当前位置:首页 >> 数学 >>

数学文卷·2014届辽宁省新民市第一高级中学高三上学期期末考试(2013.12)


第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合 题目要求的。 1.复数 Z 满足 Z ? A. 1 ? 2i

2?i , 则 Z 等于 i
B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i





2.已知集合 A ? {x ?

Z ? A. {x 0 ? x ? 2}

1 ? x ? 2}, B ? {x x 2 ? 3 x ? 0} ,则 A ? B ? ( 2
C. {1,2} D. {x 0 ? x ? 2} (



B. {0,1,2}

3.已知向量 a ? (x,1), b ? (1,3) ,满足 a ? b ? 0 ,则 a ?



【来.源:全,品?中&高*考*网】

A.

10 3

B.

10

C.3

D.-3

4.命题“ ?x ? 0 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? 0 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 C. ?x ? 0 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 B. ?x ? 0 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 D. ?x ? 0 , x 2 ? ax ? 1 ? 0 .





5.已知 ? ? ? , ?, sin 2? ? , 则 cos ? ? 25 ?4 2?

?? ? ?

24





A.

3 5

B.

4 5

C.

7 4

D.

3 4
( )

?21? x ? 1 6.设 f ( x) ? ? ?1gx
A. (0,10)

x ?1 x ?1

若 f ( x 0 ? 1) ? 1 ,则 x? 的取值范围是 C. (??, ?2) ? ( ?1, 0)

B. (?1, ??)

D. ?1,11?

?y ? x ? 2 2 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ,则 z ? x ? x ? y 的最小值为( ? x ? ?2 ?



第 1 页 共 9 页

A.

17 36

B.

2 9

C.

1 8

D. ?

1 8

8.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d) ,规定当且仅当 a ? c, b ? d 时(a,b)=(c,d);现定义 两种运算,运算“ ? ”为: (a,b) ? (c,d)=( ac ? bd , bc ? ad ) ;运算“ ? ”为:(a,b) ? (c,d)=( a ? c, b ? d ).设 p 、 q ? R .若(1,2) ? ( p, q ) =(5,0).则(1,2) ? ( p, q ) = ( ) C. (0,6) D. (0,-4) ( )

A. (4,0)B. (8,6)

9.函数 y ? 2 x ? 3 sin x 的图象大致是

10.已知四面体 P ? ABC , PA ? 平面 ABC ,,若 PA ? 2, AB ? BC ? AC ? 四面体的外接球的体积为 A. 3? B. 2?
2

6 ,则该
( )

C. 2 2?

D. 4 3?

11.F1 , F2 分别是双曲线

x

?

y2 右焦点,A 是其右支上一点, AF1 ? AF2 则 若 ? 1 的左、 24
( B. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4
2 2 2 2

?AF1 F2 的内切圆方程是
A. ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9
2 2 2 2



C. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 D. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9 12. 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数, 不等式 f ( x) ? x 的解集是 A.( ? 1 , 0 )∪( 1 , ? ? ) C. ? ? , ? 1 )∪( 1 , ? ? ) ( B. ? ? , ? 1 )∪( 0 , 1 ) ( D. ? 1 , 0 )∪( 0 , 1 ) ( 第Ⅱ卷 二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分)

f (1) ? 1 ,当 x ? 0 时,有 f ( x) ? xf ?( x) 恒成立,则
( )

第 2 页 共 9 页

13.已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离为

?
3

,那么此函数的周期是_______. 一 个 正 三 棱 柱 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该 棱 柱 的 全 面 积 为

14.

15. 对 于 任意 的 x ? R, 不 等 式 sin 2 x ? m sin x ? 是 .

m2 ? 3 ? 0 恒 成 立 ,则 m 的 取 值 范围 m

16. 设斜率为

? 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax 2 (a ? 0) 的焦点 F,且和 x 轴交于点 A ,若△
.

OAF ( O 为坐标原点)的面积为 1 ,则 a 为

三、解答题(本大题有 8 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 cos

x x x ,0), n ? (sin , cos 2 ) , f ( x) ? m ? (m ? n) . 2 2 2

(I) 求 f (x) 的单调区间; (II)在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 求函数 f ( A) 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 如图, 斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2, 侧面 AA1 BB1 ? 底面 ABC ,D 为 CC1 中 点, E 为 A1 B1 的中点, ?ABB1 ? 60? 。 (1)求证: C1 E ∥ 平面 A1 BD ; (2)求证: AB1 ? 平面 A 1 BD ; (3)求点三棱锥 A - A 1 BD 的体积。 ·

第 3 页 共 9 页

19.(本小题满分 12 分) 某产品原来的成本为 1000 元/件,售价为 1200 元/件,年销售量为 1 万件。由于市场饱和顾 客要求提高,公司计划投入资金进行产品升级。据市场调查,若投入 x 万元,每件产品的成 本将降低

3x 2 元,在售价不变的情况下,年销售量将减少 万件,按上述方式进行产品升级 4 x

和销售,扣除产品升级资金后的纯利润记为 f (x) (单位:万元)(纯利润=每件的利润× . 年销售量-投入的成本) ⑴求 f (x) 的函数解析式; ⑵求 f (x) 的最大值,以及 f (x) 取得最大值时 x 的值.

