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2014届二轮专题复习概率统计教学策略分析讲稿


统计概率、排列组合与二项式定理专题的二轮复习教学分析与指导 学校: 北京市育英学校 主讲人:关健

一、 《考试说明》中的要求: 对数据处理能力的要求:会依据统计中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题. 了解(A 层次)6 个知识点:分层抽样和系统抽样、随机事件的概率、超几何分布、条件概率、事件的 独立性、正态分布 理解(B 层次)12 个知识点:分类加法计数原理、分步乘法计数原理、排列、组合的概念、用二项式 定理解决与二项展开式有关的简单问题、简单随机抽样、频率分布表,直方图、折线图、茎叶图、样本数 据的基本的数字特征(如平均数、标准差) 、线性回归方程、随机事件的运算、古典概型、几何概型 掌握(C 层次)8 个知识点:用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题、排列 数公式、组合数公式、用排列与组合解决一些简单的实际问题、用样本的频率分布估计总体分布,用样本 的基本数字特征估计总体的基本数字特征、两个互斥事件的概率加法公式、取有限值的离散型随机变量及 其分布列、 n 次独立重复试验与二项分布 【解读】从 2010 年至今,考试说明中对数据处理能力的要求并没有改变,从知识点层面上看,除线性回归 问题和正态分布没有考察,其他内容均已考察过. 二、本专题各年样题的变化与高考题的变化分析

①2011 年考试说明中样题与 2010 年保持一致:
【试题 3】(2006 年理工类第 3 题)在 1、2、3、4、5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数 字之和为奇数的共有 A. 36 个 B. 24 个 【答案】B 【说明】本题考查排列、组合的基础知识,考查推理能力.经分析可知要从 1,2,3,4,5 中取三个数,使 其和为奇数,只有取一个奇数两个偶数或三个奇数才符合要求 . 于是可得满足条件的三位数的个数共有
1 2 3 3 C3 C2 A3 ? A3 ? 24 .本题难度为 0.75

C. 18 个 D. 6 个

甲的成绩 环数

乙的成绩

【试题 7】 (2008 年测试一第 7 题, 2012 年考试说明换掉
7 8 9

10 6

环数
频数

7

8

9

10

此题)甲、 乙两名射击运动员在某次测试中各射击 20 次,
两人的测试成绩如下表:s1 、s 2 分别表示甲、乙两名运动

频数

6

4

4

4

6

6

4

员这次测试成绩的标准差, x1 、 x 2 分别表示甲、乙两名运动员这次测试成绩的平均数,则有

A. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 B. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 C. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 D. x1 ? x 2 , s1 ? s 2 【答案】B 【说明】本题主要考察平均数、标准差的概念.由甲、乙成绩分布的对称性可得 x1 ? x 2 ,再根据标准差是刻 画成绩的分散与集中程度的量得到 s1 ? s 2 .本题难度为 0.78 【试题 15】(2008 年测试一第 9 题, 2013 年考试说明换掉此题)在区间 [0,9] 上随机取一实数,则该实数在区 间 [4,7] 上的概率为 【答案】
1 3

【说明】本题主要考查几何概型的概率计算.由于试验的全部结果构成的区域长度为 9,构成该事件的区域 长度为 3,所以概率为 ? .本题难度为 0.54 【试题 23】(2008 年测试二第 15 题,2012 年考试说明换掉此题)某区高二年级的一次数学统考中,随机抽 取 M 名同学的成绩,数据如下: 分组
(40,50] (50,60] (60,70]
(70,80]

