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2014高一数学必修4三角函数的性质练习(知识点及答案)练习题


三角函数的图象与性质
※※※ 知识点归纳 一、三角函数的图象与性质
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 函 性 数 质

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图象

定义域

R

>R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

值域 当x 时, 最值 当x 时, 周期性 奇偶性

? ?1,1?
? 2 k? ?

? ?1,1?
当x

R

?
2

?k ? ??

? 2k? ? k ? ? ? 时,

ymax ? 1;

ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ?

? 2 k? ?

?
2

?k ? ??

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 .

既无最大值也无最小值

ymin ? ?1 .

2?
奇函数

2?
偶函数

?
奇函数



? ?? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2? ?


? k ? ? ? 上是增函数;
单调性 在

? 2k? ? ? , 2k? ? ? k ? ? ? 上

是增函数; 在

在 ? k?

? ?

?

?
2

, k? ?

??
? 2?

? 3? ? ? 2 k? ? , 2 k? ? ? ? 2 2 ? ?

? 2k? , 2k? ? ? ? ? k ? ? ? 上 ? k ? ? ? 上是增函数.

是减函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 对称性 对称轴 x

? k? , 0 ?? k ? ? ?
? k? ?

对称中

?
2

? k ? ??

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
? k? ? k ? ? ?

对称中心 ? 无对称轴

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x

2、正弦函数 y=sinx 的图象和余弦函数 y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

1

y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1

y=sinx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法) : 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是:
? 3? ,1) (?,0) ( ,-1) (2?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x?[0,2?]的五个关键点是:

(0,0) (

? 3? ,0) (?,-1) ( ,0) (2?,1) 2 2 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用五点法作正弦函 数和余弦函数的简图,要求熟练掌握。 优点是方便,缺点是精确度不高。

(0,1) (

二、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 1、由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。 法一:先平移后伸缩
(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位
??? y ? sin(?x ? ? ) ? ??????
纵坐标不变 1 横坐标变为原来的 倍

横坐标不变 法二:先伸缩后平移

A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? )
1 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变

??? y ? sin x ? ??????
(? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin ?x ?向左 ?????? ?? y ? sin(?x ? ? ) 平移 |? |个单位

?

A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) 横坐标不变

注意:第一种方法平移 |? | 个单位,第二种方法平移 |

是针对变量 x 而言的。 因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序, 否则必 然会出现错误。 2、函数 y 函数 y

? 个单位。原因在于相位变换和周期变换都 | ?

? A sin(?x ? ? ) x ? ?0,?? ? 其中 ( A ? 0, ? ? 0) 的物理意义:

? A sin(?x ? ? ) x ? ?0,?? ? 其中 ( A ? 0, ? ? 0) 表示一个振动量时:

A:这个量振动时离开平衡位置的最大距离,称为“振幅”.
2

T: T ?

2?

?

往复振动一次所需的时间,称为“周期” .

f:f ?

1 ? ? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率” . T 2?

?x ? ? : :称为“相位” . ? :x =0 时的相位,称为“初相”.
※※※ 例题选讲
例 1、函数 y ?

tan x ? 3 的定义域。

解:由 tan x ? 3 ? 0 得 tan x ?

? ?? ? 3 ,所求定义域为 ? k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? , 3 2? ?

例 2、求函数 y ? 2 sin? 2 x ?

? ?

??

? 的单调递减区间. 4?

解:由 解得

?
2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
4

?

?

8

5? ? k? , (k ? Z ) ; 8

3? ? 2k? , (k ? Z ) 2

函数的递减区间为 ?

5? ?? ? ? k? , ? k? ?, (k ? Z ) ; 8 ?8 ?

例 3、用两种方法将函数 y ? sin x 的图象变换为函数 y ? sin(2 x ? 分析 1: x ? x ? 解法 1:

? 的图象。 )
3

?
3

? 2x ?
?

?
3
y ? sin( x ?

y ? sin x

向左平移 个单位 3 ?????? ?

