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2015年高三数学名校试题分类汇编(1月 第二期)C单元 三角函数(含解析)


C 单元 三角函数
目录 C1 角的概念及任意角的三角函数 2 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 2 C3 三角函数的图象与性质 4 C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C5 C6 C7 C8 C9 两角和与差的正弦、余弦、正切 24 二倍角公式 27 三角函数的求值、化简与证明 33 解三角形 39 单元综合 59 20

>
1

C1 角的概念及任意角的三角函数 C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 【 数 学 文 卷 · 2015 届 湖 南 省 衡 阳 市 八 中 高 三 上 学 期 第 六 次 月 考 ( 201501 ) 】 7. 若

sin ? ? cos ? ?2 sin ? ? cos ? 则 sin 2? =(



A. 1

B. 3

C.

1 2

3 D. 5

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案】D

sin ? ? cos ? tan ? ? 1 ?2 【解析】∵ sin ? ? cos ? ,∴ tan ? ? 1 =2,从而解得 tanθ=3,
3 2 tan ? 2 ∴sin2θ= 1 ? tan ? = 5 。

sin ? 【思路点拨】运用同角的三角函数关系式:tanθ= cos ? 即可化简利用万能公式即可求值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】11.在 ?ABC 中, 围 A. (2,3] B. [1,3] C. (0,2] D. (2,5]

tan

A? B ? 2 sin C , 2 若 AB ? 1,求 ?ABC 周长的取值范

【知识点】同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8

tan
【答案】 【解析】A 解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

? cos C ?

1 p AB BC AC 2 3 ,\ C = = = = 2 3 .由正弦定理,得 sin C sin A sin B 3 ,

y = AB + BC + CA = 1 +
△ABC 的周长

2 3 2 3 2p sin A + sin( - A) 3 3 3

2

=1+

2 3骣 3 3 p 琪 sin A + cos A = 1 + 2sin 骣 琪 A+ 琪 琪 3 桫 2 2 桫 6 ,

骣 p 1 p p 5p < sin 琪 A+ < A+ < 琪 2 6 桫 6 6 6 ∵ ,∴

1


所以,△ABC 周长的取值范围是 (2,3] ,故选 A. 【思路点拨】利用三角形的三角和为 π 及三角函数的诱导公式化简已知的等式,利用三角 形中内角的范围,求出∠C 的大小,利用三角形的正弦定理将边 BC,CA 用角 A 的三角函数表 示,利用两角差的正弦公式展开,再利用三角函数中的辅助角公式将三角形的周长化简成 y=Asin(ωx+φ)+k 形式,利用三角函数的有界性求出△ABC 周长的取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】11.在 ?ABC 中, 围 A. (2,3] B. [1,3] C. (0,2] D. (2,5]

tan

A? B ? 2 sin C , 2 若 AB ? 1,求 ?ABC 周长的取值范

【知识点】同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8

tan
【答案】 【解析】A 解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

? cos C ?

1 p AB BC AC 2 3 ,\ C = = = = 2 3 .由正弦定理,得 sin C sin A sin B 3 ,

y = AB + BC + CA = 1 +
△ABC 的周长

2 3 2 3 2p sin A + sin( - A) 3 3 3

=1+

2 3骣 3 3 p 琪 sin A + cos A = 1 + 2sin 骣 琪 A+ 琪 琪 3 桫 2 2 桫 6 ,

骣 p 1 p p 5p < sin 琪 A+ < A+ < 琪 2 6 桫 6 6 6 ∵ ,∴

1


所以,△ABC 周长的取值范围是 (2,3] ,故选 A. 【思路点拨】利用三角形的三角和为 π 及三角函数的诱导公式化简已知的等式,利用三角 形中内角的范围,求出∠C 的大小,利用三角形的正弦定理将边 BC,CA 用角 A 的三角函数表 示,利用两角差的正弦公式展开,再利用三角函数中的辅助角公式将三角形的周长化简成 y=Asin(ωx+φ)+k 形式,利用三角函数的有界性求出△ABC 周长的取值范围.

3

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

cos 40?
(201501) 】7. 化简 cos 25? 1 ? sin 40? A. 1 B. 3 C.

?
( ) D. 2 解
0

2

【知识点】二倍角公式;诱导公式;辅助角公式.C2 C6 【 答 案 】 【 解 析 】 C
2 0 2 0 0 0









=

cos 20 - sin 20 cos 20 + sin 20 2 cos 25 = = = 2 0 0 0 0 cos 25 cos 250 cos 25 cos 20 - sin 20

(

)

,故选 C.