3 9

1 3

频数
2 4
11
38
m

频率
0.02 0.04
0.11

频率/组距
0.002 0.004
0.011

频率/组距

0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005
分数

0.38
n

0.038

40 50 60 70 80 90 100

(80,90]
(90,100]

p
0.011

11

0.11 N

合计

M

P

⑴求出表中 m 、 n 、 p , M 、 N 、 P 的值; ⑵根据上表,请在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图; ⑶若该区高二学生有 5000 人,试估计这次统考中该区高二学生分数在区间 (60,90] 内的人数. 【答案】
0.040 2 ? 38 ? 1 1) ? , 3 4 0.035 (1) 因 为 ? 0 . 0 2, 所 以 M ? 100 . 从 而 m ? 1 0 0 ? ( 2? 4? 1 1 M 0.030 0.025 m n? ? 0.34 , p ? 0.034 , N ? 1 , P ? 0.1 . 0.020 M 0.015 (2)频率分布直方图如下: 0.010 0.005
频率/组距
0.038 0.034

0.011 0.004 0.002

0.011

分数

40 50 60 70 80 90 100

(3)该区高二同学分数在区间 (60,90] 内的人数约为
5000 ? (0.11 ? 0.38 ? 0.34) ? 4150 (人).

【说明】本题主要考查用样本估计总体,考查数据处理能力.本题难度为 0.70 【试题 24】(2005 年理工类第 17 题,2013 年考试说明换掉此题)甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中 目标的概率为 ,乙每次击中目标的概率 . ⑴记甲击中目标的次数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望 E? ; ⑵求乙至多击中目标 2 次的概率; ⑶求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.安徽
1 3 ( )3 ? ; P(? ? 2? ? C32 ( )3 ? ; P(? ? 3? ? C3 ( )3 ? . 【答案】 (I) P(? ? ?? ? C30 ( )3 ? ; P(? ? 1? ? C3

1 2

2 3

1 2

3 8

1 2

3 8

1 2

3 8

1 2

3 8

?

的概率分布如下表:

?

0
1 8

1
3 8

2
3 8

3
1 8

1 3 3 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1.5 8 8 8 8

P

(或 E? ? 3 ? ? 1.5 ). (II)乙至多击中目标 2 次的概率为 1 ? C33 ( )3 ?
2 3 19 . 27

1 2

(III)设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次 为事件 B1 ,甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B 2 ,则 A ? B1 ? B2
B1 , B2 为互斥事件.

3 1 1 2 1 1 P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? ? ? ? ? 所以,甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 . 8 27 8 9 24 24

【说明】本题主要考查随机变量的分布列、数学期望,以及互斥事件、相互独立事件的概率等,考查分析 问题和解决问题的能力.本题难度为 0.73 【2010 年和 2011 年北京高考】 (2010 年理科) (4)8 名学生和 2 位老师站成一排合影,2 位老师不相邻的排法种数为
8 (A) A8 A92 8 2 (B) A8 C9

(C)

8 2 A8 A7

8 2 (D) A8 C7

(11) 从某小学随机抽取 100 同学, 将他们的身高 (单位: 厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图). 由图中数据可 知a? . 若要从身高在 [120 ,130) , [130,140) ,

[140,150] 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取 18 人

参加一项活动,则从身高在 [140 ,150] 内的学生中选取的人数应为

.

(17) (2013 年样题)某同学要参加 3 门课程的考试. 假设某同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 , 5

第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p ,q ( p ? q) ,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立. 记

? 为该生取得优秀成绩的课程数, 其分布列为 ?
概率 0 1 2 3

6 125

a

b

24 125

(I)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (II)求 p , q 的值; (III)求数学期望 E? . (2011 年理科) 12.用数字 2、3 组成四位数,且数字 2、3 至少都出现一次,这样的四位数共有 个

17.(2012 年样题,2013 年被 2011 年 17 题替换掉)以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 X 表示。

(Ⅰ )如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (Ⅱ )如果 X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数 学期望。
2 (注:方差 s ?

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2

?x

?

2

?

2 ? xn ? x ? ,其中 x 为 x1 , x2 ,…… xn 的平均数) ? ?

?

?