?
3

2? ) ? ?????? ? 纵坐标不变

横坐标缩短到原来的

1

y ? sin(2 x ?

?
3

)

分析 2: x ? 2 x ? 2( x ? 解法 2: y ? sin x

?
6

) ? 2x ?

?
3

1 横坐标缩短到原来的 2 ? ?????? ?? 纵坐标不变

y ? sin 2 x
)

向左平移 个单位 6 ?????? ?

?

y ? sin[2( x ?

?
6

)] ? sin(2 x ?

?
3

注意:在解法 1 中,先平移,后伸缩;在解法 2 中, ,先伸缩,后平移。表面上看来,两种变换方法 中的平移是不同的(即

?和?) ,但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的。 6 3

※※※ 巩固练习
1、已知Δ ABC 中, tan A ? ? A、

12 13

B、

5 13

2、化简 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 的结果等于(

?

5 ,则 cos A 等于( )D 12 5 12 C、 ? D、 ? 13 13
)A
3

2

A、0

B、-1

C、

3 2

D、 ?

3 2

3、下列等式中,恒成立的是( A、 sin(

)C B、 sin(? ? x) ? ? sin x D、 cos( ? ? x) ? cos x )D

?

? x) ? cos( ? x) 2 2

?

C、 sin(2? ? x) ? sin x 4、函数 f ( x) ? A、

? 2

x ? 3 sin( ? ), ( x ? R) 的最小正周期为( 2 4
B、 ? C、 2? D、 4?

5、函数 y ? sin(3x ? A. ? ?

?
4

) 是图象的一个对称中心是(
B. ? ?

)B

? ? ? ,0 ? ? 12 ?

? 7? ? ,0 ? ? 12 ?

C. ?

? 7? ? ? 11? ? ,0 ? . D. ? ,0 ? . ? 12 ? ? 12 ?
)B

6、在下列各区间中,函数 y =sin(x+

? 4

)的单调递增区间是(

A.[

? 2

,π ]

B.[0,

? 4



C.[-π ,0]

D.[

? 4



? 2



7、当函数 y ? 2 cos x ? 1 取得最大值时, x 的取值为( A、 x ? 2k? ?

)C

?
2

,k ? Z

B、 x ? 2k? ?

?
2

,k ? Z

C、 x ? 2k? , k ? Z

D、 x ? 2k? ? ? , k ? Z 正确的

? 8、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象可看作是函数 y ? 3sin 2x 的图象,经过如下平移得到的,其中 3
是( ).D

A、向右平移 C、向右平移

? 个单位 3
? 个单位 6

B、向左平移 D、向左平移

? 个单位 3
? 个单位 6

9、已知 sinαcosα = 3 A、± 4 10、sin

1 ,则 cosα-sinα 的值等于 ( 8

)B

B、±

3 2

C、

3 2

D、-

3 2

4? 5? 25? ·cos ·tan 的值是( )A 3 4 6 3 3 3 A、- B、 C、- 4 4 4
11、函数 f ( x) ? sin(2 x ?

D、

?

3 4

4

6

) 的单调递减区间是

?? ? 3 ? k? , ?

5? ? ? k? ?, (k ? Z ) 6 ?

12 、 若 f ( x) ? 2 s in? ( x ? ? ) ( 其 中 ? ? 0, ? ? 2 ,? ?
0 0

?
2

) 的 最 小 正 周 期 是 ? , 且 f (0) ? 1 , 则 ? ?

? 6
0

。 从小到大排列为 。 14、 x ?

