ?a ? b ? 1 ?a ? b ? 1 即? ,∴ ? , ? ?b ? 12 ? b ?2 3 ? ? b ? 12

a +b=12 +13=25. ∴a+b 的平方根为: ? a ? b ? ? 25 ? ?5 . 【变式题组】 01. (西安市竞赛题)已知 m、n 是有理数,且( 5 +2)m+(3-2 5 )n+7=0 求 m、n.

02. (希望杯试题)设 x、y 都是有理数,且满足方程( 则 x?y=____.

1 ? 1 ? ? )x+( ? )y?4? ? =0, 3 2 2 3

【例 4】若 a 为 17 ?2 的整数部分,b?1 是 9 的平方根,且 a ? b ? b ? a ,求 a+b 的值. 【解法指导】 一个实数由小数部分与整数部分组成, 17 ?2=整数部分+小数部分. 整 数部分估算可得 2,则小数部分= 17 ?2 ?2= 17 ?4.∵a=2,b?1=±3 ,∴b=-2 或 4
44

∵ a ? b ? b ? a .∴a<b ,∴a=2, b=4,即 a+b=6. 【变式题组】 01.若 3+ 5 的小数部分是 a,3? 5 的小数部分是 b,则 a+b 的值为____. 02. 5 的整数部分为 a,小数部分为 b,则( 5 +a) ?b=____.

演练巩固

反馈提高

0l.下列说法正确的是( ) A.-2 是(-2)2 的算术平方根 B.3 是-9 的算术平方根 C. 16 的平方根是±4 D.27 的立方根是±3 02.设 a ? ? 3 ,b= -2, c ? ?

5 ,则 a、b、c 的大小关系是( ) 2
D.c<a<b

A.a<b<c B.a<c<b C. b<a<c 03.下列各组数中,互为相反数的是( ) A.-9 与 81 的平方根
? ?

B.4 与

3

?64
? ?

C.4 与 3 64

D.3 与 9

04.在实数 1.414, ? 2 ,0.15,5? 16 , ? ,3.14, 3 A.2 个 B.3 个 C.4 个 D. 5 个 05.实数 a、b 在数轴上表示的位置如图所示,则( ) A.b>a C. -a<b B. a ? b D.-b>a

8 中无理数有( 125

)

06.现有四个无理数 5 , 6 , 7 , 8 ,其中在 2 +1 与 3 +1 之间的有( ) A. 1 个 B.2 个 C. 3 个
2

D .4 个 )

07.设 m 是 9 的平方根,n= A. m=±n B.m=n

? 3 ? .则 m,n 的关系是(
C .m=-n D. m ? n

08. (烟台) 如图, 数轴上 A、 B 两点表示的数分别为-1 和 3 , 点 B 关于点 A 的对称点 C, 则点 C 所表示的数为( )

A.-2 ? 3

B.-1 ? 3

C.-2 + 3
45

D.l + 3

09.点 A 在数轴上和原点相距 5 个单位,点 B 在数轴上和原点相距 3 个单位,且点 B 在点 A 左边,则 A、B 之间的距离为____. 10.用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1,

1 1 1 1 , ?, , .如 3 19 20 2

果从中选出若干个数,使它的和大于 3,那么至少要选____个数. 11. 对于任意不相等的两个数 a、 b, 定义一种运算※如下: a※b=

a?b 3? 2 , 如 3※2= a ?b 3? 2

= 5 .那么 12.※4=____.
12. (长沙中考题)已知 a、b 为两个连续整数,且 a< 7 <b,则 a+b=____.
2 ? ?a b 13.对实数 a、b,定义运算“*” ,如下 a*b= ? 2 ? ?ab

? a≥b ? ,已知 3*m ? a<b ?

=36,则实数 m

=____. 14.设 a 是大于 1 的实数.若 a,

a ? 2 2a ? 1 , 在数轴上对应的点分别是 A、B、C,则三 3 3

点在数轴上从左自右的顺序是____. 15.如图,直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点 P.点 P 表示的实数为-1.如果该圆沿数轴 正方向滚动一周后与数轴的公共点为 P′,那么点 P′所表示的数是____.

16.已知整数 x、y 满足 x +2

y = 50 ,求 x、y.

17.已知 2a?1 的平方根是±3,3a+b?1 的算术平方根是 4,求 a+b+1 的立方根.

18.小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏,如图有一圆心角为 60° ,半径为 1 个单位长的扇 形放置在数轴上,当扇形在数轴上做无滑动的滚动时,当 B 点恰好落在数轴上时,(1) 求此时 B 点所对的数;(2)求圆心 O 移动的路程.

46

19. 若 b= 3a ? 15 + 15 ? 3a +3l, 且 a+11 的算术平方根为 m, 4b+1 的立方根为 n, 求(mn?2)(3mn +4)的平方根与立方根.

2 2 20.若 x、y 为实数,且(x?y+1)2 与 5x ? 3 y ? 3 互为相反数,求 x ? y 的值.

培优升级 奥赛检测
01. (荆州市八年级数学联赛试题)一个正数 x 的两个平方根分别是 a+1 与 a?3,则 a 值为 ( ) A. 2 B.-1 C. 1 D. 0 02. (黄冈竞赛)代数式 x + x ? 1 + x ? 2 的最小值是( ) A.0 B. 1+ 2 C.1 D. 2
47

03.代数式 5 ? 3x ?2 的最小值为____. 04.设 a、b 为有理数,且 a、b 满足等式 a2+3b+b 3 =21?5 3 ,则 a+b=____. 05.若 a ? b =1,且 3 a =4 b ,则在数轴上表示 a、b 两数对应点的距离为____. 06.已知实数 a 满足 2009 ? a ? a ? 2010 ? a ,则 a? 20092=_______. 07.若 m 满足关系式 确定 m 的值.

3x ? 5 y ? 2 ? m ? x ? 3y ? m ? x ?199 ? y ? 199 ? x ? y ,试

08. (全国联赛)若 a、b 满足 3 a ? 5 b =7,S= 2 a ? 3 b ,求 S 的取值范围.

09 . ( 北 京 市 初 二 年 级 竞 赛 试 题 ) 已 知

0<a<1 , 并 且

1? ? 2? ? 3? 28 ? ? 29 ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? ?? ? ?? ? a ? ? ? ? a ? ? ? 18 ,求[10a]的值[其中[x] ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? ? 30 ? ?
表示不超过 x 的最大整数] .

48

10. (北京竞赛试题)已知实数 a、b、x、y 满足 y+ 求2
x? y

x ? 3 ? 1 ? a 2 , x ? 3 ? y ?1? b2 ,

? 2a ?b 的值.

11. (全国竞赛试题)巳知 x=

b ,a、b 为互质的正整数.且 a≤8, 2 ?1<x< 3 ? 1 , a

(1)试写出一个满足条件的 x;(2)求所有满足条件的 x.

第7讲
考点·方法·破译

变量与函数

1.函数的概念及其表示方法 ⑴函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于给定的每一个 x 值,y 都 有唯一确定的值与其对应,那么,x 是自变量,y 是 x 的函数. ⑵函数的表示方法 ①解析法:用含有自变量的代数式表示函数的方法;

49

②列表法:把自变量 x 的一系列值和函数 y 的对应值列成表格来表示函数的方法; ③图象法:用图象表示函数关系的方法. 2.自变量取值范围的确定 自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义,且必须符合实际问题的要求.

经典·考题·赏析
【例1】 (兰州)函数 y ? A. x≤2 B. x=3

2? x ?

1 中自变量 x 的取值范围是( x?3



C. x<2 且 x≠3 D.x≤2 且 x≠3

【解法指导】 求 x 的取值范围,可根据题目要求列出下列式子: ? 2 且 x≠3, 故选 A 【变式题组】 01. (大兴安岭)函数 y ?

?2 ? x ? 0 解得 x≤ ?x ? 3 ? 0

x 中,自变量 x 的取值范围是________ x ?1
中自变量 x 的取值范围是_________

02.(芜湖)函数 y ?

x?2 x?3 1

03.函数 y ?

x ?1 ?

2? x

中自变量 x 的取值范围是_________

04.已知函数 y=-2x+1 中的自变量 x 的取值范围是 0<x<10,则 y 的取值范围是______ 【例2】汽车由北京驶往相距 850km 的沈阳,它的平均速度为 80km/h,求汽车距沈阳 的路程 s(km)与行驶时间 t(h)的函数关系式,写出自变量的取值范围 【解法指导】⑴此题属于行程问题,其基本数量关系是:速度 ? 时间=路程.因此汽车 行驶 t(h)的路程是 80t(km)与汽车距沈阳的路程 s(km)及北京与沈阳的距离 850km 之间的等 量关系是 80t+s=850;(2)由于 s 与 t 都应是非负数可确定自变量的取值范围. 解:由题意得,s=850-80t 又由于 ?

?s ? 0 ?850 ? 80t ? 0 85 即? 解得 0≤t≤ 8 t?0 ?t ? 0 ?

因此汽车距沈阳的路程 s 与时间 t 的函数关系式为 s=850-80t,自变量的取值范围 是 0≤t≤

85 8

【变式题组】 2 01.已知三角形的面积为 20cm ,设它的底边长为 x(cm),则底边上的高 y(cm)关于 x 的函数 关系式为______,自变量的取值范围是__________. 02. 等腰三角形的周长是 40cm, 腰长 y(cm)与底边长 x(cm)关系的函数解析式正确的是 ( ) A. y=-0.5x+20(0<x<20) B.y=-0.5x+20(10<x<20) C. y=-2x+40(10<x<20) D.y=-2x+40(0<x<20) 03. 某市为了鼓劲居民节约用水,对自来水用户按如下标准收费:若每月每户用水不超过

50

12 米 ,按每立方米 a 元收费;若超过 12 米 ,则超过部分每立方米按 2a 元收费.某 3 户居民五月份交水费 y(元)与用水量 x(米 )(x>12)之间的关系式为______,若该月交 3 水费 20a 元,则这个月实际用水______米 . 【例3】下列曲线中,表示 y 不是 x 的函数的是( )

3

3

【解法指导】 要根据曲线判断所给变化中,y 是否是 x 的函数,则需要根据曲线观察 对于 x 的每一个确定的值,是否 y 都有惟一的一个确定的值与之对应,如果是,则 y 就是 x 的函数,观察所给的四个选项,可知 B 中所示的曲线,当 x 取一个值时,y 有两个值与之对 应,根据函数的定义可知 y 不是 x 的函数,应选 B. 【变式题组】 01.图中分给给出了 x 与 y 的对应关系,其中 y 是 x 的函数是( )

02.下列函数中,与 y=x 表示同一个函数的是( A.

) D. y ? 3 x 3

y? x

2

x

B.

y ? x2

C. y ? ( x ) 2

【例4】 如右图,圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底,向水池匀速注入水(倒在 杯外) ,水池中水面高度是 h ,注水时间是 t,则 h 与 t 之间的关系大致为下面图中的( )

【解法指导】由题意知,此注水过程中分为三段:⑴由于圆柱形开口杯底部固定在长方 体水池, 也就是说水池被开口杯占据了一部分空间, 因此注水时水池中水面上升的速度较快, 其图象是一段自原点出发较陡的上升线段; ⑵当水的与开口杯口等高时, 水开始注入开口杯, 也就是说水池中水面高度不变, 则其图象是一段平行于 t 轴的水平线段; ⑶当开口杯注满时, 水位开始上升, 由于水池的此部分空间比⑴段大, 因此水池中水面上升的速度要比⑴段速度 慢,则其图象是一段比⑴段中上升线段较缓的上升线段,由此可知答案应选 B. 【变式题组】

51

01.如图所示,向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定) ,注满烧杯后,继续注水,直至注 满水槽, 水槽中水面上升高度 h 与注水时间 t 的函数关系式, 大致是下列图象中的 ( )

02.某蓄水池的横截面示意图如图所示,分深水区和浅水区,如果这个注满水的蓄水池以固 定的流量把水全部放出, 下面的图象能大致表示水的深度 h 和放水时间 t 之间的关系的 是( )

03.用均匀的速度向一个容器注水,最后把容器注满,在注水过程中,水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图表示(图中 OAB 为一折线) ,这个容器的形状是图中的( )

【例5】 已知:如图 1,点 G 是 BC 的中点,点 H 在 AF 上,动点 P 以每秒 2cm 的速 度沿图 1 的边线运动,运动路径为:G→C→D→E→F→H 相应的△ABP 的面积 y(cm2)关于 运动时间 t(s)的函数图象,如图 2,若 AB=6cm,则下列四个结论中正确的个数有( ) a. 图 1 中的 BC 边长是 8cm 2 b. 图 2 中的 M 点表示第 4 秒时 y 的值为 24cm 图中的 CD 长是 4cm 2 c. 图 2 中的 N 点表示第 12 秒时 y 的值为 18cm A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【解法指导】 若把点 P 由 G→C→D→E→F→H 对应 的图象分别记为第 I 段、第 II 段、第 III 段、第 IV 段、第 V 段,则从图 1 和图 2 的对应情况可知: (1) 由 I 的两端点横坐标,知由 G 到 C 运动 2 秒,可得 GC=4cm,即 BC=8cm; ∴a 正确

1 ? 6 ? 8 ? 24 cm 2 ;∴b 正确 2 (3) ∵P 在 CD 上的时间从图 2 知为 2 秒,∴CD= 2 ? 2 =24cm ABCDEFGH 的周长为(AB+BC+DE) ? 2=40cm 1 1 ∴ AH= 40 ? AB ? BC ? 24 ? 40 ? 6 ? ? 8 ? 24 ? 6cm 2 2 1 1 2 ∴ y= S ?ABH ? AB ? AH ? ? 6 ? 6 ? 18cm ∴d 正确 故选 D. 2 2
(2) M 点的纵坐标等于 S△ABD=
52

【变式题组】 01. (莆田)如图 1,在长方形 MNPQ 中,动点 R 从点 N 出发,沿 N→P→Q→M 方向运动 至点 M 处停止,设点 R 运动的路程为 x,△MNR 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图 象如图 2 所示,则当 x=9 时,点 R 应运动到的位置是( ) A. N 处 B. P 处 C. Q 处 D.M 处 02. (重庆綦江)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC、CD 运动至点 D 停止,设点 P 运动的路径为 x,△ABP 的面积为 y,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示,则△BCD 的面积是( ) A. 3 B. 4 C . 5

演练巩固·反馈提高
01. (益阳)某天小明骑自行车上学,途中因自行车发生故障,修车耽误了一段时间后继续 骑行,按时赶到了学校,图中描述了他上学的情景,下列说法错误的是( ) A. 修车时间为 15 分钟 B. 学校离家的距离为 2000 米 C. 到达学校时共用时间 20 分钟 D.自行车发生故障时离家距离为 1000 米

02. (宜昌)由于干旱,某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降,若该水库的蓄水量 V(万 3 米 )与干旱的时间 t(天)的关系如图所示,则下列说法正确的是( ) A. 干旱开始时,蓄水量每天减少 20 万米 3 B.干旱开始后,蓄水量每天增加 20 万米 3 C.干旱开始时,蓄水量为 200 万米 3 D.干旱第 50 天时,蓄水量为 1200 万米 3 03. (黑龙江大兴安岭)一个水池接有甲、乙、丙三个水管,先打开 甲,一段时间后再打开乙,水池注满水后关闭甲,现时打开丙, 直到水池中的水排空,水池中的水量 V(m3)与时间 t(h)之间的 函数关系如图,则关于三个水管每小时的水流量,下列判断正确 的是 A. 乙>甲 B. 丙>甲 C.甲>乙 D.丙>乙 04.(杭州)已知点 P(x,y)在函数 y ? 系中的( ) A. 第一象限 B.第二象限 05. (大连)函数 y ?

1 ? ? x 的图象上,那么点 P 应在平面直角坐标 x2
C. 第三象限 D.第四象限 )

x?2?

1 的自变量 x 的取值范围是( x?2
53

A.x≥-2

B. x>-2 且 x≠2

C.x≥0 且 x≠2

D . x ≥- 2 且 x ≠ 2

06.已知某一函数的图象如图所示,根据图象回答下列问题. ⑴确定自变量的取值范围; ⑵求当 x=-4,-2 时 y 的值是多少? ⑶求当 y=0,4 时,x 的值是多少? ⑷当 x 取何值时 y 的值最大?当 x 何值时 y 的值最小? (5)当 x 在什么范围内取值时 y 随 x 的增大而增大?当 x 在什 么范围内取值时 y 随 x 的增大而减小?

07.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的关系式如图 所示,那么你可知道: ⑴这是一次_________米的赛跑; ⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______ (3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒

第 8 讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1.一次函数及图象: ⑴形如 y=kx+b(k,b 为常数,且 k≠0) ,则 y 叫做 x 的一次函数,当 b=0,k≠0 时, y 叫做 x 的正比例函数. ⑵正比例函数 y=kx(k≠0)的图象是经过(0,0) , (1,k)两点的直线,一次函数 y= kx+b(k≠0)是经过(0,b) 、 (-

b ,0)两点的直线. k

2.一次函数的性质: 当 k>0 时,y 随自变量 x 的增大而增大;当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小.
54

3.函数 y=kx+b 中的系数符号,决定图象的大致位置的增减性.

