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初二数学培优教材(培训学校专用资料)[1]


2012 年初二

新 学 期 讲 义
(数学)
刘伟 2012 年 09 月

共 59 页, 第 1 页

第一讲
【学习目标】

勾股定理
c

1、经过探究勾股定理的过程,了解勾股定理的探究方法。 2、掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题。 3、培养学生的动手能力和思维能力。

a b

【知识要点】
1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和c 分别表示直角三角形 的两直角边和斜边,那么 a 2 ? b2 ? c 2 。 (如图) (我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾,较长 的直角边称为股,斜边称为弦。因此,次定理被称为勾股定理。 ) 注意: (1)勾股定理只适用于直角三角形。 (2)斜边是直角三角形中直角所对的那条边,应用勾股 定理时,要注意哪条边是最大边,也就是哪条边是斜边。 2、勾股定理的验证 (1)推证勾股定理时,找面积相等是关键。 (2)由面积之间的等量关系并结合图形进行代数变形即可推出勾股定理。 (3)拼图法德一般步骤:拼出图形 ? 找出图形面积的表达式? 求等量关系 定理。 3、勾股定理的应用 知道了勾股定理任意两边的长度,利用勾股定理可以求出第三边的长度。 注意: (1)勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一。 (2)在运用勾股定理是,一定要分清谁是直角边,谁是斜边。 (3)有些图形不能直接用勾股定理解决,我们可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形, 再运用勾股定理解答问题。 变形 ? 推导出勾股

【典型例题】
例 1、如图,已知直角三角形两个直角边长a ? 5, b ? 12 ,求斜边 c 的长。
a b c

例 2、作长为 n 的线段(以 5 为例)

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例 3、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形, 这个图形被称为弦图.从图中可以看到: 大正方形面积=小正方形面积+四个直角三角形面积. 因而 c2= 化简后即为 c2= + . .
c a b

例 4、已知直角三角形的两边长为 3、4,求另一边长。

例 5、下图是由两个全等的直角三角形拼成的图形,两直角边和斜边长分别为a,b和c , 请你开动脑筋,用该图形来证明勾股定理。

b a

c

c b

a

例 6、飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处,过了 20 秒,飞机 距离这个男孩头顶 5000 米,飞机每时飞行多少千米?

【经典练习】
1、下列语句: (1)若△ABC 中, a 2 ? b2 ? c 2 ,则△ABC 不是直角三角形; (2)若△ABC 为直角三角形,∠C=90°,则 a 2 ? b2 ? c 2 ; (3)若△ABC 中, c 2 ? a 2 ? b2 ,则∠C=90°; (4)勾股定理的逆定理是“若两边的平方和等于斜边的平方,则此三角形为直角三角形”其中正 确的是

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2、在△ABC 中,∠C=90°。 (1)若 a=2,b=5,则 c= (2)若 c=61,b=60,则 a= (3)若 a : b ? 3: 4 , c ? 10 ,则 a= 3、如图字母 B 所代表的正方形的面积是
169

。 。 ,b=
25 B

4、直角三角形的两边长为 5、12,则另一边的长为多少?

5、已知△ABC 中,AB=AC,AB=6cm,BC=4cm。求(1)S△ABC(2)腰 AC 上的高 BE。

6、如图 9,在△ABC 中, AB=15,AD=12,BD=9,AC=13,求△ABC 的周长和面积。

A

B

D 图9

C

【课后作业】
1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是( A.5,12,13 B.7,24,25 C.8,15,17 ) D.4,6,9

2、五根小木棒,其长度分别为 7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中 正确的是( )

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7

25

20 24

25 24

20

24 25 20 7 24 20 25 (D) 15

7

15 (A)

7 (B)

15

15 (C)

3、已知一直角三角形的木版,三边的平方和为 1800cm2,则斜边长为( A.80cm B.30cm C.90cm D.120cm

).

4、边长为 4 的等边三角形的面积等于多少?

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第二讲 勾股定理逆定理
【学习目标】
1、经过探究勾股定理逆定理的过程,了解它与勾股定理的关系。 2、掌握勾股定理逆定理,并能运用它判断直角三角形。 3、培养学生的动手能力和思维能力

【知识要点】
1、 勾股定理逆定理: 如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 2 ? b2 ? c2 , 那么这个三角形是直角三角形。 这个定理与勾股定理时互逆的,主要用来判断一个三角形是否为直角三角形。 2、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤 (1)先找出最大边(如 c) (2)计算 c 2 与 a 2 ? b 2 ,并验证是否相等。 (3)若 c 2 = ,则△ABC 是直角三角形。

(4)若 c 2 ≠ a 2 ? b 2 ,则△ABC 不是 Rt△。 3、完成下列常用勾股数 1,1, 2
0.5 倍 2倍 3倍

1, 3 ,2

3,4,5

5,12,13

7,24,25

【典型例题】
例 1、求下图中字母所代表的正方形的面积。

A B a 225 c b C 400 图1 C 225

A 81 a c b B

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图2

在图 1 中,SA= 在图 2 中,SB=

a= a=

;b= ;b=

;c= ;c=

。 。

从中发现: (1)三个正方形的面积之间有什么关系? (2)三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系? 例 2、判断以下各组线段为边能否组成直角三角形。 (1)9、41、40; (4) 3 2 、 4 2 、 5 2 (2)5、5、5 2

1 1 1 (3) 、 、 ; 3 4 5

(5) 2 、 3 、 5

例 3、例 3 如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 上一点,AB=10,BD=6,A AD=8,AC=17。求△ABC 的面积。

B

D

C

例 4、如图 5,一棵大树在一次强台风中于离地面 5 米处折断倒下,倒下部分与地面 成 30°夹角,这棵大树在折断前的高度为多少?

30°

例 5、已知:如图,∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°,求 BC 的长.

*例 6、如图折叠长方形的一边 BC,使点 B 落在 AD 边的 F 处,已知:AB=3,BC=5,求折痕 EF 的长.
A E B C F D

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【经典练习】
1、下列各组数中不能构成直角三角形的一组数是( A.5,12,13 B.7,24,25 C.8,15,17 ) D.4,6,9 )

2、适合下列条件的△ABC 中,直角三角形的个数为(

1 1 1 A. a ? , b ? , c ? ; 3 4 5
C. a ? 7 , b ? 24 , c ? 25 ; A.1 个 B.2 个 C.3 个

B. ?A ? 32? , ?B ? 58? ; D. a ? 2.5 , b ? 2 , c ? 3 。 D.4 个 )

3、在△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则三角形的周长是( A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

4、如图所示,已知四边形 ABCD 中,AD=3cm,AB=4cm,DC=12cm,BC=13cm,且 AB⊥AD。求四边形 ABCD 的面积。

5、如图 14.2.7,已知 CD=6m, AD=8m, ∠ADC=90°, BC=24m, AB=26m.求图中阴影部分的 面积.

6、如果Δ ABC 的三边分别为 a、b、c,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断Δ ABC 的形状。

【课后作业】
1、已知:如图(1) ,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,D、E 分别是边 AB、AC 的中点,DE=4,AC=10,则
A

AB=_____________.
D B E C

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2、以下各组数为三边的三角形中,不是直角三角形的是( ) . A. 3 +1, 3 -1,2 2 C.4,7.5,8.5 B.7,24,25 D.3.5,4.5,5.5

3、如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=5cm,AC=12cm,CD⊥AB,D 为垂足,求 CD 的长。

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第三讲
【学习目标】

勾股定理的应用(一)

1、能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理 2、能将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题” 3、培养同学们的思维能力和转化思想

【知识要点】
1、把实际问题转化为一个含有直角三角形的计算问题,应用勾股定理来加以解决, 其间关健在于 找出这个直角三角形。 2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题 转化为 解直角三角形的问题),进一步发展有条理思考和有条理表达的能力,体会数学的应用价值。

【典型例题】
例 1、如图,从电杆离地面 8 米处向地面拉一条 10 米长的钢缆,求地面钢缆固定点 A 到电杆 底部 B 的距离.

例 2、有两棵树,一棵树高 10 米,另一棵高 4 米,两树相距 8 米,一只小鸟从一棵树梢飞到另一棵 树的树梢,问小鸟至少要飞行多少米?

例 3、如图,一圆柱体的底面周长为 20cm,高 AB 为 4cm,BC 是上底面的直径.一只蚂蚁从点 A 出发, 沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.

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例 4、一辆装满货物的卡车,其外形高 2.5 米,宽 1.6 米,要开进厂门形状如图 14.2.3 的某工厂, 问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

例 5、已知,如图长方形 ABCD 中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点 B 与点 D 重合,折痕为 EF,求△ABE 的面积

A

E

D

B

【经典练习】

例5图

F

C

1、如图,一根旗杆在离地面 9 m 处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处,旗杆在折断之前有多 高?(10 分)

9m

12m

2、一个门框的尺寸如图所示,一块长 3m,宽 2.2m 的薄木板能否从门框内通过?为什么?
D C 2m A B

1m 1 3、如图正方形 ABCD,E 为 BC 中点,F 为 AB 上一点,且 BF= AB。请问 FE 与 DE。是否垂直?请说明。 4

4、机场入口的铭牌上说明,飞机的行李架是一个 56cm?36cm

?23cm 的长方体

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空间。一位旅客携带一件长 60cm 的画卷,这件画卷能放入行李架吗?

