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2013高考理数知识点总结


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集合
? ? ? 集合与元素 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 集合 ? ? ? ?集 合 与 集 合 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) 元 素 与 集 合 的 关 系 : 属 于 ( ? ) 和 不 属 于 ( ? ) ? ? ( 2) 集 合 中 元 素 的 特 性 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性 ? ? ( 3) 集 合 的 分 类 : 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 : 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集 ? ? ( 4) 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 ( 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ) 、 图 示 法 、 区 间 法 ? ? ? ? ? ? ?关 系 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?运 算 ? ? ? ? ? ? ? ? 子 集 : 若 x ? A ? x ? B, 则 A ? B, 即 A 是 B的 子 集 。 ? n n ?1、 若 集 合 A中 有 n 个 元 素 , 则 集 合 A的 子 集 有 2 个 , 真 子 集 有 ( 2 - 1) 个 。 ? ? ? ? 2、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 , 即 A ? A ? 注? ? ? ? 3、 对 于 集 合 A , B , C , 如 果 A ? B , 且 B ? C , 那 么 A ? C . ? ? 4、 空 集 是 任 何 集 合 的 ( 真 ) 子 集 。 ? ? ? 真 子 集 : 若 A ? B 且 A ? B 即 至 少 存 在 x ? B 但 x ? A) , 则 A 是 B 的 真 子 集 。 ( 0 0 ? ?集 合 相 等 : A ? B且 A ? B ? A ? B ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A且 x ? B ? ? ?交 集 ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A, A ? B ? A , A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A或 x ? B ? ? ? 并集 ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? B ? B ? A, A ? B ? A, A ? B ? B , A ? B ? A ? B ? B ? ? ? ? C ard ( A ? B ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) - C ard ( A ? B ) ? ? 定 义 : C U A ? ? x / x ? U 且 x ? A? ? A ? ? ? 补 集 ? 性 质 :C A ) ? A ? ? ,C A ) ? A ? U , C ( C A ) ? A, C ( A ? B ) ? ( C A ) ? ( C B ), ( U ( U U U U U U ? ? C U ( A ? B ) ? (C U A ) ? (C U B ) ? ? ?

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函数

函数

? 映 射 定 义 : 设 A, B 是 两 个 非 空 的 集 合 , 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 , 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 元 素 x, 在 集 合 B中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y 与 之 对 应 , 那 么 就 称 对 应 f :? B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 映 射 ? 传 统 定 义 : 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 x , y , 并 且 对 于 x在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 , ? ? 按 照 某 个 对 应 关 系 f , y 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 y 就 是 x 的 函 数 。 记 作 y ? f ( x ). ?定 义 ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? ? 定义域 ?函 数 及 其 表 示 ?函 数 的 三 要 素 ? 值 域 ? ? ? ?对应法则 ? ? ?解析法 ? ? ?函 数 的 表 示 方 法 ? 列 表 法 ? ? ?图 象 法 ? ? ? 传 统 定 义 : 在 区 间 ? a , b ?上 , 若 a ? x1 ? x 2 ? b ,如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 增 , a , b ?是 ? ? ? ? 递 增 区 间 ; 如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ?上 递 减 , a , b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ?单 调 性 ? 导 数 定 义 : 在 区 间 ? a , b ? 上 , 若 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 增 , a , b ?是 递 增 区 间 ; 如 f ( x ) ? 0 ? ? ? 则 f ( x ) 在 ? a , b ? 上 递 减 , a , b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最 大 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 M 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x ? I , 都 有 f ( x ) ? M ; ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? M 。 则 称 M 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 大 值 ?函 数 的 基 本 性 质 ?最 值 ? ? ? ? 最 小 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 N 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x ? I , 都 有 f ( x ) ? N ; ? ? ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? N 。 则 称 N 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 小 值 ? ? ? ? ( 1 ) f ( ? x ) ? ? f ( x ), x? 定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。 ? ? ? 奇 偶 性 ? ( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x? 定 义 域 D , 则 f ( x ) 叫 做 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ? 周 期 性 : 在 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 上 恒 有 f ( x ? T ) ? f ( x )( T ? 0 的 常 数 ) 则 f ( x ) 叫 做 周 期 函 数 , T 为 周 期 ; ? ? T的 最 小 正 值 叫 做 f ( x )的 最 小 正 周 期 , 简 称 周 期 ? ? ? ( 1) 描 点 连 线 法 : 列 表 、 描 点 、 连 线 ? ? ? ?向 左 平 移 ? 个 单 位 : y1 ? y , x1 ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向 右 平 移 a 个 单 位 : y ? y , x ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) 1 1 ? ?平 移 变 换 ? 向 上 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ?向 下 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? 横 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 横 坐 标 x1缩 短 ( 当 w ? 1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0 ? w ? 1 时 ) ? ? ? ? 到 原 来 的 1 / w 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 即 x1 ? w x ? y ? f ( w x ) ? ?伸 缩 变 换 ? 纵 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 纵 坐 标 y1伸 长 ( A ? 1 ) 或 缩 短 ( 0 ? A ? 1 ) 到 原 来 的 A 倍 ? ? ? ?函 数 图 象 的 画 法 ? ( 横 坐 标 不 变 ) , 即 y1 ? y / A ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ( 2) 变 换 法 ? ? ? ? ? x ? x11? 2 x 00 x11 ? 2 x 00 ? x ? 关 于 点 ( x 0 , y 0 ) 对 称 :y ? y ? 2 y ? ? y ? 2 y ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ? ? ? ? ? 关 于 直 线 x ? x0 对 称 : ? ? ? ? xy ?? xy11? 2 x 0 ? ? xy11 ? 2y x 0 ? x ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ?对 称 变 换 ? ? ? x ? x1 x ?x ? ? ?关 于 直 线 y ? y0 对 称 : ?? 1 ? ? y1 ? y ? 2 y 0 y1 ? 2 y 0 ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? (x) ? x ? x11 ? ? 关 于 直 线 y ? x 对 称 :y ? y ? y ? f ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于零;4、指数函数和对数 函数的底数大于零且不等于 1;5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k ? ?
?
2 ( k ? Z ) ;余切函数 y ? co t x 中;

6、如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取值范围。
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二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x ), g ( x ) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x ) ? g ( x ) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x ) 为减(增)函数 3、 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同, y ? f [ g ( x )] 是增函数; f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性不同, y ? f [ g ( x )] 若 则 若 则 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0 ) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x ) 既是奇函数又是偶函数,则
f ( x ) ? 0 (反之不成立)

