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高考数学一轮复习 题组层级快练26(含解析)


题组层级快练(二十六)
1.函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为( A.2π C.π 答案 A cosx+ 3sinx π 解析 f(x)=(1+ 3tanx)cosx= ·cosx=2cos(x- ),则 T=2π . cosx 3 π π 2.下列函数中,周期为 π ,且在[ , ]上为减函数的是( 4 2 π A.y=sin(2x+ ) 2

π C.y=sin(x+ ) 2 答案 A π π π 解析 对于选项 A,注意到 y=sin(2x+ )=cos2x 的周期为 π ,且在[ , ]上是减函数,故选 A. 2 4 2 π 3.函数 y=sin( -x)的一个单调递增区间为( 4 3π 7π A.( , ) 4 4 π π C.(- , ) 2 2 答案 A π π 解析 y=sin( -x)=-sin(x- ), 4 4 π π 3π 故由 2kπ + ≤x- ≤2kπ + , 2 4 2 3 7 解得 2kπ + π ≤x≤2kπ + π (k∈Z). 4 4 π 3 7 因此,函数 y=sin( -x)的单调增区间为[2kπ + π ,2kπ + π ](k∈Z). 4 4 4 4.(2015·湖南洛阳模拟)若函数 y=sin A. π 2 ) ) B. D. 3π 2 π 2 )

π B.y=cos(2x+ ) 2 π D.y=cos(x+ ) 2

π 3π B.(- , ) 4 4 3π π D.(- , ) 4 4

x+φ
3

(φ ∈[0,2π ])是偶函数,则 φ =( 2 B. π 3 5 D. π 3

)

3 C. π 2 答案 C

x φ x φ 3 解析 sin(- + )=sin( + )观察选项.当 φ = π 时,等式恒成立. 3 3 3 3 2
5.函数 f(x)=(1+cos2x)sin x 是( A.周期为 π 的奇函数 π C.周期为 的奇函数 2 答案 D 1 1-cos4x 2π π 2 2 2 2 解析 f(x)=(1+cos2x)sin x=2cos xsin x= sin 2x= ,则 T= = 且为偶函数. 2 4 4 2 6.函数 g(x)=sin 2x 的单调递增区间是( A.[
2 2

) B.周期为 π 的偶函数 π D.周期为 的偶函数 2

)


2




2

π + ](k∈Z) 4

π B.[kπ ,kπ + ](k∈Z) 4 C.[


2



π kπ π , + ](k∈Z) 4 2 2

π π D.[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 4 2 答案 A 4π 7.如果函数 y=3cos(2x+φ )的图像关于点( ,0)成中心对称,那么|φ |的最小值为( 3 A. C. π 6 π 3 B. D. π 4 π 2 )

答案 A 8π 8π π 13 解析 依题意得 3cos( +φ )=0, +φ =kπ + ,φ =kπ - π (k∈Z),因此|φ |的最小值 3 3 2 6 是 π . 6 π π 8.已知函数 y=sinω x 在[- , ]上是增函数,则实数 ω 的取值范围是( 3 3 3 A.[- ,0) 2 3 C.(0, ] 2 答案 C π π π π 解析 由于 y=sinx 在[- , ]上是增函数, 为保证 y=sinω x 在[- , ]上是增函数, 所以 ω >0 2 2 3 3 B.[-3,0) D.(0,3] )



π π 3 ·ω ≤ ,则 0<ω ≤ . 3 2 2 9.下列函数中,对于任意 x∈R,同时满足条件 f(x)=f(-x)和 f(x-π )=f(x)的函数是( A.f(x)=sinx C.f(x)=cosx 答案 D 解析 因为对任意 x∈R 有 f(x)=f(-x)且 f(x-π )=f(x),所以 f(x)为偶函数且 f(x)的最小正周 B.f(x)=sinxcosx D.f(x)=cos x-sin x
2 2

)

1 2 2 期为 π .故 A,C 错.B 项中,f(x)=sinxcosx= sin2x 为奇函数,故 B 错,D 项中,f(x)=cos x-sin x 2 =cos2x,满足条件,故选 D. π? π ? 10.将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数( 3? 2 ? A.在区间? B.在区间? )

?π ,7π ?上单调递减 ? ?12 12 ? ?π ,7π ?上单调递增 ? ?12 12 ?

? π π? C.在区间?- , ?上单调递减 ? 6 3? ? π π? D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3?
答案 B π? 2 ? π ? ? π? π? ? ? 解析 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度得到 y=3sin?2?x- ?+ ?=3sin?2x- π ?. 2? 3? 3? 3 ? 2 ? ? ? ? π 2 π π 7 令 2kπ - ≤2x- π ≤2kπ + ,得 kπ + ≤x≤kπ + π ,k∈Z. 2 3 2 12 12 2 ? π 7 ? ? ? 则 y=3sin?2x- π ?的增区间为?kπ + ,kπ + π ?,k∈Z. 3 ? 12 12 ? ? ? 令 k=0 得其中一个增区间为?

?π , 7 π ?,故 B 正确. ? ?12 12 ?

