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2016年数列解答题训练


数列
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 1.已知正项数列满足 4Sn ? (an ? 1) (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?
2

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn。 an an ?1

2.已知数列{

an}的前 n 项和 sn 满足 Sn=2n ﹣13n(n∈N ) . (1)求通项公式 an; (2)令 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

2

*

3.设等差数列 (Ⅰ)求数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 ,

2a1 ? 1 ? a2

?an ? 的通项公式;
bn ? 1 a n a n ?1
,求

(Ⅱ)设数列

?bn ? 的前 n 项和 Tn .

试卷第 1 页,总 6 页

4.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? ?

? 2an ? 3 2 , an ?1 ? n? N? 3 3an ? 4

?

?

(1)证明数列 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并求 ?an ? 的通项公式; ? an ? 1 ?
3n n ? N ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an ? 1

(2)若数列 ?bn ? 满足: bn ?

?

?

5.在数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? c(c 为常数, n ? N ) ,且 a1 , a2 , a5 成公比不
?

等于 1 的等比数列. (Ⅰ)求 c 的值; (Ⅱ)设 bn ?

1 1 1 ,求证:若数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n ,则 ? S n ? 3 2 an an ?1

试卷第 2 页,总 6 页

6.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的正整数 n 都有 Sn ? 2an ? 3n . (1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列, (2)求出 ?an ? 的通项公式。 (3)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn.

7.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2 S n ? 3 ? 3 .
n

(I)求 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 an bn ? log 3 an ,求 ?bn ? 的前 n 项和Tn .

试卷第 3 页,总 6 页

2 * 8.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, S n ? nan ? 2n ? 2n n ? N 。

?

?

(1)求证:数列 ?an ? 为等差数列,并分别写出 an 和 Sn 关于 n 的表达式; (2)是否存在自然数 n ,使得 S1 ? 值;来若不存在,请说明理由。 ( 3 ) 设 cn ?

S S 2 S3 ? ? ? ? n ? 2n ? 1124 ?若存在,求出 n 的 2 3 n

2 (n ? N ? ) , Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .... ? cn (n ? N ? ) , 若 不 等 式 n(an ? 7)

Tn ?

m ? m ? Z ? 对 n ? N ? 恒成立,求 m 的最大值。 32

9.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a3 ? a4 ? 12, S7 ? 49 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)是否存在非零常数 c 使数列 ? 请说明理由.

? Sn ? ? 为等差数列?若存在,请求出 c ;若不存在, ?n ? c ?

试卷第 4 页,总 6 页

10.已知数列 {an } 中, a1 ? ,2an?1 ? an?1an ? 1 ? 0 (n ? N * ) .

1 2

1 } 是等差数列; (1)求证:数列 { 1 ? an
2 2 2 (2)若 Tn ? a1a2 a3 ? an ,设 Sn ? T1 ? T2 ? ? ? Tn ,证明: Sn ? an?1 ?

1 . 2

11.设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ)推导 {an } 的前 n 项和 Sn 公式; (Ⅱ)设 q ? 1 ,证明数列 ?

? Sn ? ? 不是等比数列. ?n?

试卷第 5 页,总 6 页

12.已知数列 ?bn ? 是首项 b1 ? 1, b4 ? 10 的等差数列, 设 bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) .
4

(1)求证: {an } 是等比数列; (2)记 cn ?

1 ,求数列 {c n } 的前 n 项和 S n ; bn bn ?1

(3)记 dn ? (3n ? 1) ? Sn ,若对任意正整数 n , 不等式

1 1 1 m ? ??? ? 恒成立,求整数 m 的最大值. n ? d1 n ? d 2 n ? d n 24

13 . ( 2015 秋 ? 福 建 期 末 ) 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn . 已 知 a1=1 , ,n∈N . (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)在数列{bn}中, ,求{bn}的前 n 项和 Tn.
*

试卷第 6 页,总 6 页

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参考答案 1. (1) an ? 2n ? 1 (2) Tn ?

n 2n ? 1

考点:数列递推式;数列的求和 2. (1)an=4n﹣15(2)Tn=﹣7﹣ 【解析】解: (1)①当 n=1 时,a1=S1=﹣11, 2 2 ②当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n ﹣13n﹣[2(n﹣1) ﹣13(n﹣1)]=4n﹣15, n=1 时,也适合上式. ∴an=4n﹣15. (2)cn= = = ?(4n﹣15) ,

∴ Tn= 15) ,① =

+

+

+…+

?( 4n ﹣

+ ②

+…+

+

①﹣②,得: Tn=﹣

+4(

+

+…+

)﹣(4n﹣15)?(



n+1

=﹣

+4?

