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课件-16(简单的线性规划问题(2))


y

C
5

A B
O
1 5

x

知识回顾: 二元一次不等式表示的区域及判定方法:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角

直线Ax+By+C=0某一侧所 坐标系中表示 ______________________ 有

点组成的平面区域。 ___________________
确定区域步骤: 直线定界 、____________ 特殊点定域 __________ 直线定界 、_________. 原点定域 若C≠0,则 _________

一、实际问题
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件 乙产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配 件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计 算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
A配件 (个) B配件 (个) 耗时(h)

甲产品 乙产品 限 制

4 4 16 12

1

2 8

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由已知条件可 得二元一次不等式组

? x+2y ? 8 ? 4x ? 16 ? ? ? 4y ? 12 ? ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ? ? ?y ? 3 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

将不等式组表示成平面上的区域,图中的阴影部分中的 整点(坐标为整数)就代表所有可能的日生产安排。

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ? ? ?y ? 3 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

x+2y=8
4 3

y

x=4 y=3

o

4

8

x

提出新问题: 若生产一件甲产品获利2万元,生产 一件乙产品获利3万元,采用那种生产安排利润最大?

A配件 (个)

B配件 (个)

耗时(h) 利润(万元)

甲产品 乙产品 限 制

4 4 16 12

1 2 8

2万元 3万元

设工厂获得的利润为z,则z=2x+3y

把z=2x+3y变形为
2 它表示斜率为 ? 在y z 3

2 z y ?? x? 3 3

轴上的截距为 线。

3

的直
y
4 3

当z变化时,可以得 到一族互相平行的 直线。 令z=0,作直线2x+3y=0

M

o 2x+3y=0

4

8

x

由上图可以看出,当经过直线x=4与直线x+2y-8=0的 z 交点 M (4 ,2 )时,截距 的值最大,最大值为 , 3 14 ( Zmax=2x+3y=2×4+3×2=14 )
3

这时 2x+3y=14. 所以,每天生产甲产品 4件,乙产品 2 件时,工厂可获得最大利润14万元。

y
4 3

M(4, 2)

o

4

8

x

二、基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式,称为线性约束条件。

把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数,因为它 是关于变量x、y的一次解析式,又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题,统称为线性规划问题。 y 可行域 满足线性约束的解
(x,y)叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
o
4 3

最优解

4

8

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫 做这个问题的最优解。

x

课堂练习

1.已知二元一次不等式组

{

x-y≥0 x+y-1≤0 y≥-1

(1)画出不等式组所表示的平面区域;

y

(2)设z=2x+y,则式中变量x,y满足的二元一 x+y=1 次不等式组叫做x,y的 线性约束条件 ;

z=2x+y 叫做 线性目标函数 ;
满足 线性约束条件 的解(x,y)都叫做可行解; 使z=2x+y取得最大值的可行解为 (2,-1) 且最大值为 3 ; ,

x-y=0 1

0
(-1,-1)

x
1
(2,-1)

y=-1

使z=2x+y取得最小值的可行解 (-1,-1) , 且最小值为

2x+y=0

-3



这两个最值都叫做问题的 最优解 。

三、例题讲解 例1、营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的 脂肪,1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白 质,0.14kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105kg 碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。 为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最 低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?

分析:将已知数据列成表格
食物/kg 碳水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kg

A B

0.105 0.105

0.07 0.14

0.14 0.07

解:设每天食用xkg食物A,ykg食物B,总成本 为z,那么

?0.105 x+0.105 y ? 0.075 ?0.07 x+0.14 y ? 0.06 ? ? ?0.14 x ? 0.07 y ? 0.06 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0
目标函数为:z=28x+21y

?7 x ? 7 y ? 5 ?7 x ? 14 y ? 6 ? ? ? ?14 x ? 7 y ? 6 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域

随z变化的一组平行直 y 6/7 线系

4 z 把目标函数z=28x+21y 变形为 y ? ? x ? 3 21 4 它表示斜率为 ? 3

的截距,当截距最 小时,z的值最小。

z 21 是直线在y轴上

5/7

M

3/7

如图可见,当直线 z=28x+21y 经过可 行域上的点M时,截距 最小,即z最小。

o

3/7

5/7

6/7 x

M点是两条直线的交点,解方程组 ?7 x ? 7 y ? 5 ? ?14x ? 7 y ? 6

1 ? x ? ? ? 7 得M点的坐标为: ? ?y ? 4 ? 7 ?
所以zmin=28x+21y=16 由此可知,每天食用食物A143g,食物B约 571g,能够满足日常饮食要求,又使花费最低, 最低成本为16元。

解线性规划问题的步骤:
(1)画:画出线性约束条件所表示的可行域; (2)移:在线性目标函数所表示的一组平行 线中,利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线;

(3)求:通过解方程组求出最优解;
(4)答:作出答案。

课堂练习2: 设z=2x-y,式中变量x,y满足下列条件

求z的最大值和最小值.

? x ? 4 y ? ?3 ? ?3x ? 5 y ? 25 ?x ? 1 ?

y

x ?1

C
?
?

? z表示 直线y ? 2 x ? z在y轴上的截距
A(5,2) C (1, 22 )
? zmin 22 12 ? 2 ?1 ? ?? 5 5
5
O

A

x ? 4y ? 3 ? 0
3x ? 5 y ? 25 ? 0

B

x

zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12

两个结论:
1、线性目标函数的最大(小)值一般在可
行域的顶点处取得,也可能在边界处取得。 2、求线性目标函数的最优解,要注意分析 线性目标函数所表示的几何意义

—— 在 y 轴上的截距或其相反数。

课后练习1:已知目标函数z=2x+y,且变量x,

y满足下列条件

,则(



A、z最大值=12,z最小值=3 B、z最大值=12,无最小值 C、z最小值=3,无最大值 D、z无最大值,也无最小值
2.若可行域是有(1,1)(5,2)(2,5)三点围成 的封闭的三角形。目标函数z=ax+y(a>0) 取得最大值的最优解有无数个,则a=______


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