2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、 两个函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 复合而成的函数, 只要其中有一个是偶函数, 那么该复合函数就是偶函数; 当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5、 若函数 f ( x ) 的定义域关于原点对称, f ( x ) 可以表示为 f ( x ) ? 则 该式的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。
1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] ,

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? ? ? 零 点 : 对 于 函 数 y ? f( x), 我 们 把 使 f ( x ) ? 0 的 实 数 x 叫 做 函 数 y ? f ( x ) 的 零 点 。 ? ? ?定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f ( a ) ? f (b ) ? 0 , ? ?零点与根的关 系 ? 那 么 , 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]内 有 零 点 。 即 存 在 c ? ( a , b ), 使 得 f ( c ) ? 0 , 这 个 c 也 是 方 ? 程 f ( x ) ? 0的 根 。 ( 反 之 不 成 立 ) ? ? ? ? ? 关 系 : 方 程 f ( x ) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x ) 有 零 点 ? 函 数 y ? f ( x )的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? ? ? ( 1 ) 确 定 区 间 [ a , b ], 验 证 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , 给 定 精 确 度 ? ; 函数与方程 ? ? ? ( 2 ) 求 区 间 ( a , b )的 中 点 c ; ? ? 函数的应用 ? ? ( 3 ) 计 算 f ( c ); ?二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 ? ① 若 f ( c ) ? 0 , 则 c就 是 函 数 的 零 点 ; ? ? ? c ? ? ② 若 f ( a ) ? f ( c ) ? 0 , 则 令 b ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( a , b )) ; ? ? c ? ③ 若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0 , 则 令 a ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( c , b )) ; ? ? ? ( 4 ) 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ? : 即 若 a - b ? ? , 则 得 到 零 点 的 近 似 值 a ( 或 b ); 否 则 重 复 2 ? 4 。 ? ? ? ?几类不同的增长 函数模型 ?函 数 模 型 及 其 应 用 ? 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题 ? ?建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ?
? ? ?根 式 ? ? ? ? ? ?分 数 ? ? ? ? ?指 数 的 运 算 ? ? ? ? 指 数 函 数 ? 性 质 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?定 义 : ?指 数 函 数 ? ? ? ? ?性 质 : ? ? ? ?对 数 ? ? ? ? ? ? ? 基 本 初 等 函 数 ? ? ? ? ? ? ? 对 数 的 运 算 ? ? ? ? ?性 质 ?对 数 函 数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?对 数 函 数 ?定 义 : ? ? ? ? ?性 质 : ? ? ? ? ?定 义 : 一 般 地 , 函 ?幂 函 数 ? ? ?性 质 : 见 表 2 ?
n : a , n为 根 指 数 , a 为 被 开 方 数 ? n ? 指 数 幂

? ? ?

a

m

m ? a n

? a r a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q ) ? r s rs ? a (a ? 0, r , s ? Q ) ?(a ) ? r r s (ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ?
一 般 地 把 函 数 y ? a 见 表1 : x ? lo g a N , a 为 底 数 , N 为 真 数 x ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 指 数 函 数 。

? lo g a ? ? lo g a ? ? lo g a ? ? ?换 底 ?

( M ? N ) ? lo g a M M N M ? lo g a M n

? lo g a N ;

? lo g a N ; ? 0, N ? 0)

.

? n lo g a M ; ( a ? 0 , a ? 1, M
a

公 式 : g lo

b ?

lo g lo g

c c

b a

( a , c ? 0 且 a , c ? 1, b ? 0 )

一 般 地 把 函 数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 对 数 函 数 见 表1

数 y ? x

?

叫 做 幂 函 数 , x是 自 变 量 , ? 是 常 数 。

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表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y ? a

x

?a

? 0, a ? 1?

对数数函数 y ? lo g a x

?a

? 0, a ? 1?

x? R

x ? ? 0, ?? ?

y ? ? 0, ?? ?

y?R

图 象

过定点 (0 ,1 ) 减函数
x ? ( ? ? , 0 )时 , y ? (1, ? ? ) x ? (0 , ? ? )时 , y ? (0 ,1)

过定点 (1, 0 ) 增函数 减函数
x ? (0 ,1)时 , y ? (0 , ? ? ) x ? (1, ? ? )时 , y ? ( ? ? , 0 )

增函数
x ? (0 ,1)时 , y ? ( ? ? , 0 ) x ? (1, ? ? )时 , y ? (0 , ? ? )

x ? ( ? ? , 0 )时 , y ? (0 ,1) x ? (0 , ? ? )时 , y ? (1, ? ? )

性 质

a ?b

a ?b

a ?b a ?b

表2
? ?
p q

幂函数 y ? x (? ? R )

?

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为 奇 数 q为 奇 数

奇函数

p为 奇 数 q为 偶 数

p为 偶 数 q为 奇 数

偶函数

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第一象限 性质

减函数

增函数

( 1) 过定点 0,

高中数学必修 2 知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的 倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。 当 ? ? ?0 , 90
?

斜率反映直线与轴的倾斜程度。
?

? 时, k

? 0;

当 ? ? ?90 ,180
?

?

? 时, k

? 0;

当 ? ? 90 时, k 不存在。
?

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 )

注意下面四点:(1)当 x 1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y 1 ? k ( x ? x 1 ) 直线斜率 k,且过点 ? x1 , y 1 ? 注意:当直线的斜率为 0°时,k=0,直线的方程是 y=y1。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x 2 ? x1

( x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 )直线两点 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ?

x a

?

y b

?1

其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a , 0 ) ,与 y 轴交于点 (0, b ) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。 ⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0) 1 2 注意:○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b (b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a (a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A 0 x ? B 0 y ? C 0 ? 0 ( A 0 , B 0 是不全为 0 的常数)的直线系: A 0 x ? B 0 y ? C ? 0 (C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: y ? y 0 ? k ? x ? x 0 ? ,直线过定点 ? x 0 , y 0 ? ; (ⅱ)过两条直线 l1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点的直线系方程为

? A1 x ?

,其中直线 l 2 不在直线系中。 B1 y ? C 1 ? ? ? ? A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? ? 0 ( ? 为参数)

(6)两直线平行与垂直 当 l 1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 时,
l 1 // l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ; l 1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点

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l 1 : A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

l 2 : A 2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 相交
A1 x ? B 1 y ? C 1 ? 0

交点坐标即方程组 ? ?

的一组解。 方程组有无数解 ? l 1 与 l 2 重合

? A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0

方程组无解 ? l 1 // l 2 ; 则 | A B |?
( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 )
2 2

( (8)两点间距离公式:设 A ( x1 , y 1 ), B x 2 , y 2)是平面直角坐标系中的两个点,

(9)点到直线距离公式:一点 P ? x 0 , y 0 ? 到直线 l 1 : Ax ? By ? C ? 0 的距离 d (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

?