﹣(4n﹣15)?(



n+1

=﹣ ﹣ ∴Tn=﹣7﹣ .



【点评】本题考查数列的通项公式和前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 错位相减法的合理运用. 3. (Ⅰ)解: 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由 S4=4S2,a2=2a1+1 得:

? 4?3 2 ?1 ? ? d ? 4 ? 2a1 ? d? ?4a1 ? 2 2 ? ? ? ? a1 ? d ? 2a1 ? 1 ? ,
解得: 则
答案第 1 页,总 9 页

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(Ⅱ) ...

,

1?1 1? b2 ? ? ? ? 2?3 5?, 1? 1? b1 ? ?1 ? ? 2? 3? , 1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n Tn ? ?1 ? ? ? ? ... ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ? 1 则
考点:等差数列的通项公式和前 n 项和公式;数列求和的其他方法(倒序相加,错位相减, 裂项相加等). 4.解: (1) 因为an ?1 ? 1 ?

? 2an ? 3 a ?1 ?1 ? n 3an ? 4 3an ? 4

所以

1 an ?1 ? 1 1

?

3an ? 4 1 ? 3? , an ? 1 an ? 1

所以

1 ?3 an ?1 ? 1 an ? 1 ?

所以 ?

? 1 ? ? 是首项为 3,公差为 3 的等差数列, ? an ? 1 ?
1 1 ? 3n, 所以an ? ?1 . an ? 1 3n

所以

(2)由已知 bn ?

3n ? 3n ?1 ? n an ? 1

S n ? 32 ?1 ? 33 ? 2 ? ? ? 3n ? ?n ? 1? ? 3n ?1 ? n ①

3Sn ? 33 ?1? 34 ? 2 ??? 3n?1 ? ? n ?1? ? 3n?2 ? n
①-②得

②.

? 2S n ? 3 ? 3 ? ? ? 3
2 3

n ?1

?3

n?2

32 3n ? 1 ?n ? ? 3n ? 2 ? n 3 ?1

?

?

所以 S n ?

3n ? 2 ? 9 n n ? 2 2 n ? 1 n ? 2 9 ? ?3 ? ?3 ? ?4 2 4 4
答案第 2 页,总 9 页

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考点:等差数列的定义及通项公式;数列的前 n 项和. 5. (Ⅰ)∵ an?1 ? an ? c, a ? 1, c 为常数,∴ an ? 1 ? (n ?1)c ∴ a2 ? 1 ? c, a5 ? 1 ? 4c . 又 a 1 , a2 , a5 成等比数列,∴ (1 ? c) ? 1 ? 4c ,解得 c ? 0 或 c ? 2
2

当 c ? 0 时, an?1 ? an 不合题意,舍去. ∴ c ? 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, an ? 2n ? 1 ∴ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

∴ Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ?

?

1 1 n (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1



1 >0, 2n ? 1

1 1 n 1 )? S n ? (1 ? < 2 2n ? 1 2n ? 1 2

由单调性可知,当 n=1 是时 S n 有最小值

1 3



1 1 ? Sn ? 3 2

考点:等差数列及数列求和 6. (1)∵Sn=2an﹣3n,对于任意的正整数都成立, ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣3n﹣3, 两式相减,得 a n+1=2an+1﹣2an﹣3,即 an+1=2an+3, ∴an+1+3=2(an+3) ,∴bn+1=2 bn 所以数列{bn}是以 2 为公比的等比数列, (2)由已知条件得:S1=2a1﹣3,a1=3. ∴首项 b1=a1+3=6,公比 q=2, n﹣1 n ∴an=6 ? 2 ﹣3=3 ? 2 ﹣3. n (3)∵nan=3×n ? 2 ﹣3n 2 3 n ∴Tn=3(1 ? 2+2 ? 2 +3 ? 2 +…+n ? 2 )﹣3(1+2+3+…+n) , 2 3 4 n+1 2Tn=3(1 ? 2 +2 ? 2 +3 ? 2 +…+n ? 2 )﹣6(1+2+3+…+n) , ∴﹣Tn=3(2+2 +2 +…+2 )+3(1+2+3+…+n)= 3 ?
2 3 n

2 ? 2n ? 1? 2 ?1

? 6n ? 2n ?

