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高中数学知识点总结 第十一、二章概率与统计


高中数学第十一章-概率 高中数学第十一章 概率
考试内容: 考试内容:
随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发 生的概率.独立重复试验.

考试要求: 考试要求:
(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. (2)了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的 概率。 (3)了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件 的概率乘法公式计算一些事件的概率. (4)会计算事件在 n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率.

§11. 概率 知识要点
1. 概率:随机事件 A 的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率:如果一次试验中可能出现的结果有年 n 个,且所有结果出现的可能 性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是 么事件 A 的概率 P(A) =
m . n 1 ,如果某个事件 A 包含的结果有 m 个,那 n

3. ①互斥事件:不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件 A、B 互斥,那么事件 A+B 发生(即 A、B 中有一个发生)的概率,等于事件 A、B 分别发生的概率和,即 P(A+B)=P(A)+P(B),推广: P(A 1 + A 2 + ? + A n ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) + ? + P(A n ) . ②对立事件:两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如:从 1~52 张扑克牌中任 ............... 取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保 证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为 互斥 其中一个必发生. 对立 注意:i.对立事件的概率和等于 1: P(A) + P(A) = P(A + A) = 1 . ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响.这样的两个事 件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率, 等于每个事件发生的概率的 积,即 P(A·B)=P(A)·P(B). 由此,当两个事件同时发生的概率 P(AB)等于这两个事件发生 概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如:从一副扑克牌(52 张)中任抽一 张设 A:“抽到老 K”;B:“抽到红牌”则 A 应与 B 互为独立事件[看上去 A 与 B 有关系很有 可能不是独立事件,但 P(A) = 4 = 1 , P(B) = 26 = 1 , P(A) ? P(B) = 1 .又事件 AB 表示“既抽到老
52 13 52 2 26

K 对抽到红牌”即“抽到红桃老 K 或方块老 K”有 P(A ? B) = 2 = 1 ,因此有 P(A) ? P(B) = P(A ? B) .
52 26

推广:若事件 A 1 ,A 2 , ? ,A n 相互独立,则 P(A 1 ?A 2 ?A n ) = P(A 1 ) ? P(A 2 ) ? P(A n ) . 注意:i. 一般地,如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B, A 与 B, A 与 B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.

iii. 独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个 事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验: n 次重复试验中, 若 每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为 P,那么在 n 次独立重复 试验中这个事件恰好发生 k 次的概率: P n (k) =C k P k (1 ? P) n ? k . n 4. 对任何两个事件都有 P( A + B ) = P ( A) + P ( B) ? P( A ? B)

第十二章-概率与统计 第十二章 概率与统计
考试内容: 考试内容: 抽样方法.总体分布的估计. 总体期望值和方差的估计. 考试要求: 考试要求: (1)了解随机抽样了解分层抽样的意义,会用它们对简单实际问题进行抽样. (2)会用样本频率分布估计总体分布. (3)会用样本估计总体期望值和方差.

§12. 概率与统计 知识要点
一、随机变量. 随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件: ①试验可以在相同的情形下重复进行; ②试验的所有可能结果是明确可知的, 并且不止一个; ③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随 机变量叫做离散型随机变量.若 ξ 是一个随机变量,a,b 是常数.则 η = aξ + b 也是一个随机变 则 量.一般地, ξ 是随机变量, f (x) 是连续函数或单调函数, f (ξ ) 也是随机变量.也就是说, 若 随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量 ξ 可能取的值为: x 1 , x 2 , ? , x i , ? ξ 取每一个值 x 1 (i = 1,2, ?) 的概率 P(ξ = x i ) = p i ,则表称为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的 分布列. ξ
x1 p1 x2 p2



xi pi

… …

P 有性质① p 1 ≥ 0, i = 1,2, ? ;

… ② p1 + p 2 + ? + p i + ? = 1 .

