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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-3)练习:1.3 第2课时]


第一章
一、选择题

1.3

第 2 课时

1. (2011· 重庆理)(1+3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等, 则 n=( A.6 C.8 [答案] B B.7 D.9

)

[解析] 本题主要考查二项式定理中二项展开式的

通项公式的应用.二项式(1+3x)n 展
r 5 6 5 5 6 6 5 5 6 6 开式的通项公式为 Tr+1=3rCr nx ,∴x 与 x 的系数分别为 3 Cn,3 Cn.由条件知:3 Cn=3 Cn,

n! n! 6 即 C5 =3· ,∴n=7,选 B. n=3Cn,∴ 5!?n-5?! 6!?n-6?! a 1 2.(2014· 湖北理,2)若二项式(2x+ )7 的展开式中 3的系数是 84,则实数 a=( x x A.2 C.1 [答案] C a 7-r a r 7-r r 7-2r [解析] 二项式(2x+ )7 的通项公式为 Tr+1=Cr ( ) =Cr ax , 令 7-2r=-3, 7(2x) 72 x x 1 2 5 得 r=5.故展开式中 3的系数是 C5 72 a =84,解得 a=1. x a?8 3.已知? ?x-x? 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的和 是( ) A.28 C.1 或 38 [答案] C a?r - ? - r [解析] Tr+1=Cr x8 r· (-a)r· x8 2r.当 r=4 时, Tr+1 为常数项, 此时 T5=C4 8· 8(- ?-x? =C8· a?8 a)4=70a4=1120.∴a=± 2.令 x=1,则? 2)8=1 或 38.故选 C. ?x-x? =(1± 4.233 除以 9 的余数是( A.1 C.4 [答案] D
10 10 [解析] 233=811=(9-1)11=911-C1 119 +…+C11 9-1,∴余数为 8.故选 D.

)

5 B. 4 D. 2 4

B.38 D.1 或 28

) B.2 D.8

1 1 5.若 9n+Cn 9n 1+…+Cn 9+Cn +1· n+1· n+1是 11 的倍数,则自然数 n 为(
- -

)

A.偶数 C.3 的倍数 [答案] B

B.奇数 D.被 3 除余 1 的数

1 1 + + + [解析] 原式= [(9+1)n 1-1]= [10n 1-1]是 11 的倍数, ∴10n 1-1 是 99 的倍数, ∴ 9 9 n 为奇数.故选 B. 6.在(1-x)11 的展开式中,含 x 奇次幂的各项系数的和是( A.-210 C.-211 [答案] A [解析] 令 f(x)=(1-x)11=a0+a1x+…+a11x11, f(1)=a0+a1+…+a11=0, f(-1)=a0-a1+…-a11=211, f(1)-f(-1)=2(a1+a3+…+a11)=-211. ∴含 x 奇次幂的系数的和为 a1+a3+…+a11=-210.故选 A. 7.(1-x)4n
+1

)

B.210 D.211

的展开式中系数最大的项是(

)

A.第 2n 项 B.第 2n+1 项 C.第 2n 项和第 2n+1 项 D.第 2n+2 项 [答案] B [解析] 令 n=1 则(1-x)5 展开式中系数最大的项为第 3 项.故选 B. 二、填空题 8.(x- 1 3 x )18 的展开式中含 x15 的项的系数为________.(结果用数值表示)

[答案] 17 [解析] 本题考查二项展开式通项公式的应用.
18-r Tr+1=Cr (- 18x

1 3r 18-2 r. ) =(- )rCr 令 18- =15,得 r=2.∴含 x15 的项的系数为 18x 3 2 3 x
r

1

3

1 (- )2C2 =17. 3 18 9. 若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+…+1(n∈N+), 且 a b= [答案] 11
2 [解析] 由二项式定理可得 a=C3 n,b=Cn.

, 那么 n=____________.

又 a b= 三、解答题

3 ,∴Cn

2 n=

得 n=11.

2 ?8 10.在? ? x-x2? 的展开式中, (1)系数的绝对值最大的项是第几项? (2)求二项式系数最大的项; (3)求系数最大的项; (4)求系数最小的项. [解析] (1)设第 r+1 项系数的绝对值最大,即
-1 r-1 ?Cr 2r≥Cr 2 , ? 8· 8 ·

? r r +1 r+1 ? 2 ≥Cr 2 . ?C8· 8 ·

? r ≥9-r, ∴? 1 2 ?8-r≥r+1.

2

1

从而有 5≤r≤6.故系数绝对值最大的项是第 6 项和第 7 项. (2)二项式系数最大的项为中间项,即为第 5 项. 2 ?4 1 120 4? ∴T5=C4 . 8( x) ·-x2 = ? ? x6 (3)由(1)知展开式中的第 6 项及第 7 项的系数绝对值最大,而第 6 项系数为负,第 7 项 的系数为正. 2 ?6 1 792 6 则系数最大的项为 T7=C8 · ( x)2? ?-x2? = x11 . 2 ?5 x 17 (4)系数最小的项为 T6=C5 ( x)3? 8· ?-x2? =-1792 x9 =-1 792x- 2 .