5、某楼房三楼失火,消防队员赶来救火,了解到每层楼高 3 米,消防队员取来 6.5 米长的云梯,为 了安全起见梯子的底部与墙基的距离是 2.5 米。请问消防队员能否进入三楼灭火?

【课后作业】
1、小米妈妈买了一部 29 英寸(74 厘米)的电视机。小米量了电视机的屏幕后,发现屏幕只有 58 厘米长和 46 厘米宽,他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗?你能解释这是为什么吗?

2、有一块四边形地 ABCD(如图)∠B= 90o ,AB=4 m,BC=3 m,CD=12 m,DA=13 m, 求该四边形地的面积。

C

B

D
3、一直一个长方体的长、宽、高分别为 6 cm,4 cm 和 3cm, 一只蚂蚁从点 A 出发,要到对角点 B,求蚂蚁要走的最短路程
B b A

A

第四讲 勾股定理的应用(二)

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【学习目标】
1、能熟练、灵活地应用勾股定理及其逆定理 2、能将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题” 3、熟悉所学知识,如全等三角形,简单三角函数 4、培养同学们的思维能力和转化思想

【知识要点】
1、把实际问题转化为一个含有直角三角形的计算问题,应用勾股定理来加以解决, 其间关健在于 找出这个直角三角形。 2、在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的“转化”思想(把解斜三角形问题 转化为 解直角三角形的问题),进一步发展有条理思考和有条理表达的能力,体会数学的应用价值。 3、有时候还要结合全等三角形或简单三角函数等相关知识来解决勾股定理相关实际应用问题,要灵 活运用所学知识。

【典型例题】
例 1、如图,设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF,再以对 角线 AE 为边作第三个正方形 AEGH,如此下去. (1)记正方形 ABCD 的边长为 a1=1,按上述方法所作的正方形的边长依次为 a2,a3,a4,??,an, 请求出 a2,a3,a4 的值; (2)根据以上规律写出 an 的表达式.

例 2、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地 ABCD,若 AB=60m,BC=84m,AE=100m,?则这条小路的面积是多少?
A F D

B

E

C

例 3、 如图, 一架长 2.5m 的梯子 AB, 斜靠在一竖直的墙 AC 上, 这时梯足 B 到墙底端 C 的距离为 0.7m,
A A1

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若梯子的顶端沿墙下滑 0.4m。那么梯足将外移多少米?

例 4、古时候有这么一道数学题: 风动红莲 平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边, 渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?

例 5、如图,A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧,分别到河的距离为 AC=10 千米,BD=30 千米, 且 CD=30 千米,现在要在河边建一自来水厂,向 A、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米 3 万,请你 在河流 CD 上选择水厂的位置 M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
B

A C D L

例 6、如图,某沿海开放城市 A 接到台风警报,在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心,沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动,已知城市 A 到 BC 的距离 AD=100km,那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点?如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在 D 点休闲 的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?
A D C

【经典练习】
B

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1、如图,四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积 为 8,则 BE=____________

米 20

150o

30 米

2、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知 这种草皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要 元.

3、如图,把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线 l 上,按顺时针 A 向在 l 上转动两次,使它转到 △A’ ’B’ ’C’ ’的位置.设 BC=1,AC= 3 ,则顶点 A 运动到点 A’ ’的位置时,点 A 经过的路线长 是多少?

4、如图,每个小方格都是边长为 1 的正方形,试计算出五边形 ABCDE 的周长和面积。

5、 如图, 铁路上 A、 B 两点相距 25km, C、 D 为两村庄, DA 垂直 AB 于 A, CB 垂直 AB 于 B, 已知 DA=15km, CB=10km,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 C、D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站 应建在距 A 站多少千米处?

【课后作业】

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1、某楼梯的侧面视图如图 4 所示,其中 AB ? 4 米,?BAC ? 30° , ?C ? 90° ,因某种活动要求铺 设红色地毯,则在 AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 .
B

A

30°

C

2、去“勾股定理的应用王国”有两条路,一条公路一条水路,公路的转弯处均为直角。 走公路的 速度是 6 千米/时,走水路的速度是 3.25 千米/时。为了让阿凡提能尽快到达,我们应该帮阿凡提选 择那条路呢?
A

9 E B 8 3 D 3 C

3、A、B 与建筑物底部 D 在一直线上,从建筑物顶部 C 点测得 A、B 两点的俯角分别是 30°、60°, 且 AB=20,求建筑物 CD 的高。

第五讲 勾股定理综合

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【学习目标】
1、掌握勾股定理及其逆定理的概念和推导过程 2、能灵活的应用相关定理解决问题 3、培养同学们的计算能力和属性结合思想
a b c

【知识要点】
的两直角边和斜边,那么 a 2 ? b2 ? c 2 。 (如图)

1、勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a,b和c 分别表示直角三角形

2、 勾股定理逆定理: 如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a 2 ? b2 ? c2 , 那么这个三角形是直角三角形。 3、利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤 (1)先找出最大边(如 c) (2)计算 c 2 与 ,并验证是否相等。

(3)若 c 2 = a 2 ? b 2 ,则△ABC 是直角三角形。 (4)若 c 2 ≠ a 2 ? b 2 ,则△ABC 不是 Rt△。 把实际问题转化为一个含有直角三角形的计算问题,应用勾股定理来加以解决, 其间关健在于找出 这个直角三角形。在运用勾股定理解决实际问题的过程中,感受数学的“转化”思想(把解斜三角形 问题转化为解直角三角形的问题),进一步发展有条理思考和有条理表达的能力,体会数学的应用价 值。

【典型例题】
例 1、适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为
1 1 1 ①a ? ,b ? ,c ? ; 3 4 5

(

)

② a ? 6, ∠A=450;

③∠A=320,∠B=580;

④ a ? 7, b ? 24, c ? 25; A、2 个 B、3 个 中,

⑤ a ? 2, b ? 2, c ? 4. C、4 个 , D、5 个 , 点 为 的中点, 于点 , 则

例 2、 如图, 在 等于( ) A. B.

C.

D.

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例 3、 如图是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,它是由四个全等的直 角三角 形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为 13,小正方形的面积是 1,直角三角形 较长的直角边为 a,较短的直角边为 b,则 ?a ? b ?2 的值为多少?

例 4、如图所示折叠长方形的一边 AD,点 D 落在 BC 边的点 F 处,已知 AB=8cm,BC=10cm,求 EC 的 长。
A D E B F C

例 5、已知,如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求 AC 的长.

【经典练习】
1、如图,两阴影部分都是正方形,如果两正方形面积之比为 1∶2,那么,两正方形的面积分别 为 . 米.

2、如图,要为一段高 5 米长 13 米的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯
10 8

13m

5m

第 1 题图

第 2 题图

3、一直角三角形的斜边长比直角边长大 2,另一直角边长为 6,则斜边长为(



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A.4

B.8

C.10

D.12

4、菱形的两条对角线的长分别是 6 和 8 ,则这个菱形的周长是( ) A.24 B.20 C.10 D.5

5、将一根长 24 cm 的筷子,置于底面直径为 5cm、高为 12cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面 的长为 hcm,则 h 的取值范围是( A.5≤h≤12 B.5≤h≤24 ) C.11≤h≤12 D.12≤h≤24

6、已知:如图,⊿ABC 中,∠ACB = 90? ,AB = 5cm,BC = 3 cm,CD⊥AB 于 D,求 CD 的长及三角形 的面积;
C

B

D

A

7、 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过70 千米/小时, 如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30 米 处,过了 2 秒后,测得小汽车与车速检测仪间距离为50 米,这辆小汽车超速了吗?