注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如: ξ ∈ [0,5] 即 ξ 可以取 0~5 之间的一切数,包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这 个事件恰好发生 k 次的概率是: P(ξ = k) =C k p k q n ? k [其中 k = 0,1, ? , n, q = 1 ? p ] n 于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:我们称这样的随机变量 ξ 服从二项分布,记作 ξ ~B (n·p),其中 n,p 为参数,并记 Ck pk q n ? k = b(k; n ? p) . n ⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布,实际是对 n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行 n 次独立重复,且 每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小, 而每次抽取时又只有 两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布:“ ξ = k ”表示在第 k 次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把 k 次试验时 事件 A 发生记为 A k ,事 A 不发生记为 A k , P(A k ) = q ,那么 P(ξ = k) = P(A 1 A 2 ? A k ?1 A k ) .根据 相互独立事件的概率乘法分式: P(ξ = k) = P(A 1 )P(A 2 ) ? P(A k ?1 )P(A k ) =q k ?1p (k = 1,2,3, ?) 于是得 到随机变量 ξ 的概率分布列. ξ 1 2 P q qp

3
q p
2

… …

k
q
k ?1


p



我们称 ξ 服从几何分布,并记 g(k, p) =q k ?1 p ,其中 q = 1 ? p. k = 1,2,3? 5. ⑴超几何分布:一批产品共有 N 件,其中有 M(M<N)件次品,今抽取 n(1 ≤ n ≤ N ) 件, 则 其 中 的 次 品 数
P(ξ = k) =
k k C M ?C Nn??M n CN

ξ

是 一 离 散 型 随 机 变 量 , 分 布 列 为

? (0 ≤ k ≤ M,0 ≤ n ? k ≤ N ? M ) .〔分子是从 M 件次品中取 k 件,从 N-M 件正

r 品中取 n-k 件的取法数,如果规定 m < r 时 C m = 0 ,则 k 的范围可以写为 k=0,1,…,n.〕

⑵超几何分布的另一种形式: 一批产品由 a 件次品、 件正品组成, b 今抽取 n 件 (1≤n≤a+b) , 则次品数 ξ 的分布列为 P(ξ = k) =
C k ?C n ? k a b C a +n b k = 0,1, ? , n. .

⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由 a 件次品、b 件正品组成,不放回抽取 n 件时,其中次品数 ξ 服从超几何分布. 若放回式抽取,则其中次品数 η 的分布列可如下求得:把 a + b 个产品编号,则抽取 n 次共有
(a + b) n 个 可 能 结 果 , 等 可 能 : (η = k) 含 C k a k b n ? k n
P(η = k) = C k a k b n ?k n (a + b)
n

个 结 果 , 故

=C k ( n

a a k a n?k ) .[我们先为 k 个次品 ) (1 ? ) , k = 0,1,2, ? , n ,即 η ~ B( n ? a+b a+b a+b

选定位置,共 C k 种选法;然后每个次品位置有 a 种选法,每个正品位置有 b 种选法] 可以 n 证明:当产品总数很大而抽取个数不多时, P(ξ = k) ≈ P(η = k) ,因此二项分布可作为超几何 分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样. 数学期望与方差. 二、数学期望与方差 1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为 x1 x2 xi ξ …
p1 p2 pi



P … … 则称 Eξ = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ? + x n p n + ? 为 ξ 的数学期望或平均数、 均值.数学期望又简称期望.数学 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量 η = aξ + b 的数学期望: Eη = E (aξ + b) = aEξ + b ①当 a = 0 时, E (b) = b ,即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当 a = 1 时, E (ξ + b) = Eξ + b ,即随机变量 ξ 与常数之和的期望等于 ξ 的期望与这个常数 的和. ③当 b = 0 时, E (aξ ) = aEξ ,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的

乘积. ⑵单点分布: Eξ = c ×1 = c 其分布列为: P(ξ = 1) = c . (p + ⑶两点分布: Eξ = 0 × q + 1 × p = p ,其分布列为: q = 1) ⑷二项分布: Eξ = ⑸几何分布: Eξ =

ξ P

0 q

1 p

∑ k ? k!(n ? k )! p
1 p

n!

k

?q n ? k = np 其分布列为 ξ ~ B(n, p) .(P 为发生 ξ 的概率)

其分布列为 ξ ~ q (k , p) .(P 为发生 ξ 的概率)

3.方差、标准差的定义:当已知随机变量 ξ 的分布列为 P (ξ = x k ) = p k ( k = 1,2, ?) 时,则称
Dξ = ( x1 ?Eξ ) 2 p1 +( x 2 ?Eξ ) 2 p 2 + ?+ ( x n ?Eξ ) 2 p n + ? 为