经典·考题·赏析
【例1】 (山东)函数 y=ax+b①和 y=bx+a②(ab≠0)在同一坐标系中的图象可能 是( )

【解法指导】A 中①a>0,b>0,②b<0,a<0 矛盾.B 中①a<0,b<0,矛盾.C 中 ①a>0,b>0②b>0,a=0 矛盾.D 中①a>0,b<0②b<0,a>0,故选 D. 【变式题组】 01. (河北)如图所示的计算程序中,y 与 x 之间的函数关系所对应的图象应为( )

02. (安徽)已知函数 y=kx+b 的图象如左图,则 y=2kx+b 的图象可能是( )

03.下列图象中,表示一次函数 y=mx+n 与正比例函数 y=mnx(m、n 为常数,则 mn≠0) 的图象是( )

【例2】 (绍兴)如图,一次函数 y=x+5 的图象经过点 P(a,b)和 Q(c,d)则 a(c -d)-b(c-d)的值为_______. 【解法指导】因为点 P(a,b),Q(c,d)在一次函数图象上,∴b=a+5,d=c+5∴a -b=-5,c-d=-5,a(c-d)-b(c-d)=(c-d) (a-b)=(-5)?(-5)=25 【变式题组】

55

01.如图一条直线 l 经过不同三点 A(a,b),B(b,a)C(a-b,b-a)则直线 l 经过( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.第二、三、四象限 D. 第一、 三、 四象限 02. (南京市八年级竞赛试题)已知三点 A(2,3),B(5,4)C(-4,1)依次连接这三点,则( ) A.构成等边三角形 B.构成直角三角形 C.构成锐角三角形 D.三点在同一条直线上 03. (四川省初二数学联赛试题)已知一次函数 y=ax+b 的图象经过点(0,1) ,它与坐标轴 围成的图是等腰直角三角形,则 a 的值为_______. 【例3】如图,已知正方形 ABCD 的顶点坐标为 A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3), 直线 y=2x+b 交 AB 于点 E,交 CD 于点 F.直线与 y 轴的交点为(0,b) ,则 b 的变化范 围是_____. 【解法指导】直线 y=2x+b 是平行于直线 y=2x 的直线,当直 线经过 B 点时,b 最小,当 x=3 时,y=1 ∴1=2?3+b, b=-5 当直线经过 D 点时,b 最大, 所以当 x=1 时,y=3 ∴3=2?1+b, b=1 ∴-5≤b≤1 【变式题组】 01.线段 y=-

1 x+a(1≤b≤3) ,当 a 的值由-1 增加到 2 时,该线段运动所经过的平面 2

区域的面积为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 02. (新知杯上海)在平面直角坐标系中有两点 P(-1,1) ,Q(2,2),函数 y=kx-1 的图象 与线段 PQ 延长线相交(交点不包括 Q) ,则实数 k 的取值范围是_________. 03. (济南)阅读下面的材料:在平面几何中,我们学过两条直线平行的定义.下面就两个 一次函数的图象所确定的两条直线,给出它们平行的定义:设一次函数 y=k1x+b1(k1 ≠0)的图象为直线 l1,一次函数 y=k2x+b2(k2≠0)的图象为直线 l2,若 k1= k2,且 b1=b2,我们就称直线 l1 与直线 l2 平行.解答下面的问题: ⑴求过点 P(1,4)且与已知直线 y=-2x-1 平行的直线 l 的函数表达式,并画出 直线 l 的图象; ⑵设直线 l 分别与 y 轴、x 轴交于点 A、B,如果直线 m:y=kx+t(t>0)与直线 平行且交于 x 轴于点 C,求出△ABC 的面积 S 关于 t 的函数关系式.

56

【例4】已知一次函数 y=kx+b,当自变量取值范围是 2≤x≤6 时,函数值的取值范围 5≤y≤9.求此函数的解析式. 【解法指导】⑴当 k>0,y 随 x 的增大而增大,∴y=kx+b 经过(2,5) , (6,9)两点 ∴?

?2k ? b ? 5 ?k ? ?1 ∴? ,∴y=x+3 ?6k ? b ? 9 ?b ? 3 ?2k ? b ? 9 ?k ? ?1 ∴? ,∴y=-x+11 ?6k ? b ? 5 ?b ? ?11

⑵当 k<0,y 随 x 的增大而减小,∴y=kx+b 经过(2,9) , (6,5)两点 ∴?

∴所求解析式为 y=x+3 或 y=-x+11 【变式题组】 01.已知一次函数 y=kx+b,当-3≤x≤1 时,对应 y 的值为 1≤y≤9,则 kb 的值为( ) A.4 B. -6 C.-4 或 21 D.-6 或 14 02. (遂宁)已知整数 x 满足-5≤x≤5,y1=x+1,y2=2x+4,对任意一个 x,m 都取 y1,、 y2 中的最小值,则 m 的最大值是( ) A.1 B. 2 C.24 D.-9 【例5】如图,直线 y=-5x-5 与 x 轴交于 A,与 y 轴交于 B,直线 y=kx+b 与 x 轴 交于 C, 与 y 轴交于 B 点, CD⊥AB 交 y 轴于 E. 若 CE=AB,求直线 BC 的解析式. 【解法指导】 由 CE=AB, CD⊥AB 可得△AOB≌△EOC,因而 OB=OC 而 y=-5x-5 与 y 轴交于 B ∴B(0,-5) ∴C(5,0),而直线 BC 经过(0,-5) , (5,0)可求得解析式 y=x-5 【变式题组】 01. 如图, 在平面直角坐标系中, 点P (x, y) 是直线 y=-x+6 第一象限上的点, 点 A(5,0),O 是坐标原点,△PAO 的面积 S. ⑴求 S 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ⑵探究:当 P 点运动到什么位置时△PAO 的面积为 10.

02. 如图, 直线 l: y=-

1 x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点, 在 y 轴上有一点 C (0,4) , 2

动点 M 从 A 点以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左移动. ⑴求 A、B 两点的坐标; ⑵求△COM 的面积 S 与 M 的移动时间 t 之间的函数关系式; ⑶当 t 为何值时,△COM≌△AOB,并求此时 M 点的坐标.

57

03.如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,直线 y=kx+b 经过 A(0,2) 、B(4,2) 两点. ⑴求直线 AB 的解析式; ⑵点 C 的坐标为(0,1) ,过点 C 作 CD⊥AO 交 AB 于 D. x 轴上的点 P 和 A、B、C、D、 O 中的两个点所构成的三角形与△ACD 全等,这样的三角形有_____个,请子啊图 中画出其中两个三角形的示意图.

【例6】如图,已知直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B.另一条直线 y= kx+b(k≠0)经过(1,0) ,且把△AOB 分成两部分.⑴若△AOB 被分成的两部分面积相 等,求 k 和 b 的值;⑵若△AOB 被分成的两部分的面积比为 1:5,求 k 和 b 的值.

【解法指导】欲求 k 和 b 的值,需知道直线 y=kx+b(k≠0)经过两已知点,而点 C (1,0)在直线上,因而只需求出另一点的坐标即可. 解:⑴由题意得(2,0) 、B(0,2),∴C 为 OA 的中点,因而直线 y=kx+b 过 OA 中点 且平分△AOB 的面积时只可能韦中线 BC. ∴y=kx+b 经过 C(1,0) , (0,2) ∴?

?0 ? kx ? b ∴k=2 b=2 ?2 ? b
4 2 , ) 3 3

⑵①设 y=kx+b 与 OB 交于 M(0,t)则有 S△OMC=S△CAN,∴MN∥x 轴,∴N(

2 ?4 ?k ? 2 4 2 ? k ?b ? ∴直线 y=kx+b 经过 , ), (1,0)∴ ? 3 3 ∴? 3 3 ?b ? ?2 ? ?k ? b ? 0
【变式题组】

58

01.如图,在平面直角坐标系 xOy,已知直线 AC 的解析式为 y=-

1 x+2,直线 AC 交 x 2

轴于点 C,交于 y 轴于点 A. ⑴若一个等腰直角三角形 OBD 的顶点 D 与点 C 重合,直角顶点 B 在第一象限内,请 直接写出点 B 的坐标; ⑵过点 B 作 x 轴的垂线 l,在 l 上是否存一点 P,使得△AOP 的周长最小?若存在,请 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; ⑶试在直线 AC 上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标.

02. (浙江杭州)已知,直线 y=-

3 x ? 1 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,以线段 AB 为直 3

角边的第一象限内作等腰 Rt△ABC, ?BAC ? 90 °,且点 P(1,a)为坐标系中的一个 动点. ⑴求三角形 ABC 的面积 S△ABC; ⑵证明不论 a 取任何实数,三角形 BOP 的面积是一个常数; ⑶要使得△ABC 和△ABP 的面积相等,求实数 a 的值.

演练巩固·反馈提高
01. (芜湖)关于 x 的一次函数 y=kx+k +1 的图象可能正确的是( )
2

02. 一次函数 y=kx-b 和正比例函数 y=kbx 在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是 ()

03.一次函数 y=(m-1)x+m +2 的图象与 y 轴的交点的纵坐标是 3,则 m 的值是() A. ? 5 B. ? 1 C.-1 D.-2
59

2

04.直线 y1=kx+b 过第一、二、四象限,则直线 y2=bx-k 不经过() A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 05.已知一次函数 y=(1-2m)x+m-2,函数 y 随着 x 的增大而减小,且其图象不经过第 一象限,则 m 的取值范围是( ) A.m>

1 2

B.m≤2 C.

1 1 <m<2 D. <m≤2 2 2

06.如图,点 A、B、C、D 在一次函数 y=-2x+m 的图象上,它们的横坐标依次为-1,1, 2,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,则图中阴影部分的面积之和是( ) A. 1 B.3 C.3(m-1) D.
3 2

(m-2)

07. (绍兴)如图,在 x 轴上有五个点,它们横坐标依次为 1,2,3,4,5.分别过这些点作 x 轴的垂线与三条直线 y=ax,y=(a+1)x,y=(a+2)x 相交,其中 a>0,则图中 阴影部分的面积是( ) A. 12.5 B.25 C.12.5a D. 25a 08. (重庆)如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,动点 P 从点 B 出发,沿路线 B→C→ D 作匀速运动,那么△ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是( )

09. (日照)如图,点 A 的坐标为(-1,0),点 B 在直线 y=x 上运动,当线段 AB 最短时, 点 B 的坐标为( ) A. (0,0) B. (

1 1 2 2 ,- ) C. (- ,- ) 2 2 2 2

D. (-

2 2 ,- ) 2 2

10. (义务)李老师给出了一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征 . 甲:它的图象经过第一象限;乙:它的图象经过第二象限;丙:在第一象限内函数值 y 随 x 增大而增大.在你学习的函数中,写出一个满足上述特征的函数解析式_________. 11.观察下列各直角坐标系中的直线 AB,点 P(x,y)是线段 AB 上的点,且 x、y 都是整 数,请根据图中所包含的规律,回答下列问题:

⑴第 5 个图中满足条件的点 P 个数是_______;
60

⑵第 n 个图中满足条件的点 P 个数 m 与 n 之间的关系是________. 12. (十堰) 直线 y=kx+b 经过点 A(-2,0)和 y 轴上的一点 B, 如果△ABO (O 为坐标原点) 的面积为 2,则 b 的值为________. 13.如图,长方形 OABC 的顶点 B 的坐标为(6,4) ,直线 y=-x+b 恰好平分长方形的面 积,则 b=_______. 14.如图,点 B、C 分别在两条直线 y=2x 和 y=kx 上,点 A、D 是 x 轴上两点,已知四边 形 ABCD 是正方形,则 k=______.

15. (东营)正方形 A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,?按如图所示的方式放置.点 A1,A2,A3,? 和 C1,C2,C3,?分别在直线 y=kx+b(k>0)和 x 轴上,已知点 B1(1,1) ,B2(3,2)则 Bn 的坐标是________. 16.点 P 为直线 y=-3x+6 上的一点,且点 P 到两坐标轴距离相等,则 P 点坐标为_____. 17.已知直线 y1=x,y2=

1 4 x+1,y3=- x+5 的图象如图所示,若无论 x 取何值,y 总取 3 5 1 x+1 的图象相交于点 A 2

y1、y2、y3 中最小的值,则 y 的最大值为_______. 18. 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P(0,-3),且与函数 y= ( , a ). ⑴求 a 的值; ⑵若函数 y=kx+b 的图象与 x 轴的交点是 B,函数 y= 是 C,求四边形 ABOC 的面积(其中 O 为坐标原点). 19.定义 ? p, q ? 为一次函数 y=px+q 的特征数. ⑴求一次函数 y=-2(x-1)的特征数; ⑵若特征数是 ?2, k ? 2?的一次函数为正比例函数,求 k 的值.

8 3

1 x+1 的图象与 y 轴的交点 2

20.已知:三点 A(a,1)、B(3,1)、C(6,0),点 A 在正比例函数 y=

1 x 的图象上. 2

⑴求 a 的值; ⑵点 P 为 x 轴上一动点,当△OAP 与△CBP 周长的和取得最小值时,求点 P 的坐标;

61

21.已知直线 ln:y=-

n ?1 1 x+ (n 是正整数).当 n=1 时,直线 l1:y=-2x+1 与 x 轴 n n

和 y 轴分别交于点 A1 和 B1.设△A1OB1(O 是平面直角坐标系的原点)的面积为 s1.当 n=2 时,直线 l2:y=-

3 1 x ? 与 x 轴和 y 轴分别交于点 A2 和 B2,设△A2OB2 的面积为 s2, 2 2

??,依次类推,直线 ln 与 x 轴和 y 轴分别交于点 An 和 Bn,设△AnOBn 的面积为 Sn. ?⑴求△A1OB1 的面积 s1; ⑵求 s1+s2+s3+…+s2010 的值.

22.(长沙)在平面直角坐标系中,一动点 P(x,y)从 M(1,0)出发,沿由 A(-1,1), B(-1,-1),C(1,-1),D(1,1)四点组成的正方形边线(如图①)按一定 方向运动.图②是 P 点运动的路程 s(个单位)与运动时间 t(秒)之间的函数图象, 图③是 P 点的纵坐标 y 与 P 点运动的路程 s 之间的函数图象的一部分.

⑴s 与 t 之间的函数关系式是:_________; (2) 与图③相对应的 P 点的运动路径是: ________; P 点出发 _______秒首次到达点 B; ⑶写出当 3≤s≤8 时,y 与 s 之间的函数关系式,并在图③中补全函数图象.

培优升级·奥赛检测 a?b b?c c?a ? ? 01.已知 abc≠0,且 =t,则直线 y=tx+t 一定通过( ) c a b
A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限

5 95 02.一个一次函数的图象与直线 y= x + 平行,与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B,并 4 4
且过点(-1,-25),则在线段 AB 上(包括端点 A、B)横坐标、纵坐标都是整数的点有 ( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个
62

03.在一次函数 y=-x+3 的图象上取点 P,作 PA⊥x 轴,PB⊥y 轴,垂足分别为 A、B, 长方形 OAPB 的面积为 2,则这样的点 P 共有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 04.在直角坐标系中,x 轴上的动点 M(x,0)到定点 P(5,5) ,Q(2,1)的距离分别为 MP 和 MQ,若 MP+MQ 取最小值,则点 M 的坐标为________. 05.已知点 A(0,2) 、B(4,0),点 C、D 分别在直线 x=1 与 x=2 上运动,且 CD∥x 轴, 当 AC+CD+DB 的值最小值,点 C 的坐标为_____________. 06.在直角坐标系中,有两个点 A(-8,3)、B(-4,5)以及动点 C(0,n) 、D(m,0). 当四边形 ABCD 的周长最短时,

m 的值为_________. n

07.已知函数 y=(a-2)x-3a-1,当自变量 x 的值范围为 3≤x≤5 时,y 既能取到大于 5 的值,又能取到小于 3 的值,求实数 a 的取值范围.

08. (荆州市八年级数学联赛试题)已知一次函数 y=ax+b(a 为整数)的图象过(98,19) , 它与 x 轴的交点为(p,0) ,与 y 轴的交点为(0,q) ,若 P 为质数,q 是正整数,问符 合条件的一次函数是否存在?若存在,求出解析式;若存在,说明理由.

09.若直线 y=mx-3,y=-1,y=3 和 x=1 所围成的四边形面积为 12,求 m.

10.设 f(x)=kx+1 是 x 的函数,若 m(k)表示函数 f(x)=kx+1 在 1≤x≤3 条件下的 最大值,求函数 m(k)的解析式,并作出图象.

第 9 讲 一次函数与方程、不等式
考点?方法?破译
1. 一次函数与一元一次方程的关系:任何一元一次方程都可以转化成 kx+b=0(k、b 为常数,k≠0)的形式,可见一元一次方程是一次函数的一个特例.即在 y=kx+b 中,当 y =0 时则为一元一次方程. 2. 一次函数与二元一次方程(组)的关系: a c ⑴任何二元一次方程 ax+by=c(a、b、c 为常数,且 a≠0,b≠0)都可以化为 y= ? x ? b b 的形式,因而每个二元一次方程都对应一个一次函数;
63

⑵从―数‖的角度看,解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值,以及这 个函数值是什么;从―形‖的角度看,解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标. 3. 一次函数与一元一次不等式的关系:由于任何一元一次不等式都可以转化成 ax+b >0 或 ax+b<0(a、b 为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数 的函数值大于或小于 0 时,求相应自变量的取值范围.