【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】14.已

? ? (? , 2? ), cos ? ? ,


3 ? tan(? ? ) 5 则 4 等于

.

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2

1 【答案】- 7

? ? (? , 2? ), cos ? ? ,
【 解 析 】 由 则

3 5

??(

3? , 2? ) 2



4 4 ? tan ? ? 1 1 tan(? ? ) 4 = 1 ? tan ? =- 7 sin ? =- 5 ,tan ? =- 3 , tan(? ?
【思路点拨】先根据角的范围求出正切值,再求

?

) 4 。

C3 三角函数的图象与性质 【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】16、(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x, ? 3sin2 x) , b ? (cos x,1) , x ? R . (1)求 f ?x ? 的单调递减区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , f ( A) ? ?1 , a ? 7 , 且 向 量

4

m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C) 共线,求边长 b 和 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8

? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? 【答案】(1) ? (2)b=3,c=2
?? ? f ?x ? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos? 2 x ? ? 3 ?. ? 【解析】 (1) 由题意知
? y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ? 上单调递减,

?令

2k? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ? ?
,得

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? f ?x ?















? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? ?

?? ?? ? ? ? ? 7? ? cos? 2 A ? ? ? ?1 ? f ? A? ? 1 ? 2 cos? 2 A ? ? ? ?1 ? 2A ? ? 3 3 ? ? ? ? 3 3 , (2) , ,又 3
?2A ?

?
3

??,


A?

?
3
2

2 2 2 a ? 7 ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? ?b ? c? ? 3bc =7.

B 与 ) n ? (2,sin C) 共 线 , 所 以 2 s i nB ? 3 s iC n ,由正弦定理得 因 为 向 量 m ? ( 3, sin
2b ? 3c .
? b ? 3, c ? 2 .

【思路点拨】化简求出单调区间,根据余弦定理,正弦定理解出边 b,c.

x ? (0, ) 2 , 【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考 (201501) 】 14.设

?

y?
则函数

sin 2 x 2sin 2 x ? 1 的最大值为

.

【知识点】三角函数的图象与性质 C3

3 【答案】 3

5

x ? (0, ) 2 , tan x ? 0 , 【解析】因为

?

y?
函数

sin 2 x 2sin x cos x 2 tan x 2 2 3 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2sin x ? 1 3sin x ? cos x 3tan x ? 1 3tan x ? 1 3 2 3 tan x ,
3 tan x ? 1 3 tan x 等号成立. 故最大值为 3 .

当且仅当

【思路点拨】跟据三角函数的图象与性质,再利用均值不等式求结果。

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】16、(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x, ? 3sin2 x) , b ? (cos x,1) , x ? R . (1)求 f ?x ? 的单调递减区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , f ( A) ? ?1 , a ? 7 , 且 向 量

m ? ( 3, s i B n 与 ) n ? (2,sin C) 共线,求边长 b 和 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8

? ?? ? ?k ? Z ? k ? ? , k ? ? ? ? 6 3 ? ? 【答案】(1) (2)b=3,c=2
?? ? f ?x ? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos? 2 x ? ? 3 ?. ? 【解析】 (1) 由题意知
? y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ? 上单调递减,

?令

2k? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ? ?
,得

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? f ?x ?















? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? ?

?? ?? ? ? ? ? 7? ? cos? 2 A ? ? ? ?1 ? f ? A? ? 1 ? 2 cos? 2 A ? ? ? ?1 ? 2A ? ? 3? 3? ? ? 3 3 , (2) , ,又 3
?2A ?

?
3

??,


A?

?
3
6

2 2 2 a ? 7 ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? ?b ? c? ? 3bc =7. 2

B 与 ) n ? (2,sin C) 共 线 , 所 以 2 s i nB ? 3 s iC n ,由正弦定理得 因 为 向 量 m ? ( 3, sin
2b ? 3c .
? b ? 3, c ? 2 .

【思路点拨】化简求出单调区间,根据余弦定理,正弦定理解出边 b,c.

x ? (0, ) 2 , 【数学理卷· 2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考 (201501) 】 14.设

?

y?
则函数

sin 2 x 2sin 2 x ? 1 的最大值为

.

【知识点】三角函数的图象与性质 C3

3 【答案】 3
x ? (0, ) 2 , tan x ? 0 , 【解析】因为

?

y?
函数

sin 2 x 2sin x cos x 2 tan x 2 2 3 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2sin x ? 1 3sin x ? cos x 3tan x ? 1 3tan x ? 1 3 2 3 tan x ,
3 tan x ? 1 3 tan x 等号成立. 故最大值为 3 .