Ax

0

? By A
2

0

?C
2

? B

二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r ,圆心 ? a , b ? ,半径为 r;
2 2 2

(2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

当D

2

? E

2

? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ?
?
2 2

D 2

,?

E ? ? 2 ?

,半径为 r

?

1 2

D

2

? E

2

? 4F

当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位臵。 3、直线与圆的位臵关系: 直线与圆的位臵关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:
2 2

(1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x

? a? ? ?y ? b?
2

2

? r

2

,圆心 C ? a , b ? 到 l 的距离为 d

?

Aa ? Bb ? C A
2

,则有

? B

2

d ? r ? l 与 C 相离 ; d ? r ? l 与 C 相切 ; d ? r ? l 与 C 相交

(2)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 2 ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后, 令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l 与 C 相离 ; ? ? 0 ? l 与 C 相切 ; ? ? 0 ? l 与 C 相交 2 注:如果圆心的位臵在原点,可使用公式 xx 0 ? yy 0 ? r 去解直线与圆相切的问题,其中 ? x 0 , y 0 ? 表示切点坐标, r 表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程: 2 ①圆 x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为 xx 0 ? yy 0 ? r (课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广). 4、圆与圆的位臵关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C 1 : ? x ? a 1 ? 2 ? ? y ? b1 ? 2 ? r 2 , C 2 : ? x ? a 2 ? 2 ? ? y ? b 2 ? 2 ? R 2 两圆的位臵关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。
2 2

三、立体几何初步
1、柱、锥、台、球的结构特征

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(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些 面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱 ABCDE ? A B C D E 或用对角线的端点字母,如五棱柱 AD 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截 面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
' ' ' ' '

'

表示:用各顶点字母,如五棱锥 P ? A B C D E 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平 方。 (3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
' ' ' ' '

表示:用各顶点字母,如五棱台 P ? A B C D E 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影) ;侧视图(从左向右) 、 俯视图(从上向下) 注:正视图反映了物体上下、左右的位臵关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位臵关系,即反映了物体的长度和宽度; 侧视图反映了物体上下、前后的位臵关系,即反映了物体的高度和宽度。
' ' ' ' '

3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点:①原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变; ②原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行,长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高, h 为斜高,l 为母线)
'

S 直棱柱侧面积
S 正棱台侧面积 ? 1 2

? ch
( c1 ? c 2 ) h '

S 圆柱侧

? 2 ? rh

S 正棱锥侧面积

?

1 2

ch '

S 圆锥侧面积

? ? rl

S 圆 台 侧 面 积 ? ( r ? R )? l

S 圆柱表 ? 2 ? r ? r ? l ?
V柱 ? S h

S 圆 锥 表 ? ? r ?r ? l ?
2

S 圆台表 ? ? r
1 3

?

2

? rl ? Rl ? R

2

?

(3)柱体、锥体、台体的体积公式
V圆 柱 ? S h ? ? r h
V锥 ? 1 3 S h
V 圆锥 ?

?r h
2

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V台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h
'

V圆 台 ?

1 3

(S ?
'

S S ? S )h ?
'

1 3

? ( r ? rR ? R ) h
2 2

(4)球体的表面积和体积公式:V 球 4、空间点、直线、平面的位臵关系 (1)平面

=4?R ; S
3

球面

= 4? R

2

3

① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的; ② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内) ; 也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面 BC。 ③ 点与平面的关系:点 A 在平面 ? 内,记作 A ? ? ;点 A 不在平面 ? 内,记作 A ? ? 点与直线的关系:点 A 的直线 l 上,记作:A∈l; 点 A 在直线 l 外,记作 A ? l; 直线与平面的关系:直线 l 在平面α内,记作 l ? α;直线 l 不在平面α内,记作 l ? α。 (2)公理 1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 (即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1: A ? l , B ? l , A ? ? , B ? ? ? l ? ? (3)公理 2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理 2 及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号:平面α和β相交,交线是 a,记作α∩β=a。 符号语言: P ? A ? B ? A ? B ? l , P ? l 公理 3 的作用: ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。 (5)公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 (6)空间直线与直线之间的位臵关系 ① 异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质:既不平行,又不相交。 ③ 异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角:直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a’∥a,b’∥b,则把直线 a’和 b’所 成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线 所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。 说明: (1)判定空间直线是异面直线方法:①根据异面直线的定义;②异面直线的判定定理 (2)在异面直线所成角定义中,空间一点 O 是任取的,而和点 O 的位臵无关。 ②求异面直线所成角步骤: A、 利用定义构造角, 可固定一条, 平移另一条, 或两条同时平移到某个特殊的位臵, 顶点选在特殊的位臵上。 B、 证明作出的角即为所求角 C、利用三角形来求角 (7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。 (8)空间直线与平面之间的位臵关系 直线在平面内——有无数个公共点.

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三种位臵关系的符号表示:a ? α a∩α=A a∥α (9)平面与平面之间的位臵关系:平行——没有公共点;α∥β 相交——有一条公共直线。α∩β=b 5、空间中的平行问题 (1)直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。 线线平行 ? 线面平行 线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行。线面平行 ? 线线平行 (2)平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 (1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 (线面平行→面面平行) , (2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。 (线线平行→面面平行) , (3)垂直于同一条直线的两个平面平行, 两个平面平行的性质定理 (1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。 (面面平行→线面平行) (2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 (面面平行→线线平行) 7、空间中的垂直问题 (1)线线、面面、线面垂直的定义 ①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。 ②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。 ③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角 (平面角是直角) ,就说这两个平面垂直。 (2)垂直关系的判定和性质定理 ①线面垂直判定定理和性质定理 判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。 性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 ②面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 9、空间角问题 (1)直线与直线所成的角 ①两平行直线所成的角:规定为 0 ? 。 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。 ③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O,分别作与两条异面直线 a,b 平行的直线 a ? , b ? ,形成两条相交直 线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。 (2)直线和平面所成的角 ? ? ①平面的平行线与平面所成的角:规定为 0 。 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 90 。 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的 角。 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角: “一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线, 在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息: (1)斜线上一点到面的垂线; (2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已 知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。 (3)二面角和二面角的平面角 ①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平 面叫做二面角的面。 ②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的 .. ... 角叫二面角的平面角。 ③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。
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两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二 面角为直二面角 ④求二面角的方法 定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角 7、空间直角坐标系 (1)定义:如图, O B C D ? D , A , B , C , 是单位正方体.以 A 为原点, 分别以 OD,O A , ,OB 的方向为正方向,建立三条数轴 x 轴 . y 轴 . z 轴 。 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1)O 叫做坐标原点 2)x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3)过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。 (2)右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位臵。大拇指指向为 x 轴正方向,食指指 向为 y 轴正向,中指指向则为 z 轴正向,这样也可以决定三轴间的相位臵。 (3)任意点坐标表示:空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ( x , y , z ) 来表示,有序实数组 ( x , y , z ) 叫做点 M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作 M ( x , y , z ) (x 叫做点 M 的横坐标,y 叫做点 M 的纵坐标,z 叫做点 M 的竖坐标) (4)空间两点距离坐标公式: d
? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ? ( z 2 ? z1 )
2 2 2