13、 将 cos10 , sin11 , s n i 1 6 8 14、函数 y ? 2 sin(2 x ?

sin110 ? sin168 0 ? cos10 0

?
3

) 的图象的对称轴方程是

k? ? ? 2 12

k ?Z ;

15、记 f ( x) ? a sin(? x ? ? ) ? b cos( ( a 、 b 、 ? 、 ? 均为非零实数) , ? x ? ?) ? 4 , 若 f (2009 ) ? 2009 ,则 f (2010 ) = 三.解答题 16、已知 tan ? ? 15、 ? 2001 ;

3 3, ? ? ? ? ? ,求 sin ? ? cos? 的值. 2

3? 3 1 )且 tan ? ? 3 ? sin ? ? ? , cos? ? ? 2 2 2 3 1 1? 3 ? sin ? ? cos? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? ? (? ,
17、⑴化简 sin( x ? 180 ) cos(? x)sin(? x ? 180 ) tan(? x ? 180 ) ;
0 0 0

解:原式= (? sin x) cos x sin x(? tan x) = (? sin x) cos x sin x(? ⑵证明: tan x ? sin x ? tan x sin x .
2 2 2 2

sin x ) = sin 3 x . cos x

证:左边= tan x ? sin x ? tan x ? tan x cos x = tan x(1 ? cos x) = tan x sin x =右边.
2 2 2 2 2
2 2

2

2

故原命题成立。 18、已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ? (2)求 f ( x) 在区间 ?

?
4

(1) f ( x) 的最小正周期; ? ), 求:

? 3 2 ? ? ? 3? ? , 3? , ? 的值域。 ?? ?6 4 ? ? 2 ?

19、如右图所示函数图象,求 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? ? )的表达式。 解析:由图象可知 A=2,

7? ? T? ? (? ) ? ? , 8 8 2? 即 ? ?, ? ? ? 2.

y 2 1
?
4

?

又 (?

?
8

,0)为五点作图的第一个点,

因此2 ? (?

?
8

?
?
4

? o
8

3? 8

7? 8

x
5

) ? ? ? 0, ?? ?

. ).

?2

因此所求函数的表达式为y ? 2 sin(2 x ?

高一数学三角函数练习题(一)
一、选择题 1、若 –π /2<?<0,则点 (tan? , cos? ) 位于( A.第一象限 2.若 cos? ? A. B.第二象限 ) D.第四象限

C.第三象限

4 3

4 , ? ? (0, ? ) 则 cot? 的值是( ) 5 3 4 B. C. ? 4 3
? ? π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?


D. ?

3 4

3、函数 y ? sin ? 2 x ?

4.函数 y ? 2 sin(2 x ? A. 4?

?
6

) 的最小正周期( )
C. ? ) D.

B. 2?

? 2

5.满足函数 y ? sin x 和 y ? cos x 都是增函数的区间是( A. [2k? ,2k? ?

?
2

] , k ?Z

B. [2k? ?

?
2

,2k? ? ? ] , k ? Z ,2k? ]

C. [2k? ? ? ,2k? ?

?
2

], k ?Z

D. [2k? ?

?
2

k ?Z


6.要得到函数 y ? sin x 的图象,只需将函数 y ? cos ? x ? A.向右平移

? ?

?? ? 的图象( ??

? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 ? ? ? 5 7.函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象的一条对称轴方程是( ) 2
A. x ? ?

D.向左平移

? 个单位 ?

?

2

B. x ? ?

?

4

C. x ? ) C.

?

8

D. x ?

5? 4

8.函数 y=cos2x –3cosx+2 的最小值是( A.2 B.0

9.如果 ? 在第三象限,则

? 必定在第( 2

1 4

D.6

)象限
6

A.一、二

B.一、三

C.三、四

D.二、四

10.已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在同一周期内,当 x ? 函数的解析式为( A. y ? 2 sin ) B. y ? 2 sin(3x ?

?
3

时有最大值 2,当 x=0 时有最小值-2,那么

3 x 2

?
2

)

C. y ? 2 sin(3x ?

?
2

)

D. y ?

1 sin 3x 2

二、填空题 11.终边落在 y 轴上的角的集合是____________________ 12、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度 y (米)关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 .下表是 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: X Y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数有(填序号)________ (1). y ? 12 ? 3 sin (3). y ? 12 ? 3 sin

?

?
12

6

t , t ? [0,24] t , t ? [0,24]

(2). y ? 12 ? 3 sin( t ? ? ), t ? [0,24] (4). y ? 12 ? 3 sin(

?

t ? ), t[0,24] 12 2

?

6

?