2 ? ? π π? 2 ? ? π π? ? ? 画出 y=3sin?2x- π ?在?- , ?上的简图,如图,可知 y=3sin?2x- π ?在?- , ?上不具有 3 ? ? 6 3? 3 ? ? 6 3? ? ? 单调性,故 C,D 错误.

11. (2015·南昌大学附中)设 f(x)=sin(ω x+φ ), 其中 ω >0, 则 f(x)是偶函数的充要条件是( A.f(0)=1 B.f(0)=0

)

C.f′(0)=1 答案 D 解析

D.f′(0)=0

f(x) = sin(ω x + φ ) 是偶函数,有 φ = kπ +

π , k ∈ Z. ∴ f(x) =±cosω x. 而 f′(x) = 2

±ω sinω x,∴f′(0)=0,故选 D. 12.(2015·北京顺义一模)已知函数 f(x)=cos(2x+ ①函数 f(x)是最小正周期为 π 的奇函数; 2π ②函数 f(x)图像的一条对称轴是直线 x= ; 3 5π ③函数 f(x)图像的一个对称中心为( ,0); 12 π 2π ④函数 f(x)的单调递增区间为[kπ + ,kπ + ],k∈Z.其中正确的结论的个数是( 6 3 A.1 C.3 答案 C π π π π 解析 由已知得,f(x)=cos(2x+ )-cos2x=cos2xcos -sin2xsin -cos2x=-sin(2x+ ), 3 3 3 6 不是奇函数,故①错. 2π 2π 4π π 当 x= 时,f( )=-sin( + )=1,故②正确; 3 3 3 6 5π 5π 当 x= 时,f( )=-sinπ =0,故③正确; 12 12 π π 3π π 2π 令 2kπ + ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ + ≤x≤kπ + ,k∈Z,故④正确.综上,正确 2 6 2 6 3 的结论个数为 3. 13.(2013·江西理)函数 y=sin2x+2 3sin x 的最小正周期 T 为________. 答案 π π 2 解析 y=sin2x+2 3sin x=sin2x- 3cos2x+ 3=2sin(2x- )+ 3,所以该函数的最小正周期 3
2

π )-cos2x,其中 x∈R,给出下列四个结论: 3

)

B.2 D.4

T=

2π =π . 2 π 4π 2π 14.将函数 y=sin(ω x+φ )( <φ <π )的图像,仅向右平移 ,或仅向左平移 ,所得到的函数 2 3 3

图像均关于原点对称,则 ω =________. 答案 1 2

T 4π 2π 2π 解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半, 即有 = -(- )=2π , T=4π ,即 2 3 3 ω
1 =4π ,ω = . 2 15.设函数 f(x)=sin( 3x+φ )(0<φ <π ),若函数 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ =________. 答案 2π 3

π 解析 由题意得 f′(x)= 3cos( 3x+φ ),f(x)+f′(x)=2sin( 3x+φ + )是奇函数,因此 φ 3 + π π 2π =kπ (其中 k∈Z),φ =kπ - .又 0<φ <π ,所以 φ = . 3 3 3 5π 16.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图像的一条对称轴是 x= ,则函数 g(x)=asinx+cosx 的初相 3 是________. 答案 2 π 3

5π 解析 f′(x)=cosx-asinx,∵x= 为函数 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴, 3 5π 5π 5π 3 ∴f′( )=cos -asin =0,解得 a=- . 3 3 3 3 ∴g(x)=- = 3 2 3 1 3 sinx+cosx= (- sinx+ cosx) 3 3 2 2

2 3 2π sin(x+ ). 3 3

π 17.(2013·安徽理)已知函数 f(x)=4cosω x·sin(ω x+ )(ω >0)的最小正周期为 π . 4 (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0, ]上的单调性. 2 π π π 答案 (1)1 (2)单调递增区间为[0, ],单调递减区间为[ , ] 8 8 2 π 解析 (1)f(x)=4cosω x·sin(ω x+ ) 4 =2 2sinω x·cosω x+2 2cos ω x = 2(sin2ω x+cos2ω x)+ 2 π =2sin(2ω x+ )+ 2. 4 因为 f(x)的最小正周期为 π ,且 ω >0, 2π 从而有 =π ,故 ω =1. 2ω
2

π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ )+ 2. 4 π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 当 当 π π π π ≤2x+ ≤ ,即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 4 4 2 8 π π 5π π π ≤2x+ ≤ ,即 ≤x≤ 时 f(x)单调递减. 2 4 4 8 2 π π π ]上单调递增,在区间[ , ]上单调递减. 8 8 2

综上可知,f(x)在区间[0,

?sinx-cosx?sin2x 18.已知函数 f(x)= . sinx (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递减区间. 答案 (1){x∈R|x≠kπ ,k∈Z} T=π 3π 7π (2)[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 8 8 解析 (1)由 sinx≠0,得 x≠kπ (k∈Z). 故 f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ ,k∈Z}. sin2x 因为 f(x)=(sinx-cosx) sinx =2cosx(sinx-cosx) =sin2x-cos2x-1 π = 2sin(2x- )-1, 4 2π 所以 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π 3π (2)函数 y=sinx 的单调递减区间为[2kπ + ,2kπ + ](k∈Z). 2 2 π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,x≠kπ (k∈Z), 2 4 2 3π 7π 得 kπ + ≤x≤kπ + (k∈Z). 8 8 3π 7π 所以 f(x)的单调递减区间为[kπ + ,kπ + ](k∈Z). 8 8