② 2012 年参考样题的变化 ? 2011 年理工类第 6 题替换 2010 年样题 7 题,2008 年测试一第 7 题:根据统计,一名工人组装第 x 件

? ? ? 某产品所用的时间(单位:分钟)为 f ( x) ? ? ? ? ?

c ,x ? A x , ( A, c 为常数).已知工人组装第 4 件产品 c ,x ? A A


用时 30 分钟,组装第 A 件产品用时 15 分钟,那么 c 和 A 的值分别为(

A. 75,25

B. 75,16

C. 60,25

D. 60,16

【解读】题目并没有直接考察统计概念,而是将统计的过程渗透在组题的过程当中,体现了统计在生 活中的应用.难度系数 0.93.本题应属于《2014 考试说明解读》 (李大永)文中提到的第二类,即对能力考 察有所侧重.题目明显提高了对能力的考察,学生在解决这种题目时,因为题目背景无现成套路可用,需要 通过阅读理解来突破障碍,因此一定会减缓学生的解题速度,尽管我们看到这道题学生得分率不低,但是 由于学生在解题时会消耗一定的读题时间、思考时间,从而对后面题目的解答造成影响. ? 2011 年理工类第 17 题替换样题 23 题,2008 年测试二第 15 题 【解读】从知识层面分析,2011 年的第 17 题应属于《2014 考试说明解读》 (李大永)文中提到的第一 类题目,即对知识的考察进行罗列,但是这道题所渗透的对数据的分析能力和处理数据的能力考察却不容 忽视. 书上在分析“对先后抛掷两枚骰子,统计向上点数和”这一典型的随机事件时,采用了列 6×6 的表格 进行分析,而本题也在传递这样的处理数据的意识,当然,由于本题所涉及的数据只有 4 组,得到的随机 变量的取值也不复杂,就使得这样的方法显得不是那么重要了,可是一般在统计过程中,在处理两组数据 的和或差、或者比较两组数据的大小时,我们一般采用列表这种方法.其好处是清晰明了,便于学生明确等 可能事件. 事实上,人们在现实统计过程中,遇到的数据一般都比较多,因此,采用表格的方法分析两组数据的 某些关系是统计中常用的一种手段,这也正体现了课程标准和考试说明都提到的提高学生“分析数据和处 理数据的能力”.
甲 9 9 11 11 乙 8 9 9 10

17 17 19 19

18 18 20 20

18 18 20 20

19 19 21 21

无论是概率统计知识的考察,还是传统数学(函数、解析几何等)的考察,北京试卷中总在传达一种 思想,通过试题的命制考察出学生分析问题、解决问题的能力,而这种能力从何处体现呢?并不是学生见 到的题目有多新颖,而是在学生较熟知的题目背景下,或问题问的着眼点不同,或需要学生将题目的外衣 剥掉,露出题目的本质,这就需要学生掌握传统数学下(函数、解析几何等问题)这些数学问题的本质是 什么?而针对统计概率这部分,就是要掌握典型的处理数据方法和构建模型处理现实问题的本领. (2012 年理科)

2.(2013 年样题,2014 年被 2013 年定积分问题替换掉)设不等式组 ? D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 (A)

?0 ? x ? 2, ,表示平面区域为 D,在区域 ?0 ? y ? 2

? 4

(B)

? ?2
2

(C)

? 6

(D)

4 ?? 4
)

6.从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( A. 24 B. 18 C. 12 D. 6

17.(2013 年样题,至今)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物 和其他垃圾三类,并分别设置了相应分垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三 类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) :
“厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(Ⅰ)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ)试估计生活垃圾投放错误的概率; (Ⅲ)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、 “可回收物”箱、 “其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c 其中 a>0,
2 a ? b ? c =600。当数据 a, b, c 的方差 s 2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不要求证明) ,并求此时 s 的值。

2 (注: s ?

