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第一次 习题课


第一次 习题课

主要复习第一章、 第二章的内容。

第一题:已知f (t) 的波形如图1示,,试写出图2示波形的函数表达式。
f (t) 1 f1(t) 1

-4 -3 -2 -1 0 1
图1

2

t

0 1 2 3 4
图2

t

解:对f (t) 的波形进行反褶、压缩、平移如图3所示,就找到 f1(t)与 f (t)的关系。
f (t) 1
反褶

f (-t) 1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 f (-2t+4) 1

t

平移

-2 -1 0 1 2 3 4 f (-2t) 1

t
压 缩

-2 -1 0 1 2 3 4 ∴

t

图3

-2 -1 0 1 2 3 4

t

f1(t)= f (-2 t+4 )

第二题:绘出 f (t)=Sgn(Sa(t)), f (t)=? (sin(2?t))的波形。 解:(1) 因为
1 Sgn(Sa(t))= -1 Sa(t)>0 Sa(t)<0 1 f (t)=Sgn(Sa(t))

便可绘出 f (t)=Sgn(Sa(t)) 的 波形如图1示。

(2) 因为

0

?

2? 3? 4?

t

k sin (2?t ) ? 0, ? (sin (2?t )) ? ? (t ? ) 2 k t ? ? , k ? 0,1,2,? 2 sin (2?t ) ? 0, ? (sin (2?t )) ? 0 k t ? ? , k ? 0,1,2, ? 2
绘出 f (t)=?(sin(2?t)) 的波形如图2示。

-1 图1

?(sin(2?t))

0

0.5

1

1.5

t

图2

第三题:已知信号 f (t)的波形如图1示,试画出下面函数表达式的波形。
g (t ) ?

??

? f (? )d? ? ?

t

f (t)
1

解:当 0 < t < 1 函数
t2 ? f (? )d? ? ? ?d? ? 2 ?? 0
t t

0 1

2

3

4

t

图1 g(t)
3.5

当 1 < t < 4 函数

??

?

t

f (? )d? ? ? ?d? ? ? 1d? ? t ?
0 1

1

t

1 2

1

当 t > 4 函数

??

?

t

f (? )d? ? ? ?d? ? ? 1d? ? ? 0d? ?
0 1 4

1

4

t

0 1

2

3

4

t

7 2

图2

所求函数波形如图2示。

第四题:利用卷积性质求图1所示两信号的卷积,画出其波形。 解:利用卷积性质中
d ? f1 (t )? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? ? ? f 2 (? ) d? ? f1?(t ) ? f 2?1 (t ) dt ??
t

f 1(t) 2

0

1

2

3

t

因为

f1?(t ) ? 2? (t ? 1) ? 2? (t ? 3)
? t ? f 2?1 (t ) ? ? f 2 (? )d? ? ?2 ? t ?? ? 0 ?
t

f 2(t)

0 ? t ?1 1? t ? 2 其余t
f1 (t ) ? f 2 (t )

1 0 -1 1 2 3 t

则它们的卷积结果如图2示。
f1?(t )
(2) * 1

图1

f 2?1 (t )

2

0

1

2

3

t

0

1

2

3

t

0 1 -2

2

3

4

5 t

(-2)

图2

第五题:求图1所示两信号的卷积,画出其卷积波形。 解:直接进行卷积计算
?

f1 (t )
2
1

f1 (t ) ? f 2 (t ) ?
当 t<0

??

? f (? ) f (t ? ? )dτ
1 2

0 1

t

f1 (t ) ? f 2 (t ) ? ? e ?(t ?? ) dτ ? e ?t ? e? dτ ? 1
当 t>0
??
0

t

t

f 2 (t ) ? e?(t ?1)? (t ? 1)
1

??

f1 (t ) ? f 2 (t ) ?

??

?e

? ( t ?? )

dτ ? ? 2e ?( t ?? ) dτ
0

t

-1

0

t

图1
f1 (t ) ? f 2 (t )
2 1

? e ?t ? 2(1 ? e ?t ) ? 2 ? e ?t
2 1

f1 (? )

f 2 (? )
t

t 0 1

?