经典?考题?赏析
【例 1】直线 l1:y=k1x+b 与直线 l2:y=k2x 在同一平面直角坐 标系中的图象如图所示,则关于 x 的不等式 k1x+b>k2x 的解为( ) A.x>-1 B.x<-1 C.x<-2 D. 无 法确定 【解法指导】由图象可知 l1 与 l2 的交点坐标为(-1,-2),即当 x=-1 时,两函数的函数值相等;当 x>-1 时,l2 的位置比 l1 高,因 而 k2x>k1x+b; 当当 x<-1 时, l1 的位置比 l2 高, 因而 k2x<k1x+b. 因 此选 A.
l2

y

l1 3

-1

O

x

【变式题组】 01.(咸宁)直线 l1:y=k1x+b 与直线 l2:y=k2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示, 则关于 x 的不等式 k2x>k1x+b 的解集为________.
y y2=x+a
y 2 O 2 -2 -2 y=2x+b y=ax-3 x

y A O B x

O

3 y1=kx+b

x

P

第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 02.(浙江金华)一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图,则下列结论:①k<0; ②a>0; ③当 x<3 时,y1<y2 中,正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 03. 如图,已知一次函数 y=2x+b 和 y=ax-3 的图象交于点 P(-2,-5),则根据图象 可得不等式 2x+b>ax-3 的解集是________. 1 04. (武汉)如图,直线 y=kx+b 经过 A(2,1),B(-1,-2)两点,则不等式 x>kx+b> 2 -2 的解集为_________. 【例 2】若直线 l1:y=x-2 与直线 l2:y=3-mx 在同一平面直角坐标系的交点在第一 象限,求 m 的取值范围. 【解法指导】直线交点坐标在第一象限,即对应方程组的解满足 ? 的取值范围.
5 ? ? 5 x? ?0 ? ? x ? 0 ? ?y ? x ? 2 ?1 ? m ? 0 ? ? 解: ? ,∴ ? 1 ? m ,∵ ? ,∴ ?1 ? m ,即 ? ,∴-1<m ?y ? 0 ? y ? 3 ? mn ?3 ? 2m ? 0 ? y ? 3 ? 2m ? 3 ? 2m ? 0 ? ? 1? m ? ? 1? m
?x ? 0 ,从而求出 m ?y ? 0

3 < . 2 【变式题组】
64

01. 如果直线 y=kx+3 与 y=3x-2b 的交点在 x 轴上,当 k=2 时,b 等于( ) 3 9 A.9 B.-3 C. ? D. ? 2 4 1 1 1 02. 若直线 y ? x ? 2 与直线 y ? ? x ? a 相较于 x 轴上一点,则直线 y ? ? x ? a 不经 2 4 4 过( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 03. 两条直线 y1=ax+b,y2=cx+5,学生甲解出它们的交点坐标为(3,-2),学生 3 1 乙因抄错了 c 而解出它们的交点坐标为( , ),则这两条直线的解析式为____________. 4 4 04. 已知直线 y=3x 和 y=2x+k 的交点在第三象限,则 k 的取值范围是________. 【例 3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中,若一点的纵横坐标都是整数,则 称该点为整点,设 k 为整数,当直线 y=x-2 与 y=kx+k 的交点为整点时,k 的取值可以取 ( ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数. k?2 ? x? ? y ? x ? 2 ? ? 1? k 解:由 ? 得? , y ? kx ? k ? ?y ? k ? 2 ? 2 ? 1? k ? ∵两直线交点为整数, ∴x、y 均为整数, 又当 x 为整数时,y 为整数, k ?2 k ?2 k ?2 k ?1 ? 3 3 ∴ 为整数即可, , ?? ?? ? ?1 ? 1? k 1? k k ?1 k ?1 k ?1 ∵k-1 是整数, ∴k-1=± 1,± 3 时,x、y 为整数, ∴k=-2,0,2,4. 所以选 A. 【变式题组】 01. (广西南宁)从 2,3,4,5 这四个数中,任取两个数 p 和 q(p≠q),构成函数 y=px-2 和 y=x+q,并使这两个函数图象的交点在直线 x=2 的右侧,则这样的有序数对(p, q)共有( ) A.12 对 B.6 对 C.5 对 D.3 对 02. (浙江竞赛试题)直线 l:y=px(p 是不等于 0 的整数)与直线 y=x+10 的交点恰好是整 点(横坐标和纵坐标都是整数),那么满足条件的直线 l 有( ) A.6 条 B.7 条 C.8 条 D.无数条 03. (荆州竞赛试题)点 A、B 分别在一次函数 y=x,y=8x 的图像上,其横坐标分别是 a、 b(a>0,b>0).若直线 AB 为一次函数 y=kx+m 的图象,则当
b 是整数时,求满足条 a

件的整数 k 的值. 【例 4】 已知 x、 y、 z 都为非负数, 满足 x+y-z=1, x+2y+3z=4, 记 ω=3x+2y+z. 求 ω 的最大值与最小值. 【解法指导】将 x、y、z 中的三个未知量选定一个看成已知,则关于 x、y、z 的三元方 程可变成关于 x、y 的二元方程,从而求出 x 与 y,然后代入 ω=3x+2y+z 中,可得 ω 与 z 的一次函数关系式,然后再求出 z 的取值范围,即可求出 ω 的最大值与最小值. 解:由已知得: ? +z=8z.
65

?x ? y ? 1? z ? x ? 5z ? 2 ,∴ ? ,∴ω=3x+2y+z=3(5z-2)+2(3-4z) ? x ? 2 y ? 4 ? 3z ? y ? 3 ? 4z

∵x、y、z 都为非负数,
2 3 ? ∴ ?3 ? 4 z≥0 ,∴ ≤z≤ , 5 4 ?
? z≥0 ?5 z ? 2≥0

3 2 16 ∴ω 的最大值为 8× =6,ω 的最小值为 8× = . 4 5 5 【变式题组】 3x ? 1 7 5 ? 2x 01. (荆州竞赛试题)已知 x 满足不等式: ,|x-3|-|x+2|的最大值为 p, ? ≥x ? 2 3 3

最小值为 q,则 pq 的值是( ) A.6 B.5 C.-5 D.-1 02. 已知非负数 a、b、c 满足条件:3a+2b+c=4,2a+b+3c=5.设 S=5a+4b+7c 的 最大值为 m,最小值为 n,则 n-m=________. 03. (黄冈竞赛试题)若 x+y+z=30,3x+y-z=50,x、y、z 均为非负数,则 M=5x+4y +2z 的取值范围是( ) A.100≤M≤110 B.110≤M≤120 C.120≤M≤130 D.130≤M≤140 【例 5】已知直线 l1 经过点(2,5)和(-1,-1)两点,与 x 轴的交点是点 A,将直线 y =-6x+5 的图象向上平移 4 个单位后得到 l2, l2 与 l1 的交点是点 C, l2 与 x 轴的交点是点 B, 求△ ABC 的面积.
y C A O B l2 x l1

【解法指导】设直线 l1 的解析式为 y=kx+b,∵l1 经过(2,5),(-1,-1)两点, ∴?
?k ? 2 ? 2k ? b ? 5 ,解得 ? , ?b ? 1 ? ? k ? b ? ?1

1 1 ∴y=2x+1,∴当 y=0 时,2x+1=0,x= ? ,∴A( ? ,0). 2 2 又∵y=-6x+5 的图象向上平移 4 个单位后得 l2,∴l2 的解析式为 y=-6x+9, 3 3 ∴当 y=0 时,-6x+9=0,x= ,∴B( ,0). 2 2 ?x ? 1 ? y ? 2x ? 1 1 3 1 ∴? ,∴ ? ,∴C(1,3),∴AB= -( ? )=2,∴S△ ABC= × 2× 3=3. 2 2 2 ?y ? 3 ? y ? ?6 x ? 9 【变式题组】 01. 已知一次函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象相交于 A(m,4),且这两个函数的图象分 别与 y 轴交于 B、 C 两点(B 上 C 下), △ ABC 的面积为 1, 求这两个一次函数的解析式. 02. 如图,直线 OC、BC 的函数关系式为 y=x 与 y=-2x+6.点 P(t,0)是线段 OB 上一 动点,过 P 作直线 l 与 x 轴垂直. ⑴求点 C 坐标; y ⑵设△ BOC 中位于直线 l 左侧部分面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式; C ⑶当 t 为何值时,直线 l 平分△ COB 面积.

O
66

B

x

第 2 题图

演练巩固· 反馈提高
1 3 01. 已知一次函数 y= x+m,和 y= ? x+n 的图象交点 A(-2,0),且与 y 轴分别交于 2 2 B、C 两点,那么△ ABC 的面积是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 02. 已知关于 x 的不等式 ax+1>0(a≠0)的解集是 x<1,则直线 y=ax+1 与 x 轴的交点是 ( ) A.(0,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(1,0)
4 3 2 1 y l1 x

y

A -4 O x

–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 l2 –5

第 3 题图 第 6 题图 03. 如图,直线 y=kx+b 与 x 轴交于点 A(-4,0),则 y>0 时,x 的取值范围是( ) A.x>-4 B.x>0 C.x<-4 D.x<0 04. 直线 kx-3y=8,2x+5y=-4 交点的纵坐标为 0,则 k 的值为( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2 05. 直线 y=kx+b 与坐标轴的两个交点分别为 A(2,0)和 B(0,-3).则不等式 kx+b+ 3≥0 的解集为( ) A.x≥0 B.x≤0 C.x≥2 D.x≤2 06. 如图是在同一坐标系内作出的一次函数 y1、y2 的图象 l1、l2,设 y1=k1x+b1,y2=k2x +b2,则方程组 ? A. ?
? x ? ?2 ?y ? 2

? y1=k1 x+b1, 的解是( ? y2=k2 x+b2

) C. ?
? x ? ?3 ?y ? 3

B. ?

? x ? ?2 ?y ? 3

D. ?

? x ? ?3 ?y ? 4

07. 若直线 y=ax+7 经过一次函数 y=4-3x 和 y=2x-1 的交点,则 a=_________. 08. 已知一次函数 y=2x+a 与 y=-x+b 的图象都经过 A(-2, 0), 且与 y 轴分别交于 B、 C 两点,则 S△ ABC=_________. 09. 已知直线 y=2x+b 和 y=3bx-4 相交于点(5,a),则 a=___________. 10. 已知函数 y=-x+m 与 y=mx-4 的图象交点在 x 轴的负半轴上, 则 m 的值为__________. 11.直线 y=-2x-1 与直线 y=3x+m 相交于第三象限内一点,则 m 的取值范围是 ___________. 1 a 3 15 12.若直线 y ? ? x ? 与直线 y ? ? x ? 的交点在第一象限,且 a 为整数,则 a= 2 2 4 4 _________. 13.直线 l1 经过点(2,3)和(-1,-3),直线 l2 与 l1 交于点(-2,a),且与 y 轴的交点的纵
67

坐标为 7. ⑴求直线 l2、l1 的解析式; ⑵求 l2、l1 与 x 轴围成的三角形的面积; ⑶x 取何值时 l1 的函数值大于 l2 的函数值? 14.(河北)如图,直线 l1 的解析式为 y=-3x+3,l1 与 x 轴交于点 D,直线 l2 经过点 A(4, 3 0),B(3, ? ). 2 ⑴求直线 l2 的解析式; ⑵求 S△ ADC; ⑶在直线 l2 上存在异于点 C 的另一点 P,使得 S△ ADP=S△ ADC,求 P 点坐标.
l1 y l2 D O C A B x

第 14 题图 15.已知一次函数图象过点(4,1)和点(-2,4).求函数的关系式并画出图象. ⑴当 x 为何值时,y<0,y=0,y>0? ⑵当-1<x≤4 时,求 y 的取值范围; ⑶当-1≤y<4 时,求 x 的取值范围. 16.某医药研究所开发了一种新药,在实验药效时发现,如果成人按规定剂量服用,那么服 - 药后 2h 时血液中含药量最高,达每毫升 6μg(1μg=10 3mg),接着就逐步衰减,10h 后 血液中含药量为每毫升 3μg,每毫升血液中含药量 y(μg)随时间 x(h)的变化如图所示, 当成人按规定剂量服药后, ⑴分别求 x≤2 和 x≥2 时,y 与 x 之间的函数关系式; ⑵如果每毫升血液中含药量在 4μg 或 4μg 以上时, 治疗疾病才是有效的, 那么这个有效 时间是多长?
y/μg 6 3 O 2 10 x/h

第 16 题图

第 10 讲

一次函数的应用

考点·方法·破译
1.在现实社会的生产生活中,营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中,往往 需要运用一次函数的知识解决问题, 这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型, 结合 方程与方程组,不等式与不等式组等知识使问题得到解决.

经典·考题·赏析
68

【例 1】 (温州)为调动销售人员的积极性,A、B 两公司采取如下工资支付方式:A 公 司每月 2000 元基本工资,另加销含额的 2%作为奖金;B 公司每月 1600 元的基本工资,另 加销售额的 4%作为奖金.已知 A、B 公司两位销售员小李、小张 l~6 月份的销售额如下表: 销售额(单位:元) 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 销售额 11600 12800 14000 15200 16400 17600 小李(A 公司) 7400 9200 11000 12800 14600 16400 小张(B 公司) ⑴小李与小张 3 月份的工资各是多少? ⑵小李 l~6 月份的销售额 y1 与月份 x 的函数关系式是 y1=1200x + l0400,小张 1~6 月份的销售额 y2 也是月份 x 的一次函数,请求出 y2 与 x 的函数关系式; ⑶如果 7~12 月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系, 问几月份起小张 的工资高于小李的工资. 解:⑴小李 3 月份工资=2000+2%?14000=2280(元) 小张 3 月份工资=1600+4%?11000=2040(元) ⑵设 y2=kx+b, 取表中的 2 对数 (1, 7400) , ( 2, 9200) 代入解析式, 得?

?7400 ? k ? b , ?9200 ? 2k ? b

解得 ?

?k ? 1800 ,即 y2=1800x+5600, ?b ? 5600

⑶小李的工资 w1=2000+2%(1200x+10400)=24x+2208 小张的工资 w2=1600+4%(1800x+5600)=72x+1824 当小张的工资 w1>w2 时,即 72x+1824>24x+2208,解得 x>8 答:从 9 月份起,小张的工资高于小李的工资. 【变式题组】 01. (潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸 箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择: 方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱的价格为 4 元; 方案二: 由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱, 机器租赁费按生产纸箱数 收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用 16000 元,每加工一个纸箱还需要成本费 2.4 元. ⑴若需要这种规格纸箱 x(个别) ,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用 y1(元) 和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用 y2(元)与 x(个)的函数关系; ⑵假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由.

【例 2】 (山东)某工程机械厂根据市场需求,计划生产 A、B 两种型号的大型挖掘机共 100 台,该厂所筹生产资金不少于 22400 万元,但不超过 22500 万元.且所筹资金全部用于
69

生产此两型挖掘机, 所生产的此两型挖掘机可全部售出, 此两型挖掘机的生产成本和售价如 下表: 型号 成本(万元/台) 售价(万元/台) A 200 250 B 240 300

⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案? ⑵该厂如何生产能获得最大利润? ⑶根据市场调查,每台 B 型挖掘机的售价不会改变,每台 A 型挖掘机的售价将会提高 m 万元(m>0 ) ,该厂应该如何生产可获得最大利润?(注:利润=售价一成本) 【解法指导】 解:⑴设生产 A 型挖掘机 x 台,则 B 型挖掘机可生产(100-x)台,由题意得 22400 ≤200x+240(100-x)≤22500,解得 37.5≤x≤40,∵x 取非负整数,∴x 为 38,39,40.∴ 有三种生产方案: A 型 38 台,B 型 62 台;A 型 39 台,B 型 61 台;A 型 40 台,B 型 60 台. ⑵设获得利润 W(万元) ,由翅意知 W=50x+60(100-x)=6000-10x ∴当 x=38 时,W 最大=5620(万元) , 即生产 A 型 38 台,B 型 62 台时,获得利润最大. ⑶由题意得知 W=(50+m)x+60(100-x)=6000+(m-10)x. ∴当 0<m<10,则 x=38 时,W 最大, 即 A 型挖掘机生产 38 台,B 型挖掘机生产 62 台; 当 m=10 时,m-10=0,三种生产方案获得利润相等; 当 m>10 时,则 x=40 时,W 最大, 即 A 型挖掘机生产 40 台,B 型挖掘机生产 60 台. 【变式题组】 01. (天门) 某地为促进特种水产养殖业的发展, 决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴. 该 地某农户在改建的 10 个 l 亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝,因资金有限,投人不 能超过 14 万元,并希望获得不低于 10.8 万元的收益,相关信息如下表所示: 毛利润(万元/ 政府补贴(万元/ 养殖种类 成本(万元/亩) 亩) 亩) 1.5 2.5 0.2 甲鱼 1 1.8 0.1 黄鳝 ⑴根据以上信息,该农户可以怎样安排养殖? ⑵应怎样安排养殖,可获得最大收益? ⑶根据市场调查,在养殖成本不变的情况下,黄鳝的毛利润相对稳定,而每亩甲鱼的毛 利润将减少 m 万元.问该农户又该如何安排养殖,才能获得最大的收益? 02. (成宁)某市 A、B 两个蔬菜基地得知四川 C、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜 240 吨 和 260 吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区.已知 A 蔬菜基地有蔬菜 200 吨,B 蔬菜基 地有蔬菜 300 吨,现在将这些蔬菜全部调往 C、D 两个灾民安置点.从 A 地运往 C、D 两处的费用分别为每吨 20 元和每吨 25 元,从 B 地运往 C、D 两处的费用分别为每吨 15 元和每吨 18 元.设从 B 地运往 C 处的蔬菜为 x 吨. ⑴请填写下表,并求两个蔬菜基地调运的运费相等时 x 的值; C A B x吨
70

D

总计 200 吨 300 吨

总计

240 吨

260 吨

500 吨

⑵设 A、B 两个蔬菜基地的总运费为 w 元,写出 w 与 x 之间的函数关系式,并求总运费 最小的调运方案; ⑶经过抢修,从 B 地到 C 处的路况得到进一步改善,缩短了运输时间,运费每吨减少 m 元(m>0),其余线路的运费不变,讨论总运费最小的调运方案.

