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[转帖]第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《充分条件与必要条件》说课(安徽樊涛)


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1.2 充分条件与必要条件(第一课时)
安徽省 淮南二中 樊涛

[教学目标]
一:知识目标 1.使学生理解充分条件、必要条件的概念; 2.能正确判断是否是充分条件或必要条件; 二:能力目标 1.通过对充分条件和必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识, 以保证推理的合理性和论证

的严密性; 2.通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力; 三:情感目标 1.通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体 验获取知识的感受; 2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学, 建立概念间的多 元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯; 3、通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习, 勇于创新,敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表 现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

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[教学重难点]
重点:充分条件、必要条件的概念; 难点:充分条件、必要条件的判断;

[教学过程]
1:复习引入: 复习:命题的概念及命题的常见形式。 命题的概念:一般地,在数学中我们把用语言、符号或式子表达的, 可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题, 判断为假的语句叫做假命题。 命题的常见形式: “若 p,则 q” ,我们把这种形式中的 p 的叫做命题 的条件,q 叫做命题的结论。 【设计意图】通过命题概念的复习,重点强调条件与结论,为新课学 习做必要的准备和铺垫. 引入: “若 p,则 q”为真,可以将它表示为 p ? q ; “若 p,则 q”为假,可以将它表示为 p ?? q ; 如: “若教室里的学生是高二 1 班的学生,则教室里的学生是 高二的学生”为真命题, 即: 教室里的学生是高二 1 班的学生 ?教室里的学生是高二的
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学生; 又如: “若教室里的学生是高二的学生,则教室里的学生是高二 1 班的学生”为假命题, 即: 教室里的学生是高二的学生 ?? 教室里的学生是高二 1 班的 学生。 【设计意图】 命题有真有假, 通过对真假两种情况的新的表述方式的 引入,意在顺利实现由“已有的知识结构”转入“新知构建”的过程.

2:新知建构 定义:一般地,如果有 p ? q ,称 p 是 q 的充分条件,称 q 是 p 的必 要条件. 例 1:下列“若 p,则 q”形式的命题中,哪些命题中的 p 是 q 的充 分条件? 1 ○、若 x>3 ,则 x>2 ; 2 ○、若 x=1 ,则 x2-4x+3=0; 3 ○、若 f(x)=x,则 f(x)在 ?? ?, ?? 上为增函数; ? (教师引导学生体验:问题的实质是判断命题是否为真) 1 2 3 1 2 3 解:命题○、○、○都是真命题。所以,命题○、○、○中的 p 是 q 的充分条件。 1 2 3 问题:同学们,对于命题○、○、○,我们可不可以回答 q 是 p 的必 要条件呢?

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1 2 3 答:可以称对于命题○、○、○,q 是 p 的必要条件。 【设计意图】通过实例分析,将新知(充分条件、必要条件的概念) 的构建过程转化为已有知识(命题真假的判断)的应用过程.

1 强调说明:○“ p ? q ”“p 是 q 的充分条件”“q 是 p 的必要条件” , , 是同一逻辑关系的三种不同描述形式,前者是符号表示,后两者是文 字表示。 2 ○充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行” , 即 “有之必然” 必要条件的含义用通俗的语言来说是指 ; “缺它不行” , 即“无之必不然” 。 【设计意图】 提升学生的认识水平, 试图从不同角度帮助同学们理解 “充分”和“必要” 。

3、巩固新知 例 2:判断下列问题中,p 是 q 的充分条件吗? 1 ○、p: a>b 2 ○、p: x 为无理数 3 ○、p: x>a2+b2 4 ○、p:两条直线的斜率相等; q: ac>bc; q: x2 为无理数; q: x>2ab ; q:两条直线平行; ;

3 4 3 4 解: 因为在问题○和问题○中都有 p ? q 。 所以, 在问题○和问题○中, p 是 q 的充分条件。

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1 2 问题:像在○○两个问题中 p 与 q 的关系应如何描述? 可描述如下:若有 p ?? q ,称 p 不是 q 的充分条件,称 q 不是 p 的必 要条件。 【设计意图】 概念的否定是概念理解的重要方面, 本例意在让学生在 直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以 帮助学生全面认识和理解概念。 例 3:判断下列各组问题中,q 是 p 的必要条件吗? 1 ○、p:{x|x>3} 2 ○、p: {x|x>0} 3 ○、p:同位角相等 4 ○、p:四边形对角线相等 q:{x|x>5} ; q:{x|x ? 0} ; q:两直线平行 ; q:四边形是平行四边形 ;

2 3 2 3 解: 因为在问题○和问题○中都有 p ? q 。 所以, 在问题○和问题○中, 1 4 1 q 是 p 的必要条件。 在问题○和问题○中都有 p ?? q 。 所以, 在问题○ 4 和问题○中,q 不是 p 的必要条件。

强调说明: (1) 充分条件与必要条件判断的关键: 1 ○、认清条件与结论; 2 ○、考察 p ? q 或 q ? p 的真假。 (2)充分条件与必要条件和集合的关系:

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① p ? q ,相当于 P ? Q ,即



即:要使 x ? Q 成立,只要 x ? P 就足够了——有它就行. ② q ? p ,相当于 P ? Q ,即 或

即:为使 x ? Q 成立,必须要使 x ? P ——缺它不行. 练习:回答例 3 中 q 是 p 的充分条件吗? 【设计意图】本例的设计和应用主要目的有: (1)强调条件和结论之 间的推出关系,即推出箭头的方向性; (2)从集合关系的角度帮助同 学们理解“充分条件”和“必要条件”(3)体会“充分条件”和“必 ; 要条件”的不同表述方式; (4)让学生初步体会充分条件与必要条件 的四种不同类型,为下节课提前准备。 课堂活动:请同学们自己举例给出 p、q 并判断其二者之间存在的是 否是充分条件或必要条件的关系。

4、能力提升 例 4、用“充分条件”或“必要条件”填空: (1)四边形的对角线相等是四边形为矩形的________; (2) a ? 5 是 a 为正数的______________. 答案: (1)必要条件; (2)充分条件。

例 5、 填空(写出一个满足题意的即可) (1) “ab=0”的一个充分条件是 (2) “x<3”的一个必要条件是
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。 。

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答案: (1)可填:a=0;b=0;a=0 且 b=0;这三种中的任何一种。 (2)可填:x<4(形如 x<a,其中 a ? 3 的答案都是对的)。 【设计意图】(1)引导学生观察例 5 的问题的问法和前四个例题有 无不同,培养学生的观察能力;(2)从条件判断填空到开放的填写 条件有助于彰显学生对问题的理解程度, 通过这组练习, 可以了解学 生“会了什么?”、“还存在什么问题?”,使后面的教学更有针对 性!

5、牛刀小试 练习:判断下列各组问题中,p 是不是 q 的充分条件以及 p 是不是 q 的必要条件? 1 ○、p: x ? x 2 ○、p: tan ? =1 3 ○、p: 直线 l 与平面 ? 内的两条相交线垂直
? 垂直;

q: x2 ? 0 ; q: ? ?
?
4



q: 直线 l 与平面

4 ○、p:函数 f(x)满足 f(0)=0 奇函数; 1 答:○p 是 q 的充分条件,p 不是 q 的必要条件; 2 ○p 不是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件; 3 ○p 是 q 的充分条件,p 是 q 的必要条件; 4 ○p 不是 q 的充分条件,p 不是的 q 必要条件; 结合练习,引导学生归纳如下:

q: 函数 f(x)是

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从练习中我们发现在 p 与 q 之间存在以下几种关系: 1 ○、 p ? q 且 q ?? p ; 2 ○、 q ? p 且 p ?? q ; 3 ○、 p ? q 且 q ? p ; 4 ○、 p ?? q 且 q ?? p ; 对于这几种关系我们应如何描述呢?下节课,我们将解决这一问题。

【设计意图】 反馈练习的设计, 既帮助学生全面掌握本节课的学习内 容, 再次巩固所学知识和方法, 也在前面例 3 的基础上明确了充分条 件与必要条件涉及的四种类型, 为顺利进入下节课的学习打下坚实的 基础。

6 课堂小结:师生共同回顾本节课的教学过程,小结如下内容: 1 ○、充分条件与必要条件的概念; 2 ○、充分条件与必要条件判断的关键; 【设计意图】再现课堂,小结提升,有助于学生明确学习的重点。

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[作业布置]
1、课本第 12 页 A 组 1、2 、B 组 1 2、补充: 判断下列命题的真假: ①“ a ? b ? 0 ”是“ a 2 ? b2 ”的充分条件; ②“ a ? b ”是“ ac2 ? bc2 ”的必要条件; ③“ A ? B ”是“ A ? B ” 的必要条件; (其中 A,B 是集合) ④“函数 f ? x ? 是奇函数”是“ f ? 0? ? 0 ”的充分条件.

教学设计说明

一、本节课内容的本质、地位、作用分析及课时按排说明: “充分条件与必要条件”是高中人教 A 版《数学》选修 1-1 第一 章简单逻辑用语第二节的内容。本节内容的教学至少需要两个课时, 而本节课是这一节内容的第一课时。 逻辑是研究思维规律的学科,而 “充分条件与必要条件”是数 学中常用的逻辑用语,逻辑用语在数学中具有重要的作用,学习数学 需要全面准确地理解概念,正确地进行表述、判断和推理,这些都离 不开对逻辑知识的掌握和运用。进一步,在日常生活中,为了使我们 的语言表达和信息的传递更加准确、清楚,常常需要一些逻辑用语, 基本的逻辑知识、常用的逻辑用语是认识问题、研究问题不可缺少的 工具。

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在选修中学习逻辑用语, 可以结合逻辑用语的使用对我们已经学 习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升, 同时能够体现出逻辑用 语的工具价值,也可以更好地应用于今后的学习。这使得逻辑用语的 教学起到了承上启下的作用。

二、教学目标分析: 在我们的学习和生活中,我们要大量的使用逻辑用语,能准确地 掌握和使用逻辑用语, 是十分关键的, 也是本节课所需要达到的目的。 同时需要注意的是,因为逻辑用语与数学的其他知识联系紧密,而逻 辑用语的教学本身就具有一定的难度, 故而不可使用过于复杂的数学 例题,否则会使得教学难上加难,不利于本节新概念的教学。 基于 以上的原因,我把本节课的教学目标设定如下: 一:知识目标 1.使学生理解充分条件、必要条件的概念; 2.能正确判断是否是充分条件或必要条件; 二:能力目标 1.通过对充分条件和必要条件的研究,使学生掌握有关的逻辑知识, 以保证推理的合理性和论证的严密性; 2.通过引导学生观察、归纳,培养学生的观察能力和归纳能力; 三:情感目标 1.通过以学生为主体的教学方法,让学生自己构造数学命题,发展体

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验获取知识的感受; 2.通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学, 建立概念间的多 元联系,培养同学们多角度审视问题的习惯; 3、通过“会观察”,“敢归纳”,“善建构”,培养学生自主学习, 勇于创新,敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来,并在问题面前表 现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

三、教学诊断分析: 1. 学生学习本节课内容时容易了解的地方及我的处理方法 (1)通过对必修部分的学习,学生已经有了一定的知识储备,所以 在本节课中出现的大量的数学问题,学生是易于理解和掌握的。在教 学中,我可以利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的 概念的教学, 如在教学过程中我通过复习命题的概念和命题的常见形 式引入新课的概念,这样一种自然引入可以减少学生对新知的陌生 感;又如学生对集合知识是比较熟悉的,在讲解完例 3 之后,我结合 1 2 引导学生从集合角度理解 例 3 中的问题○○, “充分条件与必要条件”, 尤其是使用韦恩图直观表示,帮助学生更好地理解“充分条件与必要 条件”概念的本质。 (2)例 1 从问题的形式到内容都是学生较易理解的。例 1 的教学之 后,我结合例 1“回踩”定义,指出: p ? q ”“p 是 q 的充分条件” “ , , “q 是 p 的必要条件”是同一逻辑关系的三种不同描述形式,前者是

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符号表示, 后两者是文字表示。 对于这种说法, 学生也是易于理解的, 但是这种理解仅停留在形式上。然后,我再次使用例 1 中的具体数学
1 问题○指出“充分条件与必要条件”的本质,并用较易理解的通俗语

言“有它就行”“缺它不行”加以解释。 、 (3)例 2 和例 3 也都是学生较易理解的问题。所以在例 2 之后,结 合例 2 中的问题 1 和问题 2,引出了“充分条件与必要条件”概念的 否定形式。 在例 3 之后, 通过回顾例 2 和例 3 的解答方法与解答过程, 引导学生总结“充分条件与必要条件判断的关键” 。 (4) “牛刀小试”环节中的课堂练习,学生通过前面的学习应当是可 以独立完成的。所以,在练习结束后,我引导学生归纳总结该练习四 个小题中所蕴含的“充分条件与必要条件”的四种情况,预设伏笔, 为下节课的教学做好铺垫。 2..学生学习本节课内容时不易理解的地方及我的处理方法 (1) “充分条件与必要条件”的概念是学生不易理解的。为了帮助学 生更好地理解概念的实质, 我通过复习旧知识 (命题) 引入新知识 (充 分条件和必要条件) ,并在前三个较为简单的例题的讲解过程中逐步 渗透“充分条件与必要条件”的实质。 (2)利用“充分条件与必要条件”解决问题是学生难于掌握的,这 也不是本节课可以彻底解决的问题。所以,我引导学生通过解决简单 问题(例 1、例 2、例 3) ,提炼出解决问题的方法,再尝试运用方法 解决新问题(例 4、例 5)。首先让学生掌握解决问题的方法,再加以运
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用,这样我也可以搞清学生“会了什么”“还有什么不会” 、 ,使后面 的教学更有针对性。 (3)例 5 的教学是存在困难的,问题的难度主要在于问题本身是一 个开放式的填空题。所以,我要先让学生通过观察对比几个例题的问 法,找出问题问法的变化,然后使用已经总结出的方法,尝试解决这 一问题。 正因为有以上两大方面的原因, 因此本节课教学时注重从学生熟 悉的数学问题入手,从学生熟悉的生活实例入手;同时,也要求本节 课对概念的教学、理解要更加深入、更加理性。

四、本节课的教法特点: 1、体现了“师为主导,生为主体”的教学理念 本节课的教学设计和实际教学中, 教师本人更多的是站在一个引 路人的角度,告诉学生该向哪里走,怎么走,让他们自己去走。如: 在例题的教学中,我大多是先带领学生分析问题,探求解决问题的方 法, 在学生通过自己的努力尝试解答之后, 我再进行总结, 避免了 “满 堂灌” 。 2、注重对学生的思维训练 引导学生多角度的审视问题,从不同角度去看问题,分析问题, 思考问题,从而可以使得对一个具体问题理解的更准确、更全面、更 深刻。例如:在概念教学中,为了更好的理解概念,我通过具体问题 引导学生从表达形式(符号表示与文字表示) 、通俗语言的描述(有
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它就行和缺它不行) 、不同概念间的联系(充分条件与必要条件和集 合的关系)来辅助概念教学。 3、教学层次鲜明、衔接自然 我把整个教学过程划分为六个环节:复习引入、新知建构、巩固 新知、能力提升、牛刀小试、课堂小结。以问题为主线,为了解决问 题,学习新知识,掌握了新知识再来解决问题。这样就把几个环节很 自然地联系在一起。

五、教学效果预期 “充分条件与必要条件”作为高中数学传统的重点内容,难点内 容。我希望通过本节课的教学,让学生准确地理解这一概念,能简单 的运用这一知识。并希望能够通过较为愉悦的课堂环境,使学生保持 浓厚的学习兴趣,不要产生畏难情绪。课后,我将根据本节课实际教 学过程中出现的问题,在下一课时的教学中作出调整和弥补,并在下 一课时中,加强对学生运用知识解决问题环节的训练。

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