当且仅当

【思路点拨】跟据三角函数的图象与性质,再利用均值不等式求结果。

【 数 学 理 卷 · 2015 届 湖 北 省 部 分 高 中 高 三 元 月 调 考 ( 201501 ) 】 6. 设 函 数

f ( x) ? 3 sin(?x ? ? )(? ? 0,?
( )

?
2

?? ?

?

2 的图像关于直线

)

x?

2? 3 对称,它的周期是 ? , 则

1 (0, ) 2 A. f ( x ) 的图象过点
5? ,0) B. f ( x) 的一个对称中心是 12 (

7

C. f ( x ) 在 12

[

? 2?
,

] 3 上是减函数

D.将 f ( x) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到函数 y ? 3sin ?x 的图象 【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】B

2 【解析】因为函数的周期为π ,所以ω =2,又函数图象关于直线 x= 3 π 对称,

? ? 所以由 f(x)=3sin(2x+φ )(ω >0,- 2 <φ < 2 ),
2 ? 5? ? ? 可知 2× 3 π +φ =kπ + 2 ,φ =kπ - 6 ,- 2 <φ < 2 ,

? 所以 k=1 时φ = 6 .

? 3 函数的解析式为:f(x)=3sin(2x+ 6 ).当 x=0 时 f(0)= 2 ,所以 A 不正确.
5? 5? 当 x= 12 时 f(x)=0.函数的一个对称中心是( 12 ,0)B 正确;

? 2? ? ? 3? 当 12 <x< 3 ,2x+ 6 ∈[ 3 , 2 ],函数不是单调减函数,C 不正确;
f(x)的图象向右平移|φ |个单位得到函数 y=3sin(ω x+φ -ω φ )的图象,不是函数 y=3sin ω x 的图象,D 不正确; 【思路点拨】根据三角函数的单调性周期性对称性求出。

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】12.已知函 数 f ( x) ? sin ??x ? ? ? ( ? >0,

0?? ?

?

2 )的图象如右图所示,则 ? =

.

8

【知识点】三角函数的图像和性质 C3

7? ? ? T 2? ? ? ? T? ?? ?? ? 2 ? 【答案】 【解析】 3 解析:由图像可得 12 3 4 4 , ,所以

?

3 ? ? 7? ? ? 2?? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 0 ?? ? ? f ? x? ? sin? 2x ? ? ? 2 3 ? 12 ? 2 ,所 , ,因为

??


?

?

3 ,故答案为 3 . T? 2?

【思路点拨】根据图像可得函数的正确为 ? ,根据周期公式可得

?

?? ?? ? 2
,因

x?
为在

3 ? ? 7? ? 7? 2?? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 2 3 ? 12 ? 12 处取得最小值, 所以 , 可求得结果.

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】12.已知函 数 f ( x) ? sin ??x ? ? ? ( ? >0,

0?? ?

?

2 )的图象如右图所示,则 ? =

.

【知识点】三角函数的图像和性质 C3

7? ? ? T 2? ? ? ? T? ?? ?? ? 2 ? 【答案】 【解析】 3 解析:由图像可得 12 3 4 4 , ,所以

?

f ? x? ? sin? 2x ? ? ?
??


3 ? ? 7? ? ? 2?? 0 ?? ? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 2 3 ? 12 ? 2 ,所 , ,因为

?

?

3 ,故答案为 3 . T? 2?

【思路点拨】根据图像可得函数的正确为 ? ,根据周期公式可得

?

?? ?? ? 2
,因

x?
为在

3 ? ? 7? ? 7? 2?? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 2 3 ? 12 ? 12 处取得最小值, 所以 , 可求得结果.
9

【数学文卷· 2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考( 201412 ) 】 12. 已知函数

f ( x) ? sin ??x ? ? ? ( ? >0,

0?? ?

?

2 )的图象如右图所示,则 ? =

.

【知识点】三角函数的图像和性质 C3

7? ? ? T 2? ? ? ? T? ?? ?? ? 2 ? 【答案】 【解析】 3 解析:由图像可得 12 3 4 4 , ,所以

?

3 ? ? 7? ? ? 2?? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 0 ?? ? ? f ? x? ? sin? 2x ? ? ? 12 2 3 ? ? 2 ,所 , ,因为

??


?

?

3 ,故答案为 3 . T? 2?

【思路点拨】根据图像可得函数的正确为 ? ,根据周期公式可得

?

?? ?? ? 2
,因

x?
为在

3 ? ? 7? ? 7? 2?? ? ? ? ? ? ? 2k? ? ? ? ? 2k? 2 3 ? 12 ? 12 处取得最小值, 所以 , 可求得结果.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】4 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 于( A )

f ( ? x) ? f ( ? x), f ( ) 6 6 6 等 则

?