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] ,其中 x 为数据 x1, x2 ,?, xn 的平均数) n

③2013 年参考样题的变化 ? 2012 年理工类第 2 题(难度系数为 0.88)替换样题 15 题,2008 年测试一第 9 题 【解读】这处变化是意料之中的,因为原题是唯一一道非高考真题的样题,而样题迟早会用高考真题 来呈现;几何概型在 2012 年首次出现在高考中,考的比较容易(难度系数 0.88),但是遗憾的是,对几何概 型的理解还不十分到位,还处于面积比例关系一类的问题. 在这里不得不得到的是 2014 年考试说明中对这一问题的替换:2013 年理工类第 7 题替换样题第 5 题(2012 年理工类第 2 题) 【试题 5】 (2013 年理工类第 7 题) 直线 l 过抛物线 C:x2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等于( 4 A. 3 B.2 8 C. 3 16 D. 2 3 )

【答案】C 【说明】本题考查抛物线的基本知识、圆锥曲线与直线的位置关系,以及定积分与微积分定理,同时 考查根据抛物线与直线方程绘制草图的能力. 本题难度为 0.72. 这道题从样题上弥补了用定积分求曲线面积的问题,也避免了对几何概型问题的有偏差的理解.题目还 将圆锥曲线的几何性质巧妙的渗透在考题当中,又暗示了圆锥曲线与函数之间的关系,同时学生在处理这 个题目时,也可以利用函数的对称性,使得计算变得简便.可以说,这是一道小综合的好题,虽然不难,考 察的也很基础,但是确有一定的区分度(解题时间、运算方式上看). ? 2010 年理科第 17 题(难度系数 0.79)替换样题 24 题,2011 年理工类第 17 题 【解读】原题考察茎叶图、样本平均数、样本方差、离散型随机变量的分布列和数学期望,考察学生综 合运用统计和概率的知识解决问题的能力,而 2010 年理科第 17 题考察对立事件的概率计算方法、离散型 随机变量的分布列的意义,并与多个独立事件的概率建立联系、数学期望的计算,并且逆向设问.替换的样 题难度有所上升,同样又一次的旧题逆袭. ? 2012 年理科第 17 题(难度系数 0.66)替换样题 25 题,2005 年理工类第 17 题 【解读】2012 年的“垃圾分类问题”考察统计概率的相关知识,要求学生能正确理解分类的含义,会 判断总体,能理解方差刻画的是数据的离散程度,反映的是数据分布的一种规律.这两道题的替换要综合起 来一起看,就不难理解为什么 2013 年在第三问让学生对方差进行估计了.显然,在能力上,说明要避免单 纯的统计概率就是计算的错误理解,而是想让学生们学会分析数据,敏锐的看到数据之间的关系,关注字 里行间所体现出来的细节.尽管当年对于理科数学试卷来说,大多数教师认为这道题很奇葩——放弃了一贯 考查的分布列的知识,反而考查统计概率的相关知识,以及方差的意义.但是,尽管随机变量的分布列是一 个很重要的知识点,但是,随机变量的分布列只是人们认识和分析随机现象的手段之一,而认识随机变量 发生的可能性确实我们学习概率的核心内容. 这就如同今年考试说明的又一个变化,也值得大家关注:2013 年导数答题的考察取消了以往我们所训 练的分类讨论、恒成立问题,直接利用导数研究了一个两个常规函数运算之后构成的函数的性质,而这一 点变化这是体现了导数的价值——研究函数的一个工具,而并非未分类讨论而安排.而且在解题过程中,由 于学生选择讨论的函数的不同,从而导致运算量的不同,这一点恰好说明高考对学生能力要求不降低的宗 旨. 从 2010 年到 2013 年,四年的样题概率统计被换的频率是最高的,这说明大家对概率统计问题的摸索还 在进行中,而到了 2014 年,概率统计问题没有发生太大的变化,除在几何概型上做了调整以外,其他题目保持 2013 年样题的水平,而几何概型的变化也正说明了对几何概型在课程设置中的地位和作用,这与学科本身的 特点是相吻合的.