【例 3】 (荆州)某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心,捐出了五 月份的全部销售利润,已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台,每种型号 器材不少于 8 台,五月份支出包括这批器材进货款 64 万元和其他各项支出(即人员工资和 杂项开支)3.8 万元.这三种器材的进价和售价如下右表,人员工资 y1(万元)和杂项支出 y2(万元)分别与总销售量 x 成一次函数关系(如图) .

⑴求 y1 与 x 的函数解析式; ⑵求五月份该公司的总销售量; ⑶设五月份售出甲种型号器材 t 台,五月份总销售利润为 W(万元) ,求 W 与 t 的函数 关系式; (销售利润=销售额-进价-其他各项支出) ⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值. 【解法指导】 解:⑴设 y1=kx+b(x>0) ,则 ?

?b ? 0.2 ?k ? 0.05 ,解得 ? , ?20k ? b ? 1.2 ?b ? 0.2

∴y1 与 x 的函数关系式为 y1=0.05x+0.2 ⑵依题意得 y1+y2=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8 ∴x=60 ∴五月份该公司的总销售量为 60 台. ⑶设五月份售出乙型号器材 p 台,则售出丙型号器材(60-t-p)台.0.9t+1.2p+1.1 (60-t-p)=64, p=2t-20 ∴W=1.2t+1.6(2t-20)+1.3(60-t-2t+20)-64-3.8 W=0.5t+4.2

?t ≥ 8 ? ⑷依题意有 ? 2t ? 20 ≥ 8 ,∴14≤t≤24, ?60 ? t ? 2t ? 20 ≥ 8 ?
∵t 为正整数,∴t 最大为 24,∴W 是关于 t 的一次函数,∴W 随 t 的增大而增大.
71

∴t=24 时,W 最大=0.5?24+4.2=16.2(万元) ∴该公司这项向灾区捐款金额的最大值为 16.2 万元. 【变式题组】 01. (眉山)某玩具经销商用去 2350 元购进 A、B、C 三种新型的电动玩具共 50 套,并且购 进的三种玩具都不少于 10 套,设购进 A 种玩具 x 套,B 种玩具 y 套,三种电动玩具的 进价和售价如下表所示: 型号 进价(元/套) 售价(元/套) A 40 50 B 55 80 C 50 65

⑴求含 x、y 的代数式表示购进 C 种玩具的套数; ⑵求 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出, 且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种 费用 200 元. ①求利润 P(元)与 x(套)之间的函数关系式;②求利润的最大值,并写出此时三种 玩具各多少套.

02. (双柏县)今年我县水果又喜获丰收,某乡组织 30 辆汽车装运 A、B、C 三种水果共 64 吨到外地销售,规定每辆汽车只装运一种水果,且必须装满;装运每种水果的汽车不少 于 4 辆;同时,装运的 B 种水果的重量不超过装运的 A、C 两种水果重量之和. ⑴假设用 x 辆汽车装运 A 种水果,用 y 辆汽车装运 B 种水果,根据下表提供的信息, 求 y 与 x 之间的函数关系式并写出自变量的取值范围. 水果品种 每辆汽车装运量(吨) 每吨水果获利(百元) A 2.2 6 B 2.1 8 C 2 5

⑵设此次外销活动的利润为 Q,求 Q 与 x 之间的函数关系式,请你提出一个获得最大 利润时的车辆分配方案.

03. (河北) 某公司装修需用 A 型板材 240 块、 B 型板材 150 块, A 型板材规格是 60cm?30cm, B 型板材规格是 40cm?30cm.现只能购得 l50cm?30cm 的标准板材.一张标准板材尽 可能多的裁出 A 型、B 型板材,共有下列三种裁法: (图中是裁法一的裁剪示意图) 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块数 B 型板材块数 1 2 2 m 0 n

72

⑴上表中,m=_________,n=___________; ⑵分别求出 y 与 x 和 z 与 x 的函数关系式; ⑶若用 Q 表示所购标准板材的张数,求 Q 与 x 的函数关系式,并指出当 x 取何值时 Q 最小,此时按三种裁法各裁标准板材多少张?

【例 4】 (宜昌)2007 年 5 月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开 比赛序幕,20 日上午 9 时,参赛龙舟从黄陵庙同时出发, 其中甲、乙两队在比赛时,路程 y(千米)与时间 x(小时) 的函数关系式如图所示.甲队在上午 11 时 30 分到达终点 黄泊河港. ⑴哪个队先到达终点?乙队何时追上甲队? ⑵在比赛过程中,甲、乙何时相距最远? 【解法指导】 解:⑴乙队先到达终点, 对于乙队,x=1 时,y=16,所以 y=16x, 对于甲队出发 1 小时后,设 y 与 x 关系为 y=kx+b,将 x=1,y=20 和 x=2.5,y=35 分别代入上式得: ?

?20 ? k ? b ? y ? 16 x 5 ,解得:y=10x+10,解方程组 ? ,得 x= , 3 ?35 ? 2.5k ? b ? y ? 10 x ? 10

即出发 1 小时 40 分钟(或者上午 10 点 40 分)乙队追上甲队. ⑵1 小时之内,两队相距最远距离是 4 千米, 35 乙队追上甲队后,两队的距离是 16x-(10x+10) ,当 x 为最大,即 x= 时,6x-10 16 35 最大,此时最大距离为 6? -10=3.125<4,所以比赛过程中,甲、乙两队在出后 1 小时 16 (或者上午 10 时)相距最远. 【变式题组】 01. (佳木斯)甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地 480 千米的目的地,乙车比甲车晚 出发 2 小时(从甲车出发时开始计时) .图中折线 OABC、线段 DE 分别表示甲、乙两 车所行路程 y(千米)与时间 x(小时)之间的函数关系对应的图象(线段 AB 表示甲 出发不足 2 小时因故停车检修) .请根据图象所提供的信息,解决如下问题:

73

⑴求乙车所行路程 y 与时问 x 的函数关系式; ⑵求两车在途中第二次相遇时,他们距出发地的路程; ⑶乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇? 02. (牡丹江)甲、乙两车同时从 A 地出发,以各自的速度匀速向 B 地行驶.甲车先到达 B 地,停留 l 小时后按原路以另一速度匀速返回,直到两车相遇.乙车的速度为每小时 60 千米,下图是两车之间的距离 y 与乙车行驶的时间 x(小时)之间的函数图象. ⑴请将图中的( )内填上正确的值,并直接写出甲车从 A 到 B 的行驶速度; ⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中 y 与 x 之间的函数关系式, 并写出自变量 x 的取值范 围; ⑶求出甲车返回时行驶速度及 A、B 两地的距离.

【例 5】 (自贡)抗震救灾中,某县粮食局为了保证库存粮食的安全,决定将甲、乙两 个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的 A、B 两个仓库.已知甲库有粮食 100 吨,乙 库有粮食 80 吨,而 A 库的容量为 70 吨,B 库的容量为 110 吨,从甲、乙两库到 A、B 两库 的路程和运费如下表(表中“元/吨?千米”表示每吨粮食运送 1 千米所需人民币) 路程(千米) 运费(元/吨?千米) 甲库 乙库 甲库 乙库 20 15 12 12 A库 25 20 10 8 B库 ⑴若甲库运往 A 库粮食 x 吨,请写出将粮食运往 A、B 两库的总运费 y(元)与 x(吨) 的函数关系式; ⑵当甲、乙两库各运往 A、B 两库多少吨粮食时,总运费最省,最省的总运费是多少? 【解法指导】

74

解:⑴依题意有: y=12?20x+10?25(100-x)+12?15(70-x)+8?20?[80-(70-x)]=-30x +39200

?70 ? x ≥ 0 ?x ≥ 0 ? ∵? ,∴0≤x≤70 ?100 ? x ≥ 0 ? ?80 ? (70 ? x) ≥ 0
⑵上述一次函数中 k=-30<0,∴y 随 x 的增大而减小, ∴当 x=70 吨时,总运费最省,最省的总运费为-30?70+39200=37100(元) 【变式题组】 01. (河北)光华农机租凭公司共有 50 台联合收割机,其中甲型有 20 台,乙型有 30 台,现 在将这 50 台联合收割机派往 A、B 两地区收割小麦,其中 30 台派往 A 地区,20 台派 往 B 地区,两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表: 每台甲型收割机的租金 A地 区 B地 区 1800 元 1600 元 每台乙型收割机的租金 1600 元 1200 元

⑴设派往 A 地区 x 台乙型联合收割机,租赁公司这 50 台联合收割机一天获得的租金为 y(元) ,求 y 与 x 间的函数关系式,并写出 x 的取值范围; ⑵若使农机租赁公司这 50 台联合收割机一天获得租金总金额不低于 79600 元,说明有 多少种分派方案,并将各种方案设计出来; ⑶如果要使这 50 台联合收割机每天获得的租金最高,请你为光华农机租赁公司提出一 条合理的建议.

02. (安庆)为支持四川抗震救灾,重庆市 A、B、C 三地现在分别有赈灾物资 100 吨、100 吨、80 吨,需要全部运往四川重灾地区的 D、E 两县,根据灾区的情况,这批贩灾物 资运往 D 县的数量比运往 E 县的数量的 2 倍少 20 吨. ⑴求这批赈灾物资运往 D、E 两县的数量各是多少? ⑵若要求 C 地运往 D 县的赈灾物资为 60 吨, A 地运往 D 的赈灾物资为 x 吨 (x 为整数) , B 地运往 D 县的赈灾物资数量小于 A 地运往 D 县的赈灾物资数量的 2 倍,其余的赈 灾物资全部运往 E 县,且 B 地运往 E 县的赈灾物资数量不超过 25 吨.则 A、B 两地 的赈灾物资运往 D、E 两县的方案有几种? ⑶已知 A、B、C 三地的赈灾物资运往 D、E 两县的费用如下表: A地 运往 D 县的费用(元/ 吨) 运往 E 县的费用(元/ 吨) 220 250 B地 200 220 C地 200 210

为及时将这批赈灾物资运往 D、E 两县,某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用, 在⑵问的要求下,该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少?

75

【例 6】 (荆州竞赛题)在底面积为 100cm2、高为 20m 的长方体水槽内放入一个圆柱形 烧杯(烧杯本身的质量、体积忽略不计) ,如图所示,向烧杯中注入流量一定 的水,注满烧 .... 杯后,继续注水,直到注满水槽为止(烧杯在水槽中的位置始终不变) .水槽中水面 上升的 ..... 高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系式如图所示. ⑴求烧杯的底面积; ⑵若烧杯的高为 9cm,求注水的速度及注满水槽所用的时间.

【解法指导】设烧杯底面积为 Scm2,高为 h1cm,注水速度为 Vcm3/s,注满水槽用时 t0s. ⑴由图可知,当注水 18s 时,烧杯刚好注满;当注水 90s 时水槽内水面高恰好为 h1cm (烧杯高) .于是为 Sh1=18V,100h1=90V,则 100h1= ∴烧杯的底面积为 20cm2. 100?20 ⑵若 h1=90cm,则 V=10cm3/s,从而 =200s.∴注水速度为 10cm3/s,注满水 10 槽所用时间为 200s. 【变式题组】 01.某空军加油飞机接到命令,立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油,在加油过程 中,设运输飞机的油箱余油量为 Q1 吨,加油飞机的加油油箱 余油量为 Q2 吨,加油时间 .... 为 t 分钟,Q1、Q2 与 t 之间的函数图象如图所示,结合图象回答下列问题: ⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油?将这些油全部加给运输机需要多少分钟? ⑵求加油过程中,运输飞机的余油量 Q1(吨)与时间 t(分钟)的函数关系式; ⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行,需要 10 小时到达目的地,油料是否够用呢? 请你算一算,并说明理由. 1 Sh ?=90,∴S=20(cm2) , 18 1

02. (黑龙江)某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池,将甲池中的水以每小时 6 立方米的速 度注人乙池,甲、乙两个蓄水池中水的深度 y(米)与注水时间 x(小时)之间的函数 图象如图所示,结合图象回答下列问题: ⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式; ⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同; ⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同.

76

03. (绥化)因南方早情严重,乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情, 北方甲水库即以管道运输的方式给予支援,下图是两水库的蓄水量 y(万米 3)与时间 x (天)之间的函数图象.在单位时间内,甲水库的放水量与乙水库的进水量相同(水在 排放、接收以及输送过程中的损耗不计) .通过分析图象回答下列问题: ⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米? ⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库?此时乙水库的蓄水量为多少万立方 米? ⑶求直线 AD 的解析式.

演练巩固

反馈提高

01.如图,把一次性纸杯整齐的叠放在一起,根据图中的信息,当一筒纸杯的高度为 35cm 时,则该筒纸杯有( )

A.40 个 B.45 个 C.50 个 D.55 个 02.王老师组织学生举行了一次手抄报活动,最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起,在教 室里展出.如图,知每张报纸长为 38cm,宽为 28cm,粘合部分的纸为 2cm 宽,则这 10 张报纸粘合后的长度为( ) A.360cm B.362cm C.364cm D.380cm 03. (朝阳)如图是小明从学校到家里行进的路程 S(米)与时间 t(分)的函数图象.观察 图象,从中得到如下信息:①学校离小明家 1000 米;②小明用了 20 分钟到家;③小明 前 10 分钟走了路程的一半;④小明后 10 分钟比前 10 分钟走的快,其中正确的有 _________(填序号) 04. (嘉兴)沪杭高速铁路已开工建设,某校研究性学习以此为课题,在研究列车的行驶速
77

度时,得到一个数学问题,如图,若 v 是关于 t 的函数,图象为折线 O—A—B—C,其 17 中A (t1,350) ,B (t2,350) , C( ,0) , 四边形 OABC 的面积为 70, 则 t2-t1= ( 80 1 A. 5 3 B. 16 7 C. 80 31 D. 160 )

05. (黄冈)小高从家门口骑车去单位上班,先走平路到达 A,再走上坡路到达 B,最后走 下坡路到达工作单位,所用的时间与路程关系如图所示,下班后,如果他沿原路返回, 且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致,那么他从单位到家门口需 要的时间是( )

A.12 分钟 B.15 分钟 C.25 分钟 D.27 分钟 06. (宁波)如图,某电信公司提供了 A、B 两种方案的移动通信费用 y(元)与通话时间 x (分)之间的关系,则以下说法错误 的是( ) .. A.若通话时间少于 120 分钟,则 A 方案比 B 方案便宜 20 元 B.若通话时间少于 200 分钟,则 B 方案比 A 方案便宜 12 元 C.若通讯费用为 60 元,则 B 方案比 A 方案的通话时间多 D.若两种方案通讯费用差 10 元,则通话时间是 145 分或 185 分 07. (贵州黔东南州)如图,在中学生耐力测试比赛中,甲、乙两学生测试的路程 S(米) 与时间 t(秒)之间的函数关系的图象分别为折线 OABC 和线段 OD,下列说法正确的 是( ) A.乙比甲先到终点 B.乙测试的速度随时间增大而增大 C.比赛进行到 29.4 秒时,两人出发后第一次相遇 D.比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 08. (长春)某部队甲、乙两班参加植树活动.乙班先植树 30 棵,然后甲班才开始与乙班一 起植树,设甲班植树的总量为 y 甲(裸) ,乙班植树的总蚤为 y 乙(棵) ,两班一起植树所 用的时间(从甲班开始植树时计时)为 x(时) .y 甲、y 乙分别与 x 之间的部分函数图象 如图所示. ⑴当 0≤x≤6 时,分别求 y 甲、y 乙与 x 之间的函数关系式; ⑵如果甲、乙两班均保持前 6 个小时的工作效率,通过计算说明,当 x=8 时,甲、乙 两班植树的总量之和能否超过 260 棵; ⑶如果 6 个小时以后,甲班保持前 6 个小时的工作效率, 乙班通过增加人数,提高了工作效率,这样继续植树 2 小时,活动结束,当 x=8 时,两班之间植树的总量相差 20 裸,求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸.

78

09.某服装厂现有 A 种布料 35m,B 种布料 26m,现计划用这两种布料生产男、女两款式的 时装共 40 套.已知做一套男时装需要 A 种布料 0.6m、B 种布料 0.9m,可获利 90 元; 做一套女时装需要 A 种布料 1.lm,B 种布料 0.4m,可获利 100 元,若设生产男时装套 数为 x 套,用这批布料生产这两种时装所获得总利润为 y 元. ⑴求 y 与 x 的函数关系式,并求出 x 的取值范围; ⑵该服装厂生产这批服装中, 当生产男时装多少套时, 所获得利润最大?最大利润是多 少元?

10. (江苏无锡)某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用 A、B 两种原料,生产每吨节能 产品所需原料的数量如下表所示:

销售甲、乙两种产品的利润 m(万元)与销售量 n(吨)之间的函数关系如图所示.已 知该企业生产了甲种产品 x 吨和乙种产品 y 吨,共用去 A 原料 200 吨. ⑴写出 x 与 y 满足的关系式; ⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于 220 万元,那么至少要用 B 原料多少吨?

