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和角公式应用


四川省仁寿县第二高级职业中学

数学教研组

课题 1 和角公式的应用
【教学目标】 1.熟练掌握和角公式,并能灵活应用它们解决相关问题. 2.应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式,了解公式的形式以及 辅助角的意义.能较为熟练地使用辅助角公式. 【教学重点】 1.熟练掌握和角公式,会用公式及其变形公式进行计算和化简. 2.能

较为熟练的使用辅助角公式,从中体会公式的作用. 【教学难点】 应用两角和与差的正、余弦公式推导辅助角公式. 【教学过程】
(一)复习提问

π π cosx+cos sinx =? 3 3 2 2 2.sin α +cos α =? 3.tan(α +β )=________;tanα +tanβ =________. 4.诱导公式:sin(π -α )=________. 1.化简 sin
(二)创境导入

教师提问: 如何利用和角公式, 将 3cosx+sinx 化为一个三角函数的形式? 教师提议:下面我们共同来研讨这个问题. (这样很自然抛出新知识引起学生的疑惑,在兴趣和疑惑中,激发学生的求 知欲,引导学习方向.)
(三)讲授新课

[基础题组] 例 4 利用和角公式,将 3cosx+sinx 化为一个三角函数的形式. 分析: 解决本题的关键是把 cosx 和 sinx 前的系数化成同一个特殊角的正弦 值和余弦值的相同倍数后再求解. π π 解: 3cosx+sinx=2sin cosx+2cos sinx 3 3 π π ? ? ?π ? =2?sin cosx+cos sinx?=2sin? +x?. 3 3 ? ? ?3 ? 说明:这个例题的解答过程体现了是数学中的化归思想. 教师提出问题: 本题的解答采用的是两角和的正弦公式,你能采用两角和的 余弦公式解答本题吗?并放手让学生用另一种方法解决此题. [导入题组] (1)多媒体屏幕显示导入题组,教师引导、启发学生完成填空,进行问题的 探讨.导入题组的设置有利于分化难点,突出重点,拓宽思维,养成善于思考, 善于提问的好习惯. 本题是将形如 asinω x+bcosω x 的函数合并化为一个三角函数的形式,请 同学们完成下面的填空,然后结合例 1 的解答过程归纳出一般规律. ? a ?2 ? b ?2 ∵? 2 2? +? 2 2? =__________, ? a +b ? ? a +b ?

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第 1 单元(电子教案)

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a +b a +b2 a b ∴ 2 , 2 可以作为同一个角的正弦(或余弦)值和余弦(或正弦)值, 2 a +b a +b2 b 设 tanθ = ,则 a asinω x+bcosω x = a2+b2(________sinω x+________cosω x) = a2+b2(cosθ sinω x+________cosω x) = a2+b2sin(ω x+________).
(2)师引导学生分析辅助角公式的特点,归纳出一般规律. [巩固题组] 3 1 试根据上面的结论,将 sin3x+ cos3x 合并为一个三角函数的形式. 4 4 让学生分析,并请一个学生板书,教师及时订正. 目的:使学生及时巩固,加深对运算法则的理解和应用. [应用题组一]: 1 11 例 5 已知 α ,β 均为锐角,且 cosα = ,cos(α +β )=- ,求 cosβ 7 14 以及角 β 的值. 1 解:∵cosα = ,α 为锐角, 7 ?1? 4 3 1-? ?2= . 7 ?7? π π ∵0<α < ,0<β < , 2 2 ∴sinα = ∴0<α +β <π . ∴sin(α +β )= 又∵cos(α +β )=- 11 , 14

-1≤

a
2 2

≤1,-1≤

b
2

≤1,

? 11? 5 3 1-?- ?2= . 14 ? 14? ∴cosβ =cos[(α +β )-α ] =cos(α +β )cosα +sin(α +β )sinα 11 1 5 3 4 3 =- × + × 14 7 14 7 1 = . 2 π ∵β 为锐角,∴β = . 3
[教师分析]