高一数学必修 3 公式总结以及例题 §1 算法初步 ?
秦九韶算法:通过一次式的反复计算逐步得出高次多项式的值,对于一个 n 次多项式,只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表达式如下:
an x
n

? a n ?1 x

n ?1

? ... ? a 1 ?

???? a n x ?

a n ? 1 ? x ? a n ? 2 ? x ? ... ? x ? a 2 ? x ? a 1
6

例题:秦九韶算法计算多项式
需要做几次加法和乘法

3x

? 4x ? 5x
5

4

? 6x ? 7x
3

2

? 8x ? 1 ,

当 x ? 0.4 时 ,

运算 ?

答案: 6 , 6

即:

?????3x

? 4 ?x ? 5 ?x ? 6 ?x ? 7 ?x ? 8 ?x ? 1

?

理解算法的含义:一般而言,对于一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法,其意义具有广泛的含义,

如:广播操图解是广播操的算法,歌谱是一首歌的算法,空调说明书是空调使用的算法… (algorithm) 1. 描述算法有三种方式:自然语言,流程图,程序设计语言(本书指伪代码). 2. 算法的特征: ①有限性:算法执行的步骤总是有限的,不能无休止的进行下去 ②确定性:算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切,而且必须有输出,输出可以是一个或多个。没有 输出的算法是无意义的。 ③可行性:算法的每一步都必须是可执行的,即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成, 在时间上有一个合理的限度
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3. 算法含有两大要素:①操作:算术运算,逻辑运算,函数运算,关系运算等②控制结构:顺序结构,选
择结构,循环结构

?

流程图: (flow chart): 是用一些规定的图形、连线及简单的文字说明表示算法及程序结构的一种图形程
序,它直观、清晰、易懂,便于检查及修改。 注意:1. 画流程图的时候一定要清晰,用铅笔和直尺画,要养成有开始和结束的好习惯 2. 拿不准的时候可以先根据结构特点画出大致的流程,反过来再检查,比如:遇到判断框时,往往临界的 范围或者条件不好确定,就先给出一个临界条件,画好大致流程,然后检查这个条件是否正确,再考虑是否取 等号的问题,这时候也就可以有几种书写方法了。 3. 在输出结果时,如果有多个输出,一定要用流程线把所有的输出总结到一起,一起终结到结束框。

?

算法结构: 顺序结构,选择结构,循环结构
A A Y A p N N B B Y 直到型循环 p p Y N A

Ⅰ.顺序结构(sequence

当型循环 N structure ) :是一种最简单最基本的结构它不存在条件判断、控制转移和重复执行的

操作,一个顺序结构的各部分是按照语句出现的先后顺序执行的。

Ⅱ.选择结构(selection structure

) :或者称为分支结构。其中的判断框,书写时主要是注意临界条件的确定。

它有一个入口,两个出口,执行时只能执行一个语句,不能同时执行,其中的 A,B 两语句可以有一个为空, 既不执行任何操作,只是表明在某条件成立时,执行某语句,至于不成立时,不执行该语句,也不执行其它 语句。 Ⅲ.循环结构(cycle structure) :它用来解决现实生活中的重复操作问题,分直到型(until)和当型(while)两 种结构(见上图)。当事先不知道是否至少执行一次循环体时(即不知道循环次数时)用当型循环。

?

基本算法语句:本书中指的是伪代码(pseudo code) ,且是使用 BASIC 语言编写的,是介于自 然语言和机器语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法。伪代码没有统一的 格式,只要书写清楚,易于理解即可,但也要注意符号要相对统一,避免引起混淆。如:赋值 语句中可以用 x
? y

,也可以用

x ? y ;

表示两变量相乘时可以用“*” ,也可以用“ ? ”

Ⅰ. 赋值语句(assignment statement) :用

? 表示, 如: x ? y ,表示将 y 的值赋给 x,其中 x 是一个变

量,y 是一个与 x 同类型的变量或者表达式.

一般格式: 变量 “

? 表达式

” ,有时在伪代码的书写时也可以用 “ x

? y ” ,但此时的 “ = ”不

是数学运算中的等号,而应理解为一个赋值号。 注: 1. 赋值号左边只能是变量,不能是常数或者表达式,右边可以是常数或者表达式。 = ”具有计算功能。 “ 如: 3 = a ,b + 6 = a ,都是错误的,而 a = 3*5 – 1 , a = 2a + 3 都是正确的。2.一个赋值语句一次只能给一个变量赋值。 如:a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是错误的,而 a = 3 是正确的.

例题:将 x 和 y 的值交换

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p ? x x ? y y ? p

p ? x

, 同样的如果交换三个变量 x,y,z 的值 :

x ? y y ? z z ? p

Ⅱ.

输入语句(input statement): Read a ,b 表示输入的数一次送给 a ,b 输出语句(out statement) :Print x ,y 表示一次输出 运算结果 x ,y 注:1.支持多个输入和输出,但是中间要用逗号隔开!2. Read 语句输入的只能是变量而不是表达式 3. Print 语句不能起赋值语句,意旨不能在 Print 语句中用 “ = ”4. Print 语句可以输出常量和表达式的值.5.有
多个语句在一行书写时用 “ ; ”隔开.