11. (深圳)某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装 240 辆,由于抽调 不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装, 工厂决定招聘一些新工人, 他们经过培 训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装,生产开始后,调研部门发现:l 名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车; 2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽 车. ⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车? ⑵如果工厂招聘 n(0<n<10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好 能完 .. 成一年的安装任务,那么工厂有哪几种 新工人的招聘方案? ... ⑶在⑵的条件下:工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 2000 元的工资.给每名新 工人每月发 1200 元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟 练工,同时工厂每月支出的工资总额 W(元)尽可能的少?
79

12. (河北)一手机经销商计划购进某品牌的 A 型、B 型、C 型三款手机共 60 部,每款手机 至少要购进 8 部, 且恰好用完购机软 61000 元, 设购进 A 型手机 x 部, B 款手机 y 部. 三 款手机的进价和预售价如下表: 手机型号 进价(单位:元/部) 预售价(单位:元/部) A型 900 1200 B型 1200 1600 C型 1100 1300

⑴用含 x,y 的式子表示购进 C 型手机的部数; ⑵求出 y 与 x 之间的函数关系式; ⑶假设所购进手机全部售出, 综合考虑各种因素, 该手机经销商在购销这批手机过程中 需另外支出各种费用共 1500 元. ①求预估利润 P(元)与 x(部)的函数关系式; (注:预估利润 P=预售总额一购机款 一各种费用) ②求预估利润的最大值,并写出此时购进三款手机各多少部.

80

第 11 讲 幂的运算
考点·方法·破译
幂的运算性质(其中 m、n、p 都为正整数) : 1. a ? a ? a
m n m? n

2. (am )n ? amn 3. (ab)n ? a nbn 4. a ? a ? a
m n
0

m?n

5. a ? 1(a ? 0),a

?p

?

1 (a ? 0) ap

经典·考题·赏析
【例 1】下列算式,正确的个数是( ) ① a ?a ? a
3 4 12

②a ?a ? a
5 5

10

③ (a3 )3 ? a6 D.3 个

④ (?2a2 )3 ? 6a6

A.0 个

B.1 个

C.2 个

【解法指导】①同底数幂相乘,底数不变,指数相加,结果应为 a ;②合并同类项, 结果为 2 a ;③幂的乘方,底数不变,指数相乘,即过位 a ;④积的乘方,等于积的每一 个因式分别乘方,结果为 ?8a ,故选 A.
6 5 9

7

【变式题组】 01.计算 (c ) ? (c
2 n n ?1 2

) 的结果是(

) C. c
2n?2

A. c

4n?2

B. c 4 n ? 4
100

D. c

3n ? 4

02.计算 (?2)
n

? (?2)101 =_______________
3 9 15

03.如果 (a ? b b) ? a b ,则 m=_________,n=____________
m

04.计算 ( x y ) ? (? x ) ? (? y) =_______________
2 3 n n 2 3

【例2】若 2

2n+1

? 4n ? 48 ,求 n 的值.

【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式. 解:∵ 2
2n+1

? 4n ? 48 ,∴ 22n+1 ? 22 n ? 48 , 2 ? 22n ? 22n ? 3 ? 22n , 3 ? 22 n ? 3 ? 24 ,

∴ 2n ? 4, n ? 2
81

【变式题组】
n 01.若 2 ? 4 , 2 ? 16 ,求 2
m 2m?n

的值

02.若 x

3n

? 5 ,求代数式 (?2x2n )3 ? 4( x3 )2n 的值

03.若 x ? 3 , x ? 6 ,则 x
m n

3m ? 2 n

=________.

04.已知 a

3m

? 3 , b3n ? 2 ,求 (a2m )3 ? (bn )3 ? a2m ? bn ? a4m ? b2n 的值

05.已知 2

2 m?3

? 22m?1 ? 192 ,求 m 的值

【例3】 (希望杯) a ? ?2 , b ? ?3 , c ? ?5 , d ? ?6 ,那么 a、b、c、d 的大
55 44 33 22

小关系为( ) A.a>b>c>d

B.a>b>d>c
mn

C.b>a>c>d

D.a>d>b>c

【解法指导】逆用幂的乘方公式 a 解 : ∵

? (am )n ,将 a、b、c、d 变为指数相同的幂的形式.
5 2?

a ? 25?

5

? (

)1

,? 3 b? ?? 23 ? ?(3 ) ? ?81
1 1 44 1 4 11

11



c ? ?533 ? ?(53 )11 ? ?12511 , d ? ?622 ? ?(62 )11 ? ?3611 ,∴a>d>b>c.故选 D.
【变式题组】 01.已知 a ? 81 , b ? 27 , c ? 9 ,则 a、b、c 的大小关系是(
31 41 61



A.a>b>c
50

B.a>c>b
40 30

C.a<b<c

D.b>c>a )

02.已知 a ? 3 , b ? 4 , c ? 5 ,则 a、b、c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b
200

C.c<b<a

D.b<c<a

【例 4】求满足 ( x ? 1)

? 3300 的 x 的最小正整数

【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式 解:∵ ( x ? 1)
200

? 3300

∴ [( x ?1) ]

2 100

? (33 )100

82

∴ ( x ? 1)2 ? 27 ∴ x ?1 ? 27

∵x 为正整数

x ? 2 7? 1

∴x 的最小正整数为 7 【变式题组】 01.求满足 n <5
200 300

的最大整数值 n.

02.如果 x、y 是正整数,且 2 ? 2 ? 32 ,求满足条件的整数 x、y
x y

03.求满足 (n2 ? n ?1)n?2 ? 1 的整数 n.

演练巩固
A. x ? x ? 12
3 4

反馈提高

6 2 3

01. (无锡)下列运算正确的是(

B. (?6 x ) ? (?2 x ) ? 3x D. (?2 x ) ? ?6 x
2 3 6

C. 2a ? 3a ? ?a

02. (泰州)下列各式计算正确的是( A. a ? 2a ? 3a
2 3 5


5

B. (2b ) ? 6b
2 3 2 2 n ?1

C. (3xy) ? ( xy) ? 3xy
2

2 x ? 3x ? 6 x D.
5

6

03.当 n 为正整数时, (? x ) A. ? x
4n?2

等于(

) C. x ) C. a ? a
6 8 4 n ?1

B. ? x
2 4

4 n ?1

D. x

4n?2

04.计算 (a ) ? a ? a 的结果为(
3 2

A. 2 a

9

B. 2 a

6

D. a

12

83

05.下列命题中,正确的个数是(



(1)m 为正奇数时,一定有等式 (?4)m ? ?4m (2)等式 (?2)m ? 2m ,无论 m 为何值时都不成立 (3)三个等式: (?a2 )3 ? a6, (?a3 )2 ? a6, ( [ ? (? a)2 )]3 ? a6 都不成立; (4)两个等式: (?2x3 y 4 )m ? ?2m x3m y 4m , (?2 x3 y 4 )n ? ?2n x3n y 4n 都不一定成立. A .1 个 B.2 个 06.下列各题中,计算正确的是( A. (?m3 )2 (?n2 )3 ? m6 n6 C. (?m2 n2 )2 (?mn2 )3 ? ?m9 n8 C.3 个 ) B. [(?m3 )2 (?n2 )3 ]3 ? ?m18n18 D. (?m2 n)3 (?mn2 )3 ? ?m9n9 D.4 个

07.已知 | x ? 2 | ? | 2 x ? 3 y ? 8 |? 0,则x y ? y 2 ? y x ? x2 =_______________ 08. x ? x ? x
3 a
5

2 a ?1

? x 25 ,则关于 y 的方程 ay=a+14 的解是________________
5

(?3) , (? ) , (? ) 中,最大的数是_________________ 09.在 (?2) ,
5 5

1 2

1 3

10.一块长方形草坪的长是 a

m?1

米,宽是 a
2

m ?3

米(m、n 均为大于 1 的正整数) ,则该长方

形草坪的面积是______________ 米 . 11.计算

2 2001 1 ? (2 )1000 =_______________ 3 4 1 2001 1 3 ? (?1 ) 2002 ? (? ) 2003 =____________________ ⑵ (1 ) 3 4 5
⑴ (? ) 12.计算 ⑴ y? y
n?1

? 2 yn ? y2

⑵ (? x) ? x ? (? x) ? 2 x ? (? x) ? (? x) ? x
4 3 4

4

84

⑶ ( x4 )2 ? ( x2 )4 ? x( x2 )2 ? x3 ? (? x)3 ? (? x2 )2 ? (? x)

⑷ (? x2 y)3 ? 7( x2 )2 ? (? x)2 ? (? y)3

2 13.若 (3a ? 2b) ? | 2a ? 3b ? 5 |? 0 ,化简: (ax y ) ? ( ?bxy ) ? (
2 3 2 a

1 2 2 a 3 x y z ) a

14.已知 n 是正整数, x

2n

1 1 ? 16 ,求 ( x3n ) 2 ? ( x 2 ) 2 n 的值 16 16

2010 15.已知 a、b、c 为自然数,且 2 ? 27 ? 37 ? 1998 ,求 (a ? b ? c) 的值
a b c

85

培优升级

奥赛检测

01. (江苏竞赛)若 x ? 2n?1 ? 2n,y ? 2n?1 ? 2n?2 ,其中 n 为整数,则 x 与 y 的数量关系为 ( ) A.x=4y

B.y=4x )
n ?1

C.x=12y

D.y=12x

2n ? 4 ? 2(2n ) 02.化简 得( 2(2n ?3 )
A. 2
n ?1

?

1 8

B. ? 2

C.

7 8

D.

7 4

03.化简

4m ? 2 ? 22 m ?3 =__________________ 4m ?1
8

04. 2 ? 5 的位数为_____________________
15

05. 3

2001

? 72002 ?132003 所得积的末位数字是____________________
y 2 x? y

3 ? 6 ,求 9 06.若 3 ? 4,
x

? 27 x ? y 的值
9 8
a

07.是否存在整数 a、b、c 满足 ( ) ? ( 存在,说明理由. 08.如果整数 x、y、z 满足 (

10 b 16 c ) ? ( ) ? 2 ?若存在,求出 a、b、c 的值;若不 9 15

10 x 9 y 8 z 1 x? y ) ?( ) ?( ) ? ,求 ( x ? y ? z) 的值 27 16 15 256

09.已知 3 ? 11 能被 10 整除,求证: 3
n m

n?4

? 11m?2 也能被 10 整除

5 4 3 2 10.设 a、b、c、d 都是非零自然数,且 a ? b ,c ? d ,c ? a ? 19 ,求 d ? b 的值

11 . (江 苏 竞 赛 ) 已知 k 、 x 、 y 、 z 是 整 数 , 且 k>x>y>z ,若 k 、 x 、 y 、 z 满 足 方 程
k x y z ,求 k 的值 16(2 ? 2 ? 2 ? 2 )? 330

86

第 12 讲

整式的乘除

考点·方法·破译(缺奥赛部分)
1.整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等. 2.整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等. 3.乘法公式:⑴ ?a ? b??a ? b? ? a 2 ? b 2 . ⑵ ?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ⑶ ?a ? b ? c?2 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ⑷ ?a ? b? a 2 ? ab ? b 2 ? a 3 ? b 3 ⑸ ?a ? b?3 ? a 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 ? b 3

?

?

经典·考题·赏析
【例1】 计算: ⑵ ?x ? 2?2 ? 2?x ? 1??x ? 3? ⑴ ?a ? 2b ? 3c ??a ? 2b ? 3c ? ⑶ ?2x ? 1?2 4x 2 ? 1 ?1 ? 2x?2
2

?

?

【解法指导】 ⑴两个项数相同的多项式相乘, 若两个多项式中只存在相同的项与相反的 项,则将相同的项结合,相反数的项结合,然后利用平方差公式计算;⑵多项式的积作为减 数时一定要将积添上括号, 作为一个整体; ⑶观察式子的特点, 将能够利用公式的项先整合. 解:⑴ ?a ? 2b ? 3c ??a ? 2b ? 3c ? = ??a ? 3c? ? 2b???a ? 3c? ? 2b? ? ?a ? 3c?2 ? 4b 2 ? a 2 ? 6ac ? 9c 2 ? 4b 2 ⑵ ?x ? 2?2 ? 2?x ? 1??x ? 3?= x 2 ? 4x ? 4 ? 2 x 2 ? 2x ? 3 = x 2 ? 4 x ? 4 ? 2 x 2 ? 4 x ? 6 ? ? x 2 ? 8x ? 10 ⑶ ?2x ? 1?2 4x 2 ? 1 ?1 ? 2x?2 = ?2x ? 1??2x ? 1? 4x 2 ? 1 = 4x 2 ? 1 4x 2 ? 1
2 2

?

?

?

?

?

?

?? ??

??

??

2

= 16x 4 ? 1 ? 256x 8 ? 32x 4 ? 1 【变式题组】 01.计算:⑴ ?x ? 3 y ??x ? 3 y ? x 2 ? 9 y 2 ⑶ ?2a ? 3b ? c ??2a ? 3b ? c ?

?

?

2

?

?

⑵ ?2b ? c ??? 2b ? c ? ⑷ 3?m ? 1?2 ? 5?m ? 2??m ? 2? ? 2?m ? 1?2
2

02.规定一种运算“*” :对于任意实数对(x,y)恒有(x,y)*(x,y)=(x+y+1),x -y-
87

1).若实数 a,b 满足(a,b)*(a,b)=(b,a),则 a=__________,b=_________ 【例2】在边长为 a 的正方形中挖去一个边长为 b 的正方形( a>b) (如图甲) ,把余 下部分拼成一个矩形 ( (如图乙) , 根据两个图 a b a 形中阴影部分的面积相等,可以验证( ) A. ?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 B. ?a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 C. a 2 ? b 2 ? ?a ? b??a ? b? D. ?a ? 2b??a ? b? ? a 2 ? ab ? 2b 2 【解法指导】图甲中阴影部分面积为 a 2 ? b 2 ,图乙中阴影部分面积为 ?a ? b??a ? b? .故 选 C. 【变式题组】 01.如图,在边长为 a 的正方形中剪去一个边长为 b 的小正方形(a>b).把剩下的部分拼 成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分面积,验证求法公式 . b b b b b 甲 乙 a b

a 第 1 题图

a

a

02. 完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示, 实际上还有一些代数式也可以用这种 形式表示,例如 ?2a ? b??a ? b? ? 2a 2 ? 3ab ? b 2 就可以用图 1 的形式表示. ⑴请写出图 2 所表示的代数恒等 ; ⑵请画出一个几何图形,使它的面积能 b b a a 图1 第 2 题图 03.利用图形面积可以解释代数恒等式的正 弦 确性,也可以解释不等式的正确性. ⑴根据下列图形写出一个代数恒等式; a ⑵已知正数 a、b、c 和 m、n、l 满足 a ? m ? b ? n ? c ? l ? k ,试构 造边长为 k 的正方形,利用图形面积证明 al ? bm ? cn<k 2 . b a
88

a

a b a b



b a a b b a a 图2 a b a b b

表示成: ?a ? b??a ? 3b? ? a 2 ? 4ab ? 3b 2

b

【例3】已知

?a ? b?2 ? 7, ?a ? b?2 ? 3, 求ab及a 2 ? b 2的值 .

【解法指导】形如 ?a ? b?2 , ?a ? b?2 , ab, a 2 ? b 2 的式子均为完全平方公式这一家族的成 员,应由它们变形得来. 解: ∵ ?a ? b?2 ? 7, ?a ? b?2 ? 3 , ∴ ?a ? b?2 ? ?a ? b?2 ? 10 即 2 a 2 ? b 2 ? 10, a 2 ? b 2 ? 5 ,

?

?

?a ? b?2 ? ?a ? b?2 ? 4 , 4ab ? 4, ab ? 1
【变式题组】 01. a 2 ? b 2 ? 11, ab ? 3, 则a ? b ? 02.若 x+y=3,xy=2,求 x 4 ? y 4 的值. .

03.若 ?a ? b?2 ? 5, ?a ? b?2 ? 2, 求a 2 ? b 2 ? ab的值 ,

04.若 x+y=1,x2+y2=3.求 x 3 ? y 3 的值. 【例4】已知 a=2009x+2006,b=2009x+2007,c=2009x+2008,求多项式
a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 的值.

【解法指导】多项式 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 具有完全平方式的一些特征,经过变后 可转化为 ?a ? b?2 , ?b ? c ?2 , ?a ? c ?2 的代数和的形式,然后再结合已知即可求值. 解: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac = = =

1 2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ac ? 2bc ? 2ab 2

?

?

1 2 a ? 2ab ? b 2 ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? b 2 ? 2bc ? c 2 2

??

? ?

? ?

??

1 ?a ? b?2 ? ?a ? c?2 ? ?b ? c?2 2 ∵a=2009x+2006,b=2009x+2007,c=2009x+2008 ∴a-b=-1,a-c=-2,b-c=-1
∴原式= 【变式题组】 01.如果 a ? 2b ? 3c ? 12 ,且 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac .则 a ? b 2 ? c 3 ? ( A.12 B.14 C.16 D.18 02.如图,立方体的每一个面上都有一个自然数,已知相对的两个面上 两数之和相等,如果 13,9,3 的对面的数分别是 a、b、c,求
89

?

?

1 ?1 ? 4 ? 1? ? 3 2

) 3 13 9

a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 的值.

03.已知 a、b、c 满足 a 2 ? 2b ? 7, b 2 ? 2c ? ?1, c 2 ? 6a ? ?17 ,求 a+b+c 的值. 【例5】若 2 x 3 ? kx 2 ? 3 被 2 x ? 1 除后余 2,求 k 的值. 【解法指导】 2 x 3 ? kx 2 ? 3 被 2 x ? 1 除后余 2 则 2 x 3 ? kx 2 ? 3 ? 2 ? 2 x 3 ? kx 2 ? 1 能被
2 x ? 1 整除,即 2 x 3 ? kx 2 ? 1 有一个因式为 2 x ? 1 ,因而关于 x 方程 2 x 3 ? kx 2 ? 1 ? 0 有一个

根为 x ? ?