【课后作业】
1、已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则以第三边为长的正方形面积是 2、如图,一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为 20、3、2,A 和 B 是这个台阶两个相对的端点,A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则 蚂蚁沿着台阶面爬到 B 点最短路程是 。 ( )

3、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是 A、钝角三角形 C、锐角三角形 B、直角三角形 D、等腰三角形

4、为了庆祝国庆,学校准备在教学楼大厅的圆柱体柱子上贴彩带,一只柱子地面周长是 1.5 米,柱 子高 4 米。从地面某处开始贴彩带,现希望彩带绕圆柱一圈后恰好到达其柱顶(忽略彩带的宽度) , 小明说, “最少需要彩带 1.5+4 即 5.5 米,你认为小明的说法正确吗”

第六讲

勾股定理小测

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一、选择题 1.已知一个 Rt△的两边长分别为 3 和 4,则第三边长的平方是( A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 ) )

2.下列各组数中,以 a,b,c 为边的三角形不是 Rt△的是( A、a=1.5,b=2,c=3 C、a=6,b=8,c=10 B、a=7,b=24,c=25 D、a=3,b=4,c=5 ) D、4∶6∶7

3.若线段 a,b,c 组成 Rt△,则它们的比为( A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13

4.如果 Rt△两直角边的比为 5∶12,则斜边上的高与斜边的比为( A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13
2



D、60∶169 )

5.如果 Rt△的两直角边长分别为 n -1,2n(n>1) ,那么它的斜边长是( A、2n B、n+1 C、n2-1 D、n2+1

6.已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 a+b=14cm,c=10cm,则 Rt△ABC 的面积是( A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 )



7.等腰三角形底边上的高为 8,周长为 32,则三角形的面积为( A、56 B、48 C、40 D、32 )

8.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形;

D. 锐角三角形.

9.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草 皮每平方米售价 a 元,则购买这种草皮至少需要( A、450a 元
20m

) D、300a 元


B、225a 元
30m

C、150a 元

150° 第 9 题图

A





第 10 题图

10.已知,如图,一轮船以 16 海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行,另一轮船以 12 海里/

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时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行,离开港口 2 小时后,则两船相距( A、25 海里 二.填空题 B、30 海里 C、35 海里 D、40 海里



11.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,①若 a=5,b=12,则 c=___________;②若 a=15,c=25,



b=___________;③若 c=61,b=60,则 a=__________;④若 a∶ b=3∶4,c=10 则 SRt△ABC=________。 12.观察下列各式:32+42=52;82+62=102;152+82=172;242+102=262;??;你有没有发现其 中的规律? 请用你发现的规律写出接下来的式子:____________________________。 13.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为__________。 14.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面 1 米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面, 已知红莲移动的水平距离为 2 米,问这里水深是________m。 15. 已知两条线段的长为 5cm 和 12cm,当第三条线段的长为 个直角三角形. 16.已知:如图,△ABC 中,∠C = 90°,点 O 为△ABC 的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC, OF⊥AB,点 D、E、F 分别是垂足,且 BC = 8cm,CA = 6cm,则点 O 到三边 AB,AC 和 BC 的距离分别 等于
C E O A F
第 16 题图

cm 时,这三条线段能组成一

cm
D D B B C
第 17 题图

A

17.在一棵树的 10 米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬 到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高 ________________米。 三.解答题 18.小明的叔叔家承包了一个矩形鱼池,已知其面积为 48m ,其对角线长为 10m,为建栅栏,要计算 这个矩形鱼池的周长,你能帮助小明算一算吗? 19.如图,铁路上 A,B 两点相距 25km,C,D 为两村庄,DA⊥AB 于 A,CB⊥AB 于 B,已知 DA=15km,
2

D C

共 59 页, 第 21 页

CB=10km,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E,使得 C,D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站 应建在离 A 站多少 km 处?

20.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米,当他把绳子的下端拉开 5 米后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高度。

21.如图,四边形 ABCD 中,AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且∠A= 90o ,求四边形 ABCD 的面 积。
A B
第 21 题图

D

C

22.如图,在边长为 c 的正方形中,有四个斜边为 c 的全等直角三角形,已知其直角边长为 a,b. 利用这个图试说明勾股定理?

C

第 22 题图

*23.如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为 BC 上任意一点,请用学过的知识说明:AB2-AP2=PB?PC。
A

第七讲 平方根 P

B

C

第 23 题图

共 59 页, 第 22 页

【学习目标】
1、了解算术平方根与平方根的概念,并且会用根号表示; 2、会进行有关平方根和算术平方根的运算; 3、理解算术平方根与平方根的区别和联系,培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】
1、算术平方根: 如果一个正数 x 的平方等于 a, 即x2 ? a , 那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根, 记作“ a ” ,读作“根号 a” 。 注意: (1)规定 0 的算术平方根为 0,即 0 ? 0 ; (2)负数没有算术平方根,也就是 a 有意义时, (3) a ? 0 ( a ? 0 ) 。 a 一定表示一个非负数; 2、平方根:如果一个数 x 的平方等于 a,即 x 2 ? a ,那么这个数 x 就叫做 a 的平方根(也叫二次方 根) 。 注意: (1)一个正数 a 必须有两个平方根,一个是 a 的算术平方根“ a ” ,另外一个是“- a ”, 读作“负根号 a” ,它们互为相反数; (2)0 只有一个平方根,是它本身; (3)负数没有平方根。 3、开平方:求一个数 a 的平方根的运算。其中 a 叫做被开方数。

?a (a ? 0) a2 ? a ? ? ?? a ( a ? 0)

? a?

2

? a ?a ? 0?

【典型例题】
例1、 求下列各数的算术平方根与平方根 (1) 5 2 (4)0 例2、 计算 (2)100 (5) (3)1 (6)7

4 9

共 59 页, 第 23 页

(1) 81

(2)

1 4

(3)-

9 16

例3、计算 (1)

? 64?

2

? 25 ? ? (2) ? ? 49 ? ? ?

2

(3) ?7.2 ?

2

(4)

?? 2?2

(5) 4 ?

25 4 ? 36 9

(6)?

4 16 ? 9 25

例 4、当

a?2 a?2

有意义时,a 的取值范围是多少?

【经典练习】
1、求下列各数的算术平方根和平方根. (1)16 (2)

121 225

(3)12

(4)0.01

(5) ?? 5?2

(6) (-

1 2 ) 10

2、计算
? 16 ? ? (1) ? ? 81 ? ? ?
2

(2)

?? 0.5?2

(3) 6

1 4 ? 4 49

(4) 0.25 ? 2 ?

1 4

共 59 页, 第 24 页

3、判断 (1)-52 的平方根为-5 (2)正数的平方根有两个,它们是互为相反数 (3)0 和负数没有平方根 (4)4 是 2 的算术平方根 (5) 9 的平方根是±3 (6)因为
1 1 1 1 的平方根是± ,所以 =± 16 4 4 16

( ( ( ( ( (

) ) ) ) ) )

4、 1 ? x ? 2 x ? 1 有意义,则 x 的范围___________ 5、如果 a(a>0)的平方根是±m,那么( A.a2=±m B.a=±m2 C. a =±m ) D.± a =±m

【课后作业】
1、下列各数中没有平方根的数是( A.-(-2)3 2、 a 2 等于( A.a B.3-3 ) B.-a C.±a ) B.a 是 S 的算术平方根 D.S= a D.以上答案都不对 C.a0 ) D.-(a2+1)

3、若正方形的边长是 a,面积为 S,那么( A.S 的平方根是 a C.a=± S

4、当 x ___________时, 1 ? 3 x 是二次根式. 5、要使 6、计算
x ?1 有意义,则 x 的范围为___________ x?2

(1)-

64 169

(2) 32 ? 42

共 59 页, 第 25 页

【记一记 】
102 ? 100 142 ? 196 182 ? 324

112 ? 121
152 ? 225 192 ? 361

12 2 ? 144
162 ? 256 202 ? 400

132 ? 169 172 ? 289 252 ? 625

共 59 页, 第 26 页

第八讲 立方根
【学习目标】
1. 掌握立方根的概念,并会用根号表示一个数的立方根。 2.能够利用立方根运算与立方根之间的关系求一个数的立方根,并理解两者之间的互逆关系,同时 掌握立方根与平方根的区别。 3.熟练掌握并熟记一些常见的数的立方数。 4.会用立方根解决简单的实际应用问题,提高学生的应用能力。

【知识要点】
1、立方根的概念:如果一个数 x 的立方等于 a ,即 x =a,那么这个数 x 就叫做 a 的立方根(或叫做 三次方根) 。 2、立方与立方根的关系:若有 x3=a 成立,则 a 是 x 的立方,x 就是 a 的立方根。 注:任何数均有立方根,立方根是唯一的;任何数不一定有平方根,平方根是不唯一的。 3、开立方的概念:求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方,a 叫做被开方数。 注: 3 a 3 ? a ,(3 a ) 3 ? a
3

4、正数的立方根是正数;0 的立方根是 0;负数的立方根是负数 注:正数的立方根大于负数的立方根,0 是介于两者之间。

【典型例题】
例 1、 (1)由于(?3)3 的-27,则 (2)若 = b 成立,则 是 是 的立方根。 的立方; 是 的立方根。

例 2、 (1)2 的立方等于多少?是否有其他的数,他的立方等于 8? (2)-3 的立方等于多少?是否有其他的数,它的立方也是-27? 例 3、求下列各数的立方根 (1)512 (2) ? 3
3 8

(3)0

(4) ? 0.216

例 4、比较三个数的大小:3 ? 59 ,0, 3 6

共 59 页, 第 27 页

例 5、若 a ? 4 ? b ? 12 =0,则 b ? a 的立方根是多少? ★例 6、已知 x= m?n m ? n ? 3 是 m+n+3 的算术平方根,y= m?2n?3 m ? 2n 是 m+2n 的立方根,求 y-x 的 立方根.。

【经典练习】
一、填空题: 1、若 (0.5) 3 =0.125,则 是 的立方根.