ξ 的方差. 显然 Dξ ≥ 0 ,故 σξ = Dξ . σξ 为 ξ 的

根方差或标准差.随机变量 ξ 的方差与标准差都反映了随机变量 ξ 取值的稳定与波动,集中 与离散的程度. Dξ 越小,稳定性越高,波动越小. . ............. 4.方差的性质. ⑴随机变量 η = aξ + b 的方差 D(η ) = D(aξ + b) =a 2 Dξ .(a、b 均为常数) ⑵单点分布: Dξ = 0 其分布列为 P(ξ = 1) = p ξ ⑶两点分布: Dξ = pq 其分布列为:(p + q = 1) P ⑷二项分布: Dξ = npq ⑸几何分布: Dξ =
q p2

0 q

1 p

5. 期望与方差的关系. ⑴如果 Eξ 和 Eη 都存在,则 E (ξ ± η ) = Eξ ± Eη ⑵设 ξ 和 η 是互相独立的两个随机变量,则 E (ξη ) = Eξ ? Eη , D(ξ + η ) = Dξ + Dη ⑷ E (ξ ? Eξ ) = E (ξ ) ? E ( Eξ ) ( 因 为 Eξ 为 一 常 数 ) ⑶ 期 望 与 方 差 的 转 化 : Dξ = Eξ 2?( Eξ ) 2 = Eξ ? Eξ = 0 . 三、正态分布.(基本不列入考试范围) 正态分布 (基本不列入考试范围) 1.密度曲线与密度函数:对于连续型随机变量 ξ,位于 x 轴上方,ξ 落在任一区间 [a, b) 内的
y 概率等于它与 x 轴.直线 x = a 与直线 x = b 所围成的曲边梯形的面积 (如图阴影部分)的曲线叫 ξ 的密度曲线,以其作为 图像的函数 f ( x) 叫做 ξ 的密度函数,由于“ x ∈ (?∞,+∞) ”


y=f(x)

是必然事件,故密度曲线与 x 轴所夹部分面积等于 1.
a b

x
( x?? )2 2σ 2

2. ⑴正态分布与正态曲线: 如果随机变量 ξ 的概率密度为:f ( x) =

1 2π σ

?

e

.( x ∈ R , ? , σ

为常数,且 σ ? 0 ),称 ξ 服从参数为 ? , σ 的正态分布,用 ξ ~ N ( ? ,σ 2) 表示. f (x) 的表达式 可简记为 N ( ? ,σ 2) ,它的密度曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差:若 ξ ~ N ( ? ,σ 2) ,则 ξ 的期望与方差分别为: Eξ = ? , Dξ =σ 2 . ⑶正态曲线的性质.

①曲线在 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线关于直线 x = ? 对称. ③当 x = ? 时曲线处于最高点,当 x 向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、 两边低”的钟形曲线. ④当 x < ? 时,曲线上升;当 x > ? 时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时, 以 x 轴为渐近线,向 x 轴无限的靠近. ⑤当 ? 一定时,曲线的形状由 σ 确定,σ 越大, 曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;σ 越 小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布:如果随机变量 ξ 的概率函数为 ? ( x) =
1 2π e
? x2 2

(?∞ ? x ? +∞) ,则称 ξ 服

从标准正态分布. 即 ξ ~ N (0,1) 有 ? ( x) = P(ξ ≤ x) , ? ( x) = 1 ? ? (? x) 求出,而 P(a< ξ ≤b)的 计算则是 P(a ? ξ ≤ b) = ? (b) ? ? (a) . 注意:当标准正态分布的 Φ ( x) 的 X 取 0 时,有 Φ( x) = 0.5 当 Φ ( x) 的 X 取大于 0 的数时,有
Φ ( x ) ? 0.5 .比如 Φ (
0 .5 ? ?

σ

) = 0.0793 ? 0.5 则

0 .5 ? ?

σ

必然小于 0,如图.
2



y S

⑵正态分布与标准正态分布间的关系:若 ξ ~ N ( ? ,σ ) 则 ξ 的分布函数通 常用 F (x) 表示,且有 P(ξ ≤ x) = F(x) = ? (
x ?? ). σ
x a 标准正态分布曲线

4.⑴“3 σ ”原则. 假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假 设里的变量服从正态分布 N (? ,σ 2) .②确定一次试验中的取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) . ③做出判断:如果 a ∈ ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ,接受统计假设. 如果 a ? ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) ,由于这是小 概率事件,就拒绝统计假设. ⑵“3 σ ”原则的应用: 若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( ? ,σ 2) 则 ξ 落在 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 内的概率 为 99.7% 亦即落在 ( ? ? 3σ , ? + 3σ ) 之外的概率为 0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生 了,就说明此种产品不合格(即 ξ 不服从正态分布).

S阴=0.5 Sa=0.5+S


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