1 1 ,将 x ? ? 代入可求 k. 2 2 若利用竖式除法也可解决.
解:∵ 2 x 3 ? kx 2 ? 3 被 2 x ? 1 除后余 2,∴ 2 x 3 ? kx 2 ? 1 能被 2 x ? 1 整除 令 2 x ? 1 =0 得 x ? ?
3

1 代入 2 x 3 ? kx 2 ? 1 =0 成立, 2

? 1? ? 1? ∴ 2? ? ? ? k ? ? ? ? 1 ? 0 ,∴k=3 ? 2? ? 2?

【变式题组】 01.若 x 3 ? ax 2 ? ax ? 1 被 x ? 2 除的余数为了 3,则 a= 02.若 3x 3 ? mx 2 ? nx ? 42 能被 x 2 ? 5x ? 6 整除,则 m= . .n= . .

03.若多项式 x 4 ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 能被 ?x ? 1?3 整除,则 a+b+c= 【例6】设 a ? 7 ? 1 ,则 3a 3 ? 12a 2 ? 6a ? 12 = 【解法指导】应用整体代入求值即可. 解:∵ a ? 7 ? 1 , a ? 1 ? 7 , ?a ? 1?2 ? 7 , a 2 ? 2a ? 6 ? 0 ∴ 3a 3 ? 12a 2 ? 6a ? 12 ? 3a a 2 ? 2a ? 6 ? 6a 2 ? 12a ? 12 = 3a a 2 ? 2a ? 6 ? 6 a 2 ? 2a ? 6 ? 24 ? 0 ? 0 ? 24 ? 24 【变式题组】 01.若 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,那么代数式 x 3 ? 2 x 2 ? 7 的值为( A.6 B.8 C.-6 D.-8 . ) .

?

?

?

? ?

?

02.已知 a ? 5 ? 1 ,则 2a 3 ? 7a 2 ? 2a ? 12 的值等于 03.若 3x 3 ? x ? 1 ,求 9 x ? 12 x ? 3x ? 7 x ? 2010 的值.
4 3 2

90

演练巩固·反馈提高
01.下列计算正确的是( ) A. ?? 4x? ? 2x 2 ? 3x ? 1 ? ?8x 3 ? 12x 2 ? 4x B. ?x ? y ? x 2 ? y 2 ? x 3 ? y 3 C. ?? 4a ? 1? ? ?4a ? 1? ? 1 ? 16a 2 D. ?x ? 2 y ?2 ? x 2 ? 2xy ? 4 y2

?

?

?

?

02.在① ?x ? y ??x ? 3? ? x 2 ? 6 ;② 3m 2 ? 1 3m 2 ? 1 ? 9m 2 ? 1;
?1 ? ③ ?3 p ? 2?? q ? 2 ? ? pq ? 4 中运算错误的个数是( ) ?3 ? A.0 B.1 C .1 或 5 D.±1 或±5 03.在 1,-1,-2 这三个数中,任意两数之和的最大值是( ) A. 1 B.1 C .2 D.3 04.下列计算正确的是( )

?

??

?

A. ?? a ? b?2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 C. ?x ? y ??x ? y ? x 2 ? y 2 ? x 4 ? y 4 05.下列关系式不成立的是( )

B. ?a ? b?2 ? a 2 ? b 2 D. ?2a ? b??b ? 2a? ? ?4a 2 ? 4ab ? b 2

?

?

A. a 2 ? b 2 ? ?a ? b?2 ? 2ab

?

?

B. a 2 ? b 2 ? ?a ? b?2 ? 2ab D. 2ab ? ?a ? b?2 ? ?a ? b?2 )

?

?

C. 2 a 2 ? 2b 2 ? ?a ? b?2 ? ?a ? b?2

?

?

06.已知长方形的面积为 4a 2 ? 6ab ? 2a ,且一边长为 2a,则其周长为( A. 4 a ? 3b B. 8a ? 6b 07.下列计算正确的是( ) C. 4a ? 3b ? 1 D. 8a ? 6b ? 2

A. 9x 4 y 3 ? 12x 3 y 4 ? 3x 3 y 2 ? 3xy ? 4xy 2 B. 28a 3 ? 14a 2 ? 7a ? 7a ? 4a 2 ? 2a ? 7a C. ? 4a 3 ? 12a 2 b ? 7a 3b 2 ? ? 4a 2 ? a ? 3b +

?

?

?

?

?

? ? ?

?

7 2 ab 4
R S D

D. (25x 2 ? 15x 2 y ? 20x 4 ) ? ? 5x 2 ? ?5 ? 3xy ? 4x 2 08.如图,矩形花园 ABCD 中,AB=a,AD=b,如图中建有 一条矩形道路 LMPQ 及一条平行四边形道路 RSTK.若 LM=RS=c,则花园中可绿化部分的面积为( ) 2 2 A.bc-ab+ac+b B.a +ab+bc-ac C.ab-bc-ac+c2 D.b2-bc+a2-ab 09.已知 y ? A

?

L M B

Q P C

K

T

1 1 x ? 1 ,那么 x 2 ? 2 xy ? 3 y 2 ? 2 的值为__________ 3 3
91

10.若 a ? b ? 3, ab ? 1, 则a 2 ? b 2 ?

.

11.已知 x 2 ? 5x ? 14, 求?x ? 1??2x ? 1? ? ?x ? 1?2 ? 1 的值.

12.计算:⑴ ?x ? y ??x ? y ? ? ?x ? y ?2 ? 2 y?x ? y ? ? 4 y ⑵ ?6a 2 m ?1 ? ? a 2 ? ?

?

?

?

?

2

2 ? 1 ? ? 3a 2 m ? 2 ? 9 a m ?1 ? ? ? ? a m ? 2 ? ? ? ? 3 ?

?

?

13.若 A=-2xy,B= ?

1 4 4 1 2 x y ? x 2 y 3 ? x 3 y 2 ,求 B÷A 的值. 4 3

14.已知多项式 m 除以 3x 2 ? 2 x ? 4 得商式 2x+6,余式为 3x+1,求多项式 m.

92

15.如图,有两种长方形卡片若干,卡片 A 的长为 x ?

1 1 y ,宽为 x ? y ,卡片 B 的长为 2 2

5 3 11 x ? 5 y ,宽为 x ? y ,其中 x>4y,且 x、y 均为正数. 2 2 2

⑴你能用 A、B 两种卡片若干张,拼成一个无缝隙的正方形吗?试试看,画出示意 图; ⑵试用两种不同的方法计算出所拼成的正方形的面积,并比较结果是否相等.

16.已知实数 a 、b、x、y 满足 ax+by=3,ay-bx=5.求 a 2 ? b 2 x 2 ? y 2 的值.

?

??

?

17.若规定一种运算“*” :a*b=(a+2)(b+5)-(a+3)(b+4).试化简(m-1)*(n+1).

93

第 13 讲
考点·方法·破译

因式分解及其应用

1.因式分解的定义:把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多 项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式; 2.因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等; 3.因式分解的基本原则:有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不 能再分解为止; 4.竞赛中常出现的因式分解问题,常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待 定系数法等方法、另外形如 x2 ? px ? q 的多项式,当 p=a+b,q=ab 时可分解为(x+a) (x +b)的形式; 5.利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.

经典·考题·赏析
【例1】 ⑴若 x2 ? kxy ? 9 y 2 是完全平方式,则 k=______________ ⑵若 x2 ? 5 xy ? ky 2 是完全平方式,则 k=______________ 【解法指导】形如 a 2 ? 2ab ? b2 的形式的式子,叫做完全平方式.其特点如下:⑴有三项; ⑵有两项是平方和的形式;⑶还有一项是乘积的 2 倍,符号自由. 解:⑴ x2 ? kxy ? 9 y 2 ? x2 ? kxy ? (3 y )2 是完全平方式,∴ kxy ? ?6 xy ∴ k ? ?6 ; ⑵ x2 ? 5xy ? ky 2 ? x2 ? 2 ? x ? 【变式题组】 01.若 m2 ? kmn ? 9n2 是一个完全平方式,则 k=________ 02.若 x2 ? y 2 ? 6 x ? 10 y ? 34 ? 0 ,求 x、y 的值.
1 9 5y 5 ? ky 2 是完全平方式,∴ ky 2 ? ( y )2 2 2

∴k ?

25 4

03.若 a2 ? a2b2 ? 4ab ? b2 ? 1 ? 0 ,求 a、b 的值.

04. (四川省初二联赛试题)已知 a、b、c 满足 | 2a ? 4 | ? | b ? 2 | ? (a ? 3)b2 ? a2 ? c2 ? 2 ? 2ac ,求
a ? b ? c 的值.

94

【例 2】⑴(北京)把 x3 ? 2 x2 y ? xy 2 分解因式,结果正确的是( ) 2 2 2 A. x( x ? y )( x ? y ) B. x( x ? 2 xy ? y ) C. x ( x ? y ) D. x ( x ? y ) 2 ⑵(杭州)在实数范围内分解因式 x 4 ? 4 =____________ ⑶(安徽)因式分解 a 2 ? b2 ? 2b ? 1 =_______________ 【解法指导】分解因式的一般步骤为:一提,二套,三分组,四变形 解:⑴ x3 ? 2 x2 y ? xy 2 ? x( x2 ? 2 xy ? y 2 ) ? x( x ? y )2 ⑵ x4 ? 4 ? ( x2 ? 2)( x2 ? 2) ? ( x2 ? 2)( x ? 2)( x ? 2) ⑶ a2 ? b2 ? 2b ? 1 ? a2 ? (b2 ? 2b ? 1) ? a2 ? (b ? 1)2 ? (a ? b ? 1)(a ? b ? 1) 【变式题组】 ⑴ 3x3 y 2 ? 6 x2 y3 ? 12 x2 y 2 ⑵ 2a( x2 ? 1)2 ? 2ax2

⑶ 20a 2bx ? 45bxy 2

⑷ 49(a ? b)2 ? 16(b ? a)2

⑸ (a2 ? 5)2 ? 8(5 ? a2 ) ? 16

【例 3】要使二次三项式 x2 ? 5 x ? p 在实数范围内能进行因式分解,那么整数 P 的取值 可能有( ) A .2 个 B.4 个 C.6 个 D.无数多个 2 【解法指导】由 x ? (a ? b) x ? ab ? (x ? a )(x ? b ) 可知,在整数范围内分解因式 x2 ? 5 x ? p ,p 为 n(5 ? n) 的积为整数,∴p 有无数多个,因而选 D 【变式题组】 ⑴已知 x 2 ? ax ? 12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数 a 的个数 是( ) A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 2 x ? x ? n ⑵在 1~100 间,若存在整数 n,使 能分解为两个整系数的一次因式的乘积,则 这样的 n 有__个 【例 4】分解因式:⑴ 2 x 2 ? 11x ? 12 ⑵ x2 ? 4 y2 ? z 2 ? 4 yz ⑶ ( x2 ? 5 x ? 2)( x2 ? 5 x ? 3) ? 12 ⑷ x2 ? xy ? 6 y 2 ? x ? 13 y ? 6 【解法指导】 解:⑴ ∴ 2 x2 ? 11x ? 12 ? (2 x ? 3)( x ? 4) ⑵ x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 4 y 2
? x2 ? (4 y 2 ? 4 yz ? z 2 ) ? x2 ? (2 y ? z )2
? ( x ? 2 y ? z )( x ? 2 y ? z )

2 1

-3 -4

⑶设 x2 ? 5 x ? 2 ? 5 ,则原式可变为 t (t ? 1) ? 12 ? t 2 ? t ? 12 ? (t ? 3)(t ? 4) ∴原式= ( x2 ? 5 x ? 2 ? 3)( x2 ? 5 x ? 2 ? 4)
? ( x2 ? 5 x ? 1)( x2 ? 5 x ? 6)

95

? ( x2 ? 5 x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)

⑷ x2 ? xy ? 6 y 2 ? x ? 13 y ? 6
? ( x2 ? xy ? 6 y 2 ) ? ( x ? 13 y ) ? 6
? ( x ? 2 y )( x ? 3 y ) ? ( x ? 13 y ) ? 6 ? ( x ? 2 y ? 3)( x ? 3 y ? 2)

( x ? 2 y) ( x ? 3 y)

3 -2

【变式题组】 01.分解因式: ⑴ x2 ? 4 y2 ? 9 z 2 ? 12 yz

⑵ 4 x2 ? 4 x ? y 2 ? 4 y ? 3

⑶ ab ? 2a ? 3b ? 6

⑷ ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 1

⑸ 6 y 2 ? 19 y ? 10

【例 5】⑴(上海竞赛试题)求方程 6 xy ? 4 x ? 9 y ? 7 ? 0 的整数解; ⑵(希望杯)设 x、y 为正整数,且 x2 ? y 2 ? 4 y ? 96 ? 0 ,求 xy 的值 【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解,将不定方程转化为方程组求解; ⑵将等式左边适当变形后进行配方,利用 x、y 为正整数的特点,结合不等式求解. 解:⑴ 6 xy ? 4 x ? 9 y ? 7 ? 0 , (6 xy ? 4 x) ? (9 y ? 6) ? 1 , 2 x(3 y ? 2) ? 3(3 y ? 2) ? 1 ,
x ? 3) ? 1 或 (2 x ? 3) ? ?1 ∴ (2 x ? 3)(3 y ? 2) ? 1 ,∵x、y 都是整数 ∴ (2 (3 y ? 2) ? 1 (3 y ? 2) ? ?1

?

?

? ?1 , ∴? (舍去)或 x ? 1 ,∴方程的整数解为 x ?y ? ?1 y ? ?1 y ? ?1 ? ? 3

x?2

?

?

⑵ x2 ? y 2 ? 4 y ? 96 ? 0 , y 2 ? 4 y ? 4 ? 100 ? x2 , ( y ? 2)2 ? 100 ? x2 ,∵ 100 ? x 2 ? 0 ∴ x 2 ? 100 ∵x 为正整数,∴x=1,2,?,10 ,又∵ ( y ? 2)2 是平方数,∴x=6 或 8 当 x=6 时 ( y ? 2)2 =64,y=6,当 x=8 时 ( y ? 2)2 =36,y =4,∴xy=36 或 32 【变式题组】 01.设 x、y 是正整数,并且 y2 ? x2 ? 2132 ,则代数式
2 x2 ? xy ? y 2 的值是___________ x? y

02.(第二届宗沪杯)已知 a、b 为整数,则满足 a+b+ab=2008 的有序数组(a,b)共有 __________ 03. (北京初二年级竞赛试题)将 2009 表示成两个整数的平方差的形式,则不同的表示方法 有( ) A.16 种 B.14 种 C.12 种 D.10 种 04.方程 x3 ? y3 ? x2 y ? xy 2 ? 32 的正整数解的个数为( ) A .0 个 B.1 个 C.2 个 D.不少于 3 个 05. 一个正整数, 如果加上 100 是一个完全平方数: 如果加上 168 则是另外一个完全平方数, 求这个正整数.
96

【例 6】已知 k、a 都是正整数,2004k+a、2004(k+1)+a 都是完全平方数 ⑴请问这样的有序正整数(k、a)共有多少组? ⑵试指出 a 的最小值,并说明理由. 解:⑴ 2004k ? a ? m2 ① 2004(k ? 1) ? a ? n2 ②,这里 m、n 都是正整数,则 n2 ? m2 ? 2004 故 (n ? m)(n ? m) ? 2004 ? 2 ? 2 ? 3 ? 167
? m ? 1002 或 n ? m ? 334 ,解得 m ? 500 或 m ? 164 , 注意到, m ? n 、 n ? m 奇偶性相同,则 n n?m?2 n?m?6 n ? 502 n ? 170

?

?

?

?

当 n=502,m=500 时,由①得 2004k+a=250000,所以 a ? 2004(124 ? k ) ? 1504 ③ 由于 k、a 都是正整数,故 k 可以取值 1,2,3,?,124,相应得满足要求的正整数数 组(k、a)共 124 组 当 n=170,m=164 时,由①得 2004k+a=26896 所以 a ? 2004(13 ? k ) ? 844 ④ 由于 k、a 都是正整数,故 k 可以取值 1,2,3,?,13,相应得满足要求的正整数数 组(k、a)共 13 组 从而,满足要求的正整数组(k、a)共有 124+13=137(组) ⑵满足式③的最小正整数 a 的值为 1504,满足式④的最小正整数 a 的值为 844,所以, 所求的 a 的最小值为 844 【变式题组】 01. (北京竞赛)已知 a 是正整数,且 a 2 ? 2004 a 是一个正整数的平方,求 a 的最大值.