2、64 的立方根是________. 3、 ? 3 ? 8 的立方根是________ 二、判断并加以说明.
1 1 1、 ? 的立方根是 ? ; 8 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2、 ? 5 没有立方根; 3、
1 1 的立方根是 ; 216 6 2 8 是? 的立方根; 729 9

4、 ?

5、负数没有平方根和立方根; 6、a 的三次方根是负数,a 必是负数; 7、立方根等于它本身的数只能是 0 或 1; 8、如果 x 的立方根是 ? 2 ,那么 x ? ?8 ; 9. ? 5 的立方根是 ? 5 ; 10、 ? 11、 ?
1 的立方根是没有意义; 216 1 1 的立方根是 ? ; 27 3
3

三、选择题: 1、 8 的立方根是( A、2 B、-2 ) C、4 D、+2

共 59 页, 第 28 页

2、 3 64 的立方根是( ) . A、16 3、计算 A.3
25 ? 3 8

B、 3 4 的结果是( B.7 ).

C、4

D、8

C.-3

D.-7

4.下列叙述正确的是( ) . A.
3

7 是 7 的一个立方根

B.(3 ? 11) 的立方是 11 D.如果 x 有平方根,它一定有立方根

C.如果 x 有算术平方根,则 x>0 四、计算题

1、已知 a 3 ? 64 ? b 3 ? 27 =0,求 (a ? b) b 的立方根。

★2、若 3x+1 的平方根是+4,求 9x+19 的立方根.

【课后作业】
一、判断题: 1、
125 5 的立方根是+ 729 9

( ( ( ( (

) ) ) ) )

2、 负数没有立方根 3、 - 3 7 是-7 的立方根 4、 若 3 x ? 3 y ,则 x=y 5、 若 x ? y ,则3 x ? 3 y 二.选择题 1、若 m<0,则 m 的立方根是( A、 3 m B、 - 3 m ) C、+

3

m

D、 )

3

?m

2、如果 3 6 ? x 是 6-x 的立方根,那么( A、x<6 三、填空题 B、x=6

C、 x ? 6

D、x 是任意实数

共 59 页, 第 29 页

1、若 x<0, x 2 = 2、比较大小 : 3 2

, 3 x3 =
3

?5

3、 (?4) 2 的算术平方根与(?4) 3 的立方根的乘积是 4、若 x ? (3 ? 5 ) 3 ,则 ? x ? 1 = 四、求下列各数的立方根. (1) ?1 (2)
1 1000

(3)? 343

(4)15

5 8

五、能力拓展题。 已知 7 ? 11 ? a ? b , 7 ? 11 ? c ? d , ( a, c 为整数,b, d 为正的纯小数) ,求b ? d 的平方根。

共 59 页, 第 30 页

第九讲 平方根和立方根的应用
【学习目标】
1、进一步了解理解平方根,算术平方根,立方根和开立方的概念; 2、会用根号表示一个数的平方根,算术平方根,立方根,掌握三者的基本运算以及它们与相反数、 倒数、绝对值相结合的简单运算;熟练掌握一些基本数的平方和立方,以便解决开平方和开立方的 运算。 3、掌握平方根和立方根的一些简单的综合利用,让学生知道数学来源于实际生活,增强学生数学的 学习兴趣。

【知识要点】
1、算术平方根、平方根与立方根的区别与联系: (1) 区别: A、根指数不同:平方根的根指数为 2,且可以省略不写;立方根的根指数为 3,且不能省略不写。 B、被开方的取值范围不同:平方根中被开方数必需为非负数;立方根中被开方数可以是任何数。 C、 结果不同:平方根的结果除 0 之外,有两个互为相反的结果;算术平方根只有一个,且是正数; 立方根的结果只有一。 (2) 联系:二者都是与乘方运算互为逆运算。 特别注意: ( a ) 2 ? a
a2 ? a
3

a3 ? a

(3 a ) 3 ? a

2、无理数的相反数、倒数、绝对值与有理数的相反数、倒数、绝对值类似。 3、比较两个无理数的大小: (1) > b ? 0 ? a > b (2) a > b ? 3 a > 3 b 或 a 3 >b 3 4、含有二次根号式子取最小值时,当且仅当被开方数为 0,且被开方数为非负数有意义。 5、简单方程的解法以及二次根式非负性的性质。

【典型例题】
例 1、下列说法,正确的有( )

共 59 页, 第 31 页

(1) 只有非负数才有平方根和立方根; (2)如果 a 有立方根,那么 a 一定是正数 ; (3)如果 a 没 有平方根,那么 a 一定是负数 ; (4)立方根等于它本身的数是 0; (5)一个正数的平方根一定大于 它的立方根。 A.1 个 B 2个 是 C3 个 的立方; ;
3

D4 是 的立方根。

例 2、a.由于 4 3 ? 64 ,则 b.若 例 3、

? a >0,则 ( a 2 ) 2 ?
;?
2

a3 ?
; 3 ?? 1?3 的倒数是 ). 。

3 ? 1 的相反数是
32

2 的绝对值是

例 4、A.若 a= ? A. a>b>c

,b=-∣-

∣,c= ? 3 (?2)3 ,则 a、b、c 的大小关系是( C. b>a>c
3

B. c>a>b

D.

c>b>a
3

B.比较大小: 1.5

5 ; 4

3m2 ? 1

3

m2 ? 2 ; 3

2


例 5、多项选择题:下列各数没有算术平方根的是( A.-﹙-2﹚ B. (?3)3

) ,有立方根的是( D.11.1

C. (?1) 2

例 6、 如果 3x ? 5 +1 有意义, 则 x 可以取的最小整数为 例 7、 A、解方程
(2 x ? 1) 3 ? ?8

, 若有意义, 最小值是



B、若 a ? b ? 8 =0,则 b a 的立方根是多少?

【经典练习】
一、 判断题 (1) 只有正数才有平方根、算术平方根和立方根 (2)如果 a 没有平方根 ,那么 a 也没有立方根 (3)如果 a 有立方根 ,那么 a 也有平方根 (4)算术平方根等于它本身的数为 0 (5) a 的三次方根是负数,a 必是负数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

共 59 页, 第 32 页

(6)

3

4

4 4 =4 3 63 63

( )

二、填空题 1、
81 的平方根是_______,

4 的算术平方根是_________,10?2 的算术平方根是



2、 a ? 1 ? 2 的最小值是________,此时 a 的取值是________。 3、若一个正数的平方根是2a ? 1 和 ? a ? 2 ,则a ? ____ ,这个正数是 4、 当 m ______ 时, 3 ? m 有意义;当 m ______ 时,3 5、 5 ? 2 的相反数是 三、选择题 1、 2 x ? 1 的算术平方根是 2,则 x ? ( ) A. ?
3 2
m ? 3 有意义。



; ? 3 33 的倒数是



B.

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

2、 若一个实数的算术平方根等于它的立方根,则这个数是( ) A. 0 B. 1 C. 0 和1 ).
a?b

D.

-1 和 1

3、若-a-b>0,则 ( a ? b) 2 =( A. -a-b B.
a?b

C.

D.

a?b
).

4、比较大小:A.若 a= ? (?5) 2 ,b=-∣-1∣,c= ? 3 (?2)3 ,则 a、b、c 的大小关系是( A. a>b>c B. c>a>b ) D.
? ?a

C. b>a>c

D. c>b>a

5、若 a<0,则下列各数有平方根的是( A. - a 四、计算题 1、 解方程: (1) 4(x+1)2=8 B. ? a 2 C. ? 3 a 2

(2) 8(1 ? x) 3 ? 27

2、若 a >0, a 2 ? 4 ? b 2 ? 3 =0 成立,则b 2 a ? 2a 的算术平方根、平方根及立方根分别是多少?

共 59 页, 第 33 页

【课后作业】
一、判断题: 1、下列说法中正确的是( A、-4 没有立方根 C、
1 1 的立方根是 6 36

) B、1 的立方根是±1 D、-5 的立方根是 3 ? 5

2、在下列各式中: 3 2 ( A. 1 ) B.

10 4 = 27 3

3

0.001=0.1, 3 0.01 =0.1,- 3 (?27)3 =-27,其中正确的个数是

2 )

C.

3

D.

4

3、下列说法中,正确的是(

A、一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B、一个有理数的立方根,不是正数就是负数 C、负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是-1,0,1 4、若 x ?

1 1 ? x 有意义,则3 x =______. + 8 8

二、.判断下列各式是否正确成立. 1、 若|a|>b,则 a2>b2 2、若 a > b ,则 a > b ,且 a 3 > b 3 ( ( ( ) ) )

3 3 3 = 3?3 26 26 三、填空题
3、
3

3

1、 平方根是它本身的数是____; 立方根是其本身的数是____;算术平方根是其本身的数是 ________。2、 若 a<0,则( 3 ? a )-3=_________. 3、 若 a2=1,则 3 a =_________.4、π 的 5 次方根是_________. 5、若± a ? 3 a ,则 a 是 。6、-0.008 的立方根的平方等于_________.