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 外切,与圆 C 2 : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 内切. (Ⅰ)求圆心 C 的轨迹 T 的方程; (Ⅱ)设 P (?2,0) , M 、 N 是轨迹 T 上不同两点,当 PM ? PN 时,证明直线 MN 恒过 定点,并求出该定点的坐标.

21.(本小题满分 12 分)

【来.源:全,品?中&高*考*网】

设 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? ax . (1) 若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 P ?1, ?2 ? 处的切线方程; (2) 若 f ( x) 无零点,求实数 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 有两个相异零点 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? e 2

第 4 页 共 9 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABT 及其外接圆,过点 T 作圆的切线交 AB 的延长线于 P , ?APT 的角平分线 分别交 TA, TB 于点 D, E ,若 PT ? 2, PB ? 1 .试求
T D E P A B

TE . AD

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中, 已知曲线 C1 : 3 x 2 ? 4 y 2 ? 1 , 以平面直角坐标系 xoy 的原点 O 为 极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l :

? (2 cos ? ? sin ? ) ? 6 。
(1) 将曲线 C1 上的所有点的横坐标,纵坐标分别伸长为原来的 3 、 2 倍后得到曲线 C2 , 试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)点 P 为曲线 C2 上一点,求点 P 到直线 l 的距离最大值。

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? 2 x ? 1 (1)解不等式 f ( x) ? 2 ; (2)若 ?x ? R ,不等式 f ( x) ?

1 2 m ? m 成立,求 m 的取值范围。 2

【来.源:全,品?中&高*考*网】

第 5 页 共 9 页

数学(文) 答案

18.(1) (2)略(3) V ? 3 19.解:⑴依题意,

1000 ?
产品升级后,每件的成本为

3x 3x 200 ? 4 元,利润为 4 元????2 分,

1?
年销售量为

2 x 万件???????????3 分,
3x 2 )(1 ? ) ? x 4 x ???????????????5 分,

纯利润为
? 198.5 ?

f ( x) ? (200 ?

400 x ? x 4 (万元)??????????????7 分

f ( x) ? 198.5 ?


400 x 400 x ? ? 198.5 ? 2 ? ? x 4 x 4 ??9 分,

? 178.5 ??????????????? ????10 分,
400 x ? 4 ??11 分,即 x ? 40 (万元)??12 分。 等号当且仅当 x
20.解:(Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC 2 ? 3 ? r ∴ CC1 + CC 2 =4 ……………………2 分

第 6 页 共 9 页

∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点,长轴长 2a = 4 的椭圆 ∴点 C 的轨迹 T 的方程是

【来.源:全,品?中&高*考*网】

x2 y2 ? ?1 4 3

……………………5 分

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x 2 , y 2 ) ,直线 MN:x = my + b

……………………6 分

?x ? my ? b ? 2 2 2 2 2 由 ?3x ? 4 y ? 12 ,得 (3m ? 4) y ? 6mby ? 3b ? 12 ? 0 ………………7 分 3b 2 ? 12 6mb 2 2 = 3m ? 4 , y1 y 2 = 3m ? 4
?

∴ y1 ? y 2

∵PM⊥PN, PM = ( x1 ? 2, y1 ), PN = ( x 2 ? 2, y 2 )
PN ∴ PM · = ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) + y1 y 2 = (my1 ? b ? 2)(my 2 ? b ? 2) ? y1 y 2 = 0……9 分

整理,得 (m ? 1) y1 y 2 ? m(b ? 2)( y1 ? y 2 ) ? (b ? 2) ? 0 ……………………10 分
2 2

3b 2 ? 12 6mb ? 2 2 2 3 ∴ (m ? 1) · m ? 4 + m (b + 2)· 3m ? 4 ) + (b + 2) 2 = 0 (

化简,得 7b 2 ? 16b ? 4 ? 0
? 2 7 或 b = -2(舍去) 2

……………………11 分

解得 b =

……………………12 分

? 2 故直线 MN: x ? my ? 过定点 ( 7 , 0 ) 7

1 1 ? ax ?a ? x . 21.解:在区间(0,+∞)上,f′(x)= x
(1)当 a=2 时,f′(1)=1-2=-1,则切线方程为 y-(-2)=-(x-1) , 即 x+y+1=0 (2)①若 a<0,则 f′(x)>0,f(x)是区间(0,+∞)上的增函数, ∵f(1)=-a>0,f( e a )=a-a e a =a(1- e a )<0, ∴f(1) e a )<0,函数 f(x)在区间(0,+∞)有唯一零点. ?f( ②若 a=0,f(x)=lnx 有唯一零点 x=1.

1 ③若 a>0,令 f′(x)=0 得:x= a .