02.设 x、y 都是整数, y ? x ? 524 ? x ? 500 ,求 y 的最大值

演练巩固

反馈提高
) )

01.如果分解因式 81 ? xn ? (9 ? x2 )(3 ? x)(3 ? x) ,那么 n 的值为(

A.2 B.4 C.6 D.8 2 2 02.若多项式 x ? pxy ? qy ? ( x ? 3 y)( x ? 3 y) ,则 p、q 的值依次为( A. ?12 , ?9 B.6, ?9 C. ?9 , ?9 D. 0 , ?9 03.下列各式分解因式正确的是( ) A. 9 x2 ? 1 ? (9 x ? 1)(9 x ? 1) B. a4 ? 1 ? (a2 ? 1)(a2 ? 1) C. ?81a2 ? b2 ? ?(9a ? b)(9a ? b) D. (?a)3 ? ab2 ? ?a(a ? b)(a ? b) 04.多项式 ( x ? y ? z )( x ? y ? z ) ? ( y ? z ? x)( z ? x ? y ) 的公因式是( A. x ? y ? z B. x ? y ? z C . y ? z ? x D.不存在 2 2 05. (m ? n) ? 4m(m ? n) ? 4m 分解因式的结果是( )



97

A. ( m ? n ) 2

B. ( m ? 2 n ) 2

C. ( m ? n ) 2

D. ( m ? 2 n ) 2 )

06.若 x 2 ? ax ? 18 能分解成两个因式的积,则整数 a 的取值可能有( A.4 个 B.6 个 C.8 个 D.无数个 07.已知 a2 ? b2 ? 4a ? 2b ? 5 ? 0 ,则 A.3 B.
1 3 a?b 的值为( a ?b

) D. ?
1 3

C. ?3

08.分解因式: ( x ? 2)( x ? 4) ? x2 ? 4 =__________________ 09.分解因式: a 2 ? b2 ? 4a ? 2b ? 3 =__________________ 10.分解因式: x3 y3 ? 2 x2 y 2 ? xy =___________________ 11.已知 a ? b ? 5 , ab ? ?4 ,那么 a2b ? 3a 2b2 ? ab2 的值等于____________ 12.分解因式: x2 ? 4 y 2 ? x ? 2 y =_______________ 13.分解因式: (a ? b)2 ? 6(b ? a) ? 9 =_________________ 14.分解因式: (4a 2 ? 1)2 ? 16a 2 =___________________ 15.已知 m ? 2n ? 0 ,则 m3 ? 2mn(m ? n) ? 4n3 的值为_____________ 16.求证: 817 ? 279 ? 913 能被 45 整除

17.已知 296- 1 可被在 60 到 70 之间的两个整数整除,求这两个整数

98

培优升级

奥赛检测

01. (四川省初二数学联赛试题)使得 3n ? 81 为完全平方数的正整数 n 的值为( ) A .2 B.3 C.4 D.5 02. (四川省初二数学联赛试题)设 m、n 是自然数,并且 19n2 ? 98n ? m ? 0 ,则 m+n 的最小 值是( ) A.100 B.102 C.200 D.不能确定 03. (四川省初二数学联赛试题)满足方程 x3 ? 6 x2 ? 5 x ? 27 y3 ? 9 y 2 ? 9 y ? 1 的正整数对(x,y) 有( ) A .0 对 B.1 对 C.3 对 D.无数对 04. (全国初中数学竞赛试题)方程 x3 ? 6 x2 ? 5 x ? y3 ? y ? 2 的整数解(x,y)的个数是( ) A .0 B.1 C.3 D.无穷多 4 05. (四川省初二数学试题)已知 M ? p ( p2q ? 1) ,其中 p、q 为质数,且满足 q ? p ? 29 ,则 M =() A.2009 B.2005 C.2003 D.2000 06. (仙桃竞赛试题)不定方程 2( x ? y ) ? xy ? 7 的所有整数解为_________________ 07. 已知多项式 2 x2 ? 3xy ? 2 y 2 ? x ? 8 y ? 6 可以分解为 ( x ? 2 y ? m)(2 x ? y ? n) 的形式, 那么
m3 ? 1 的 n2 ? 1

值是______ 08.对于一个正整数 n,如果能找到 a、b,使得 n=a+b+ab,则称 n 为一个“好数” ,例 如:3=1+1+1?1,3 就是一个好数,在 1~20 这 20 个正整数中,好数有_______个 09. 一个正整数 a 恰好等于另一个正整数 b 的平方, 则称正整数 a 为完全平方数, 如 64 ? 82 , 64 就是一个完全平方数;若 a ? 29922 ? 29922 ? 29932 ? 29932 ,求证 a 是一个完全平方数

10.已知实数 a、b、x、y 满足 a ? b ? x ? y ? 2 , ax ? by ? 5 ,求 (a2 ? b2 ) xy ? ab( x2 ? y 2 ) 的值

11.若 a 为自然数,则 a 4 ? 3a 2 ? 9 是质数还是合数?请你说明理由

99

12.正数 a、b、c 满足 ab ? a ? b ? bc ? b ? c ? ca ? c ? a ? 3 ,求 (a ? 1)(b ? 1)(c ? 1) 的值

13.某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班有 m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9 个男生和 n 个女生的捐款总数相等,都是(mn+9m+11n+145)元,已知每人的捐 款数相同,且都是整数,求每人的捐款数.

100

第 14 讲
考点?方法?破译
1.分式的概念和性质

分式的概念?性质与运算
A B A B

若 A、B 表示两个整式,且 B 中含有字母,则形如 意义.分式基本性质:
A B ? A?M B ?M

的式子叫分式,当 B≠0,分式





A B

?

A?M B?M

( M ? 0)

2.分式的运算法则 a b a?b ⑴同分母相加减: ? ? ; c c c a c ad ? bc ⑵异分母相加减: ? ? ; b d bd a c ac ⑶分式的乘法: ? ? ; b d bd a c a ? c ad ? (4)分式的除法: ? ? ; b d b ? d bc (5)分式的乘方: . ( ) ? n (n 为正整数) . b b
n

a

a

n

经典?考题?赏析
【例 1】(南宁)要使式子
x ?1 有意义,x 的取值范围是( x
)

A.x≠1 B.x≠0 C.x>—1 且 x≠0 D. x≥—1 且 x≠0 【解法指导】式子 【变式题组】 01.使分式

0 ? x ? 1… x ?1 有意义,则 ? x ? x?0

∴x≥-1 且 x≠0

故选 D

x ?1 有意义,则 x 应满足( ( x ? 1)( x ? 2)
)

) D.x≠1 或 x≠2

A.x≠1 B.x≠2 02.下列分式一定有意义的是(

C.x≠1 且 x≠2

x A. 2 x ?2
03. 若对于分式
2

x ?1 B. 2 x

b C. 2 a ?a

y2 D. y ?1

1 1 , 不论 x 取何实数, 2 总有意义, 则 m 的取值范围是_________. x ?m x ?m 1 04. (希望杯)若分式 2 ;不论 x 取何实数总有意义,则直线 y=mx-m 一定经 x ? 2x ? m
过______象限.

101

【例 2】 (天津)若分式

x2 ? x ? 2 的值为 0,则 x 的值等于________________. x2 ? 2 x ? 1

【解法指导】若分式的值为 0,必须满足分子为 0 而分母不为 0.

? x2 ? x ? 2 ? 0 解: ? 2 ? x ? 2x ?1 ? 0
【变式题组】 01.若代数式

)? ( ?1 ) ?( x ? 2 x ? 2 ? 0 ? (x ? 1 )

0 ? x ? 2或x ? ?1 ∴x =2 ? x ? ?1 ?

x ?1 x ?1 ? 有意义,则 x 的取值范围是( x?2 x?3
B.x≠2 且 x≠-3 C.x≠-3

) D.x≠2, x≠-3 且 x≠1

A.x≠2 02.若式子

( x ? 8)( x ? 1) 的值为 0,则 x 的值为______________. x ?1
x2 ? 9 的值为 0,则 x 的值为______________. x2 ? 4 x ? 3 x ?3 的值为零,则 x 的值为______________. x ? 2x ? 3
2

03.若分式

04. (青海)

【例 3】 (内蒙古包头)化简 ( A. ?

x2 ? 4 2? x x ? )÷ ,其结果是( 2 x ? 4x ? 4 x ? 2 x?2
B.

)

8 x?2

8 x?2

C. ?

8 x?2

D.

8 x?2

【解法指导】本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混合运算,要注意运算顺序: 先乘除后加减,有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号.

x2 ? 4 2? x x ( x ? 2)( x ? 2) x ? 2 x ? 2 x ? 2 ( 2 ? )÷ ? ? ? ? x ? 4x ? 4 x ? 2 x?2 ( x ? 2)2 x x?2 x ? x ? 2 ( x ? 2)2 ( x ? 2)2 ? ( x ? 2)2 8 ,故选 D. ? ? ? x x( x ? 2) x( x ? 2) x?2

【变式题组】 01. (上海)计算:

2a ? 2 a2 ? 1 ? (a ? 1) ? 2 a ?1 a ? 2a ? 1

x ? 1 x2 ? 2 x ? 1 1 ? ? 02. (南充)化简: 2 x?2 x ?4 x ?1

102

03. (襄樊)计算: (

a?2 8 a?2 ? )? 2 2 a ? 2a 4 ? a a

04. (常德)化简:

y?3 5 ?(y? 2? ) 4y ?8 y?2

【例 4】计算:

1 1 2 4 ? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4

【解法指导】有些异分母相加时若直接通分,最简公分母非常复杂,因而在观察分母的 特点后可采用逐步通分、分组通分、拆项合并、换元法等方法计算

1 1 2 4 ? ? ? 2 1? x 1? x 1? x 1? x4 1? x ? 1? x 2 4 2 2 4 ? ? ? ? ? 解: ? 2 2 2 2 2 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x 1? x4 2(1 ? x 2 ) ? 2(1 ? x 2 ) 4 2 2 8 ? ? ? ? ? 2 2 4 4 4 (1 ? x )(1 ? x ) 1? x 1? x 1? x 1 ? x8
【变式题组】 01.计算:

1 2 2 1 ? ? ? x ? 2 x ?1 x ?1 x ? 2

02.化简:

1 1 1 1 ? ? ? x ? 1 ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? 2)( x ? 3) ( x ? 3)( x ? 4)

03.计算:

a b c ? ? (a ? b)(a ? c) (b ? c)(b ? a ) (c ? a )(c ? b)

103

【例 5】已知 a 整数,且代数式

a 2 ? 4a ? 8 的值也是整数,求 a 的值. a?4
由题意可知

【解法指导】∵

a 2 ? 4a ? 8 8 ?a? a?4 a?4

8 为整数, a?4

∵a 为整数,∴a—4=±1,±2,±4,±8,∴a=-4,,0,2,3,5,6,8,12. 【变式题组】 01.求 4x2-2xy-12x+5y+11=0 的正整数解.

02.求方程 4x+y=3xy 的整数解.

03. (第二届宗沪杯)在平面直角坐标系中,把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点.在 函数 y ?

x ? 12 ,整点的个数是_____________. 2x ?1

【例 6】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化, 两位采购员的购货方式也不同,其中,甲每次购买 1000 千克,乙每次用去 800 元,而不管 购买多少饲料. ⑴甲、乙所购饲料的平均单价各是多少? ⑵谁的购货方式更合算? 【解法指导】 由于两次饲料的单价有变化, 可设第一次购买的饲料的单价为 m 元/千克, 第二次购买的饲料的单价为 n 元/千克, 甲、 乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价 除以两次所买饲料的总质量.在第⑵问中,比较甲、乙所购饲料的平均单价,谁的平均单价 低谁的购货方式就更合算,可以用作差比较平均单价. 解:⑴设两次购买的饲料单价分别为 m 元/千克和 n 元/千克(m、n 是正数,且 m≠n) 甲两次购买饲料的平均单价为 均单价为

1000m ? 1000n m ? n ? (元/千克) , 乙两次购买饲料的平 1000 ? 2 2

800 ? 2 2mn (元/千克) ? 800 800 m ? n ? m n
甲 、 乙 两 种 饲 料 的 平 均 单 价 的 差 是



m ? n 2mn m 2 ? 2mn ? n2 ? 4mn (m ? n)2 ? ? ? 2 m?n 2(m ? n) 2(m ? n)
由于 m、n 是正数,且 m≠n,所以 乙的购买方式更合算.

m ? n 2mn (m ? n)2 ? ? 0 ,因此 也是正数,即 2 m?n 2(m ? n)

104

【变式题组】 01. 西瓜按千克计价,购买西瓜时,希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好.如 果一批西瓜的皮厚均为 d,试问买大西瓜还是买小西瓜合算?(把瓜看作球体,并设西 瓜的密度是均匀的,球的体积是 V ?

4? R 3 ,其中 R 为球的半径) 3

02. (辽宁大连)A 玉米试验田是边长为 a 米的正方形减去一个边长为 1 米的正方形蓄水池 后余下部分,B 玉米试验田是边长为(a-1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了 500 千克. ⑴那种玉米的单位面积产量高?⑵高的单位面积产量是低的单位面积产量的 多少倍?

演练巩固

反馈提高
) B.

01.下列各式计算正确的是( A. ?

c b c?b ? ?? a a a

x ?1 1? x ? ?0 2 ( x ? 1) (1 ? x) 2

a?c a?c a b 1 ? ?0 ? 2 ? D. 2 2 2 a b a ?b a ?b a?b a a ?1 a 02.已知 a>1, A ? ,B ? , C? ,则 A、B、C 的大小关系是( a ?1 a a ?1
C. A.A>B>C B.A>C>B ) C.C>B>A D.C>A>B

)

b2 a 03. (陕西)化简 (a ? )? 的结果( a a?b
A.a-b B.a+b

C.

1 a?b

D.

1 a?b

04.(黄冈)化简 ( A.-4 05.化简 (

a a 4 ? a2 ? )? 的结果是( a?2 a?2 a
B.4 C.2a )(错)

) D.-2a

x 3 y 2 xz yz 2 ) ? ? ( ) 等于( x y x2
B. x y z
3 3

A.

y2 ? z3 x2

C. xy z

4 4

D. y z

5

105

06.下列计算中,① (

2a 2 3 8a 6 2 x2 2 4 x4 ?2a 2b 3 8a 6b3 ) ? ? 3 ;② ( ; ) ? 2 ;③ ( ) ? ?c c 3y 6y 3 y2 27 y 6

④( 号).

2x 2 1 x2 y ? x3 2 y3 ) ? 4 x 2 y ? 2 ;⑤ ( 2 )3 ? ( ) ? 4 , 其中正确的有___________(填序 ?y y ?z z z

x? y x2 ? y2 07. (成都)化简: 1 ? ? ? _____________. x ? 3 y x 2 ? 6 xy ? 9 y 2
3x ? 3 的值是整数,则符合条件的 x 的值是______________. x2 ?1 a b 1 1 ? ? 09 . (枣庄) a 、 b 为实数,且 ab = 1 ,设 P = , Q= ,则 a ?1 b ?1 a ?1 b ?1
08.若整数 x 能使分式 P__________Q.(填“>” 、 “<”或“=”) 10.计算:

x 2 y ? x3 x x? y ⑴ 2 ; ? ? 2 2 x ? 2 xy ? y x ? y x ? 2 xy ? y 2

a 2 ? 2ab a2 2ab ?( ? ); ⑵ 2 ? ab ? b a ? b 2b ? a

11.设 y ? 整数.

2( x 2 ? 1) ( x ? 1)2 ,先化简 y,然后确定当 x 取什么整数时,能使 y 的值是正 ? (1 ? x)3 ( x ? 1)2

12.建筑上有这样的规定:民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比,但窗户面积必 须小于地面面积,采光度越大,说明采光条件越好,问:增加同样的窗户面积和地面面 积,采光条件是变好了还是边差了,为什么?

13. (大连)甲、乙两工程队分别承担一条 2 千米公路的维修工作,甲队有一半时间每天维 修公路 x 千米,另一半时间每天维修公路 y 千米.乙队维修前 1 千米公路时,每天维修 x 千米;维修后 1 千米公路时,每天维修 y 千米(x≠y) . ⑴求甲、乙两队完成任务需要的时间(用含 x、y 的代数式表示) ; ⑵问甲、乙两队哪队先完成任务?

106

培优升级 奥赛检测
01. (北京初二年级竞赛试题)当 m ? ? 是( ) B.-
1 2 1 ? 1

1 21 ? 5m m m m?3 时,代数式 的值 ? ? ? 2 2 6 m ?9 m ?9 m?3 m?3
1 2 1 16 ? 21

A.-1

C.
?

D. 1
? 1 21 ? 26 ? 1 26 ? 31 ? 1 31 ? 36

02 . (北京初二年级竞赛试题) ( A. ) 1 18 B. 1 36

6 ? 11 11 ? 16

的值是

C.

1 33

D.

1 66

b+c a+c a+b 03. (仙桃市竞赛试题)设 a>0>b>c,a+b+c=1,M= ,N= ,P= ,则 M、 a b c N、P 之间的关系是( A.M>N>P ) B.N>P>M C. P>M>N D.M>P>N

x |y| 04.若实数 x、y 满足 xy≠0,则m= + 的最大值是_____________. |x| y 05. (浙江竞赛试题)如图是一个数的转换器,每次输入 3 个不为零的数,经转换器转换后 1 1 输出 3 个新数,规律如下:当输入数分别为 x,y,z 时,对应输出的新数依次为 + , x y+z 1 1 1 1 6 3 2 1 1 1 + , + .例如,输入 1,2,3,则输出 , , .那么当输出的新数为 , , y z+x z x+y 5 4 3 3 4 5 时,输入的 3 个数依次为_____________.