1.解决本题的关键是根据已知条件中的角灵活的将所求的角进行变形.在 三角变换中,首先应考虑角的变换, 如何变换角?一定要根据题目的条件与结 论来变, 简单地说就是“据果变形”, 创造出使用三角公式的条件, 以达到求值、
2 第 1 单元(电子教案)

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化简和证明的目的.常用的变换角的方法有:α =(α +β )-α ,α +2β =(α +β )+β ,等等. 2.这样用已知角(α +β )和角 α 表示未知的角 β ,是数学中的一种重要 的方法.然后找两个学生利用所学知识完成此题,教师及时点评,多媒体显示答 案.
学生练习一:

3 7 已知 sinα = ,cos(α +β )=- ,且 α ,β 均为锐角,求 cosβ 的值. 5 25 [应用题组二]: 例 6 在△ABC 中,已知 sinA=2sinBcosC,试判断△ABC 的形状. 教师分析:∵在△ABC 中,A+B+C=π ,∴A=π -(B+C).因此本题中的 已知条件 sinA=2sinBcosC 就转化为 sin[π -(B+C)]=2sinBcosC,然后再利 用和角公式求解. 解:∵在△ABC 中,A+B+C=π ,∴A=π -(B+C). ∵sinA=2sinBcosC, ∴sin[π -(B+C)]=2sinBcosC. 即 sin(B+C)=2sinBcosC. ∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. 整理,得 sinBcosC-cosBsinC=0. 即 sin(B-C)=0, ∴B=C. 即△ABC 是等腰三角形. 学生练习二: 在△ABC 中,已知 sinAsinB<cosAcosB,试判断△ABC 的形状. 目的:通过练习,进一步突破难点,深化概念的理解.
(四)归纳小结

1. 辅助角公式: 设 tanθ = , 则 asinω x+bcosω x= a2+b2sin(ω x+φ ); 2.和(差)角公式是三角函数中最基本的,也是最常用的公式.在学习过程 中,如果同学们能对公式做到四会:会正用公式;会逆用公式,会变形用公式; 会构造应用公式,则许多问题会迎刃而解. 3.灵活应用公式进行应用. 目的:让学生通过自己小结,反思学习过程,加深对公式的理解,促进知识 的内化.
(五)课后作业

b a

1.填空题: 1-tan15° (1) =________; 1+tan15° (2)tan25°+tan 35°+ 3 tan 25°tan 35°=________; 3π (3)若 α +β = ,则(1-tanα )(1-tanβ )=________. 4 2.计算: 4 12 (1)若 tan(α +β )= ,tanβ = ,求 tanα 的值. 3 5
3 第 1 单元(电子教案)

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(2)已知 tan (α +β )=3,tan (α -β )=5,求 tan 2α 和 tan 2β 的值. π 3π 12 3 (3) 已知 <β <α < , cos(α - β ) = , sin(α + β ) =- ,求 2 4 13 5 sin2α 的值. (4)在△ABC 中,已知 sinA=2sinCcosB,试判断△ABC 的形状.
【教学设计说明】

本节课所学习的“化一个三角函数的形式”和“构造角”, 是职高学生在学 习三角公式时的一个难点和重点.本教案通过探究式教学法和题组递进教学法, 将本节课的例题和练习题由易到难、由浅入深进行了编排,源于课本而又高于课 本. 通过“导入问题”引发学生的疑惑和学习兴趣,利用“基础题组”来解决这 一疑惑,并体现了“化归思想”和“一题多解”;由“导入题组”分化了难点, 归纳出一般规律; 运用“巩固题组”, 加深学生的理解; 经过两个“应用题组”, 使学生深入练习,突破难点,深化概念理解.整个教学过程,体现了在新课程理 念指导下的课堂教学,一步步深入,一点点渗透,潜移默化中使学生掌握了新知 识. 课后反思:

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