3n ? n ? 1? 2

答案第 3 页,总 9 页

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∴ Tn ? ? 6n ? 6 ? ? 2 ? 6 ?
n

3n ? n ? 1? 2

考点:等比数列的证明;数列求通项公式;错位相减法数列求和
n 7. (Ⅰ)由 2Sn ? 3 ? 3 可得 a1 ? S1 ?

1 (3 ? 3) ? 3 , 2

an ? Sn ? Sn ?1 ?

1 n 1 (3 ? 3) ? (3n ?1 ? 3) ? 3n ?1 (n ? 2) 2 2

1?1 而 a1 ? 3 ? 3 ,则 an ? ?

? 3, n ? 1, n ?1 ?3 , n ? 1.

?1 , n ? 1, ? 3, n ? 1, log 3 an ? ?3 ?? (Ⅱ)由 anbn ? log3 an 及 an ? ? n ?1 可得 bn ? an ?3 , n ? 1. ? n ? 1 , n ? 1. ? ? 3n ?1
1 1 2 3 n ?1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 . 3 3 3 3 3 1 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 Tn ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3

2 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? Tn ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 n ?1 ? ? 2 ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? n 3 3 3 3 3 3 3 1 1 ? 2 3 3n n ? 1 2 1 3 n ?1 ? ? ? n ? ? ? ? n n 9 1? 1 3 9 2 2 ?3 3 3 13 2n ? 1 ? ? 18 2 ? 3n
? Tn ? 13 2n ? 1 ? 12 4 ? 3n ?1

考点:1.数列求通项公式;2.错位相减法求和 8.
2 * (1) 由 S n ? nan ? 2n ? 2n n ? N ,得 ; S n ?1 ? ? n ? 1? an ?1 ? 2 ? n ? 1? ? 2 ? n ? 1?? n ? 2 ? 2

?

?







an ?

n ?n ?a1?

?1

? n n4

a ?? 4? n ?? 1?n an ? ? n ? ? an 1 ?1 ?

? n ? ?4

1

? an ? an?1 ? 4 ? n ? 2? 故 数 列 ?an ? 是 以 1 为 首 项 , 以 4 为 公 差 的 等 差 数 列 。 所 以

答案第 4 页,总 9 页

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an ? 1 ? ? n ? 1? ? 4 ? 4n ? 3 ? n ? N * ? , Sn ?

n ? a1 ? an ? ? 2n 2 ? n ? n ? N * ? 2
Sn ? 2n ? 1? n ? N * ? n
, 所 以

(2)





1





S1 ?

S S2 S3 ? ? ? ? n ? 2n ? ? ? 1 ? ? ?3? n ? ?5 ? 2 3 n

n ?1 ? ? n ? 2 ?? ? ?1 ? 1 ? n? 2 n2 ?2 2

n

n

2 n 由 n ? 2 ? 1124 得 n ? 10 ,即存在满足条件的自然数 n ? 10



3



cn ?

2 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(an ? 7) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1
1? 1 1 1 1 1 ? 1 1 n (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? ) ? ? (1 ? )? ? 2? 2 2 3 n n ?1 ? 2 n ? 1 2( n ? 1)
即 Tn 单 调 递 增

Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? .... ? cn ?

?Tn?1 ? Tn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0 ?Tn ? Tn?1 2 ? n ? 2 ? 2 ? n ? 1? 2 ? n ? 2 ?? n ? 1?

故 ?Tn ? min ? T1 ?

1 m m 1 ? 成立,即 m ? 8 ? m ? Z ? 。故符合条 要使 Tn ? 恒成立,只需 32 4 4 32

件的 m 的最大值为 7 。 【考点】 (1)数列中 S n , an 的关系。 (2)构造数列及方程思想; (3)裂项数列求和及函数的 单调性与最值思想。 9. (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,

?2a1 ? 5d ? 12 ?a ? 1 ? ?? 1 ? an ? 2n ? 1 . 依题意得, ? 7?6 7a1 ? d ? 49 ?d ? 2 ? ? 2
(2)由(1)知, Sn ?

n? ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? 2

? n2 ,

假设存在非零常数 c 使数列 ?

? Sn ? ? 为等差数列, ?n ? c ?



1 4 9 1 9 4 , , ? ? 2? 成等差数列. ? 1? c 2 ? c 3 ? c 1? c 3 ? c 2?c

答案第 5 页,总 9 页

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解得 c ? 0 矛盾 故不存在非零常数 c 使数列 ?

? Sn ? ? 为等差数列. ?n ? c ?

考点: (1)运用基本量思想求等差数列通项公式; (2)存在性问题及等差数列的定义. 10. (1)由 2an ?1 ? an ?1an ? 1 ? 0 得 an ?1 ?