13.函数 f ( x) ? 1 ? 2 cos x 的定义域是___________________________ 14.已知 cos x ?

2a ? 3 ,且 x 是第二、三象限角,则 a 的取值范围是________ 4?a
? ? π? ? 的图象为 C ,则如下结论中正确的序号是 3?
_____ ①、图象 C 关于

15、函数 f ( x) ? 3sin ? 2 x ?

直线 x ?

11 ? 2π ? ? π 5π ? 图象 C 关于点 ? 函数 f ( x) 在区间 ? ? , ? 内是增函数; , 0 ? 对称; ③、 π 对称; ②、 12 ? 3 ? ? 12 12 ? π 个单位长度可以得到图象 C . 3

④、由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 三、解答题:

16.设 P(?3t ,?4t ) 是角 ? 终边上不同于原点 O 的某一点,请求出角 ? 的正弦、余弦、和正切的三角函 数之值.。

17、 已知函数 f(x)=Asin(ω x+?)的图象如图所示,试依图指出: (1)、f(x)的最小正周期; (2、)使 f(x)=0 的 x 的取值集合; (3)、 使 f(x)<0 的 x 的取值集合; (4)、f(x)的单调递增区间和递减区间;(5)、 求使 f(x)取最小值的 x 的集合; (6)、图象的对称轴方程;(7)、图象的对
7

称中心.

sin(? ? 5? ) cos(?
18、化简

?
2

? ? ) cos(8? ? ? )

sin(? ?

3? ) sin(?? ? 4? ) 2

19、已知 y ? a ? b cos3x(b ? 0) 的最大值为

3 1 ,最小值为 ? 。求函数 y ? ?4a sin(3bx ) 的周期、最 2 2

值,并求取得最值时的 x 之值;并判断其奇偶性。

20、如图,某大风车的半径为 2m ,每 12s 旋转一周,它的最低点 O 离地面 0.5m 。风车圆周上一点 A 从最低点 O 开始,运动 t (s) 后与地面的距离为 h(m) 。 ⑴求函数 h ? f (t ) 的关系式; ⑵画出函数 h ? f (t ) 的图象。
O1 A O

21、如图所示,函数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,? > 0,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴相交于点 M (0,3) , 且该函数的最小正周期为 ? .

π 2

0 ? ,点 P 是该函数图象上一点, (1)求 ? 和 ? 的值; (2)已知点 A ? ,
3 ?π ? , x0 ? ? ,π ? 时,求 x0 的值 2 ?2 ?

?π ?2

? ?

点 Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点,当 y0 ?

总复习参考答案:
8

1 B

2 A

3 A

4 C

5 D

6 A

7 A

8 B

9 D

10 C

2 ? 5 13. [2k? ? ,2k? ? ? ], k ? Z 3 3
17 题、

11. {? | ? ? k? ?

?

, k ? Z}

12、

(1). y ? 12 ? 3 sin

?
6

t , t ? [0,24]

14. (?1, )

3 2

15、

①②③

1 π 18 题、原式=-sin? 19 题、a= ;b=1 20 题、y=2.5-2cos t (t≥0) 2 6 21 题、解: (1)将 x ? 0 , y ? 因为 0 ≤ ? ≤

3 代入函数 y ? 2cos(? x ? ? ) 中得 cos ? ?

3 , 2

π π 2π 2π ,所以 ? ? .由已知 T ? π ,且 ? ? 0 ,得 ? ? ? ? 2. 6 2 T π
?π ?2 ? ?

0 ? , Q( x0,y0 ) 是 PA 的中点, y0 ? (2)因为点 A ? ,
又因为点 P 在 y ? 2 cos ? 2 x ?

3 π ? ? .所以点 P 的坐标为 ? 2 x0 ? ,3 ? . 2 2 ? ?

? ?

5π ? 3 π? π ? , ? 的图象上,且 ≤ x0 ≤ π ,所以 cos ? 4 x0 ? ? ? 6 ? 2 6? 2 ?

