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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1变化率问题学案 新人教A版选修1-1


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.1.1 变化率问题学案 新人教 A 版选修 1-1 【学习目标】 1.理解平均变化率的 概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函 数在某点处附近的平均变化率. 【重点难点】 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率. 【学习内容】 一、学习背景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现 象,在数学中引入了函数,随着对函数的研 究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求 物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、 最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课学习 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球内空气 容量的增加,气球 的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 分析: (1)当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 气球的平 均膨胀率为 可以看出: 思考: 当空气容量从 V1 增加到 V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 问题 2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度 h (单位: m )与起跳后的时间 t (单位: s ) 存在函数关系 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 .如何用运动员在某些时间段内的平均速 v 度 粗略 2 地描述其运动状态? 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v 1 h 探究 : 计算运动员在 0 ? t ? 65 这段时间里的平均速度,并思考 49 以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止 的吗? (2)你认为用平均速度描述运动 员的运动状态有什么问题 吗? ( 二)平均变化率概念 o t 1.上述问题中的变化率可用式子 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 表示, 称为函数 x2 ? x1 f ( x) 从 x1 到 x2 的平均变化率. 2. 若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ( 这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1 ? ?x 代替 x2 ,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? 则平均变化率为 ? ?x ?x x2 ? x1 ?x 思考: 观察函数 f ( x) 的图象 平均变化率 ?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示什么? ?x x2 ? x1 三、典例分析 例 1 已知函数 f ( x) ? ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及 2 临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) 则 解: ?y ? ?x . 2 例 2 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率. 解: 四、课堂练习 1.质点运动规律为 s ? t ? 3 ,则 在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为 2 . 2.物体按照 s(t ) ? 3t ? t ? 4 的规律作直线运动

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