例题:当 x 等于 5 时,Print “x = ”; x 在屏幕上输出的结果是 x = 5 Ⅲ.条件语句(conditional statement) : 1. 行 If 语句: If A Then B 注:没有 End If 2. 块 If 语句: 注:①不要忘记结束语句 End If ,当有 If 语句嵌套使用时,有几个 If ,就必
须要有几个 End If ②. Else If 是对上一个条件的否定,即已经不属于上面的条件,另外 Else If 后面 也要有 End If ③ 注意每个条件的临界性, 即某个值是属于上一个条件里, 还是属于下一个条件。 为 ④ 了使得书写清晰易懂,应缩进书写。格式如下: If Else C End If 例题: 用条件语句写出求三个数种最大数的一个算法. Read a , b , c If a≥b Then If a≥c Then Print a Else Print c End If Else If b≥c Then Print b Else Print c End If End If Read a , b , c If a≥b and a≥c Then Print a Else If b≥c Then Print b Else Print c End If A Then B If A Then B Else If C Then D End If

或者

注:1. 同样的你可以写出求三个数中最小的数。 2. 也可以类似的求出四个数中最小、大的数

Ⅳ.循环语句( cycle statement) ? 当事先知道循环次数时用 For 循环 ,即使是 N 次也是已知次数 : 的循环 ? 当循环次数不确定时用 While 循环 ? Do 循环有两种表达形式,与循环结构的两种循环相对应.
For I From 初值 to 终值 Step 步长 … End For For 循环 While A … End While

While 循环

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Do

While … Loop

p 当型 Do 循环

Do … Loop Until p 直到型 Do 循环

说明:1. While 循环是前测试型的,即满足什么条件才进入循环,其实质是当型循环,一般在解决有关问题时, 可以写成 While 循环, 较为简单, 因为它的条件相对好判断. 2. 凡是能用 While 循环书写的循环都能用 For 循 环书写 3. While 循环和 Do 循环可以相互转化 4. Do 循环的两种形式也可以相互转化,转化时条件要相应变
化 5. 注意临界条件的判定.

例题:

设计计算

1 ? 3 ? 5 ? ... ? 99

的一个算法

. (见课本 P 21


S ? 1 I ? 1

S ? 1

S ? 1 For I From S ? S? I End Pr int For S 3 To 99 Step 2

I ? 1 W hile I ? 97

W hile

I ? 99 S ? S? I I ? I? 2

I ? I? 2 S ? S? I End Pr int W hile S S ? 1 I ? 1 Do End Pr int

W hile S

?
S ? 1 I ? 1 Do S ? S? I I? I? 2 Loop Pr int Until S I ? 1 00 ( 或者 I ? 99

?

?

I? I? 2 S ? S? I ) Loop Pr int Until S I ? 99

?
S ? 1 I ? 1 D o While I ? 99 ( 或者 I ? 100 ) S ? 1 I ? 1

?

D o While

I ? 97 ( 或者 I ? 9 9 )

S ? S? I I? I? 2 Loop Pr int S Loop Pr int

I? I? 2 S ? S? I

S

?

?

颜老师友情提醒:1. 一定要看清题意,看题目让你干什么,有的只要写出算法,有的只要求写出伪代码,而有的 题目则是既写出算法画出流程还要写出伪代码。 2. 在具体做题时,可能好多的同学感觉先画流程图较为简单,但也有的算法伪代码比较好写,你也可以在 草稿纸上按照你自己的思路先做出来,然后根据题目要求作答。一般是先写算法,后画流程图,最后写伪代码。 3. 书写程序时一定要规范化,使用统一的符号,最好与教材一致,由于是新教材的原因,再加上各种版本,可能同 学会看到各种参考书上的书写格式不一样,而且有时还会碰到我们没有见过的语言,希望大家能以课本为依据,不 要被铺天盖地的资料所淹没!

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高中数学必修 4 知识点
?正 角 :按 逆 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? 1 、 任 意 角 ?负 角 : 按 顺 时 针 方 向 旋 转 形 成 的 角 ? ?零 角 :不 作 任 何 旋 转 形 成 的 角

2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象 限角. 第一象限角的集合为 ?? 第二象限角的集合为 ?? 第三象限角的集合为 ?? 第四象限角的集合为 ??
k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?
? ? ? ?

k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?
? ? ? ?

终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ?

? k ?1 8 0 , k ? ?
? ?

?

? ?

? k ?1 8 0 ? 9 0 , k ? ? ? k ? 90 , k ? ?
? ?

终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ?

? ?
?
n

3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ? ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定
?
n

? k ? 360 ? ? , k ? ?
*

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的正半
终边所落在

轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原来是第几象限对应的标号即为 的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 6、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2 ?
? 360
?

?

l r



,1?

?

?
180

,1 ?

? 180 ? ? ? ? ? 5 7 .3 . ? ? ?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ? ? 为 弧 度 制 ? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , l 则
S ? 1 2 lr ? 1 2

? r ?

C ,

? 2r ? l



? r

2



9 、 设 ? 是 一 个 任 意 大 小 的 角 , ? 的 终 边 上 任 意 一 点 ? 的 坐 标 是 ? x, y ? , 它 与 原 点 的 距 离 是
r r ?

?

x ? y
2

2

? 0

? ,则 s in ? ? r , c o s ? ? r , ta n ? ?
y x
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y x

?x

? 0? .

10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四象限

余弦为正. 11、三角函数线: sin ?

? ??

, co s ?

? ??

, tan ?
2

? ??


y P T v O M A x

12、同角三角函数的基本关系: ? 1 ? sin 2 ?

? co s ? ? 1
s in ? cos ? ? ta n ?

? sin

2

? ? 1 ? c o s ? , c o s ? ? 1 ? sin ?
2 2 2

? ;?2?

s in ? ? ? ? s in ? ? ta n ? c o s ? , c o s ? ? ? ta n ? ? ?



13、三角函数的诱导公式:

? 1 ? sin ? 2 k ? ? 2 ? sin ? ?

??

? ? sin ? , co s ? 2 k ?
? sin ?

??

??

co s ?

, tan ? 2 k ?
??

??

??

tan ? ? k ? ? ? .

??

??

, co s ? ?

??

??

? co s ?

, tan ? ?

??

tan ?



? 3 ? sin ? ? ? ? ? ? 4 ? sin ? ?
??

? sin ?

, co s ? ? ? ? ?
??

co s ?

, tan ? ? ? ? ? , tan ? ?

? tan ? ??


? tan ?

? ? sin ? , co s ? ?

??

? co s ?

??



口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5 ? s in ?

??

? ? ? ? ? cos ? ? 2 ? ?? ? ? ? ? ? cos ? ? 2 ?

, cos ?

??

? ? ? ? ? s in ? ? 2 ? ??



? 6 ? s in ?

, cos ?

? ? ? ? ? ? s in ? ? 2 ?



口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y 将函数 y
? sin x

的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y

? sin ? x ? ?

? 的图象;再

? sin ? x ? ?

? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
? sin ? ? x ? ?

1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数

y ? sin ? ? x ? ?