7π 5π 19π 5π 11π 5π 13π ,从而得 4 x0 ? 或 4 x0 ? , ≤ 4 x0 ? ≤ ? ? 6 6 6 6 6 6 6

三角函数练习题(二)
一、选择题:共 6 小题
1 1.(易 函数最大最小值)用 A 和 B 分别表示函数 y ? sin x ? 1 的最大值和最小值,则 A ? B 等于( 3

)

A.

2 3

B. ?

2 3

C. ?

4 3

D. ?2

9

2.(易 函数单调性)下列函数,在 [ , ?? 上是增函数的是( A. y ? cos 2 x B. y ? cos x C. y ? sin 2 x

? 2

)

D. y ? sin x

3.(易 函数单调区间)下列区间中,函数 y ? 3sin( x ? A. [ ?

? ? , ] 2 2

B. [ ,

? 2? ] 3 3

C. [ ?

2? 2? , ] 3 3

? ) 的递减区间是( 6
D. [??,0]

)

4. (中 三角函数的奇偶性及周期)下列函数中是奇函数,且最小正周期是 π 的函数是( A. y ? tan 2 x B. y ? sin x C. y ? sin ?

)

?π ? ? 2x ? ?2 ?

D. y ? cos ?

? 3π ? ? 2x ? ? 2 ?

5.(中,三角函数的对称性)若函数 y ? cos(? x ? 等于( A. ) B. 12

? ? ) (? ? 0) 的图象相邻两条对称轴间距离为 ,则 ? 3 2
D.4

1 2

C.2

6.(中,函数的值域) y ? sin x ? sin x 的值域是( A. [?2,0] 二、填空题:共 3 小题 B. [0,1]

) D. [?1,0]

C. [?1,1]

7.(易 正切函数的周期)已知函数 y1 ? sin x 、 y2 ? tan x 的最小正周期分别为 T1 、 T2 则 T1 ? T2 ? .

8.(易 函数的奇偶性)若 f ( x) 为奇函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? x ? sin x ,则 x ? 0 时, f ( x) ?
2

9.(难 三角函数的奇偶性、诱导公式)关于 x 的函数 f(x)=sin(x+ ? )有以下命题: ①对任意的 ? ,f(x)都是非奇非偶函数; ②不存在 ? ,使 f(x)既是奇函数,又是偶函数; ③存在 ? ,使 f(x)是奇函数; ④对任意的 ? ,f(x)都不是偶函数. 其中一个假命题的序号是_____.因为当 ? =_____时,该命题的结论不成立. 三、解答题:共 2 小题 10.(中,函数的值域)设全集 U ? [?1,1] ,函数 f ( x ) ? A, g ( x ) ?

1 ( x ? R) 的值域为 sin x ? 1
2

sin x ( x ? R ) 的值域为 B,求 (痧 U A) ? ( U B ) . sin x ? 2
π? ?π x ? ? 的定义域、周期和单调递增区间. 3? ?2
B组

11.(中,正切函数的性质)求函数 f ( x ) ? tan ?

一、填空题:共 6 小题 1.(易 三角函数的图像性质)下列叙述中正确的个数为(

)
10

① y ? tan x 在 R 上是增函数; ② y ? sin x, x ? [0,2?? 的图像关于点 P(?, ?) 成中心对称图形; ③ y ? cos x, x ? [0,2?? 的图像关于直线 x ? ? 成轴对称图形; ④正弦、余弦函数 y ? sin x 、 y ? cos x 的图像不超出两直线 y ? ?1 、 y ? 1 所夹的范围. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2.(中 三角函数最值)已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? 值等于( A. ) B.