共 59 页, 第 34 页

四、解方程

(x-1)3=-

1 . 64

第十讲 实数
【学习目标】
1、了解实数的意义,能对实数按要求进行分类。 2、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义,了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。 理解数轴上的点与实数一一对应关系,并能用数轴上的点来表示任何一个无理数。 3、能利用化简对实数进行简单的四则运算。在探索分类、化简、运算的过程中,获得解决问题的方 法和经验。

【知识要点】
1、实数的概念:有理数和无理数统称为实数,实数有两种分类方法。 按定义分:实数可以分为有理数和无理数;整数和分数都是有理数,即有限小数或无限循环小数; 无理数是无限不循环小数 按正负分:实数可以分为正实数、0、负实数;正实数分为正有理数和正无理数;正有理数分为正整 数和正分数。负实数分为负有理数和负无理数;负有理数分为负整数和负分数。 注:对实数进行分类时,可以有不同的方法,但要按同一标准,做到不重不漏。π 也是无理数。 2、实数的性质(重点) :有理数的相反数、绝对值、倒数的定义完全适用于实数。 (1) a 与 b 互为相反数 ? a ? b ? 0 ,且互为相反数的两个数的绝对值相等。 (2) 与 b 互为倒数 ? ab ? 1 ,正数的倒数是正数,负数的倒数是负数,零没有倒数。 (3)绝对值的非负性: a ? 0 3、比较两个实数的大小:做差法;平方法;取近似值法;倒数法 在数轴上,右边的数总比左边的数大;正数大于负数;正数大于 0;负数小于 0;两个负数相比较, 绝对值大的反而小。 4、实数的四则运算及化简 (1)有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用(交换律、结合律、分配律) (2)化简遵循无理数的化简原则,一直化为最简的为止。

【典型例题】

共 59 页, 第 35 页

5 1 例 1、 把下列各数按要求分别填入相应的集合内: 2 , , 7 , 9 , π, 0.373773773773?, ,3 2 , 2 4

- 5 ,- 3 8 ,0, 3 5 中, 有理数集合: 无理数集合: 正数集合: 负数集合: 例 2、(1) ?
2 的相反数是 2

,倒数是 .

,绝对值是

.

(2) 在数轴上离原点距离是 5 的点表示的数是 (3) ? 125 的立方根是 负数的立方根是 , ? 8 的立方根是 .

,0 的立方根是

。正数的立方根是

数;

数;0 的立方根是

例 3、比较下列各组数的大小: (1) ? 3 ? 1与 ? 5 ? 1 (2)3 5 与 2 11

(3) 11 ? 13 与 10 ? 14

(4)?

1 2 2

与?

1 4

例 4、计算下列各式 (1)

3? 8 6

(2) ( 3 ? 2 )( 3 ? 2 )

(3) (?4) 2 ? 3 2 ? 8 2 ? 6 2 ? 13 2 ? 5 2 例 5、若 y= 2 ? x ? x ? 2 ? 1, 则 x y 是多少?

(4) ( 3 ?

2 ) 2 (5 ? 2 6 )

【经典练习】

共 59 页, 第 36 页

1、填空题 (1)在数轴上表示与 3 的点距离最近的整数点表示的数是 (2)已知数轴上两点 A、B 到原点的距离分别是 2 和 2 ,则 A ? B ? (3)若 x ? 3 ? y ?
3 ? 0 ,则 ( xy) 2001 ? 3

。 。



(4)计算: 18 ? ( 2 ? 1) =



★(5)已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,且 a和b 满足 a ? 1 ? b 2 ? 4b ? 4 ? 0 ,则 c 的取值范围 为 .

2、比较下列各组数大小 ⑴ 140 12 ⑵
5 ?1 2
0 .5

⑶?

3.14

3、已知 m, n 为实数,且 m ? 3 ? n ? 2 ? 0 ,求 m n

4、已知 2 ? x ? 1 ? y ? 0 ,且 x ? y ? y ? x ,求 x ? y 的值.

【课后作业】
一、填空题 1、一个的算术平方根是 8,则这个的立方根的相反数是 2、若 x 2 ? 64 ,则 3 x ? 3、 2 - 3 的相反数是 4、化简(1) 2 ? 5 = . ;绝对值是 ; (2) 3 ? ? = . . . .

5、若 a , b 互为相反数,c , d 互为倒数,则 a 3 ? b 3 ? 3 cd ?

共 59 页, 第 37 页

6、比较大小:(1) 7 6

6 7 ; (2)1 ? 5


1? 3 ;

7、已知 x ? 1 ? 1 ? x 有意义,则 x 的平方根为

8、已知 x ? 5 ? y ? 6 ? ( z ? 8) 2 ? 0 ,求 3x ? y ? z ? 1 的值__________。 9、若 a ? b ? 1 与 a ? 2b ? 4 互为相反数,则(a ? b)2006 = 二、解答题 1、已知 x、y 为实数,且 y ? x ? 9 ? 9 ? x ? 4 .求 x ? 。

y 的值.

三、计算题 (1) ? 3 ?

1 27

(2) ( 8 ? 13)( 8 ? 13)

(3) (5 ? 3) 2 ? (1 ? 3)( 3 ? 8)

共 59 页, 第 38 页

第十一讲 二次根式的化简
【学习目标】
1、 本节的重难点是 a 2 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行, 而 a2 的化简

不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值 以及各种非负数、因式分解等知识,在应用中常常需要对字母进行分类讨论。 2、 能够利用二次根式的性质化简二次根式,且结果为最简二次根式。 3、 通过二次根式的学习,让学生形成分类讨论的数学思想与方法。

【知识要点】
1、二次根式的重要性质 :

注 1:式子中 a 2 ? a 中的 a 可以取任意实数,同时注意与( a ) 2 ? a 的区别。 注 2: 中 a 既可以是单个数字,单个字母,单项式,也可以是可进行因式分解的多项式,

等等,总之它是一个整体概念。 2、最简二次根式的概念:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:①被开方数的因数是 整数,因式是整式; ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 3、同类二次根式的概念:几个二次根式化为最简二次根式以后,如果被开方数相同,则这几个二次 根式成为同类二次根式

【典型例题】
例 1、计算下列各题,并回答以下问题:

(1)



(2)



(3)



(4)



(5)



(6)

共 59 页, 第 39 页

(7)

; (8)



1、各小题中被开方数的幂的底数都是什么数? 2、各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系? 3、用字母 表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论。

例 2、填空题 1、当 2、当 _________时, 时, ; ,当 ________; ; 时, ;

3、若 (a ? 1) 2 ? 1 ? a ,则 4、 当 时,

a (2a) 2

?

5、当 a+2<0 时, a 2 ? 4a ? 4 的化简结果是



m3 6、 8 2 化为最简二次根式是 n
例 3、选择题 (1)如果 ? x 2 ? x 成立,那么( (A)x=0 (B)x<0 ) (C)x≥0 ) (B)



(D)x≤0

(2) 下列各式中正确的是( (A)
a2 ?1 ? a ?1

a ? b ab b

(C)

( a ? b) 2 ? a ? b

4 2 (D) a ? a

(3)下列各组中,是同类二次根式的是( (A) 2 与 6 (B 3 与 9 )

) (D) 3 与 6

(C) 2 与 8

例 4、 (1)化简 32a 2 (

共 59 页, 第 40 页

(2)若 1≤a≤2,化简 a 2 ? 2a ? 1 ? a ? 2

(3)化简 x 2 ? 8x ? 16 ? x 2 ? 2x ? 1

( ? 4 <x<1)

【经典练习】
一、填空题 1、 当 _________时, ( a ) 2 ? a 成立。

2、 ( x ? 2) 2 ? 3、若 a > c ,则 (c ? a ) 2 ?
4 4、若 a > ,则 ( 3a ? 4 ) 2 ? 3

5、若 a <0,则 2a ? a 2 ? 3 a ? 二、选择题 ★1、若 24n 是整数,则正整数n 的最小值为( A、3 B、4 C、5 D、6 ) D、6 ) )

2、 ( 3 ? 5) 2 ? 1 ? 3 化简的结果为( A、4 B、 2 3 ? 6

C、6 ? 2 3

3、若 a ? 9 ? n (n ? 0) 是整数,则 a 的值是( A、0 三、化简题 1、若 a < b <0,
2 请化简: ? a ? b ? 2 (a ? b)

B、1

C、9

D、0 和 9

共 59 页, 第 41 页

2、实数 a,b 在数轴上所对应的点的位置如图(1)所示,化简 b ? a ? (a ? b) 2

图(1) ★3、已知 a 、 b 、 c 为△ABC 的三边长,请化简 (a ? b ? c) 2 ? (c ? a ? b) 2 。

【课后作业】
一、选择题 1、

1 1 成立的条件是: ? a? ? ?a?
2





A. a?1 2、把

B. a? 1

C. a? 1

D. a? 1 ( )

2 化成最简二次根式结果为: 27
2

A.

