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两角和与差的正弦、余弦函数教学设计


《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计
授课教师 何 泽

课题:两角和与差的正弦、余弦函数 教材: 《普通高中课程标准试验教科书高中数学必修 4》 (北京师范大学出版社) 课时:1 课时 教学方法:自主性学习 教材分析: 随着时代的进步和数学的发展,高中数学的基础知识也在不断发生变化.三角函 数的恒等变形以及运用公式这种变形的技能在高中数学“双基”中的地位和作用已经 发生了变化.三角函数恒等变形对培养学生的逻辑思维能力固然起很大作用 ,但学生 为了记忆大量公式而往往忽视对公式的来源、 公式的内涵与外延以及公式之间的内在 联系的理解,因此并不能很好地实现教学目标.再者,三角函数恒等变形也并不是培养 学生运算能力和逻辑推理能力的唯一载体.因此,教科书改变了传统的模式,以用向量 的数量积推导两角差的余弦公式.这样做既体现了向量在处理三角函数问题中的工具 作用,又通过向量数量积的几何意义为两角差的余弦公式提供了几何背景 ,而且公式 的证明也便得更加简捷,从而有利于学生的理解和掌握 .在理解了两角差的余弦公式 的基础上,推导两角两角和的余弦,利用诱导公式推导两角和与差的正弦就水到渠成 了.事实上,通过这样一个具体的推导,也能体现一种新的理念:向量是近代数学中重 要和基本的数学概念之一,它应该属于当前高中数学的“双基”. 学情分析: 通过对必修 4 第 1 章和第 2 章的学习,掌握了三角函数和向量的基础知识,为学生 实施自主性学习提供了知识保障,加之我所教班级学生数学基础较好,对数学课有浓 厚的兴趣,具备自主探索的能力,为学生自主学习提供展示自我的平台. 教学目标: 1.知识与技能: (1) 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程; (2) 了解两角和与差的正弦、余弦公式; (3) 初步学会用两角和与差的正弦、余弦公式解决简单的三角函数式求值问题. 2.过程与方法目标: 通过研究方案的制定和对公式的探索,培养学生掌握科学的研究方法、提高分析 和解决问题的能力及探究能力,学会理性思维. 3.态度、情感、价值观目标: 让学生通过自主学习获取直接经验,培养其科学探索精神、团结协作意识和数学 学习兴趣. 教学重点、难点: 重点:两角和与差的余弦、正弦公式 难点:两角差的余弦公式的推导 教学模式与学习方法: (一)建构主义学习理论认为,学生的认知结构是通过同化和顺应不断发展自主建 构的,学生对知识不是被动的接受,而是学生自主地将学习内容通过认同、 重组、 发展、 建构而纳入自身的认知结构的 ,使其成为整个认知结构的有机组成部分 ,因此本节课 我采用“自主性教学” ,充分了解学生的最近发展情况,精心创设问题情景,从发现问
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题到引发问题的讨论、交流、探索,从而达到解决问题的目的,最后引导学生归纳验 证、 练习巩固、 总结反思,整个教学过程充分发挥学生的民主,以独立思考和多向交流、 答辩等相结合,教师在其中是参与者、组织者、协作者,不断地监控学生的认知与思 维过程,用幽默性和鼓励性的语言与学生进行交流、探讨,帮助学生发现问题、排除障 碍,从而解决问题. (二)学生在轻松、和谐、民主的课堂氛围中,积极主动地与同学、老师进行大胆 对话,在成功中享受喜悦、增强信心,同时对自己的认知过程不断地自我觉察、自我 评价、自我调节,提高认知能力。 教学准备: 多媒体教室以及多媒体课件。 教学程序 教 师 活 学 生 活 动 设 计 意 动 图 一、提出学习课题: 一、 明确自主学习活动要解决 由教师提出学习的课题: 前 的问题 面我们学习了单角的三角函数, 生:思考 2 个问题并回答 明确所要研究 在研究三角函数使还常常遇到 师:对学生的回答做评价 的问题,尽量 这样的问题:“已知任意角 α、β 提问: cos 75 能否直接求值, 具体化,激发 的三角函数值,求 α+β、α-β 的 cos75 ? cos(45 ? 30 ) 是否等 学生研究的兴 三角函数值” ,今天我们就来研 于 cos 45 + cos 30 ,那么它和 趣 . 通 过 问 题 45 、30 的正弦、余弦有没有直 引导学生的思 究这个问题.(板书课题) 引导学生把刚才的问题具 接的联系呢? 考方向,为本 体化,即已知任意角 α、β 的三 节课的解决做 角函数值,来推导以下二组公 铺垫. 式: (大屏幕显示 二、确定研究方案: 二、和教师合作,根据教师指 提 出 研 究 方 启发学生分析公式之间的联 导设计自己的研究方案 案,培养学生 系并由此提出研究方案: 师:提出问题,让学生带着问 的观察和思维 1. 启发学生思考是否可以先 题去合作,讨论,探究。 能力,发现公 推导其中一组公式, 从而很快推 问题(1):两角差 ? ? ? 的余弦 式 的 内 在 联 的意义? 出其余两组公式。 系,领会通过 cos( ? ? ? ) cos ? (2) = 对 cos ? 2.进一步启发学生先推导 α+β 抓住主要矛盾 ? , ? ? R 于 是否都成立,有没 (α-β)的余弦公式 去解决问题的 有成立的情况? 方法,构建公 (3) ? , ? 为 任 意 角 时 , 式的网络结构. cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 通过学生的自 是否还成立? 主探究来找到 (4)公式结构上的特点是什 解决问题的办 么? 法,培养学生 (5)你还有没有其他的办法 的思考和表达 来 找 到 cos(? ? ? ) 与 ? , ? 各 的能力,体现 自的三角函数关系? “由特殊到一 般”的思维方 式
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三、指导学生自主研究性学习: 1、将全班划分为 10 个小组, 安排学生在各小组内进行自主 性研究. 2、教师巡视并参与到小组活 动中,了解学生的进展情况,对 有的组在探索过程中遇到的困 难根据实际情况进行引导: (1)思路参考:回忆一下诱导 公式是如何得出的?利用三角 函数的坐标定义,例如要找 sin(π-α)与 sinα 的关系先找 π-α、 α 终边与单位圆的交点,再看两 点坐标的关系 (2)思路参考:任何向量与自 身的数量积为向量长度的平方; 两个单位向量的数量积就等于 它们之间夹角的余弦函数值. (3)在巡视过程中发现学生的 闪光点要及时加以鼓励 ,对新思 路中的困难提供支持.