0

t

第六题:求下面两信号的卷积,并画出其卷积波形。
f1 (t ) ? 2e ?t ??(t ) ? ?(t ? 3)? , f 2 (t ) ? 4??(t ) ? ?(t ? 2)?

解:直接进行卷积计算,如图1


f 2 (t ? ?)

4

f1 (?)

?2e ?t 0?t ?3 f1 (t ) ? ? 其余t ? 0 0?t ?2 ?4 f 2 (t ) ? ? 其余t ?0

2

t -2

0 t 1

2

3

?

将信号f2(t)反褶

图1

? t ?? ? 2e ? 4dτ ? 8(t ? e ? ? ) ? 0 ? ?t ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ? f1 (?) f 2 (t ? ?)dτ ? ? 2e ? ? ? 4dτ ? 8(e ?(t ? 2) ? e ?t ) ?t ? 2 ?? ?3 ? 2e ? ? ? 4dτ ? 8(e ?(t ? 2) ? e ?3 ) ?t ? 2 ?

?

0?t ?2 2?t ?3 3?t ?5

?

?

?

卷积波形如图2所示。

f1 (t ) ? f 2 (t )
6.92

2.54

0

1

2 图2

3

4

t

第七 题:求如图1示信号 f (t) 的FT。 解 :(1)直接用FT定义计算
1.5 1 0

f (t)

?1 ? ?1.5 f (t ) ? ? ?1 ?0 ?

1? t ? 2 2?t?3 3?t ? 4 其余t

1

2 3 图1

4

t

F (?) ?

??

?

?

f (t )e ? j?t dt ? e ? j?t dt ? 1.5e ? j?t dt ? e ? j?t dt
1 2 3

?

2

?

3

?

4

用这种方法较麻烦,用FT性质更简单且概念清楚。 (2)将f (t)看成是如图2示两信号f1(t)、 f2(t)的合成,则

f1(t)
1

f (t ) ?

1 5 5 f1 (t ? ) ? f 2 (t ? ) 2 2 2

对 f1(t) E=1,?=1,对 f2(t) E=1,?=3,有

? 3? F1 (?) ? Sa ( ) , F2 (?) ? 3 Sa ( ) 2 2
由时移性得
?j ? ?j ? 1 2 F (?) ? F1 (?)e ? F2 (?)e 2 2 5 5

-1/2 0 1/2 f2(t)
1

t

1 ? ? j 2? 3? ? j 2 ? ? Sa ( )e ? 3 Sa ( )e 2 2 2
5 5

-3/2

0 图2

3/2

t

?e

5 ?j ? 2

? 3? ? ?1 Sa ( ) ? 3 Sa ( )? ?2 2 2 ? ?

(3)利用微分性质求,如图3 ∵

f ?1(t) (1) 1/2 -1/2 0 f ?2(t) t

1 1? 1 1 ? f1?(t ) ? ?δ (t ? ) ? δ (t ? )? 2 2? 2 2 ? 3 3 ? ? f 2?(t ) ? 3?δ (t ? ) ? δ (t ? )? 2 2 ? ?

1 5 1 f1?(t ? ) ? ? (t ? 2) ? δ (t ? 3)? δ 2 2 2 5 f 2?(t ? ) ? 3? (t ? 1) ? δ (t ? 4)? δ 2 1 5 5 ∴ f ?(t ) ? f1?(t ? ) ? f 2?(t ? ) 2 2 2


(1)

3/2
-3/2 0 t



1 ? j 2 ? ? j 3? e ?e ? 3 e ? j? ? e ? j 4 ? 2 1 3 ? j? ? j 4 ? ? j 2? ? j 3? F (?) ? e ?e ? e ?e 2 j? j? j?F (?) ?

?

? ? ?

?

图3

?

?

?

再利用欧拉公式可求得同(2)的结果,此处不再推导。

第八 题:求如图1示高频信号 f (t) 的频谱并绘出频谱图。 解 :因为高频信号 f (t) 是由门限函数 G?(t)
与 cos?0t 相乘得到,其中门限函数 G?(t)的傅 里叶变换为

f (t) 1

?G? (t )? ? ? Sa ( ?? ) ? 2
而 cos?0t 的傅里叶变换为

-?/2

0

?/2

t

? ?cos ?0t ? ? ??δ (? ? ?0 ) ? δ (? ? ?0 )?