再将函数 y ? 的图象;

(缩短) 到原来的 ? 倍 ? 的图象上所有点的纵坐标伸长

(横坐标不变) ,得到函数 y 函数 y
? sin x

? ? sin ? ? x ? ?

? 的图象.
1

的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
y ? sin ? x

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数
? ?

y ? sin ? x

的图象;再将函数

的图象上所有点向左(右)平移

个单位长度,得到函数

y ? sin ? ? x ? ?

再将函数 y ? 的图象;

? sin ? ? x ? ?

(缩短) 到原来的 ? 倍 ? 的图象上所有点的纵坐标伸长

(横坐标不变) ,得到函数 y 函数 y
? ? sin ? ? x ? ?

? ? sin ? ? x ? ?

? 的图象.

???

? 0, ? ? 0 ? 的性质:
2?

①振幅: ? ;②周期: ? ?

?

;③频率:

f ?

1 ?

?

?
2?

;④相位: ? x ? ? ;⑤初相: ? .

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函数 y
? ? 1 2

? ? s in ?? x ? ? ? ? ?
y m in?

,当 x

? x1

时,取得最小值为

y m in

;当 x

? x 2 时,取得最大值为 y m ax

,则

? ym ax ?


,?

?

1 2

? y m ax

? y m in

?,

? 2

? x 2 ? x1 ? x1 ? x 2 ?


y ? tan x

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 质 数
y ? sin x

y ? co s x

图象

定义域 值域 当x 最值

R

R

? ? ? ,k ? ?? ? x x ? k? ? 2 ? ?
R

? ? 1,1 ?
? 2k? ?

? ? 1,1 ?
当x
? 2 k ? ? k ? ? ? 时,
y m a x ? 1 ;当 x ? 2 k ? ? ?

?
2

? k ? ? ? 时,
?
2

y m a x ? 1 ;当 x ? 2 k ? ?

? k ? ? ? 时, y m in
2?

? ?1 .

既无最大值也无最小值

? k ? ? ? 时, y m in
周期性 奇偶性 在 ?2k?
? ?
2?

? ?1 .

?

奇函数
?

偶函数
? ?
2? ?

奇函数

?
2

, 2k? ?

单调性

? k ? ? ? 上是增函数;在
? 3? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2 ? ? ?

在? 2k?

? ? , 2k?

? ? k ? ? ? 上是
??

增函数;在 ? 2 k ? , 2 k ?

?

在? k?
?

?

?

?
2

, k? ?

? ?
? 2 ?

? k ? ? ? 上是减函数.

? k ? ? ? 上是增函数.

? k ? ? ? 上是减函数.
对称中心 ? k ? , 0 ? ? k ? ? ? 对称性 对称轴 x
? k? ?

?
2

对称中心 ? k ?
?

?

?

?

?k ? ??

? ,0 ??k ? ?? 2 ?

对称中心 ?

? k?

? ,0 ??k ? ?? ? 2 ?

对称轴 x

? k? ? k ? ? ?

无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1 个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

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⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ;②结合律: ? a ? b ? ? c ? a ? ? b ? c ? ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a . ⑸坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x 2 , y 1 ? y 2 ? .
? ,? 设 ? 、? 两点的坐标分别为 ? x1 , y 1 ? ,? x 2 , y 2 ? , ?? ? ? x1 x 2 y 1 y 2 则 ?? ? ?
? a

?

?

?

?

?

?

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?

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?

?

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?

?

?

?

C

?

?

?

?

? b
?

?

?.

19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 ? 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 ? a . ① ?a ? ? a ;
? ?

? ? ???? ???? ???? a ? b ? ?C ? ?? ? ? C

②当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ? a ? 0 . ⑵运算律:① ? ? ? a ? ? ? ? ? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ? a ? ? a ;③ ? ? a ? b ? ? ? a ? ? b . ⑶坐标运算:设 a ? ? x , y ? ,则 ? a ? ? ? x , y ? ? ? ? x , ? y ? . 20、向量共线定理:向量 a ? a ? 0 ? 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . 设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,其中 b ? 0 ,则当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y 1 ? 0 时,向量 a 、 b ? b ? 0 ? 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a ,有且只 有一对实数 ? 1 、 ? 2 ,使 a ? ? 1 e1 ? ? 2 e 2 . (不共线的向量 e1 、 e 2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、分点坐标公式:设点 ? 是线段 ? 1 ? 2 上的一点, ? 1 、 ? 2 的坐标分别是 ? x1 , y 1 ? , ? x 2 , y 2 ? ,当 ? 1 ? ? ? ? ? 2 时, 点 ? 的坐标是 ?
? ? x1 ? ? x 2 1? ? y1 ? ? y 2 ? ?. 1? ? ?

?

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?? ?

?

?

??

?? ?

??

?? ?

????

????

,

23、平面向量的数量积: ⑴ a ? b ? a b co s ? ? a ? 0 , b ? 0 , 0 ? ? ? 1 8 0
?

? ?

? ?

?

? ?

?

?

? .零向量与任一向量的数量积为 0 .
? ?
?

⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ? b ? a ? b ? 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b ? a b ;当 a 与 b 反向时,
? ? ? ?2 ?2 ? ? ? ? a ?b ? ? a b ;a ?a ? a ? a 或 a ? ? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ? a b .

?

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

⑶运算律:① a ? b ? b ? a ;② ? ? a ? ? b ? ? ? a ? b ? ? a ? ? ? b ? ;③ ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 .
?
?

? ?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

第 18 页 共 28 页

若 a ? ? x , y ? ,则 a
?
?

?

?

2

? 2 2 ? x ? y ,或 a ?
? ?

x ? y .
2 2

设 a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? ,则 a ? b ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 .
? ? ? ? ? a ?b ? ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, a ? ? x1 , y 1 ? , b ? ? x 2 , y 2 ? , ? 是 a 与 b 的夹角,则 c o s ? ? ? ? ? a b x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1
2 2


2

x2 ? y2
2

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑵ co s ? ? ? ? ? ? co s ? co s ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑷ sin ? ? ? ? ? ? sin ? co s ? ? co s ? sin ? ; ⑸ ta n ? ? ? ? ? ?
ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ? ta n ? ? ta n ? 1 ? ta n ? ta n ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ ta n ? ? ? ? ? ?

( tan ? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? ? ) .

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2 ? ? 2 sin ? co s ? . ⑵ co s 2 ? ? co s ? ? sin ? ? 2 co s ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? ( c o s ? ?
2 2 2 2
2

c o s 2? ? 1 2

, s in ? ?
2

1 ? c o s 2? 2

) .