一、选择题 1.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7 的展开式中,含 x4 项的系数是首项为-2,公差为 3 的 等差数列的第几项( A.13 C.11 [答案] D
4 4 5 [解析] 含 x4 项的系数为 C5 +C4 6+C7=C8-1=55.

) B.18 D.20

设它为等差数列的第 k 项,则-2+3(k-1)=55. ∴k=20.故选 D. 1 2. (2013· 长春十一高中高二期中)若 a 为正实数, 且(ax- )2014 的展开式中各项系数的和 x 为 1,则该展开式第 2014 项为( )

1 A. 2014 x 4028 C. 2012 x [答案] D

1 B.- 2014 x 4028 D.- 2012 x

[解析]由条件知,(a-1)2014=1,∴a-1=± 1, ∵a 为正实数,∴a=2. ∴展开式的第 2014 项为: 1 T2014=C2013 (2x)· (- )2013 2014· x =-2C1 x 2014·
-2012

=-4028x
2

-2012

,故选 D.

3.若(1+a)+(1+a) +(1+a) +…+(1+a)n=b0+b1a+b2a2+…+bnan,且 b0+b1+b2 +…+bn=30,则自然数 n 的值为( A.3 C.5 [答案] B [解析] 令 a=1 得:b0+b1+b2+…+bn=2+22+23+…+2n = 2?2n-1? n+1 =2 -2=30. 2-1


3

) B.4 D.6

∴2n 1=32.∴n=4.故选 B. 二、填空题 4.设(2x-1)6=a6x6+a5x5+…+a1x+a0,则|a0|+|a1|+…+|a6|=________. [答案] 729 [解析] ∵|a0|+|a1|+…+|a6|就是(2x+1)6 展开式中各项系数的和,∴应为 36=729. 5.若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中 a0,a1, a2,…,a5 为实数,则 a3=________. [答案] 10 [解析]
4 2 本题考查二项式定理的展开式.x5=[(x+1)-1]5=(x+1)5-C1 5(x+1) +C5(x+

2 4 5 0 1)3-C3 5(x+1) +C5(x+1)-C5(x+1) ,

∴a3=C2 5=10.适当的变形将问题简化. 三、解答题 6.已知(2x-3)7=a0(x-1)7+a1(x-1)6+…+a6(x-1)+a7. (1)求 a0+a1+a2+…+a7; (2)求 a0-a7. [解析] (1)令 x=2,得 a0+a1+a2+…+a7=(4-3)7=1. (2)令 x=1,得 a7=(2×1-3)7=-1,

7 0 x7 的系数 a0=C0 72 (-3) =128,

∴a0-a7=129. 7. 已知?

? x+ 1 ? n 2n 3 ? 的展开式中偶数项的二项式系数的和比(a+b) 展开式中奇数项的二 x? ? ? x+ 1 ?n 3 ? 展开式中偶数 x? ?

项式系数的和小 120,求第一个展开式的第三项. [解析] (a+b)2n 展开式中奇数项的二项式系数的和为 22n 1,?


项的二项式系数的和为 2n 1.依题意,有


2n 1=22n 1-120,即(2n)2-2n-240=0.
- -

解得 2n=16,或 2n=-15(舍).∴n=4.

? 1 ?2 3 2 于是,第一个展开式中第三项为 T3=C2 ( x ) ? 3 ? =6 x. 4 ? x?
1 8.已知( +2x)n 中 2 (1)若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式 系数最大的项的系数; (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项.
6 5 [解析] (1)∵C4 n+Cn=2Cn,

∴n2-21n+98=0.∴n=7 或 n=14. 当 n=7 时,展开式中二项式系数最大的项是 T4 和 T5. 1 4 3 35 ∴T4 的系数=C3 , 7( ) 2 = 2 2 13 4 T5 的系数=C4 7( ) 2 =70. 2 当 n=14 时,二项式系数最大的项是 T8. 17 7 ∴T8 的系数=C7 14( ) 2 =3 432. 2
1 2 (2)由 C0 n+Cn+Cn=79,可得 n=12,

设 Tr+1 项的系数最大. 1 1 ∵( +2x)12=( )12(1+4x)12, 2 2
k k k 1 k 1 ? ?C124 ≥C12 4 ? ∴ 4 k k+1 k+1 , ?C124 ≥C12 4 ?
- -

∴9.4<k<10.4,∴k=10. ∴展开式中系数最大的项为 T11.

1 10 10 10 T11=( )12C10 124 x =16 896x . 2


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