1 1 1 1 06.化简 + + +?+ =____________. x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2)(x+3) (x+99)(x+100) x-c b-c b-c 07.化简 + + (x-a)(x-b) (a-b)(x-b) (b-a)(x-a)

20062+4?2006+4 08.计算: 20063+20062?2-2006?4-8

6x2+12x+10 09. (全国初中数学竞赛题)当 x 为何值时,分式 有最小值?最小值是多少? x2+2x+2

107

10. 小明和小亮两人参加 1000 米比赛, 同时起跑后, 小明始终保持 a 米/秒的速度跑到终点, 而小亮开始以(a+1)米/秒的速度跑了 500 米,然后剩下的 500 米,他以(a-1)米/ 秒的速度跑到了终点.请问小明和小亮谁将获得比赛的胜利?(已知 a>1)

11.如图,一个啤酒瓶的高度为 hcm,瓶中装有高为 acm 的水,将瓶盖好后倒置,这时瓶中 水面高度为 bcm(b>a),求瓶中水的体积与瓶子容积之比. (瓶底厚度不计)

12.商场文具柜以每支 a(a 为整数)元的价格购进一批“英雄”牌钢笔,决定每支加价 2 元销售.由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美,很快就销售一空.结账时,售 货员发现这批钢笔的销售总额为(399a+805)元.你根据上面的信息求出文具专柜共 购进了多少支钢笔、每支钢笔的进价 a 是多少元吗?

13. (荆州竞赛题)某中学租来同类型大客车若干辆,准备全校师生外出春游,如果每辆车 乘坐 22 人,那么就会余下 1 人,如果开走一辆空车,那么所有的师生刚好平均分乘余 下的汽车. 试求原先租多少辆汽车和学校师生共有多少人? (已知每辆汽车的容量不多 于 32 人)

14. (北京市竞赛题)n 为自然数,若 n3+1996 能被 n+6 整除,则称 n 为 1996 的吉祥数, 如 43+1996 能被 4+6 整除, 4 就是 1996 的一个吉祥数. 试求 1996 的所有吉祥数的和.

108

第 15 讲
考点?方法?破译

分式的化简 求值 与证明

1. 分式的化简、求值 先化简,后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略,有条件的化简求值题,条件可 直接使用,变形使用,或综合使用,要与目标紧紧结合起来;无条件的化简求值题,要注意 挖掘隐含条件,或通过分式巧妙变形,使得分子为 0 或分子与分母构成倍分关系特殊情况, 课直接求出结果. 2. 分式的证明 证明恒等式,没有统一的方法,具体问题还要具体分析,一般分式的恒等式证明分为两 类:一类是有附加条件的,另一类是没有附加条件的,对于前者,更要善于利用条件,使证 明简化.

经典?考题?赏析
【例 1】 (湖南常德)先化简代数式(

x ?1 2x 1 + 2 )÷ 2 ,然后选取一个使原式有意 x ? 1 x ?1 x ?1

义的 x 的值代入求值. 【解法指导】本题化简并不难,关键是 x 所取的值的选择,因为原式的分母为:x+1, 2 2 x -1,要是原式有意义,则 x+1≠0 且 x -1≠0 故 x≠1,因而 x 可取的值很多,但不能取 x≠1 解:(

x ?1 2x 1 + 2 )÷ 2 x ? 1 x ?1 x ?1

=[

2x ( x ? 1) 2 + ]?(x+1)(x-1) ( x ? 1)( x ? 1) ( x ? 1)( x ? 1)
2 2

=(x-1) +2x=x +1 当 x=0 时,原式=1. 【变式题组】

36 ? a 2 6?a a?5 ? ? 2 01. (黄石)先化简,再求值 2 ,其中 a=2 2 . a ? 10a ? 25 2a ? 10 a ? 6a

02. (荆门)已知 x=2+ 3 ,y=2- 3 ,计算代数式 ?

? x? y x? y? ? 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? 的值 y ? ? x? y x? y? ? x

109

03. (齐齐哈尔)先化简: 当的数代入求值.

a 2 ? b2 2ab ? b 2 ÷ ( a + ),当 b=-1 时,请你为 a 任选一个适 a 2 ? ab a

04.(咸宁)先将代数式(x- 合适的整数 x 代入求值.

x 1 )÷(1+ 2 )化简,再从-3<x<3 的范围内选取一个 x ?1 x ?1

【例 2】已知

1 1 2 x ? 3xy ? 2 y + =5,求 的值. x y x ? 2 xy ? y

【解法指导】解法 1:由已知条件

1 1 ? ? 5 ,知 xy≠0.将所求分式分子、分母同除以 x y
1 1 + =5,求得 x+y=5xy,代入求值. x y

xy,用整体代入法求解.解法 2:由已知条件

解:方法 1:∵

1 1 + =5, ,∴x≠0,y≠0,xy≠0 将待求分式的分子、分母同除以 xy. x y

1 1 2( ? ) ? 3 2?5 (2 x ? 3xy ? 2 y) ? xy x y 原式= = = =1. 1 1 ( x ? 2 xy ? y ) ? xy ( ? )?2 5? 2 x y
方法 2:由

1 1 + =5 知 x≠0,y≠0,两边同乘以 xy,得 x+y=5xy x y



2 x ? 3xy ? 2 y 2( x ? y ) 2 ? 5 xy ? 3 ? xy 7 xy = = = =1. x ? 2 xy ? y ( x ? y ) ? 2 xy 5 xy ? 2 xy 7 xy

110

【变式题组】 01. (天津)已知 A .6

1 1 a ? 2ab ? b - =4,则 的值等于( ) a b 2a ? 2b ? 7 ab 2 2 B.-6 C. D. ? 15 7

02.若 x+y=12,xy=9,求的

2 x ? 3 xy ? 2 y 值. x 2 y ? xy 2

03.若 4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0,求

2 x2 ? 3 y 2 ? 6 z 2 的值. x2 ? 5 y 2 ? 7 z 2

【例 3】 (广东竞赛)已知

x x2 = 1 ,求 的值. x 2 ? 3x ? 1 x4 ? 9 x2 ? 1

【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果. 解:∵

1 1 x x 2 ? 3x ? 1 ? 1 ∴ =1∴x-3+ =1∴x+ =4. 2 x x x ? 3x ? 1 x

又∵

1 2 1 x4 ? 9 x2 ? 1 2 =x -9+ 2 =(x- ) -11=16-11=5. 2 x x x



1 x2 = . 4 2 x ? 9x ?1 5

【变式题目】 01.若 x+

1 x2 =4,求 4 的值. x x ? x2 ? 1

a 4 ? ma 2 ? 1 02.若 a +4a+1=0,且 3 =5 求 m. 3a ? ma 2 ? 3a
2

111

1 1 1 ab bc ac abc = , = , = ,求 的值. a?b 3 b?c 4 a?c 5 ab ? ac ? bc a?b b?c a?c 【解法指导】将已知条件取倒数可得 =3, =4, = 5 ,进而可求 ab bc ac 1 1 1 ? ? 的值,将所求代数式也取倒数即可求值. a b c
【例 4】已知 解:由已知可知 ac、bc、ab 均不为零,将已知条件分别取倒数,

?a ? b ?1 1 ? ab ? 3 ?a ? b ? 3 ? ? ?b ? c ?1 1 ? 4 ,即 ? ? ? 4 得? ?c b ? bc ?1 1 ?a ? c ?a ? c ? 5 ? ac ? 5 ? ?

三式相加可得

1 1 1 + + =6,将所求代数式取倒数得 a b c

1 ab ? ac ? bc 1 1 1 abc = + + =6,∴ = . a b c abc ab ? ac ? bc 6
【变式题组】 01. (四川联赛试题)实数 a、b、c 满足: +ac= 02. (天津初赛试题)已知 .

1 1 1 ab bc ac = , = , = ,则 ab+bc a?b 3 b?c 4 a?c 5

xz xy yz =2, =3, =4,求 7x+5y-2z 的值. x?z x? y y?z

【例 5】若

a?b c?b a?c (a ? b)(c ? b)(a ? c) = = ,求 的值. c a b abc

【解法指导】 观察题目易于发现, 条件式和所求代数式中都有 a+b,c+b,a+c 这些比较 复杂的式子,若设

a?b c?b a?c = = =k,用含 k 的式子表示 a+b,c+b,a+c 可使计算简化. c a b a?b c?b a?c 解:设 = = =k,则 a+b=ck,c+b=ak,a+c=bk,三式相加,得 2(a c a b a?b ? ?1 , +b+c)=(a+c+b)k.当 a+b+c≠0 时, k=2; 当 a+b+c=0 时, a+b=-c, c
∴k=-1. ∴当 k=2 时, =-1.

(a ? b)(c ? b)(a ? c) (a ? b)(c ? b)(a ? c) 3 3 =k =8;当 k=-1 时, =k abc abc

112

【变式题组】 01.已知 x、y、z 满足

2 5 3 5x ? y = = ,则 的值为( x y?z z?x y ? 2z



A .1

B.

1 3

C. ?

1 3

D.

1 2

02.(天津竞赛题)已知 a、b、c 为非零实数,且 a+b+c≠0,若

a?b?c a?b?c = = c b

?a ? b ? c (a ? b)(b ? c)(c ? a ) ,求 的值. a abc

【例 6】已知 abc=1,求证:

a b c + + =1 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1

【解法指导】反复整体利用,选取其中一个的分母不变,将另外两个的分母化为与它的 分母相同再相加.

a a 1 = = ab ? a ? 1 ab ? a ? abc b ? 1 ? bc c c 1 abc cb = = = = ac ? c ? 1 ac ? c ? abc a ? 1 ? ab a ? abc ? ab 1 ? bc ? b a b c 1 b bc ∵ + + = + + =1 ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ac ? c ? 1 bc ? b ? 1 bc ? b ? 1 bc ? b ? 1
证明:∵ 【变式题组】

1 1 1 2 2 2 = b ? = c ? ,a≠b≠c 则 a +b +c = ( ) b c a 7 1 A .5 B. C.1 D. 2 2 1 1 1 1 02. (四川省初二数学联赛试题) 已知不等于零的三个数 a、b、c 满足 ? ? ? . a b c a?b?c
01. (四川省初二数学联赛试题) 已知 a ? 求证:a、b、c 中至少有两个数互为相反数.

03.若:a、b、c 都不为 0,且 a+b+c=0,求 值.

1 1 1 ? 2 2 2 ?2 2 2 的 2 2 b ?c ?a c ? a ?b a ?b ?c
2

113

演练巩固 反馈提高
01.已知 x- A.11

1 3 2 =3,那么多项式 x -x -7x+5 的值是( x
B.9 C.7 D. 5



02.若 M=a+b,N=a-b,则式子

M ?N M ?N - 的值是( M ?N M ?N
C.
2



A.

a2 ? b2 ab
2

B.

a2 ? b2 2 ab

a 2 ? b2 ab
2

D. 0

1 = 5x ? 2 x ? 5 a?b 2 2 04.(烟台)设 a>b>0,a +b -6ab=0,则 = b?a 1 05.已知 a=1+2n,b=1+ n ,则用含 a 的式子表示 b 是 2 b a 06. a+b=2,ab=-5,则 ? = . a b
03. (内江)已知 5x -3x-5=0,则 5x -2x -
?5 5 ?5

. . .

? 3? ?3? ?3? 07.若 a= ? ? ? ,b=- ? ? ,c= ? ? ,试把 a、b、c 用“<”连接起来为 ? 4? ?4? ?4?
08.已知 ?

.

5 m m n2 ?n? ? ? = ,求的 值为 ? 3 m ? n m ? n m2 ? n 2 ?m?
y

?1

.

1 ?1? y 09.若 2 = , ? =81,则 x 的值为 32 ? ?3?
x

.

? c3 ? ? b 2c ? ? b 2 ? 10.化简 ? 2 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 2 ? 为 ? a b ? ? a ? ? ca ?
11. (桂林)先化简,再求值:

2

?4

.

1 1 ? 2 x? y? 2 ? ?x ? y ? ? ,其中 x= 2 ,y=3. 2x x ? y ? 2x ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ? 1 ? 12. (思施)求代数式的值: 2 ,其中 x=2+ 2 . x ?4 x2 ? 4

114

13. (重庆)先化简,再求值: ?1 ?

? ?

1 ? x2 ? 2 x ? 1 ,其中 x=-3. ?? x?2? x2 ? 4

14.已知:

3x ? 5 A B ? ? ,求常数 A、B 的值. x ? 2x ? 3 x ? 3 x ? 1
2

15.若 a+

1 3 3 2 =3,求 2a -5a -3+ 2 的值. a a ?1

115

培优升级 奥赛检测
01. (全国初中数学竞赛试题)若 A.

11 21

B.

21 11

a b a?b =20, =10,则 的值为( ) b c b?c 110 210 C. D. 21 11
-1 -1

02. (浙江竞赛试题)已知 x+y=x +y ≠0,则 xy 的值为( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 03. (天津初赛试题)已知 x+

1 1 =7(0<x<1),则 x - 的值为( ) x x
C.

A. - 7

B.- 5

7

D.

5
b a ? ? ab ? ( a b


04.(四川联赛试题)已知正实数 a、b 满足 ab=a+b,则 A. -2 B.

1 2

C. ?

1 2

D. 2

05.(荆州市八年级数学联赛试题)已知 A. ± 5 B.

1 1 - a =1,则 + a 的值为( ) a a
D.

5

C. ± 3

5或1

06.已知 abc≠0,并且 a+b+c=0,则 a( A. 0 B. 1 C. -1

1 1 1 1 1 1 + )+b( + )+c( + )的值为( ) b c a c b a
D.-3

07.设 x、y、z 均为正实数,且满足

z x y ? ? ,则 x、y、z 三个数的大小关系是 x? y y?z z?x

( ) A. z<x<y B. y<z<x C. x<y<z D. z<y<x 2 08. ( 南 昌 八 年 级 竞 赛 试 题 ) 如 果 a 是 方 程 x - 3x + 1 = 0 的 根 , 那 么 分 式

2a 5 ? 6a 4 ? 2a 3 ? a 2 ? 1 的值是 3a

.

09.(南昌八年级竞赛试题)甲乙两个机器人同时按匀速进行 100 米速度测试,自动记录表 表明:当甲距离终点差 1 米,乙距离终点 2 米;当甲到达终点时,乙距离终点 1.01 米,经过计算,这条跑道长度不标准,则这条跑道比 100 米多 . 10.若 a+

1 1 1 =1,b+ =1,求 c+ 的值. b a a

116

11 . 已 知 a 、 b 、 c 、 x 、 y 均 为 实 数 , 且 满 足

ab bc 1 ca 1 = 3 4 , = 3 , = a +b b +c x c +a x -y

abc 1 1 , = (y≠ 4 x3 )(其中)求 x 的值. 4 x +y ab +bc +ca 12
3

12. (全国联赛)当 x 分别取值

1 1 1 1 , , ,?? ,1,2,??2007,2008,2009 2009 2008 2007 2

时,分别计算代数式

1-x 2 的值,将所得的结果相加,其和是多少? 1+x 2

13. (全国初中数学竞赛试题)在一列数 x1,x2,x3?中,已知 x1=1,且当 k≥2 时,xk=xk-1 +1-4([

k ?1 k ? 2 - ])(取整符号[a]表示不超过实 a 数的最大整数,例如[2.6]= 4 4

2,[0.2]=0)求 x2010 的值.

14. (全国初中数学竞赛试题)已知对于任意正整数 n,都有 a1+a2+?+an=n ,求 +

3

1 a ?1
2

1 1 +?+ 100 的值. a ?1 a ?1
3

117

第 16 讲
考点·方法·破译

分式方程及其应用

1.分式方程(组)的解法 解分式方程的一般步骤:⑴去分母, 将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根. 有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理 .如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整 式)的次数时,可利用分拆思想,把分式化为“整式+分式”的形式,化简原方程再解;或将 分式方程两边化为

相关文章:
新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)
新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)_初二数学_数学_初中教育_教育专区。新人教版八年级数学下册辅导资料( 01)姓名:___ 得分:___ 一、知识点梳理: 1...
八年级培优资料word版(第1部分)
八年级培优资料word版(第1部分)_语文_初中教育_教育专区。第 01 讲考点·方法...已开工建设,某校研究性学习以此为课题,在研究列车的行驶速 度时,得到一个数学...
八年级数学培优资料
a 说明:已知方程有唯一解,显然方程存在的隐含条件是 a、b 全不为 0,然后在...已整理八年级数学培优资... 219页 5下载券 八年级数学培优资料word... 217页...
新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)
新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册)_初二数学_数学_初中教育_教育专区。新人教版八年级数学下册培优辅导资料(全册) 新人教版八年级数学下册辅导资料( 01)...
初二数学培优资料(全国通用绝对好)
初二数学培优资料(全国通用绝对好)_初二数学_数学_初中教育_教育专区。非常给力的好材料,适合基础过关的孩子们使用,排版完了,可以直接打印。...
七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优_绝对经典)
七年级数学培优讲义word版(全年级章节培优_绝对经典)_数学_小学教育_教育专区。...已整理八年级数学培优资... 219页 5下载券 七年级上期数学培优资料... 4页...
八年级数学培优资料
八年级数学培优资料_数学_初中教育_教育专区。八年级数学培优资料 1 1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】 如果多项式的各项有公因式, 根据乘法分配律...
人教版八年级数学上册培优资料
人教版八年级数学上册培优资料_数学_初中教育_教育专区。第 16 讲考点?方法?破译 认识三角形 A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 03.等腰三角形一腰上的中线把这个...
八年级数学培优资料
八年级数学培优资料_初二数学_数学_初中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 八年级数学培优资料_初二数学_数学_初中教育_教育专区。第 01 讲考点...
八年级数学培优资料
c ? 2b (天津市竞赛题) -4- -5- 第二讲 分解方法的延拓——配方法与待定系数法 在数学课外活动中,配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法。 把一个...
更多相关标签: