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理数答案


2015 年普通高中高三复习第一次调研测试卷 数学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题 1 A 2 D 3 B 4 B 5 B 6 C 7 B 8 C 9 A 10 D 11 D 12 A

二、填空题 13、

5 43 ;14、 15、○ 2 ○ 3 ;16、 2 5 12 3

三、解答题 17.(1)

? a1 ? a10 ? 12,? a4 ? a7 ? 12, 又? a4 ? a7 ? 27 --------------------------------------------------.1 分 ------------------------------------------2 分 --------------------------------------------------3 分 -------------------------------------------------- 5 分 ----------------- ---------------------6 分

? a4 , a7 是x 2 ? 12x ? 27 ? 0的两根, x ? 3或9

?a ?是增等差列,?a
n

4

? 3, a7 ? 9, 又 a7 ? a4 ? 3d ,?d ? 2

?an ? a4 ? (n ? 4)d ? 3 ? (n ? 4) ? 2 ? 2n ? 5
(2)

bn?1 ? bn ? an (n ? N ? ) ?b2 ? b1 ? a1 , b3 ? b2 ? a2 , , bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2)
? an?1.

?bn ? b1 ? a1 ? a2 ?

?bn ? b1 ?

(n ? 1)(?3 ? 2n ? 7) ? 1 ? (n ? 1)(n ? 5) ? n2 ? 6n ? 6(n ? 2) 2

---------------------------------------------9 分 ---------------------------------------------10 分

n ?1 ,b1 ? 1, 足上式. ?bn ? n2 ? 6n ? 6(n ? N ? )
18.(1)

a ? ( 3, ?1), b ? (cos ?x,sin ?x)(? ? 0, x ? R)

? f ( x) ? a ? b ? 3cos ? x ? sin ? x ? 2cos(? x ? )(? ? 0) 6 2? 1 ?T ? ? 10? , ? ? . ? 5
(2)

?

------------------------------4 分 -----------------------------6 分

1 ? 5? ? 6 3 f ( x) ? 2cos( x ? ), ? f (5A ? ) ? 2cos( A ? ) ? ?2sin A ? ? ?sin A ? 5 6 3 2 5 5 5? ? ? 16 8 f (5B ? ) ? 2cos( B ? ? ) ? 2cos B ? ?cos B ? , 6 6 6 17 17
数学理科答案与评分标准 -1-

-------------------------------8 分 ------------------------------9 分



4 15 ? ?? A, B ? ?0, ? ,? cos A ? ,sin B ? . 5 17 ? 2?

------------------------------------------------------------------------10 分

3 15 4 8 13 ?cos C ? cos?? ? ( A ? B)? ? ? cos( A ? B) ? sin Asin B ? cos Acos B ? ? ? ? ? . -----------------------12 分 5 17 5 17 85
19.(1)由 12/0.3=40 知,样本容量为 40,所以 c 处应填 11/40=0.275; d 处应填 1 因为 1-(0.050+0.200+0.300+0.275+0.100+0.050)=1-0.975=0.025 所以 b 处应填 0.025, -------------------------------------------1 分 -------------------------------------------2 分 -------------------------------------------3 分 -------------------------------------------4 分

? 0.025? 40 ? 1,?a 处应填 1
(2).本小问共 4 分 频率分布直方图和折线图各占 2 分
频率 组距

0.0300 0.0275 0.0250 0.0225 0.0200 0.0175 0.0150 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 0.0025 85 95 105 115 125 135 145 155 成绩

(3)总体平均数为: 90 ? 0.025 ? 100 ? 0.050 ? 110 ? 0.200 ? 120 ? 0.300 ? 130 ? 0.275 ? 140 ? 0.100 ? 150 ? 0.050 ? 122.5 总体落在[129,150]中的频率为:

------10 分

6 1 ? 0.275 ? 0.100 ? ? 0.05 ? 0.290 10 2

………………………………………………12 分

20.(1)设 AD=a,则 AB=2a,又? ?DAB ? 60 ,? 据余弦定理有: BD ? 3a
? 2

2

? AD2 ? BD2 ? a 2 ? 3a 2 ? 4a 2 ? AB2 ,? BD ? AD
又 又 PD ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD,? BD ? PD AD ? PD ? D,? BD ? 平面PAD, PA ? 平面PAD ?PA ? BD

…………………………………………..3 分

…………………………………………..5 分

(2)建系如图.

PD ? AD ? a ,?P (0,0, a), 又 A(a,0,0), B(0, 3a,0), C( ?a, 3 a,0)
………………………………………………….7 分 z
-2-

? PA ? (a,0, ?a), PB ? (0, 3a, ?a), PC ? ( ?a, 3a, ?a)
设 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) 为平面 PAB 的一个法向量,则

数学理科答案与评分标准

? ?n1 ? PA ? 0 ,所以 ?ax1 ? az1 ? 0 ,令 y =1,则 n1 ? ( 3,1, 3) 1 ? ? 3 ay ? az ? 0 ? n ? PB ? 0 1 1 ? ? 1
又设 n2 ? ( x2 , y2 , z 2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则

…………….9 分

? ? ?n2 ? PB ? 0 ? 3ay2 ? az2 ? 0 ,所以 ? ,令 y2=1,则 n2 ? (0,1, 3) ? ? ? ? ax ? 3 ay ? az ? 0 n ? PC ? 0 2 2 2 ? ? 2
? cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 1? 3 ? 3 7 ?2 ? 2 7 7

…….……..10 分

所以,二面角 A-PB-C 的余弦值为 ?

2 7 7

……………………………………………………..12 分

21.(1)设 y=x+b,由 ?

?y ? x ? b ? x ? 2 py
2

有 x 2 ? 2 px ? 2 pb ? 0( p ? 0) ,

……………………………………………..2 分

据韦达定理知: 两根之和为 2 p ? 2,? p ? 1,? 抛物线方程为 x2 ? 2y
2 (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,由 x ? 2 y 得 y ?

………………….…………..4 分

1 2 x ,? y ' ? x,? K PM ? x1 , K PN ? x 2 2
………………………6 分

? l PM : y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ) ①; l PN : y ? y2 ? x2 ( x ? x2 ) ②,

1 ? x P ? ( x1 ? x 2 ) ? ? 2 由①②联立方程组解得: ? , ?y ? 1 x x P 1 2 ? 2 ?
又因为点 P 在准线上,所以: y p ? ?

………………………………8 分

xx 1 1 ,? 1 2 ? ? ,? x1 x 2 ? ?1 2 2 2

直线 MN 的方程为: 整理得: y ? y1 ? 注意到 y1 ?

y ? y1 x ? x1 , ? y 2 ? y1 x2 ? x1
……………………………………………10 分

1 2 ( xx 2 ? xx1 ? x1 x 2 ? x1 ) , 2

1 2 x1 , x1 x 2 ? ?1 ,有 2

y?

x1 ? x 2 1 1 1 x ? ,即直线 MN 过定点 (0, ),而 (0, )正是抛物线的焦点 F , 2 2 2 2
……………………………………………….12 分

所以:直线 MN 过抛物线的焦点 F

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-3-

22.(1)? f ( x) ? 5 x ,? f (a ? 2) ? 5a?2 ? 50,? a ? 2 ? log5 50,? a ? log5 2
o g a x g ( x)? ? ? 5 ? 4x ? ? x?l5
5

………………….………….1 分 ……………………………2 分

2

?x4 ? ?

x

?2

x ? 4 ??

x

2 ?

2 x

? (2 )

0 ? x ? 1,?1 ? 2 x ? 2, u ? 2 x , u ?[1,2],? g( x) ? h(u) ? ?u ? u2 , u ?[1,2]

………………………………………4 分

?h' (u) ? ?2u ? ? ? 0, u ?[1,2] ?? ? 2u, u ? [1,2],? 需有? ? 2, 即M ? 2 ………………………………………5 分
(2)

x ln x ? x 2 ? cx ? 12, ? x ln x ? x 2 ? cx ? 12, 2 12 ?cx ? x2 ? x ln x ? 12,?c ? x ? ln x ? ( x ? 0) x 1 1 2 x 2 ? x? 1 2 12 g ' ( x )? 1 ? ? 2 ? ? 令g ( x ) ? x ? ln x ? ( x ? 0) x x x2 x M?
g ' ( x) ? 0, x ? 4, x ? ?3( 舍) 0 ? x ? 4,g ' ( x) ? 0; x ? 4,g ' ( x) ? 0

………………………………………7 分

x ? ( x

4? x )(
2

3) ……………………………9 分

? g ( x)min ? g (4) ? 4 ? ln4 ?

12 ? 7 ? 2ln2 4

………………………………………11 分 ………………………………………12 分

?c ? 7 ? 2ln 2, 即c ? ( ??,7 ? 2ln 2]

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