? ? , ]上的最小值是-2,则 ? 的最小 3 4

2 3

3 2

C.2

D.3 )

3.(中 三角函数单调性)使函数 y ? sin x 递减且函数 y ? cos x 递增的区间是(

?? , 2?? 2 ? C. (2k ? ? , 2k ? ? ??? k ? Z? 2
A. (

B. (2k ? ?

? ,2k ??? k ? Z? 2 ?? D. (2k ? ? ?, 2k ? ? ?? k ? Z? 2
)

4.(中 三角函数定义域)如果 x ? [0,2 ?] ,则函数 y ? sin x ? ? cos x 的定义域为(

A. [0, ?]

B. [ ,

? ?? ] 2 2

C. [ , ??

? 2

D. [

?? , 2?? 2

π 5.(中 函数对称性)已知函数 f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x= ,则 a 的值为 12 ( ) A. 3 3 B.

1 2

C.

3 2

D.

2 3

6.(中 三角函数最值)若函数 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x , 0 ? x ? A. 1 B. 2 C. 3 ? 1

? ,则 f ( x) 的最大值为( 2

)

D. 3 ? 2

二、填空题:共 3 小题 7.(易 )设 f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1 ,( a, b 为常数),且 f (5) ? 7 ,则 f ( ?5) ?
3

.

π 8.(中 三角函数的对称性周期性) 设 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的图象关于直线 x= 对称,它 3 的最小正周期是π ,则 f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可). 9.(难 函数图像)函数 f ( x ) ? sin x ? 2 | sin x |, x ? ? 0, 2?? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交 点,则 k 的取值范围是__________. 三、解答题:共 2 小题 10. (中 三角函数的奇偶性)判断函数 f(x)=lg(sinx+ 1 ? sin 2 x )的奇偶性.
11

11. (中 三角函数对称性最大最小值)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ( ?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条 对称轴是直线 x ? (1)求 ? ;

? . 8

(2)若函数 y ? 2 f ( x) ? a, (a为常数a ? R)在 x ? [ 求 a 的值. C组 解答题:共 2 小题

11? 3? , ] 上的最大值和最小值之和为 1, 24 4

1.(难 三角函数单调性最大最小值)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin ? ? 1 , x ? [?
2

3 1 , ] 2 2

(1)当 ? ?

? 时,求 f ( x) 的最大值和最小值; 6
3 1 , ] 上是单调函数,且 ? ? [0, 2?) ,求 ? 的取值范围 2 2

(2)若 f ( x) 在 x ? [?

2.(较难 三角函数周期性)设 f ( x) ? a sin ?x ? b cos?x(? ? 0) 的周期 T ? ? ,最大值为 f ( (1)求 ? 、 a 、 b 的值; (2)若 ? 、 ? 为方程 f ( x ) ? 0 的两根,且 ? 、 ? 的终边不共线,求 tan(? ? ? ) 的值.

? )?4, 12

参考答案 A组 一、选择题:共 6 小题

2 4 1 1 1.D 当 sin x ? 1时 y ? sin x ? 1 有最大值 ? ,当 sin x ? ?1 时 y ? sin x ? 1 有最小值 ? ,所以 A+B=- 3 3 3 3 2. ?π ? 2.A y ? cos x 在 [0,2?] 的增区间为 [?,2?] , y ? cos 2 x 的增区间为 ? ,π ? ?2 ?
3.B

? 3? ? 的) 递 减 区 间 为 y ? sin x 的 递 减 区 间 为 ( ? 2 k ? , ? k2 ? , )所 以 y ? 3 s i x n? ( 2 2 6
12

? 4? ? 2? ? 4? ( ? 2k ?, ? 2k ?) ,其中 [ , ] ? [ ? 2k ?, ? 2k ?] ,故选 B. 3 3 3 3 3 3
4.D 四 个 选 项 中 为 奇 函 数 的 是 A 和 D, 其 中 y ? t a 2 nx 的 最 小 正 周 期 为

3? ? ? ? 2 x ) ? cos( ? ? ? 2 x) ? ? cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x ,最小正周期为 ? ,故选 D. 2 2 2 ? 5. C y ? cos x 的图象相邻两条对称轴距离为 ? ,要使 y ? cos(? x ? ) 的图像相邻两条对称轴的距离 3 ? 为 ,则其周期缩小为原来的一半,所以 ? ? 2 . 2 y ? cos(
6.A 当 sin x ? 0 时, y ? sin x ? sin x ? sin x ? sin x ? 0 ;当 sin x ? 0 时, y ? sin x ? sin x ? sin x ? sin x ? 2 sin x , y 的最小值为-2,故选 D. 二、填空题:共 3 小题 7.