⑶ ta n 2 ? ?

2 ta n ? 1 ? ta n ?
2


? ? ? sin ? ? ? ? ? ,其中 ta n ? ?
2 2

26、 ? sin ? ? ? co s ? ?

? ?



第 19 页 共 28 页

高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ? ? ?C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接圆的半径,则有
a sin ? ? b s i n? ? c sin C ? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② s in ? ?
a 2R a?b?c s in ? ? s in ? ? s in C

, s in ? ?

b 2R

, s in C ?

c 2R



③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
? a s in ? 1 2
2 2

?

b s in ?

? 1 2
2

c s in C


1 2
2 2 2

3、三角形面积公式: S ? ? ? C ?

b c s in ? ?

a b s in C ?

a c s in ? .

4、余弦定理:在 ? ? ? C 中,有 a ? b ? c ? 2 b c co s ? , b ? a ? c ? 2 a c co s ? ,
c ? a ? b ? 2 a b co s C .
2 2 2

5、余弦定理的推论: c o s ? ?

b ?c ?a
2 2

2

, cos ? ?

a ?c ?b
2 2

2

, cos C ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac
2 2 2

2ab
?

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 9 0 .
2 2 2 2 2 2

?

?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? a n ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称 为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若 b ? 则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 19、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则 a n ? a 1 ? ? n ? 1 ? d .
a?c 2



第 20 页 共 28 页

20、通项公式的变形:① a n ? a m ? ? n ? m ? d ;② a 1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ;③ d ?

a n ? a1 n ?1



④n ?

a n ? a1 d

? 1 ;⑤ d ?

an ? am n?m



* 21、若 ? a n ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等差数列, * 且 2n ? p ? q ( n 、 p 、q ? ? ) ,则 2 a n ? a p ? a q .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?

n ? a1 ? a n ? 2

;② S n ? n a 1 ?
*

n ? n ? 1? 2

d .

23 、 等 差 数 列 的 前 n 项 和 的 性 质 : ① 若 项 数 为 2 n ? n ? ?

? , 则 S 2 n ? n ? a n ? a n ? 1 ? , 且 S 偶 ? S奇 ? n d ,

S奇 S偶

?

an a n ?1



② 若 项 数 为 2n ? 1?n ? ?
S偶 ?

*

?

, 则 S 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 ? a n , 且 S 奇 ? S偶 ? a , n

S奇 S偶

?

n n ?1

( 其 中 S奇 ? nan ,

. ? n ? 1? a n )

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称 为等比数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G ,b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? a b ,则称 G 为
2

a 与 b 的等比中项.

26、若等比数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公比是 q ,则 a n ? a 1 q 27、通项公式的变形:① a n ? a m q
n?m

n ?1


an a1
n?m

;② a 1 ? a n q

? ? n ?1?

;③ q

n ?1

?

;④ q

?

an am



* 28、若 ? a n ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;若 ? a n ? 是等比数列,且

2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a n
*

2

? a p ? aq .

? n a1 ? q ? 1 ? ? 29、等比数列 ? a n ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a 1 ? 1 ? q n ? a ? a q . n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ? ② S n?m ? S n ? q
n

*

? ,则

S偶 S奇

? q .

? Sm .

第 21 页 共 28 页

③ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b , b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b , c ? 0 ? a c ? b c , a ? b , c ? 0 ? a c ? b c ;⑤ a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? a c ? b d ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b ? n ? ? , n ? 1 ? ;
n n

⑧a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
判别式 ? ? b ? 4 a c
2

? ? 0

? ? 0

? ? 0

二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?a

? 0 ? 的图象

有两个相异实数根 一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0
2

?a

? 0 ? 的根

x1, 2 ?

?b ? 2a

?

有两个相等实数根

x1 ? x 2 ? ?

b 2a

没有实数根

? x1
ax ? bx ? c ? 0
2

? x2 ?

一元二次不 等式的解集
2

?a

? 0?

?x

x ? x1或 x ? x 2 ?

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax ? bx ? c ? 0

?a

? 0?

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x , y ? ,所有这样的有序 数对 ? x , y ? 构成的集合. 38、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? . ①若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 .
y ? ①若 ? ? 0 , ? x?? ? C 则 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域; x ? ? y ? C ? 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ?

第 22 页 共 28 页

下方的区域. ②若 ? ? 0 , ? x?? ? C 则 y ? 上方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则
a?b 2
0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域; x ? ? y ? C ? 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ?

称为正数 a 、 b 的算术平均数, a b 称为正数 a 、 b 的几何平均数.
a?b 2 ? ab .

42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 a b ,即 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2 a b ? a , b ? R ? ;② a b ?
2 2

a ?b
2

2

2

?a,b ? R ? ;

③ ab ? ?

?a?b? ? ? 2 ?

2

?a

? 0 , b ? 0 ? ;④

a ?b
2

2

2

?a?b? ? ? ? ? 2 ?

2

?a,b ? R ? .

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值
s 4
2



⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2

p .

部分选修模块知识点总结
椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)
高三数学备课组


1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角.



PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两 个端点.

3.

以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.

第 23 页 共 28 页

4. 5. 6.

以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆
x0 x a
2

x a x a

2 2 2 2

? ?

y b y b

2 2 2 2

? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是

?

y0 y b
2

? 1.

7.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 ? F1 P F 2 ? ? ,则椭圆的焦点角
2

形的面积为 S ? F P F ? b ta n
1 2

?
2

.

8.

椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的焦半径公式:

| M F1 | ? a ? ex 0 , | M F 2 | ? a ? ex 0 ( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 ) M ( x 0 , y 0 ) ).

9.

设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF.

10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是椭圆 即K
? ?

x a

2 2

?
2

y b

2 2

? 1 的不平行于对称轴的弦,M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的中点,则 k O M ? k A B ? ?

b a

2 2



b x0 a y0
2

AB


x a x a
2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

?

y b

2 2

? 1 内,则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x a
2 2

x0 x a
2

?
2 2

y0 y b
2

?

x0 a ?

2

2

?

y0 b

2

2

.

2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在椭圆

?

y b

2 2

? 1 内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程是

?

y b

?

x0 x a
2

y0 y b
2

.

双曲线
1. 2. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴 的两个端点. 3. 4. 5. 6. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线 弦 P1P2 的直线方程是 7. 双曲线
x a
2 2

x a x a
a

2 2 2 2

? ?
?

y b y

2 2 2 2

? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

x0 x
2

b y0 y
b
2

? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2,则切点
? 1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一点 ? F1 P F 2 ? ? ,则

第 24 页 共 28 页

双曲线的焦点角形的面积为 S ? F P F ? b c o t
2
1 2

?
2

.

