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18解斜三角形-学生版


教学内容概要
高中数学备课组 日期 主课题:解三角形 教学目标: 1、 掌握三角形面积公式; 2、 理解正、余弦定理。 3、 应用正、余弦定理解斜三角形。 4、 应用正、余弦定理解决实际问题。 教师: 上课时间 年级:高三 学生:

教学重点: 1、应用正、余弦定理解斜三角形。

教学难点: 1、应用正、余弦定理解斜三角形。

家庭作业 1、完成巩固练习 2、复习知识点

-1-

教学内容
【知识精讲】
1.解斜三角形的主要依据: (1)三角形内角和定理,并由此得出三角形中三角比的关系式: 求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:

A? B ?? ?C ;
sin( A ? B) ? sin C ,sin
c o sA (?B ? )? cC os

A? B C ? cos 2 2
A? B , cos ? 2 C sin 2

(2)正弦定理:

a ? b ? c ? 2R ? a ?b?c (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C sin A ? sin B ? sin C
注意:①正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ;
? ii ? sin A ?
a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;
②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理: 余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
2 2 2

2bc

(4)三角形面积公式:

S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) 2 2 2

2.解三角形常见的四种类型: (1)已知两角 A、B 和一边 a ,由 A+B +C = ? 及 求出边 b、c ;
-2-

a b c ? ? ? 2 R 可求出角 C ,再 sin A sin B sin C

(2)已知两边 b、c 与其夹角 A ,由 a ? b ? c ? 2bc cos A 求出边 a ,再由余弦定理求出角
2 2 2

B、C 等;
(3)已知三边 a、b、c ,由余弦定理求出角 A、B、C 等; (4)已知两边 a、 b 及其中一边的对角 A ,由正弦定理 由 C ? ? ? ( A ? B) 求出角 C ,再由

a b ? 求出另一边 b 的对角 B , sin A sin B

a c ? 求出边 c 。 sin A sin C

3.判断三角形的形状:一般把等式中的边化为角,或角化为边,然后通过恒等式变形作出判断,处 理与三角形有关的三角综合问题,通常运用正弦定理或余弦定理进行转化,最好化为只有边或只有角的问 题,并注意式子的结构形式与正弦定理、余弦定理的关系。

【例题精讲】
例 1、锐角 ?ABC 中, a ? 8, c ? 12,S? ? 24 3 ,求 ?ABC 中最小内角的正弦值与最大内角的余弦值。

例 2、在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,已知

2 2(sin2 A ? sin2 C ) ? ( a ? b )sin B , ?ABC 的外接圆半径为 2 。
(1)求角 C ; (2)求 ?ABC 的面积的最大值。

例 3、 (1)在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c ,设 a、b、c 满足条件

c 1 b 2 ? c 2 ? bc ? a 2和 ? ? 3 ,求 ? A 和 tan B 的值; b 2
-3-

(2)在 ?ABC 中,已知 tan B ? 3 ,cos C ?

1 , AC ? 3 6 ,求 ?ABC 的面积。 3

例 4、 在 ?ABC 中,?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , 且满足 cos 求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值。

A 2 5 (1) ? ,bc cos A ? 3 , 2 5

例 5、在 ?ABC 中, ?A、?B、?C 所对的边长分别为 a、b、c , B ? (1)求 sin C 的值; (2)求 ?ABC 的面积。

?
3

,cos A ?

4 ,b ? 3 , 5

例 6、 在?ABC中,a, b, c分别是三个内角A, B, C的对边,若a ? 2, C ?

?
4

, cos B ?

3 5

求?ABC的面积。

-4-

例 7、已知在 ?ABC 中, sin A(sin B ? cos B ) ? sinC ? 0,sin B ? cos 2C ? 0 ,求角 A、B、C 的大小。

例 8 、在 ?ABC 中,A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件(答:充要);

例 9、在△ ABC 中,若 2cos B sin A ? sin C ,则△ ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形





例 10、下列条件中,△ ABC 是锐角三角形的是 A. sin A ? cos A=

()

1 5

BC >0 B. AB ·
D. b ? 3, c ? 3 3, B ?

? ??? ? ???

C. tan A ? tan B ? tan C ? 0

?
6

例 11、△ ABC 中, a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B=30° ,△ ABC 的面积为

3 ,那么 b 等于 2

例 12、在锐角△ ABC 中,边长 a ? 1, b ? 2 ,则边长 c 的取值范围是_______.

-5-

例 13、在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,且
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b。

【巩固练习】
1、 ?ABC 中,A、B 的对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC
?

A、 有一个解

B、有两个解

C、无解

D、不能确定 ( )

2、在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cos C ? 0 ,则 ?ABC 必定是 A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形

D、等腰三角形

3、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在区间 [?3,?2] 上是减函数,若 A、B 是锐角三角形 的两个内角,则 ( ) B、 f (sin A) ? f (cos B)
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A、 f (sin A) ? f (cos B)

C、 f (sin A) ? f (sin B) 4、在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1 ③ sin 2 A ? cos2 B ? 1 其中正确的是( (A)①③ ) (B)②④

D、 f (cos A) ? f (cos B)

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

④ cos2 A ? cos2 B ? sin 2 C

(C)①④

(D)②③

5、在△ OAB 中,O 为坐标原点, A(1, cos ? ), B (sin ? ,1), ? ? (0, ( A. )

?
2

] ,则当△ OAB 的面积达最大值时,? ?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

6、在 ?ABC 中,若其面积 S ?

a 2 ? b2 ? c 2 ,则 ?C =_______。 4 3

7、在 ?ABC 中, A ? 60 , b ? 1 ,这个三角形的面积为 3 ,则 ?ABC 外接圆的直径是_________。
?

8、在 ?ABC 中,若 a( bcos B ? c cosC ) ? ( b2 ? c2 )cos A ,试判断 ?ABC 的形状。

9、在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,已知 tan A ? tan B ? 3 tan Atan B ? 3 , c ? 又 ?ABC 的面积 S=

7 , 2

3 3 ,求 a ? b 的值。 2

-7-

10、已知 a、b、c 是 ?ABC 的三条边,且

B?C sin( A ? B ) 2c ? b . ,求 cos ? 2 sin( A ? B ) 2c

11、已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,且 f ( A, B) ? sin 2 2 A ? cos2 2B ? 3 sin 2 A

? cos 2 B ? 2 ,当 f ( A, B) 取得最小值时,求 C。

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