? .而 2

? T1 ? ?, T2 ? ? ? T1 ? T2 ? 2? 2
2
2 2

8. ? x ? sin x 设 x ? 0 , 则 ? x ? 0 , 所以 f (? x) ? (? x) ? sin(? x) ? x ? sin x , 又因为 f ( x) 为奇函 数,则 ? f ( x) ? f (? x) ? x ? sin x ,所以 f ( x) ? ? x ? sin x .
2 2

9.①,kπ (k∈Z);或者①,

当 ? =2kπ ,k∈Z 时 ,f(x)=sinx 是奇函数 . 当 ? =2(k+1)π ,k∈Z 时 f(x)= - sinx 仍是奇函数 . 当

? ? +kπ (k∈Z);或者④, +kπ (k∈Z) 2 2

? =2kπ +

③都是正确的.无论 ? 为何值都不能使 f(x)恒等于零.所以 f(x)不能既是奇函数又是偶函数.①和④都 是假命题. 三、解答题:共 2 小题 10.解:∵ 0 ? sin x ? 1 ,∴ 1 ? sin x ? 1 ? 2 , ∴
2 2

? ? ,k∈Z 时,f(x)=cosx,或当 ? =2kπ - ,k∈Z 时,f(x)=-cosx,f(x)都是偶函数.所以②和 2 2

1 ? y ? 1, 2

∴ A ? [ ,1] ,而 U ? [?1,1] ,∴ ? U A ? [ ?1, ) ; 由 g ( x) ?

1 2

1 2

2y sin x sin x ,得 y ? ,于是 sin x ? , sin x ? 2 sin x ? 2 1? y
2y 1 ? 1 ,解得 ?1 ? y ? , y ?1 3

∴ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ ?1 ?

1 1 3 3 1 1 ∴ (痧 U A) ? ( U B ) ? ( , ) . 3 2 π π π 1 11.解:由 x ? ? k π ? ,得 x ? 2k ? ( k ? Z ). 2 3 2 3

∴ B ? { y | ?1 ? y ? } .而 U ? [?1,1] ,∴ ? U B ? ( ,1] ;

13

∴函数 f ( x ) 的定义域是 ? x | x ? 2k ? , k ? Z ? ;

? ?

1 3

? ?

由于 f ? x ? ? tan ?

π? ?π π ? ?π π ? ?π x ? ? ? tan ? x ? ?π ? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 2 ? , 3? 3 3? ?2 ?2 ? ?2

因此函数 f ( x ) 的最小正周期为2. 由?

π π π π 5 1 ?k π ? x? ? ?k π , k ? Z ,解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k , k ? Z . 2 2 3 2 3 3
1 ? 5 ? ? 2k , ? 2k ? , k ? Z . 3 ? 3 ?
B组

因此,函数的单调递增区间是 ? ?

一、填空题:共 6 小题 1. C ①错,其余正确.

? ? ? ? ? ? 3 ? ? x ? 得到一个单调递增区间是 [? , ] ,依题意 ? ? ? ,?? ? 2 2 2? 2? 3 2? 2 3? 3? 3.D 在 区间 ( , 2?) 上 y ? sin x 单 调 递 增 , 不 合 要 求 . 在区 间 (2k ? ? ?,2k ? ? ) 上 y ? sin x 递 2 2 减, y ? cos x 为递减函数,故选 D.
2. B 由 ?

?0 ? x ? ? ?sin x ? 0 ? ? 4.C 依题意得 ? ,即 ? ? 3? ,? x ? [ , ?] ,故选 C 2 ?x? ?cos x ? 0 ? ?2 2
π π π π 3 5.A ∵x= 是对称轴,∴f(0)=f( ),即 cos0=asin +cos ,∴a= . 12 6 3 3 3 6.B 因为 f ( x) ? (1 ? 3 tan x) cos x = cos x ? 3 sin x = 2cos( x ?