-1 图1

则 f (t) =G?(t) cos?0t 的傅里叶变换为

1 ? ? f (t )? ? ? ?G? (t ) cos ?0 t ? ? ? ?G? (t )?? ? ?cos ?0 t ? 2? ? ? ?0 ? ? ?0 ? ?? ? ? Sa ( ?) ? Sa ( ?)? 2? 2 2 ?
其频谱图如图2示。

F(?)

?/2

-?0

0

?0

?

题八 图2
人类进化史

第九 题:已知 f (t ) ? f ?(t ) ? (1- t )e ?t ?(t ) ,试求信号 f (t) 的频谱及 f (t) 的值。 解 :对已知条件的表达式两边进行 FT 得

? ? f (t ) ? f ?(t )? ? ? ?(1- t )e ?t ?(t )?

F (?) ? j?F (?) ?


??

?

?

(1- t )e ?t ?(t )e ? j?t dt ? (1- t )e ? ?1? j??t dt
0

?

?

j?F 2 (?) ?

?1 ? j??2

j?



F (?) ?

1 1 ? j?
这是单边 指数信号



f (t ) ? e ?t ?(t )

第十 题:确定下列信号的最低抽样频率与奈奎斯特间隔。

(1) Sa(100t ); (2) Sa 2 (100t ); (3) Sa(100t ) ? Sa 2 (60t )
解 : (1)根据 FT 的对称性,因为

? ?EG? (t )? ? E?Sa(
取 E=1/200 ,?=200 ; 即

?? ) 2

?

1 200? ? 1 ? G200 (t )? ? 200 Sa ( ) ? Sa (100?) ? 200 2 ? ? 200



? ?Sa(100t )? ? 2?

1 ? G200 (?) ? G200 (?) 200 100
f c= ?c/2? ;

可知信号 Sa (100 t ) 的频谱带宽为 ?c=100 或 最低抽样频率与奈奎斯特间隔分别为

?c ?c 100 f ? 2 fc ? 2 ? ? 2? ? ? 1 1 ? Ts( max ) ? ( min) ? ? 2 f c 100 fs
( min) s

(2)根据 频域卷积定理,因为

? ?Sa2 (100t )? ? ? ?Sa(100t ) ? Sa(100t )?
? 1 1 ? ? ? ? G200 (?) ? G200 (?) ? ? ?Sa(100t )?? ? ?Sa(100t )? ? 2? 2? ?100 100 ? ?

2? ? ? 400 ? ? ? ) ???(? ? 200) ? ?(? ? 200)? ?(1 ? 4 2 ? 400 ? 2 ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ) ???(? ? 200) ? ?(? ? 200)? ?(1 ? 100 ? 200 ? ? ?
可知信号 Sa2(100 t )的频谱带宽为 ?c=200 或 最低抽样频率与奈奎斯特间隔分别为 f c= ?c /2? ;

f s( min) ? 2 f c ? 2

?c ? 200 ? c ? 2? ? ?

Ts( max ) ?

1 f s( min)

?

1 ? ? 2 f c 200

(3)同理,因为
2

? ?Sa (60t )? ? ? ?Sa(60t ) ? Sa(60t )?
? 1 ?Sa(60t )?? ? ?Sa(60t )? ? 1 ? ? G120 (?) ? ? G120 (?)? ? ? 2? 2? ? 60 60 ? ? 2? ? ? 120 ? ? ? )???(? ? 120) ? ?(? ? 120)? ?(1 ? 720 2 ? 240 ? ? ? ? ? ? ? ? )???(? ? 120) ? ?(? ? 120)? ?(1 ? 12 ? 120 ? ? ?



?

?Sa(100t ) ? Sa

2

(60t ) ? ? ?Sa(100 )? ? ? Sa 2 (60t ) t

?

?

?