四、师生共议,做出评价 1、要求各小组派代表简述解决 方案以及解决的思维过程并展 示研究结果 (重点是第一个公式 的推导). 2、与学生对各小组的研究过程 和结果作出评价.

三、进行自主研究性学习: 1、各组展开讨论,提出方法 并自主探索公式, 重点是推导 第一组公式中的 cos( α+β) 或者 cos(α-β) ,有时间的组 可以推出 sin ( α+β )和 sin (α-β) ,特别注意分析: (1)选择探索的出发点: , 能 否 用 适 当 的 办 法 将 α+β (α-β) 、α、β 放在单位圆中 找出 α+β(α-β)与 α、β 三角 函数的关系呢? (2)寻求探索的突破口:如 何在单位圆中寻找 cos(α+β) 与角 α、β 的三角函数间的等 量关系。 (3) 对自本组遇到的困惑举 手向教师提出看法,寻求支 持. 2、对本组研究性学习过程 和得到的研究方法和研究成 果归纳、概括,形成材料,准 备后面的师生共议.。 四、师生共议,改善过程与思 路,获得新知 1、各组代表陈述解决方案以 及解决的思维过程并展示 研究结果 2、师生共议形成正确全面理 解和得出结论,获取新知.

以学生的探索 活动为主线, 突出学生的主 体地位,使学 生通过 自主推导公式 提高思维水平 及分析问题、 解决问题的能 力,通过实践 获取直接经 验,培养其探 索精神和团结 合作意识,在 研究过程中加 强学生思维的 交流.

对各小组的研 究进行反馈, 展现学生的思 维过程,通过 学生交流及师 生交流深化学 生的思维,形 成研究成果, 修正研究中存 在的问题,提 高概括和表达 能力.

五、听教师讲授例题,自主 设计变式练习题,独立解决。 3 ? 3? ? 例1、已知cos? = ,? ? ? ,2? ?, 备用练习题:1 教材 P118-1, 5 ? 2 ? ? 2,5 巩固知识点, 求cos(? ? ) 3 提高应用能 2、不查表,求值 cos75。 ,sin15。 例 2:已知 力,提供规范 3、 (1) cos59 cos 29 ? sin 59 sin 29 化解题过程.

五、例题分析和板演

(2) cos 72 sin 48 ? cos18 cos 48
3

4 ? 5 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 5 2 13 3? ? ? (? , ), 2

求 cos(α+β),cos(α-β)的值.
3 例3、已知cos? ? cos ? = , 5 4 sin? ? sin ? ? , 5 求cos(? ? ? )的值.

六、课堂学习小结: 1、知识小结: 引导学生归纳正弦余弦的和角、 差角公式之间的内在联系, 形成 知识结构图; 第一个公式推导中过程中出现 的解决方案. 2、方法小结: (1) 归纳在推导公式过程中 的用到的数学思想方法: 数形结 合、方程的思想、坐标法、换元 等,找出不同方案之间的共性。 (2) 归纳解决问题中用到的 一般方法:寻找事物之间的联 系,抓住问题的主要矛盾. 七、布置作业(略) 1.教材 P118-3,4 2.根据本节课学习,设计 1 到 2 道题目作为补充作业. 板书设计:

六、体会小结,自我评价: 由学生谈体会: “己推导的公式,觉得是否清 楚?” “自主性学习,是否激发了自 己的兴趣,更容易掌握知 识?” “和同学一起讨论问题, 是否 有独立思考外的收获?”

师生合作小 结:能够进一 步归纳过程与 方法,让学生 对自主学习过 程有深刻的感 受和多方面的 收获.

七、完成作业(略)

巩固知识,提 高应用能力

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教学流程图
开 始





提出学习课题

确定研究方案

学生自主研究性学习 教师巡视参与和指导

师生共议,形成结论

例题分析和板演

反馈练习

课堂小结

作 业

结 束

符号说明: 教学开始和结束 教师的逻辑判断活动

指向线 师生的活动 教学反思

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