三、如何看待二轮的复习 1.从知识层面上看,要按照考试说明的要求全面掌握这部分知识点,不必进行扩充,但对于以下知识点要 有一定的处理办法 ①条件概率: 课程标准介绍条件概率是为了引进事件的独立性、 独立事件的概率以及二项分布,也就是说, 只介绍独立事件,而不谈清楚“条件”的,是不能说清楚概念之间的关系的,因此这部分知识不建议学生 死记硬背条件概率计算公式,而是从分析基本事件空间入手,考虑成古典概型即可; ②线性回归:课本采用最想二乘法介绍进行两随机变量的线性回归分析,计算量较大,只需要学生了解线 性回归的思想,而从命题角度因计算量较大,并不适合出考题,这也符合命题思路:有些问题只是让中学 生了解,到了大学还有更好的方法进行计算,就不必在高考中出现; ③正态分布:这与两点分布、二项分布一起是教材中三个比较典型的分布的例子,因此学生有必要知道正 态分布的符号含义,至于正态分布曲线及函数的性质只做一般了解; ④几何概型:在一轮复习时已经介绍,不是单纯意义上的面积比值、线段的比值,因此,建议练习与海淀 期末题目为好. ⑤二项式定理:样题中没有涉及 2.从方法层面上看,通过例题和练习教会学生处理统计题目的一般方法 例 1.排列组合问题 这道样题一直没有变过,而每年都在考察排列组合的相关内容,复习时,应对构建分析问题的方法, 分类讨论的策略进行重点关注,而不建议关注点放在某些特殊技巧上. 1.(2011 西城一模理 13).某展室有 9 个展台,现有 3 件展品需要展出,要求每件展品独自占用 1 个展台, 并且 3 件展品所选用的展台既不在两端又不相邻,则不同的展出方法有_60_____种;如果进一步要求 3 件 展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位,则不同的展出方法有__48__种.
3 一种解法是:余下 6 个展台,相邻的展台之间恰好可以放展品,则有 5 个空挡,结果是 A5 =60 种;

第二个空用列举法:□A□B□C□D□E□,可以选择:(ABC)、(ABD)、(BCD)、(BCE)、(CDE)、(ACD)、(ACE)、(BDE),
3 即 6 A3 =48 种.

事实上,学生能听懂这样的解法,但是遇到自己操作时,就不知道怎么下手了,不如将下面的方式教 给学生,再进行归纳总结,学生易于理解.就如同在解决数列问题时,通性通法是基本量法,它虽有时没有 使用性质更快,但是,确实最朴实的方法.
A B B B A A B B B C C C C C C 3种 2种 1种 2种 1种 1种
3 共有(3+2+1+2+1+1) A3 =60 3 第二个空(3+2+1+1+1) A3 =48

2.(2011 门头沟一模理 7).一天有语文、数学、英语、物理、化学、生物、体育七节课,体育不在第一节上, 数学不在第六、七节上,这天课表的不同排法种数为 D
7 5 A. A7 ? A5 2 5 B. A4 A5 1 1 5 C. A5 A6 A5 6 1 1 5 D. A6 ? A4 A5 A5

(2011 石景山一模理 6) . 某单位有 7 个连在一起的车位, 现有 3 辆不同型号的车需停放, 如果要求剩余的 4 个车位连在一起,则不同的停放方法的种数为( A. 16 B. 18 C. 24 D. 32 C )

(2012 朝阳一模理 5)有 10 件不同的电子产品,其中有 2 件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测 试,直到 2 件不稳定的产品全部找出后测试结束,则恰好 3 次就结束测试的方法种数是( C ) A. 16 例 2.概率统计题目 汉字听写大赛一题,学生在读题时遇到了很大的困难,如果教会学生利用表格处理题目中繁杂信息的 方法,势必可以提高学生解题速度. 高考中,概率统计比较注重关注学生从图表中分析数据的能力,这包含两个层面的意思,一是给出图 表,学生能正确从直观的图表中读出数据的信息,二是能够根据文字间的信息,采用图表的方式处理和分 析数据. B. 24 C. 32 D. 48


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