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2013届广东省高三六校第一次联考理科数学试题


2013 届高三六校第一次联考
理科数学 试题
命题学校:珠海一中

第一部分 选择题(共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的
王新敞
奎屯 新疆

1. 若集合 M 是函数 y ? lg x 的定义域,N 是函数 y ? 1 ? x 的定义域, M ? N 等于( 则 A. (0,1] 2.在复平面内,复数 A.第一象限 B. (0, ??) C. ? ) D.第四象限 D. [1, ??)

)

1 ? i 3 对应的点位于 ( 1? i


B.第二象限

C.第三象限

3.下列命题正确的是(
2

A. ?x0 ? R, x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 C. x ? 1 是 x ? 1 的充分不必要条件
2

B. ?x ? N , x ? x
3

2

D.若 a ? b ,则 a ? b
2

2

4.已知向量 a =(x,1) =(3,6) ? b ,则实数 x 的值为( ) ,b ,a A.

1 2
2

B. ? 2
2

C. 2

D. ?

1 2

5.经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为 ( A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

) D. x ? y ? 3 ? 0
甲 5 3 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

6. 图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图, 则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( ) A.65 C.63 B.64 D.62
3 4

6 8 7 9 1

a ? a9 1 7.已知等比数列 ?a n ?中,各项都是正数,且 a1 , a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 等于( ) a6 ? a7 2
A. 1? 2 B. 1? 2 C. 3 ? 2 2 D. 3 ? 2 2

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?x ? 0 ? 8. 在约束条件 ? y ? 0 目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的变化范围是 () 下, 当3 ? s ? 5 时, ? x? y? s ? ? y ? 2x ? 4 ?

( A) .[6,15]

( B) .[7,15]

(C ) [6,8]

( D) .[7,8]

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题: 本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分 (一)必做题(9~13 题) 9.( ax -

1 x

) 的展开式中 x 的系数为 70 ,则 a 的值为

8

2

; ;

10.下面是一个算法的程序框图,当输入的值 x 为 5 时,则其输出的结果是

开始

输入x

x?0

N

x ? x ?3

Y
y ? 0.5x

输出 y

结束 11. 若

?

a

0

xdx = 1 ,则实数 a 的值是_________.

x2 y 2 x 2 y2 ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离 12.已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0) 和椭圆 a b 16 9
心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .

?a x ( x ? 0), f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?0 13.已知函数 f ( x) ? ? 满足对任意 x1 ? x 2 , 都有 x1 ? x 2 ?(a ? 3) x ? 4a( x ? 0)
成立,则 a 的取值范围是 . (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题)

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14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,直线ρ sin(θ + 为 .

π )=2 被圆ρ =4 截得的弦长 4

15. (几何证明选讲选做题) 如图 4,P 是圆 O 外一点, P 引圆 O 的两条割线 PAB 、PCD , 过

PA ? AB ? 5 , CD ? 3 ,则 PC ? ____________.
P

B A O C

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2 x ( x? R). (1) 求 f ? x ? 的最小正周期和最大值; (2) 若 ? 为锐角,且 f ? ? ? 17. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? log a x ( a为常数且a ? 0, a ? 1 ) ,已知数列 f ( x1 ), f ( x2 ), ? f ( x n ), ? 是 公差为 2 的等差数列,且 x1 ? a .
2

D 图4

? ?

??

2 ,求 tan 2? 的值. ?? 8? 3

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?

1 1 时,求证: x1 ? x 2 ? ? ? x n ? . 2 3

18.(本小题满分 14 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的 理由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ? ,求 ? 的分布 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

3 5

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列与期望. 下面的临界值表供参考:
P( K ? k )
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
(参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19. (本小题满分 14 分) 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值. 20. (本小题满分14分)

正视图

侧视图

俯视图 已知点 F ? 0,1? ,直线 l : y ? ?1 , P 为平面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足 为 Q ,且 QP ? QF ? FP ? FQ . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)已知圆 M 过定点 D ? 0, 2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上运动,且圆 M 与 x 轴交于 A 、 B 两点,设 DA ? l1 , DB ? l2 ,求 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax(a ? 0) , g ( x) ? ln x , f ( x) 图象与 x 轴异于原点的交点 M 处
2

l1 l2 ? 的最大值. l2 l1

的切线为 l1 , g ( x ? 1) 与 x 轴的交点 N 处的切线为 l 2 , 并且 l1 与 l 2 平行. (1)求 f (2) 的值; (2)已知实数 t∈R,求函数 y ? f [ xg ( x)+t ], x ? ?1, e ? 的最小值; (3) F (x) ?g (x) ? ( x 令 g' ) , 给定 x 1 , x2 ? (1, ??), x 1 ? x2 , 对于两个大于 1 的正数 ? , ? ,

存在实数 m 满足: ? ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx 2 ,并且使得不等式

| F (? ) ? F ( ? ) |?| F ( x1 ) ? F ( x2 ) | 恒成立,求实数 m 的取值范围.
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