? ) 3

当x?

? 是,函数取得最大值为 2.故选 B 3

二、填空题:共 3 小题 7. ?5

f (5) ? 5a ? b sin 3 5 ? 1 ? 7 ,则 5a ? b sin3 5 ? 6 ,
3

又 f (?5) ? ?5a ? b sin 5 ? 1 ? ?6 ? 1 ? ?5 π 2π π 8.( ,0) ∵T= =π ,∴ω =2,又∵函数的图象关于直线 x= 对称, 12 ω 3 π π 所以有 sin(2× +φ )=±1,∴φ =k1π - (k1∈Z), 3 6 π π 由 sin(2x+k1π - )=0 得 2x+k1π - =k2π (k2∈Z), 6 6 π π π ∴x= +(k2-k1) ,当 k1=k2 时,x= , 12 2 12
14

π ∴f(x)图象的一个对称中心为( ,0). 12 9.(1,3)

?3sin x, x ? [0, ?) f ( x ) ? sin x ? 2 sin x ? ? , 由 其 图 像 可 知 当 直 线 y ? k , k ? (1,3) 时 与 ? ? sin x, x ? [ ?, 2 ?]

f ( x ) ? sinx ? 2 | sin x x |, ??

0, ? 的图像与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点. ?2

三、解答题:共 2 小题 10.分析:判断奇偶性首先应看定义域是否关于原点对称,然后再看 f(x)与 f(-x)的关系. 解析:定义域为 R,又 f(x)+f(-x)=lg1=0, 即 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

? ? ? 是它的一条对称轴,∴ 2 ? ? ? ? k ? ? . 2 8 2 ? ?? ∴ ? ? k ? ? , 又 ?? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? ; 4 4 3 (2)由(1)得 f ( x ) ? sin(2 x ? ?) 4 3 ? 3 3? ∴ y ? 2sin(2 x ? ?) ? a ,又 ? 2 x ? ? ? , 4 6 4 4
11.(1)∵ x ? ∴ ymax ? 2 ? a, ymin ? 1 ? a, ∴ 2a ? 3 ? 1, ∴ a ? ?1. 解答题:共 2 小题 C组 1. 解:(1)当 ? ?

1 2 5 ? 2 时, f ( x ) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ? 6 2 4

? f ( x) 在 [ ?

3 1 1 1 ,? ] 上单调递减,在 [? , ] 上单调递增. 2 2 2 2

1 5 ?当 x ? ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? 2 4 1 1 当 x ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? 2 4
(2)要使 f ( x) 在 x ? [?

3 1 3 1 , ] 上是单调函数,则 ? sin ? ? ? 或 ? sin ? ? , 2 2 2 2

即 sin ? ?

3 1 或 sin ? ? ? ,又 ? ? [0, 2?? , 2 2

解得 ? ? [ ,

? ?? ?? ??? ]?[ , ]. 3 3 6 6
a 2 ? b 2 sin(?x ? ? ) ,∴ T ? ? ,∴ ? ? 2 ,

2.解析:(1) f ( x) ?

又 f ( x ) 的最大值为 f ( ∴4 ?

? )?4. 12

a 2 ? b2

① ,且 4 ? a sin

2? 2? ? b cos ②, 12 12
15

由①、②解出 a=2 , b=3.

(2) f ( x ) ? 2sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 4sin(2 x ? ∴ 4sin(2? ?

? ? ) ? 4sin(2 ? ? ) , 3 3 ? ? ? ? ∴ 2? ? ? 2k? ? 2 ? ? ,或 2? ? ? 2k ? ? ? ? (2 ? ? ) , 3 3 3 3 ? 即 ? ? k ? ? ? ( ?、? 共线,故舍去) ,或 ? ? ? ? k ? ? , 6
∴ tan(? ? ? ) ? tan( k ? ?

? ) ,∴ f (? ) ? f ( ? ) ? 0 , 3

? 3 )? ( k ? Z) 6 3

16


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