1.(2013·浙江理)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(A>0,ω >0,φ ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ = π ”的( 2 )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 B

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π 解析 f(x)是奇函数时,φ = +kπ (k∈Z); 2 π π π φ = 时,f(x)=Acos(ω x+ )=-Asinω x 为奇函数.所以“f(x)是奇函数”是“φ = ”的必要 2 2 2 不充分条件,选 B. π π 2. 已知函数 f(x)=sin(2x+φ ), 其中 φ 为实数, 若 f(x)≤|f( )|对 x∈R 恒成立, 且 f( )>f(π ), 6 2 则 f(x)的单调递增区间是( )

π π A.[kπ - ,kπ + ](k∈Z) 3 6 π B.[kπ ,kπ + ](k∈Z) 2 π 2π C.[kπ + ,kπ + ](k∈Z) 6 3 π D.[kπ - ,kπ ](k∈Z) 2 答案 C π 解析 由题意知,f(x)在 处取得最大值或最小值, 6 π ∴x= 是函数 f(x)的对称轴. 6 π π π ∴2× +φ = +kπ ,φ = +kπ ,k∈Z. 6 2 6 π 又由 f( )>f(π ),得 sinφ <0. 2 5 5 ∴φ =- π +2kπ (k∈Z),不妨取 φ =- π . 6 6 5π ∴f(x)=sin(2x- ). 6 π 5 π 由 2kπ - ≤2x- π ≤2kπ + ,得 2 6 2

f(x)的单调递增区间是[kπ + ,kπ +

π 6

2π ](k∈Z). 3

3.若函数 f(x)=Msin(ω x+φ )(ω >0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函数

g(x)=Mcos(ω x+φ )在[a,b]上(
A.是增函数 B.是减函数

)

C.可以取得最大值 M D.可以取得最小值-M 答案 C 解析 方法一(特值法):取 M=2,w=1,φ =0 画图像即得答案. 2π π π 方法二:T= ,g(x)=Mcos(wx+φ )=Msin(wx+φ + )=Msin[w(x+ )+φ ], w 2 2w π T ∴g(x)的图像是由 f(x)的图像向左平移 (即 )得到的. 2w 4

T b-a 由 b-a= ,可知,g(x)的图像由 f(x)的图像向左平移 得到的. 2 2
∴得到 g(x)图像如图所示.选 C.

4.已知函数 f(x)=2cos x+2 3sinxcosx-1(x∈R). (1)求函数 f(x)的周期、对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调增区间. 答案 (1)T=π ,对称轴方程为 x= π π (2)[kπ - ,kπ + ](k∈Z) 3 6 π 2 解析 f(x)=2cos x+2 3sinxcosx-1= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+ ). 6 (1)f(x)的周期 T=π ,函数 f(x)的对称轴方程为 x=

2


2

π + (k∈Z) 6



π + (k∈Z). 2 6

π π π π π (2)由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z),得 kx- ≤x≤kπ + (k∈Z). 2 6 2 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调增区间为[kπ - ,kπ + ](k∈Z). 3 6 1 5.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)- . 2 π 2 (1)若 0<α < ,且 sinα = ,求 f(α )的值; 2 2 (2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 1 答案 (1) 2 3π π? ? (2)T=π ,?kπ - ,kπ + ?,k∈Z 8 8? ? 2 与 α 的取值范围, 求出 cosα 或 α 的值; 再代入函数 f(x), 即可求出 f(α ) 2

思路 (1)由 sinα =

的值.(2)利用二倍角公式与辅助角公式,化简函数 f(x),再利用周期公式,即可求出函数 f(x)的最小正 周期;利用正弦函数的单调性,即可求出函数 f(x)的单调递增区间. π 2 解析 方法一:(1)因为 0<α < ,sinα = , 2 2 ∴cosα = 2 2? 2 2? 1 1 .∴f(α )= ? + ?- = . 2 2 ?2 2 ? 2 2

1 2 (2)因为 f(x)=sinxcosx+cos x- 2 1 1+cos2x 1 = sin2x+ - 2 2 2 π? 1 1 2 ? = sin2x+ cos2x= sin?2x+ ?, 4? 2 2 2 ? 2π 所以 T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ? 1 2 方法二:f(x)=sinxcosx+cos x- 2 1 1+cos2x 1 1 1 = sin2x+ - = sin2x+ cos2x 2 2 2 2 2 = π? 2 ? sin?2x+ ?. 4? 2 ?

π 2 π (1)因为 0<α < ,sinα = ,所以 α = . 2 2 4 从而 f(α )= π? 2 2 3π 1 ? sin?2α + ?= sin = . 4? 2 2 4 2 ?

2π (2)T= =π . 2 π π π 3π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 2 4 2 8 8 3π π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为?kπ - ,kπ + ?,k∈Z. 8 8? ?


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