3 3

B.

2 9

C.

6 9

D.

3 9

2 ?? t t ? 2 t? 1 3、已知 t<1,化简1 得:

( D.0 (



A. 2 ? 2 t

B. 2t

C.2

4、下列各式中,正确的是:



7 A. ? 7 ??
2 C. ? 7 ?7

? ?

2

B.

2 07 . ? ?07 . ??

? ?

2

D.

0 . 7 . 7 ?? ? ?0
2

二、指出下列各组中,哪些数是最简二次根式,哪几个数又是一组同类二次根式?

2 、 27 、 3 、 125 、 8 、 5 、 6 、 18 、 12

【思考题】若

24n 是整数,则正整数n 的最小值为(



共 59 页, 第 42 页

A、3

B、4

C、5

D、6

第十二讲 分母有理化
【学习目标】
1、使学生掌握分母有理化概念,并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题; 2、让学生能够进一步学习二次根式的化简,对二次根式化简有进一步的认识,使化简进 一步完善。 3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。这在二次根式的化简和运 算的运用中是关键,从化简与运算又引出初中重要的内容之一:分母有理化,分母有理 化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。 4、通过二次根式的分母有理化,培养学生的运算能力.

【知识要点】
1、分母有理化的概念:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2、有理化因式的概念:两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两 个代数式互为有理化因式。 注:二次根式的有理化因式不是唯一的,它们可以相差一个倍数。 3、熟记一些常见的有理化因式: a 的有理化因式是 a ; a ? n b 的有理化因式是a ? n b ; 的有理化因式是 a ? b ; m a ? n b 的有理化因式是m a ? n b ; 3 a ? 3 b 的有理化 因式是 3 a 2 ? 3 ab ? 3 b 2 。

【典型例题】
例1、 找出下列各式的有理化因式。

a?b

5? 2

2 3 ?3 2

a ? x 2 ? a 2 ( x ? a)

例 2、将下列各式分母有理化。 (1) (2) (3) (4)

共 59 页, 第 43 页

例3、化简下列各式 (1) (2)

(3)

a?b a? b

(4)

2 x ?2 y 2 x?2 y

(5)

(6)

例4、已知

,求

的值。

【经典练习】
1、 找出下列各式的有理化因式。 (1)

2 2 ?3 3

(2)

ab

(3) 2 x ? 1

(4) 5x ? 3 y

2、将下列各式分母有理化 (1)

2 3? 3

(2)

3? 2 2 3? 2 2

(3)

1? b 1? b

(b ? 1)

(4) x 2

y 8x3

(5)

a ?b a?b

(6)

7?a ? b ? a?b

3、化简下列各式。

共 59 页, 第 44 页

(1)

5 24

(2)

3m 6m

(3)

1 2? 3

(4)

1 1 1 ? 2 6

4、已知 x ? 5 ? 3 , y ? 5 ? 3 ,求下列各式的值。 (1)
1 x

(2)

y x ? x y

(3) xy

【课后作业】
1、找出下列各式的有理化因式。 (1) 2 3 ? 1 (2) a ? a ? 1 (3) a b ? b a

(4) a ? a 2 ? 1

(5) 3a ? a

2、将下列各式分母有理化。 (1) ( x x ? y y ) ? ( x ? y ) (2)
1 1? 2 ? 3

(3)

2? 3? 5 2? 3? 5

1 1 ? 3 (4) 1 ? 2 6

3、解答题。 已知 x ? 2 ? 2 , y ? 2 ? 2 ,求下列各式的值。 (1)
1 y

(2) x 2 ? xy ? y 2

共 59 页, 第 45 页

第十三讲 二次根式的乘除法
【学习目标】
1、理解二次根式乘法、除法运算的一般规律,会应用两个公式进行二次根式的乘除法运算;掌握二 次根式的乘除法则并会逆向应用。 2、通过本节课学习的基础上,让学生对二次根式的化简有了进一步的理解和认识,既学习了新的知 识,又让学生对二次根式化简得到巩固。 3、经过观察,比较,总结和应用等数学活动,感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。

【知识要点】
乘法法则: a ? b ? ab(a ? 0; b ? 0) 与 ab ? a ? b (a ? 0; b ? 0)

除法法则:

a a a a ? (a ? 0; b ? 0) ? (a ? 0; b ? 0) 与 b b b b

【典型例题】
例 1、计算下列各式,观察计算结果: (1) ? 9 =______
48 3
4 ? 9 =_______

(2)

=

48 ? 3

问题: (1)你们发现了什么规律? (2)你能用数学表达式表示发现的规律吗?

例 2、计算: (1) 5 ? 20 (2) 6 ÷

3 2

(3) 15 ÷( 5 ? 27 )

共 59 页, 第 46 页

(4) 24 ab ÷3 a 例 3、填空题

(5)

1 2 1 2 3 ? ( 2 ) ? (4 1 ) 3 5 3 5

(1)若 xy=- 2 ,x-y=5 2 -1,则(x+1)(y-1)=______.

2a ? b 3 4 (2) = ,那么 的值是______. b a b
(3) 2 - 3 )2002? ( 2 + 3 )2003=______. (4)已知 x = a , y ? b ,且 a 是 b 的十倍,则 x 是 y 的 倍。 。

(5)写出一个无理数,使得它与 2 的乘积是一个有理数,该数为 例 4、判断题 (1) a ? ?

1 ? ?a a
1 2 ? 5

( ( (

) ) ) )

(2) 5 ? 2 ?

(3) 2 ? 3 3 ? 3 6

(4) 若两个实数的和为负数,积为正数,则这两数异号且负实数的绝对值较大。 ( 例 5、问答题: (1)若 a ? ( 2 ? 1)10 ? ( 2 ? 1)11 ? 2( 5 ? 2 ) 0 ? (?2) 2 ,求 a 2 ? 4a 的值。 (2)若 a ? 3 ? 2 2 , b ? 3 ? 2 2 ,求代数式 a 2 b ? ab2 的值。

【经典练习】
1、判断题 (1)

(?4) ? (?9) ? ? 4 ? ? 9

( (

) )

(2) 6 ? 3 ? 2 ? 1

共 59 页, 第 47 页

(3) 3

2 2 ? 3 3 3





2、填空题 (1)

4 ? 81x 2

(2) ? 3 ? ( 3 ? 2 ) ? (3) (2 5 ? 7 ) 2 ? (2 5 ? 7 ) 2 ? (4) a 3 ? ab(a ? 0, b ? 0) = (5) a ? ab2 ? 3、计算题 (a ? 0 ? b )

2 1 (1) 1 ? 3 3

? 3 2? (2) 5 45 ? ? ?? 2 2 3 ? ? ? ?

(3) (5 15 ?

3 )? 5 5

4、 (1)若 x ? 5 ? y ?

1 ? 0 ,求( xy) 2003 的值。 5

2 4 2 3 3 (2)若 x ? 0 ? y ,化简 z ? x y ? x ? y ? x ,且当 x ? 2 时,求 z 的值。

【课后作业】
1、直接填写计算结果: (1)
80 =_________; 5

(2) 35 90 ? 7 10 ? ___________;
48 x 7 y 6 3x 2 y 3

3 2 1 1 2 ? ? _________; (3) 1 ? 7 3 10 3

(4)

? __________;

共 59 页, 第 48 页

(5)当 x ? 0,y ? 0 时,化简

y3 y5 ? ? _________; x4 x6

(6)把根号外的因式移到根号内:(a ?1) ? 2、选择题 (1) 式子

1 ? __________; a ?1

1? x 1? x 成立的条件是( ? x x
B. x ? 0 且 x ? 1

) C. 0 ? x ≤1 ) D. 0 ? x ? 1

A. x ? 1 且 x ? 0 (2) 式子

?2 x ?2 x 成立时, x,y 满足的条件为( ? 3y 3y
?x ≤ 0 B. ? ?y ? 0 ?x ≤ 0 C. ? ?y ? 0

?x ≥ 0 A. ? ?y ? 0

?x ≥ 0 D. ? ?y ? 0

(3) 计算 18 ? A. 3 2 3、判断题 (1)

3 4 ? ;结果为( 4 3
C. 5 2



B. 4 2

D. 6 2

(?4)2 ab 4ab

? ?4





(2) (3)

(b ? a)2 a ?b

? a ? b (a ? b)

( (

) )

28 x ?4 x 7x

4、计算题 (1)

6?4 2

6?4 2

(2) 2( 2 ? 8)

(3)若 a ? (2 ? 5 ) 2004 ( 5 ? 2) 2005 ? 2( 5 ? 2 ) 0 ? (?2) 2 ,求 a 2 ? 4a 的值。

共 59 页, 第 49 页

第十四讲 二次根式的复习 (乘除法、最简二次根式、分母有理化)
【学习目标】
1、在前一讲的分母有理化的学习的基础上,加深对分母有理化的学习,让学生能将二次根式的乘除 法和分母有理化有机的结合起来进行二次根式的化简与运算。 2、通过分母有理化的进一步学习,让学生的运算能力得到加强,并让他们从其中感知学习的快乐和 形成良好的兴趣。

【知识要点】
1、二次根式的乘法法则 : 指数不变. 2、二次根式的除法法则: 数不变。 3、分母有理化和有理化因式的概念(同上一讲) 。 4、熟记一些常见的有理化因式: a 的有理化因式是 a ; a ? n b 的有理化因式是a ? n b ; 的有理化因式是 a ? b ; m a ? n b 的有理化因式是m a ? n b ; 3 a ? 3 b 的有 理化因式是3 a 2 ? 3 ab ? 3 b 2 ) 。 ( )即:两个二次根式相除,被开方数相除,根指 .即:两个二次根式相乘,被开方数相乘,根

【典型例题】
例 1、填空题 (1)等式 x2 ? 1 ? x ? 1? x ? 1 成立的条件是 .