可知信号 Sa (100 t )+Sa2(60 t )的频谱带宽为 ?c=120 或 最低抽样频率与奈奎斯特间隔分别为

? ? ?? ? )???(? ? 120) ? ?(? ? 120)? ? G200 (?) ? ?(1 ? 12 ? 120 ? 100 ? ?

f c= ?c /2? ;

f

( min) s

?c ?c 120 ? 2 fc ? 2 ? ? 2? ? ?

Ts( max ) ?

1 f s( min)

?

1 ? ? 2 f c 120

第十一 题:已知图1示一非周期信号f1(t)的FT 为F1(?),而周期信号f2(t)与f1(t)有图
1示关系,求f2(t)的FT 。 f1(t)

解 :设 f2(t)的第一个周期内的函数为f0(t) ,
根据图1示及已知条件有

f0(t)= f1(t)+ f1(-t)
则有
? ?

(T1=2)

0

1

t

f 2 (t ) ?

n ? ??

? f (t ? nT ) ? ? f (t ? 2n)
0 1 0 n ? ??

f2(t) …
-2 -1 0 1 2


t

周期信号f2(t)的 FT 为

F2 (?) ? 2?

n ? ??

?

?

Fn ?(? ? n?1 )

题十一 图1

其中 Fn 为FS 的系数
T1

Fn ?

1 T1

?

T1

?

2

2

1 ?0 ? 1 ? jn? t ? jn? t ? jn? t f 0 (t )e dt ? ? f1 (-t )e dt ? f1 (t )e dt ? 2 ??1 ? 0 ? ?
1

?

1

?

1

因为

F1 (ω) ?

??

?

?

f1 (t )e ? j?t dt ?
1

?
0

1

f1 (t )e ? j?t dt
?1

F1 (?ω) ?
则得

?
0

f1 (t )e ? j ( ? ?)t dt ? ?
ω ? nω1 1

t ? ?t ?

?
0

f1 (?t ?)e j ( ? ?)t ? dt ? ?

?1

?

0

f1 (?t )e j ( ? ?)t dt

F1 (nω1 ) ?

?
0

f1 (t )e ? jn?1t dt

F1 (?nω1 ) ?
?

ω ? nω1 0

?1

?

f1 (?t )e j ( ? nω1 )t dt ?

?1

?

0

f1 (?t )e ? jnω1t dt

得周期信号f2(t)的 FT 为

1 ?F1 (n?1 ) ? F1 (-n?1 )??(? ? n?1 ) F2 (?) ? 2? Fn ?(? ? n?1 ) ? 2? 2 n ? ?? n ? ??
?1 ? ?

?
?

?

?

? ?

n ? ??

? ?F (n?) ? F (-n?)??(? ? n?)
1 1

第十二题:已知带限信号 f (t) 的最高频率为400Hz,若使一抽样信号通过一理想低
通滤波器后能完全恢复为 f (t) 问: (1) 抽样间隔为多少? (2)若以T=1ms 抽样,理想低通滤波器的截止频率fz 应满足什么条件?

解 :(1)由题意知 f (t)为带限信号,其截止频率为fc=400Hz,由抽样定理可知抽
样频率为

fs ≥ 2fc = 800Hz
奈奎斯特间隔为

F (?)

Ts =1/2fc = 1/800 = 1.25 ms
故抽样间隔 T 应满足

-fc

0

fc

fs

f

T≤ Ts =1.25 ms
(2)若以T=1ms 抽样,抽样频率应为

fs = 1/T = 1KHz
由抽样定理可知, fs 应满足

fs ≥ fz + fc ≥2fc


理想低通 滤波器

-fc

0

fc fz

fs

f

fs - fc ≥ fz ≥fc

第十三 题:已知图1示一非周期信号f1(t)的频谱为F1(?)= R (?)+j X (?) ,其中R (?)
与 X (?)均为? 的实函数 ,求图2 示非周期信号 f2(t) 的频谱 。 f2(t) f1(t)

2 1

cos10?t

0 图1

1

t
0

4

t

图2

f01(t)

1 解 :首先由题意确定图2的包络线函
数 f01 (t),如图3所示; 0 f01(t/2)

