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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版必修4第三章 3.2.2半角的正弦、余弦和正切


3.2.2
一、基础过关 1. 已知 180° <α<360° ,则 cos A.- C.- 2. 当 tan 1-cos α 2 1+cos α 2

半角的正弦、余弦和正切

α 的值等于 2 B. D. 1-cos α 2 1+cos α 2

(

)

α α ≠0 时,tan 的值与 sin α 2 2 B.异号 D.sin α 可能为零

(

)

A.同号 C.有时同号有时异号 α cot -tan 2 3. α cot +tan 2 A.cot α α 2 化简的结果是 α 2 B.tan α C.cos α

(

)

D.sin α ( )

1 5π θ 4. 如果|cos θ|= , <θ<3π,则 sin 的值是 5 2 2 A.- 10 5 B. 10 5 C.- 15 5 D. 15 5

5. 代数式 sin 2θ(1+tan 2θtan θ)的化简结果是________. 24 α 6. 已知 α 是第三象限角,sin α=- ,则 tan =________. 25 2 7. 化简: sin 4α cos 2α cos α · · . 1+cos 4α 1+cos 2α 1+cos α

?sin α+cos α-1??sin α-cos α+1? α 8. 证明: =tan . sin 2α 2

二、能力提升 5 α 9. 若 α 是第三象限角,且 sin(α+β)cos β-sin βcos(α+β)=- ,则 tan 的值为 ( 13 2 A.-5 B.5 5 C.- 13 5 D. 13 ( 1 C.± 5 7 D.± 5 ) )

π 24 10.若 sin 2α= ,则 2cos?4-α?的值为 ? ? 25 1 A. 5 7 B. 5

4 11.已知等腰三角形顶角的余弦值为 ,则底角的正切值为________. 5 3π 12.已知 π<α< ,化简下面的式子. 2 1-sin α + . 1+cos α- 1-cos α 1+cos α+ 1-cos α 1+sin α

三、探究与拓展 π π 13.已知函数 f(x)=(1+cot x)sin2x-2sin?x+4?· ?x-4?. ? ? sin? ? (1)若 tan α=2,求 f(α); π π (2)若 x∈?12,2?,求 f(x)的取值范围. ? ?

答案 1.C 2.A 3.C 4 α 4.C 5.tan 2θ 6.- 7.tan 3 2

8. 证明 方法一 利用半角正切公式.

左边=

?1-1-cos α??1+1-cos α? sin α ?? sin α ? ?
cos α 2· sin α



?1-tan α??1+tan α? 2?? 2? ?
2 tan α



?1-tan2α?tan α 2? ?
2



?1-tan2α? 2tan α 2? 2 ?
2

· α 1-tan2 2

=tan

α =右边. 2

方法二 利用二倍角公式. 左边=

?2sin αcos α-2sin2α??2sin αcos α+2sin2α? 2 2 2?? 2 2 2? ?
4sin α α cos cos α 2 2



?cos α-sin α??cos α+sin α?sin α 2 2?? 2 2? ? 2
cos α cos α 2



?cos2α-sin2α?sin α 2? ? 2 2
cos cos αsin α cos α 2 α 2 α 2

= cos

α cos α 2

=tan

=右边. 方法三 利用三角函数其他公式. 左边= [sin α+?cos α-1?][sin α-?cos α-1?] sin 2α

= = =

sin2α-cos2α+2cos α-1 sin 2α 2cos α-2cos2α 2sin αcos α 2cos α?1-cos α? 1-cos α α = =tan =右边. 2sin αcos α sin α 2

9. A 10.D 11.3

?sin α+cos α?2 2? ? 2 12.解 原式= α? α 2?cos 2?- 2?sin 2? ? ? ? ?sin α-cos α?2 2? ? 2 + , α? α 2?cos 2?+ 2?sin 2? ? ? ?
3π π α 3π ∵π<α< ,∴ < < , 2 2 2 4 ∴cos α α <0,sin >0. 2 2

?sin α+cos α?2 2? ? 2 ∴原式= + α α - 2?sin 2+cos 2? ? ?

?sin α-cos α?2 2? ? 2 α α 2?sin 2-cos 2? ? ?

α α α α sin +cos sin -cos 2 2 2 2 =- + 2 2 =- 2cos α . 2

13.解 (1)f(x)=sin2x+sin xcos x+cos 2x = 1-cos 2x 1 + sin 2x+cos 2x 2 2

1 1 = (sin 2x+cos 2x)+ , 2 2 2sin αcos α 由 tan α=2 得 sin 2α= 2 sin α+cos2α = 2tan α 4 = , 2 tan α+1 5

cos2α-sin2α 1-tan2α cos 2α= 2 = sin α+cos2α tan2α+1 3 =- , 5 1 4 3 1 所以 f(α)= ×?5-5?+ ? 2 2 ?

3 = . 5 1 1 (2)由(1)得 f(x)= (sin 2x+cos 2x)+ 2 2 = π 1 2 ? sin?2x+4?+ , ? 2 2

π π π 5π 5π 由 x∈?12,2?得 2x+ ∈?12, 4 ?, ? ? ? 4 ? π 2 所以 sin?2x+4?∈?- ,1?, ? ? ? 2 ? 从而 f(x)= π 1 ? 1+ 2? 2 ? sin?2x+4?+ ∈?0, ?. ? 2 ? 2 2 ?


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