8.

双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 )

当 M ( x 0 , y 0 ) 在右支上时, | M F1 |? ex 0 ? a , | M F 2 | ? e x 0 ? a . 当 M ( x 0 , y 0 ) 在左支上时, | M F1 |? ? ex 0 ? a , | M F 2 | ? ? e x 0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交 相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 双 曲 线
K OM ? K ?

x a
2

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x 0 , y 0 ) 为 AB 的 中 点 , 则
? b x0 a y0
2
2 2

b x0 a y0
2

2

AB

,即 K
x a

AB



2 2

12. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在 双 曲 线
x0 x a
2

?

y b

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是

?

y0 y b
2

?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

.
x a
2 2

13. 若 P0 ( x 0 , y 0 ) 在双曲线

?

y b

2 2

? 1(a>0,b>0) 内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是

x a

2 2

?

y b

2 2

?

x0 x a
2

?

y0 y b
2

.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组


1. 椭圆
x a
2 2



?

y b

2 2

? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 x a
2 2

与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0, b>0)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点,则
b x0 a y0
2 2

直线 BC 有定向且 k B C ?
x a
2 2

(常数).

3.

若 P 为椭圆
a?c a?c

?

y b

2 2

? 1(a>b>0) 上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, ? P F1 F 2 ? ? , ? P F 2 F1 ? ? ,



? ta n
2 2

?
2

co t

?
2

.

4.

设椭圆

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2

中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有

s in ? s in ? ? s in ?

?

c a

? e.

第 25 页 共 28 页

5.

若椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0<e≤

2 ? 1 时,可在椭

圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 椭 圆 内 一 定 点 , 则

2 a ? | A F 2 |? | P A | ? | P F1 |? 2 a ? | A F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线时,等号成立.

7.

椭 圆
2 2

( x ? x0 ) a
2 2

2

2

?

( y ? y0 ) b
2

2

?1
2

与 直 线

A ? x

B ? y 0 ?C有 公 共 点 的 充 要 条 件 是

A a ? B b ? ( A x0 ? B y0 ? C ) .

8.

已知椭圆
1 | OP |
2

x a

2 2

?

y b
2

2 2

? 1 (a>b>0) O 为坐标原点,P、Q 为椭圆上两动点,且 O P ? O Q .(1) ,
1 a
2

?

1 | OQ |

?

?

1 b
2

;(2)|OP|2+|OQ|2 的最大值为

4a b
2

2

2 2

a ?b

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2 2

a ?b

.

9.

过椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x ? e 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点
2

轴于 P,则 10. 已知椭圆
x a
2

| PF | | MN | ? y b
2 2 2

.

2

P ( x0 , 0 ) , 则 ?

a ?b a

? x0 ?

a ?b
2

2

.

a

11. 设 P 点是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? ,则

(1) | P F1 || P F 2 | ?

2b

2

1 ? cos ?

.(2) S ? P F F ? b ta n
2
1 2

?
2

.

12. 设 A 、 B 是 椭 圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > b > 0 ) 的 长 轴 两 端 点 , P 是 椭 圆 上 的 一 点 , ?PAB ? ? ,

? P B A ? ? , ? B P A ? ? , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有 (1) | P A | ?

2 ab | cos ? |
2

a ? c co s ?
2 2 2

.(2)

tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?
2

2a b
2

2

2 2

b ?a

cot ? .

13. 已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、

B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂 直.

第 26 页 共 28 页

15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)
高三数学备课组

双曲线
1. 双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 ( ? a , 0 ) , A 2 ( a , 0 ) ,与 y 轴平行的直线交双曲线于 x a
2 2

P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2. 过双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>o)上任一点 A ( x 0 , y 0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C
b x0 a y0
2 2

两点,则直线 BC 有定向且 k B C ? ?
x a
2 2

(常数).

3.

若 P 为双曲线

?

y b

2 2

? 1(a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, ? P F1 F 2 ? ? ,

? P F 2 F1 ? ? ,则
x a
2 2

c?a c?a

? ta n

?
2

co t

?
2

(或

c?a c?a

? ta n

?
2

co t

?
2

).

4.

设双曲线

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,

在△PF1F2 中,记 ? F1 P F 2 ? ? , ? P F1 F 2 ? ? , ? F1 F 2 P ? ? ,则有

s in ? ? (s in ? ? s in ? )

?

c a

? e.

5.

若双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 1<e≤

2 ? 1 时,

可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a > 0,b > 0 ) 上 任 一 点 ,F1,F2 为 二 焦 点 , A 为 双 曲 线 内 一 定 点 , 则

| A F 2 | ? 2 a ? | P A | ? | P F1 | ,当且仅当 A , F 2 , P 三点共线且 P 和 A , F 2 在 y 轴同侧时,等号成立.

第 27 页 共 28 页

7. 8.

双曲线

x a

2 2

?

y b x a
2 2

2 2

? 1 (a>0,b>0)与直线 A x ? B y ? C ? 0 有公共点的充要条件是 A a ? B b ? C .
2 2 2 2 2

已知双曲线
1 | OP |
2

?

y b
2 2 2

2 2

? 1 (b>a >0) ,O 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点,且 O P ? O Q .
1 a
2

(1) 9.

?

1 | OQ |

?

?

1 b
2

;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为

2

2

4a b
2

2

2 2

b ?a

;(3) S ? O P Q 的最小值是

a b
2

2

2 2

b ?a

.

过双曲线

x a

2 2

?

y b

? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 两点,弦 MN 的垂直 | PF | | MN | ? e 2

平分线交 x 轴于 P,则 10. 已知双曲线
x a
2 2

.

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于 a ?b
2 2

点 P ( x0 , 0 ) , 则 x0 ? 11. 设 P 点是双曲线
x a
2 2

a ? y b
2 2 2

或 x0 ? ?

a ?b
2

2

.

a

? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点记 ? F1 P F 2 ? ? ,

则(1) | P F1 || P F 2 | ?

2b
2 2

1 ? cos ?

.(2) S ? P F F ? b c o t
2
1 2

?
2

.

12. 设 A、B 是双曲线

x a

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, ? P A B ? ? ,

? P B A ? ? , ? B P A ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1) | P A | ?
2 (2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S ? P A B ?

2 ab | cos ? |
2

| a ? c co s ? |
2 2 2

.

2a b
2

2

2 2

b ?a

cot ? .

13. 已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右焦点 F 的直线与双

曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 B C ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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