1

t

f 01 (t ) ? f1 (t ) ? f1 (-t ) f 01 ( t ) ? f1 ( t ) ? f1 (- t ) 2 2 2

1
0 图3

2

t

则有图4及下面表达式

f02(t)

?1 ? ?1 ? f 02 (t ) ? 2 f 01 ? (t ? 2) ? ? 2 f 01 ? (t ? 2) ? ?2 ? ?2 ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 f1 ? (t ? 2) ? ? 2 f1 ? ? (t ? 2) ? ?2 ? ? 2 ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 f1 ? (t ? 2) ? ? 2 f1 ? ? (t ? 2) ? ?2 ? ? 2 ?
即得信号 f2(t) 表达式为

2

0

2

4

t

图4

f 2 (t ) ? f 02 (t ) cos(10 ?t )
f2(t) 的频谱F2(?)为

F2 (?) ? ? ? f 02 (t ) cos(10 ?t )? ?

1 ? ? f 02 (t )??? ?cos(10 ?t )? 2? 1 1 ? F02 (?) ? ???(? ? 10 ?) ? ?(? ? 10 ?)? ? ?F02 (? ? 10 ?) ? F02 (? ? 10 ?)? 2? 2

由时移性,因为

F02 (?) ? 2 2 F1 (2?)e ? j 2? ? 2 F1 (?2?)e ? j 2? ? 2 F1 (2?)e j 2? ? 2 F1 (-2 ?)e j 2? ? 4 F1 (2?)e ? j 2? ? F1 (?2?)e ? j 2? ? F1 (2?)e j 2? ? F1 (-2 ?)e j 2? ? 8?R(2?) ? jX (2?) ? R(?2?) ? jX (?2?)?cos 2?
其中: (根据奇偶虚实性)

? 8?F1 (2?) cos 2? ? F1 (?2?) cos 2?? ? 8?F1 (2?) ? F1 (?2?)?cos 2?

?

?

?

?

R(2?) ? R(?2?)


;

X (2?) ? ? X (?2?)

F02 (? ? 10 ?) ? 16 R?2( ? ? 10 ?)?cos 2( ? ? 10 ?) F02 (? ? 10 ?) ? 16 R?2( ? ? 10 ?)?cos 2( ? ? 10 ?)
最后得

F02 (?) ? 16 R(2?) cos 2?

F2 (?) ? 8?R?2( ? ? 10 ?)?cos 2( ? ? 10 ?) ? R?2( ? ? 10 ?)?cos 2( ? ? 10 ?)?

第十四 题:已知图1示一线性系统由两个相同的子系统级联构成,设子系统的单
位冲激响应为 h1(t)= h2(t)= 1/?t ,激励信号为 f (t) ,试证明该线性系统的零状态响 应为: y(t)=-f(t)
y(t) h1(t) h (t) 图1 证明:因为 h2(t)

f(t)

h(t ) ? f1 (t ) ? f 2 (t ) ?

1 ?1 1? ? ? ? 2 ? ?t t ?

? 1 ? 1 1?? y(t ) ? h(t ) ? f (t ) ? ? 2 ? ? ? ? ? f (t ) ?? t t ? ?? ? ?
对上式两边进行 FT ,利用卷积定理得

1 Y (?) ? ? ?y (t )? ? 2 ? ?

?1 ? ? t ? ?? ? ?

?1 ? ? t ? ?? ? f (t )? ? ?

因为符号函数的FT 为

2 ? ?Sgn(t )? ? j?
?1 ? ? 1 ? ? ? ? ? 2?? j Sgn(-?)? ? ? j? Sgn(?) ?t ? ? 2 ?


Y (?) ?

1 ?? j? Sgn(?)?? ?? j? Sgn(?)?? F (?) 2 ? ? ? Sgn 2 (?) ? F (?) ? ? F (?)

上式两边进行 IFT 即得证

y(t)= -f(t)

小幽默 手机就像女朋友,特征如下:没到手 时羡慕,到手后觉得也不过如此;有了一 个以后,很快发现又有更好的出现;为了 能让她赶上时髦,你得不断地在她身上花 钱;在一起时嫌她这个嫌她那个,不在一 起了又觉得想念…… 。


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