第 7 页 共 9 页

1 在区间(0, a )上,f′(x)>0,函数 f(x)是增函数; 1 在区间( a ,+∞)上,f′(x)<0,函数 f(x)是减函数; 1 故在区间(0,+∞)上,f(x)的极大值为 f( a )=?lna?1. 1 由于 f(x)无零点,须使 f( a )=?lna?1 ? 0. 1 . 解得:a> e 1 ,?? 故所求实数 a 的取值范围是( e )
(3)设 x1 > x 2 >0,∵f( x1 )=0,f( x 2 )=0,∴ln x1 -a x1 =0,ln x 2 -a x 2 =0, ∴ln x1 -ln x 2 =a( x1 - x 2 ) x1 +ln x 2 =a( x1 + x 2 ) ,ln

ln x1 ? ln x 2 2 ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 原不等式 x1 ? x 2 > e 2 等价于 ln x1 +ln x 2 >2?a( x1 + x 2 )>2?

x1 2( x1 ? x 2 ) x x ? x2 ?ln 2 > 1 x1 x1 2( x1 ? x 2 ) 2(t ? 1) x 2 =t,则 t>1,于是 ln x 2 > x1 ? x 2 ?lnt> t ? 1 . 令
2(t ? 1) 设函数 g(t)=lnt? t ? 1 ,(t>1),

1 4 (t ? 1) 2 ? ? t (t ? 1) 2 t (t ? 1) 2 >0, 求导得:g′(t)=
故函数 g(t)是(1,+∞)上的增函数,∴g(t)>g(1)=0

2(t ? 1) 即不等式 lnt> t ? 1
成立,故所证不等式 x1 ? x 2 > e 2 成立.

第 8 页 共 9 页

TE PT 1 ? ? PA 2 22.由 PT ? PA ? PB ,得 PA ? 4 ,由 ?PTE ~ ?PAD 可知 AD
2

23.解: (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为:2x-y-6=0。 设 M ( x, y ) 为曲线 C2 上任一点, N ( x' , y ' ) 为曲线 C1 上对应的点,

? ? x' ? ? ? ? x ? 3 x' ?y ? ? ? y ? 2 y' 依题意 ? ,所以 ?

x 3 y 2 ,
2 2

? x ? ? y? 3? ? ? 4? ? ? 1 ? ? ?2? 因为 N ( x' , y ' ) 在曲线 C1 上,所以 ? 3 ? 。

? x ? cos ? ? y ? sin ? ( ? 为参数) ∴曲线 C2 的参数方程为: ? 。
(2)圆 C 2 的圆心为(0,0)圆心到直线的距离为

d?

6 5 5

6 5 ?1 C2 上点 P 到直线 l 的距离最大值为 5 因此曲线 。

1? ?1 ? ? ? ? ?, ? ? ? ,?? ? 3? ? 2 ? 24.(1) ?

? ?3 x ? 3, x ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ? x ? 1, ? x ? 2 2 ? 1 ? 3 ?3 ? 3 x, x ? 2 ? (2) 可知 f (x) 的最小值为 2
3 1 2 ? m ?m 故2 2 ,解得: m ? 1 或 m ? ?3 .

【来.源:全,品?中&高*考*网】

第 9 页 共 9 页


相关文章:
数学理卷·2014届辽宁省新民市第一高级中学高三上学期期末考试(2013.12)
数学卷·2014届辽宁省新民市第一高级中学高三上学期期末考试(2013.12) 隐藏>> 考试时间:120 分钟 考试分数:150 分 试卷说明: 试卷共三部分: 第一部分: 选择...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学文试题及答案
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学文试题及答案_高中教育_...第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的四个...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题及答案
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题及答案_高中教育_教育专区。辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试题及答案考试...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试数学(文)试题
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。第Ⅰ卷一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,在每小题给出的...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试数学理试题 2
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试数学...( 2 3 4 2013 C.2 D.3 B.1 第Ⅱ卷(主观...的分布列及数学期望. 20.(本题满分 12 分) 已知...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题
数学文卷·2014届辽宁省新... 9页 5财富值 辽宁...辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 ...的 4 4 2 3 ) 1 2 3 4 C. 1 D. 12....
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试试题
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试试题_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。辽宁省新民市第一高级中学 2014 届高三上学期期末考试政治试题第Ⅰ...
辽宁省新民市第一高级中学2013-2014学年度高三上学期期末考试语文试题
辽宁省新民市第一高级中学2013-2014学年度高三上学期期末考试语文试题 隐藏>> 新民市第一高级中学 2014 届高三上学期期末考试 语文试题第Ⅰ卷 阅读题一、 甲 必...
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题 Worr版含答案
辽宁省新民市第一高级中学2014届高三上学期期末考试 数学理试题 Worr版含答案_理化生_高中教育_教育专区。一模试题答案,二模试题答案,期中期末,月考,学业水平测试,...
更多相关标签:
高三上学期期末考试 | 辽宁省新民市 | 辽宁省沈阳市新民市 | 辽宁省新民市地图 | 辽宁省新民市黑社会 | 辽宁省新民市郎丽 | 辽宁省新民市农村试点 | 辽宁省新民市邮编 |