共 59 页, 第 50 页

(2)计算: (1) 16 (3) 56 ?
14

25 ?
1 . 5 3 ? 0 . 1 7

; (?15) ? (?27) ? .

.



例 2、化简: (1) 27a3b2 = (3) ; (2) 24a ? 18a3 ? ; (4) . .

36 y = 49 x 2
18 a

3 2 27

?

例 3、 (1)把 A.

化简的结果应是( C. 3a 2a D.



3 3 2 B. 2a a a

2 3a a

(2)下列计算中,正确的是( A. 5 C.

) B. D.

3 5 ? 3 4 4
1 9 1 3 17 ? ? ? ? 16 25 4 5 20

9

5 5 3 ?3 ? 35 7 7 7

482 ? 322 ? (48 ? 32)(48 ? 32) ? 16 5

(3)如果 a3 ? 2a2 ? ?a a ? 2 ,则实数a 的取值范围是( A. a ? 0 B. 0 ? a ? 2 C. ?2 ? a ? 0 ) D. a ? ?2



(4)下列二次根式中,最简二次根式是( A.

12

B.

x?2

C.

3 2

D.

4a3b2

例 4、将下列各式分母有理化。 (1)

6 2 3? 6

(2)

a b ?b a ab

例 5、计算下列各式。 (1)

1? 3 1 2? 3 ? ? 2 2? 3 2 3 ?2

(2) ? 2 a 4b ? 3a 2b3 ? 2ab

共 59 页, 第 51 页

例 6、已知 x ?

2 2? 3? 5

,y ?

2 2? 3? 5

,求

x 2y2 的值 x 2 ? 2xy ? y 2

【经典练习】
1、 填空题 (1) 4a2b3 ? ;
x4 ? x2 y ?

(2)写出 8 的一个同类二次根式 (3) 2 3 ? 3 2 的一个有理化因式是 (4) 3 ? 2

,化简为 。



27 ? 4



1 ? 3 1.5 ? 5

2、将下列各式分母有理化。 (1)

2 2? 3

(2)

a ? a ?1 a ? a ?1

3、计算下列各式。

2 1 (1) 1 ? 3 3

(2)

1 18( a ? 2)3 a?2

4、先化简后求值: 已知: x ? 1.69, 求 2 x 2

1 ? 3 x3 ? 4 x3 的值。 x

【课后作业】
1、计算下列各式

共 59 页, 第 52 页

(1)

3? 5 15

(2) 18 ? (3 2 ? 2 2)

(3) ?

1 6ab ? 3 3b 3 a 3

(4) ?

y x2

x4 y ?

x y

(5)

( 5 ? 3 )( 3 ? 1) 5 ? 2 3 ?1

(6)

a ? 4b a ?2 b

?

a ? b ? 2 ab a ? ab

?(

a b ? ) a b

第十五讲 二次根式的混合运算
【学习目标】
1、掌握二次根式的混合运算,掌握乘除法公式在混合运算的应用. 2、通过二次根式的混合运算,培养学生的运算能力. 3、本节课是在学习了二次根式的三个重要概念(最简二次根式、同类二次根式、分母有理化)和二 次根式的有关运算(二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减法)基础上,将加、减、 乘、除、乘方、开方运算综合在一起的混合运算的学习。 4、通过例题由浅入深,层层深入,既提高学生学习的兴趣又激发学生求知的欲望;从例题的讲解中 帮助寻找解题的方法,规律及注意点,激发学生求知的欲望。 5、特别注意:二次根式的混合运算中,应注意二次根式运算的顺序。

【典型例题】
例 1、选择题 (1)下列各组代数式为同类二次根式的是( A、 2, ) D、 8,

1 3

B、 5, 15

C、

1 1 12, 2 3


2 3

(2)下列根式中,属于最简二次根式的是( A、 4 x B、 x2 ? 4 C、

x 4

D、 ( x ? 4) 2 )

(3)下列四组二次根式中,可以化为同类二次根式的是( A、 a a ,

a 2

2 B、 2a a , a

1 a

C、 3a2 , 8a

D、 a 4 ? a 2b , a 2 ? 2ab ? b2

共 59 页, 第 53 页

(4)下列各式中,计算正确的是( A、

) B、 a ?

a 2 ? b2 ? a ? b

1 ? ?a a

C、 3 2 ? 2 3 3 ? 6 6 (5)下列各式正确的是( A、 C、 )

D、 a 2b 4 ? a b 2

2? 3? 5

B、 8 ? 2 ? 6 D、 5 ? 2 ?

2 ?3 2 ?6

5 2

例 2、填空题 (1) 2 ? 3 的有理化因式是 (2)请写出 2 的一个同类二次根式 (3) 9 的算术平方根是 (请写出两个)

; (?5)0 的立方根是

(4)大于 ? 5 且小于 3 的所有整数是 例 3、计算题 (1)

20 ? 5 ?2 5

(2) 12 ?

1 1 ?2 2 3

4 ? 6? ? ? 27 (3) ? ? 48 ? ? 3 ? 4 ? ?

2 2 ? ? 3 (4) 3 ? 5 ? 5 ? ? ? ? 2? ? 3

?

?

? x? y x? y? ? ? 2 ,当 x ? 2 , y ? 3 原式的值是多少? ? 例 4、化简并求值 ? ? x? y x? y? ? ? x? y

【经典练习】
1、填空题 (1) ab 的有理化因式是 (请写出两个) 。

共 59 页, 第 54 页

(2)把

16 x 4 ( x ? 0, y ? 0 )化简结果为 y2
9 ,且 ab ? 0 ,则 a ? b 的值为 4



(3)若 a 2 ? 4; b 2 ?

。 ,立方根是 。

(4) (?5)2 的算术平方根是 (5)化简

,平方根是

18 ?

; 48 ? 3 ?

2、计算题。 (1) ? 2 ? 1

?

? ?
2000

2 ?1

?

1999

(2)(2 ? 3 ? 5)2 ? (2 ? 3 ? 5)2

(3) (6

3 1 1 2 ? 5 )( 8 ? ) 2 2 4 3

(4)

1 1 1 ? ? 2 ?1 3? 2 6? 3

3、先化简,再求值

a ? ab ab ?b ,其中 a ? 2 ? 3 , b ? 2 ? 3 。 ? ab ?b a ? ab

【课后作业】
1、 填空题。 (1) 3 ? 2 2 的倒数是__________,相反数是_______,绝对值是 (2) 把
1 分母有理化是 3? 2



。 。 。 。

(3) 若 a 与 b 互为相反数,c 与 d 互为倒数,则 a ? b ? 3 cd ? (4) 若 x ? y ? 3 ? 2 2 , x ? y ? 3 ? 2 2 ,则 x 2 ? y 2 的值是 (5) 若 a ? (6) 若 a ? 2、 计算题
1 1 3? 2 3? 2 ,b ? ,则 ? 的值是 a b 2 2

1 ,则 ?a ?1??a ? 3? ? __________ 5 ?2

共 59 页, 第 55 页

(1) (2 ? 5)2005 ? (2 ? 5)2006

(2) ( 28 ? 2 3 ? 7) ? 7 ? 84

(3) 9 45 ? 3

1 3 2 ? 2 5 2 3

(4) (3 ? 5)2 ? 5 ? (

3 2 ? ) 3 2

★3、 y ? x ? 8 ? 8 ? x ?18 ,求代数式

x? y 2 xy ? 的值. x? y x y?y x

第十六讲 图形的平移与旋转
【学习目标】
1、理解图形的平移与旋转的相关概念 2、会进行简单的平移作图和旋转作图

【知识要点】
1、平移的概念:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移。平 移不改变图形的形状和大小。 2、平移的性质: (1)对应线段平行(或共线)且相等。 (2)对应角分别相等,对应角的两边分别平行且方向一致。 (3)对应点的连线平行(或重合在一条直线上)且相等。 3、平移作图的步骤与方法: (1)分析题目要求,找出平移的方向和平移的距离。 (2)分析所作图形,找出构成图形的关键点。 (3)沿一定方向,按一定的距离平移各个关键点。 (4)连接所作的各个关键点,并标上相应字母。 4、旋转的概念:在平面内,将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度,这样的图形运动称为 旋转,这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角,旋转不改变图形的形状和大小。 5、旋转的性质: (1)对应线段、对应角分别相等,图形的形状、大小都不改变