1 ; 2 ? an



2 ? an 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 为常数 1 ? an?1 1 ? an 1 ? 1 1 ? an 1 ? an 1 ? an 2 ? an

1 1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的等差数列. 所以数列 { 1 ? an 1 ? a1
(2)由(1)得

1 n ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,所以 an ? . 1 ? an n ?1
1 n ?1
.所以要证

所以 Tn ? a1a2 a3 ?an ?

Sn ? an?1 ?

1 , 2

只需证明

Sn ?

1 1 1 1 1 ? 2 ??? ? ? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 n?2.

证明如下:
2 ∵ (n ? 1) ? (n ? 1)(n ? 2)



1 1 1 1 ? ? ? (n ? 1)2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? ? ? ??? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1)( n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
∴不等式 Sn ? an?1 ?

1 成立. 2

【考点】 (1)等差数列的定义及代数变形能力。 (2)列项求和及放缩法证明数列不等式。 11. 设 {an } 的前 n 项和为 Sn , 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1q ? ? ? a1q
n?1

? na1 ;
. ①

n?1

qSn ? a1q ? ?? a1qn?1 ? a1qn ,


答案第 6 页,总 9 页

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①-②得 ?1 ? q ? S n ? a1 1 ? q

?

n

? ,所以
q ?

Sn ?
1,

a1 ?1 ? q n ? 1? q



所以

?n a 1, ? Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? , ? ? 1? q

q?

1.

?S ? ? (Ⅱ)证:由 {an } 是公比为 q 的等比数列有 a1 ? 0 ,若对任意的 n ? N ,数列 ? n ? 是等 ?n? ?S ? 比数列,则考虑数列 ? n ? 的前三项,有 ?n?
3 ? a1 ?1 ? q 2 ? ? a1 a1 ?1 ? q ? ? ? ? ? , 1? q ? 1 1? q ? ? ? 2

化简得

q 2 ? 2q ? 1? 0 ,即 ? q ? 1? ? 0 ,
2 2

但 q ? 1 时, ? q ? 1? ? 0 ,
?S ? 这一矛盾说明数列 ? n ? 不是等比数列. ?n?

考点:1.等比数列的证明;2.错位相减法求和 12. (1)? b1 ? 1, b4 ? 10? d ? 3 ? bn ? 3n ? 2

1 ? bn ? 2 ? 3 log1 an ? 3n ? 2 ? 2 ? 3n ? log1 an ? n ? a n ? ( ) n (n ? N *) 4 4 4

?

a n ?1 an

?1? ? ? 4 ?? ? n ?4 ?1? ? ? ?4?
1 1 , 公比 q ? 的等比数列 4 4

n ?1

∴数列 {a n }是首项 a1 ?

(2)? cn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? ) bnbn ?1 d bn bn ?1 3 3n ? 2 3n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3 3n ? 1

答案第 7 页,总 9 页

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(3) 因为 d n ? (3n ? 1) S n ? (3n ? 1) ?

n ? n . 则问题转化为对任意正整数 n 使 3n ? 1

不等式

1 1 1 m ? ? ?? ? ? 恒成立。 n ?1 n ? 2 n ? n 24 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ,则 f (n ? 1) ? f (n) ? n ?1 n ? 2 n ? 3 n?n

设 f ( n) ?

[

1 1 1 1 1 1 ? ??? ] ?[ ? ??? ] (n ? 1) ? 1 (n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? (n ? 1) n ?1 n ? 2 n?n
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 1 2n ? 2
1 2

?

所以 f (n ? 1) ? f (n) ,故 f ( n) 的最小值是 f (1) ?



1 m ? 恒成立知整数 m 可取最大值为 11. 2 24

考点:数列的求和;等比数列的通项公式 13. 解: (1)∵ ,n∈N .
*

∴当 n=1 时, 又 a1=1,∴a2=4. (2)∵ ,n∈N .
*



∴ ∴当 n≥2 时, 由①﹣②,得 2Sn﹣2Sn﹣1=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1) , ∵2an=2Sn﹣2Sn﹣1,∴2an=nan+1﹣(n﹣1)an﹣n(n+1) , ∴ (n≥2) , ②

①,



,∴数列

是以首项为

,公差为 1 的等差数列.

答案第 8 页,总 9 页

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∴ (3)证明:由(2)知,

,∴ ,







∴ 考点:数列的求和;数列递推式.

答案第 9 页,总 9 页


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