共 59 页, 第 56 页

(2)每一点都绕旋转中心沿相同的方向旋转相同的角度,任意一对对应定点与旋转中心的连线所成 的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等。 6、旋转作图的步骤和方法: (1)分析题目要求,找出旋转中心,旋转角。 (2)分析所作图形,找出构成图形的关键点。 (3)沿一定方向和一定角度,通过截取线段的方法,旋转各个关键点。 (4)连接所作的各个关键点,并标上相应字母。

【典型例题】
例 1、如图,四边形 ABCD中,AD ∥ BC , DM ∥ AB交BC于M, ∥ AC 交 BC 延长线 于 N,线段

AD 沿着________的方向平移到 BM,其平移的距离是_________;线段 AB 沿着____________的方向平移 到 DM,其平移的距离为___________;线段 AC 沿着________的方向平移到 DN,其平移的距离是 _________;线段 CN 沿着________的方向平移到 AD,其平移的距离是_________;线段 BM 沿着________ 的方向平移到 CN,其平移的距离是_________。 ?ABC沿着 _______ 的方向平移到 ?DMN ,其平移的 距离是_________。 例 2、如图,如果把钟表的指针看成四边形 AOBC,它绕着 O 点旋转到四边形 DOEF 位置,在这个旋转过 程中:旋转中心是_________,旋转角是__________,经过旋转点 A 转到__________,点 C 转到 __________,点 B 转到__________。 线段 OA 与线段________,线段 OB 与线段________,线段 BC 与线段________是对应线段。?A与 ______, ?B与 _______, ?C与 _______,∠AOB 与________是 对应角,四边形 OACB 与四边形 ODFE 的形状、大小______________。

例 3、如图,经过平移,△ABC 的顶点 A 移到了点 D,请作出平移后的三角形。

共 59 页, 第 57 页

例 4、在下图中,将大写字母 E 绕点 O 按逆时针方向旋转 90°后,再向左平移 4 个格,请作出最后 得到的图案.

例 5、如图,已知 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC 沿 CB 方向平移到△A’B’C’的 位置。若平移距离为 3。 (1)求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积。 (2)若平移距离为 x(0≤x≤4) ,求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积 y,则 y 与 x 有怎样关 系式。

【经典练习】
1 、 如 图 , ?ABC的?BAC ? 90?,AB ? AC ? 5cm。 ?ABC按逆时针方向转 动 一 个 角度 后成 为
?ACD ,则图中 ___________是旋转是心,旋转________度 ,点 B 与点____是对应点,点 C 与点

_________是对应点,∠ACD=_____________,AD=_________. 2、如图,E 为正方形 ABCD 内一点,∠AEB=135?,BE=3cm, ?AEB按顺时针方向旋转一个角度后成为
?CFB ,图中________是旋转中心,旋转_______度,点 A 与点______是对应点, 点 E 与点______是对

应点 , ?BEF 是 ___________ 三角形 , ∠ CBF= ∠ ______, ∠ BFC=___________ 度 , ∠ EFC=__________ 度,BF=_________cm. 3、如图,△ABC、△ADE 均为是顶角为 42?的等腰三角形,BC 和 DE 分别是底边,图中△_________与

共 59 页, 第 58 页

△ ___________, 可 以 通 过 以 点 ________ 为 旋 转 中 心 , 旋 转 角 度 为 _____. 其 中 ∠ BAD= ∠ _________,CE=__________.
A F

D

B E

C

4、如图,将大写字母 M 绕着右下侧的顶点按顺时针方向旋转 90?作出旋转后的图案.

5、如图,四边形 ABCD 的∠BAD=∠C=90?,AB=AD,AE⊥BC 于 E, ?BEA旋转后能与 ?DFA 重合 (1)旋转中心是哪一点? (2)旋转了多少度? (3)若 AE=5 ㎝,求四边形 AECF 的面积

【课后作业】
1、下列图形中,是由(1)仅通过平移得到的是( )

2、如图,在 Rt△ABC 中, 时针旋转 90 后,得到△ ③ A.②④; ;④ B.①④;

,D、E 是斜边 BC 上两点,且∠DAE=45°,将△ ,连接 ,下列结论:①△ 。其中正确的是 ( ) C.②③; D.①③. ≌△ ;②△

绕点 顺 ∽△ ;

3、将字母 A 按箭头所指的方向,平移 3 ㎝,作出平移后的图形.

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4、如图, ?ABO 绕 O 点旋转后,G 点是 B 的对应点,作出?AOB 旋转后的图形。
B A G

A

O B

共 59 页, 第 60 页

第十七讲
一.选择题 1、 在 25 , 2 ,1.414 , A.1 个

综合检测

11 ? ?5 ? , 0, 3 125 中无理数有 ( , ? , 3.2 3 3
C.3 个 ( B.
3



B.2 个

D.4 个

2、 下列说法不正确的是 A.



1 的平方根是? 1 25 5

? 27 ? ?3

C. ?? 0.1?2 的平方根是 0.1

D. ? 9是81的算术平方根 ( D. (
60 13

3、直角三角形的两直角边分别为 5、12,则斜边上的高为 A.6 B.8 C.
80 13



4、三角形各边长度的如下,其中不是直角三角形的是 A. 3,4,5 B. 6,8,10 C.5,11,12



D.15,8,17 ( )

5、三角形的三边长为?a ? b?2 ? c 2 ? 2ab ,则这个三角形是 A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形;

D. 锐角三角形. ( D.12 cm ( ) D. 3 ( D. ?1 ( ) )
2

6、若等腰三角形腰长为 10cm,底边长为 16 cm,那么它的面积为 A.48 cm
2

)

B.36 cm

2

C.24 cm

2

7、 一个正数的平方根为 2 ? m 与 2m ? 1 ,则 m 的值为 A.

1 3

B.

1 或? 3 3

C. ? 3

8、 若 a 2 ? 4, b 2 ? 9 ,且 ab ? 0 ,则 a ? b 的值为 A. ? 5 B. ? 1 C. 5

9、已知 a、b、c 是△ABC 的三边,化简 A.2a-2b B.2b-2a ) 。

(a ? b ? c) 2 ? (a ? b ? c) 2 等于

C.2c

D. –2c

10、估算 56 的值应在( A、7.0~7.5 之间

B、6.5~7.0 之间

C、7.5~8.0 之间

D、8.0~8.5 之间

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二、填空题 11. 81 的平方根是
3

; 16 的算术平方根是
2 ?3 ?

;27 的立方根是



? 125=

, 11 , 3 2

5 ? 2 的相反数 2 3 ,
3

12、比较大小,填>或<号: 119

7

2;
D

13. 如图小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是 7、已知 a、b、c 满足|a-1|+ 2a ? b + c ? 3 =0. 则 a+b+c=

. .

A

C

?

?

2

B

3、 设 a 的倒数等于本身的数,b 是最大的负整数,c 是平方根等于本身的数,则
a?b?c ?

.

16、若 1<x<4,则化简 17、计算 5 ? 2

? x ? 4 ?2

?

?x ? 1?2 =

?

?

2005

? 2? 5

?

?

2006

?

18、△ABC 中,AB=20,AC=13。高 AD=12。则△ABC 的周长是 三、解答题

.

1 5 ?, ? 7,?, ? , 3.14, 0, ? 9, ? 3?1, . 0 .2 19、把下列各数分别填在相应的集合内:3 4, , 4 2

0.51525354 ?

有理数集合:{ 无理数集合: { 正数集合: 负数集合: 20、计算题 (1) 12 ? 27 ? 75 (2)
27 ?

?}; ?}; ?}; ?}.

{ {

1 ? 12 3

(3)

15 ? 60 3

?3 5

(4) (π ? 2009)0 ? 12 ? | 3 ? 2 |

共 59 页, 第 62 页

21、先化简,再求值:(a ? 3)(a ? 3) ? a(a ? 6) ,其中a ? 5 ?

1 2

22、已知,如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求 AC 的长.
C D A B

23、一架方梯长 25 米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙 7 米, (1)这个梯子的顶端距地面 有多高?(2)如果梯子的顶端下滑了 4 米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?(3)当梯子 的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时,这时梯子的顶端距地面有多高?
A

A′

O A B A

A′

24、如图,∠B=∠C=90°,M 是 BC 的中点,DM 平分∠ADC,求证:AM 平分∠DAB.


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