?

?

2 或0

B

?2 或 2

C

0

D

?2 或 0

【知识点】三角函数的图象 C3 【答案】 【解析】B

f ( ? x) ? f ( ? x), 6 6 解析:因为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 所以该函数图

?

?

10

x?
象关于直线

?
6 对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以选 B.

【思路点拨】 抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关 键.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试

f ( ? x) ? f ( ? x), f ( ) 6 6 6 等 (201501) 】4 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 则
于( A )

?

?

?

2 或0

B

?2 或 2

C

0

D

?2 或 0

【知识点】三角函数的图象 C3 【答案】 【解析】B

f ( ? x) ? f ( ? x), 6 6 解析:因为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 所以该函数图
x?
象关于直线

?

?

?
6 对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以选 B.

【思路点拨】 抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关 键.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试

f ( ? x) ? f ( ? x), f ( ) 6 6 6 等 (201501) 】4 函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 则
于( A )

?

?

?

2 或0

B

?2 或 2

C

0

D

?2 或 0

【知识点】三角函数的图象 C3 【答案】 【解析】B

f ( ? x) ? f ( ? x), 6 6 解析:因为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 对任意 x 都有 所以该函数图
x?
象关于直线

?

?

?
6 对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以选 B.

【思路点拨】 抓住正弦曲线在对称轴位置对应的函数值是函数的最大值或最小值是本题的关 键.

11

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】8.下列函数最小正周期为 ? 且图象关于直线

x?

?
3 对称的函数是

y ? 2 sin( 2 x ?
A.

?
3

)

y ? 2 sin( 2 x ? ) 6 B. y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 D.

?

x ? y ? 2 sin( ? ) 2 3 C.
【答案】 【解析】B

?

【知识点】正弦函数的对称性.C3

解析:∵y=f(x)的最小正周期为 ? ,可排除 C;

其图象关于直线

x?

?
3 对称,

p f( ) ∴A 中, 3 = sin p = 0 贡 1 ,故 A 不满足;

骣 2p p p sin 琪 =1 f( ) 琪 桫3 6 对于 B, 3 )= ,满足题意;
骣 2p p p 琪 贡 1 f ( ) sin 琪 桫3 3 对于 D, 3 = ,故 D 不满足;
故选 B.

【思路点拨】将

x?

?
3 代入各个关系式,看看能否取到最值即可.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】8.下列函数最小正周期为 ? 且图象关于直线

x?

?
3 对称的函数是

y ? 2 sin( 2 x ?
A.

?
3

)

y ? 2 sin( 2 x ? ) 6 B. y ? 2 sin( 2 x ? ) 3 D.

?

x ? y ? 2 sin( ? ) 2 3 C.

?

【知识点】正弦函数的对称性.C3 【答案】 【解析】B 解析:∵y=f(x)的最小正周期为 ? ,可排除 C;

12

其图象关于直线

x?

?
3 对称,

p f( ) ∴A 中, 3 = sin p = 0 贡 1 ,故 A 不满足;

骣 2p p p sin 琪 =1 f( ) 琪 3 6 桫 3 对于 B, )= ,满足题意;
骣 2p p p 贡 1 f ( ) sin 琪 琪 桫3 3 对于 D, 3 = ,故 D 不满足;
故选 B.

【思路点拨】将

x?

?
3 代入各个关系式,看看能否取到最值即可.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】18.(本小题满分 12 分)

x ? x ? f ( x) ? 2 3 sin( ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 2 4 2 4 已知函数 .
(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; π (2)若将 f ( x) 的图象向右平移6个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间[0,π] 上的最大值和最小值. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3

【答案】 【解析】 (1)2π ,

[?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ]k ? Z 6 6 (2)2,-1

?? ? f ? x ? ? 3 sin? x ? ? ? sinx ? 2? ? 解析: ( 1 )因为
?
f(x)的最小正周期为 2π;由

?? ? 3 cos x + sin x ? 2 sin ?x? ? 3 ? ,所以 ?
5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 得 6 ?

?
2

? 2 k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2 k?

[?
所以增区间为

5? ? ? 2k? , ? 2k? ]k ? Z 6 6

π (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象,

13

π ?π 7π? ? π? ? π? π ? π? ∴g(x)=f x-6 =2sin[ x-6 +3]=2sin x+6 ,∵x∈[0,π],∴x+6∈ 6, 6

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

π π π π 7π ? π? ? π? ∴当 x+6=2, 即 x=3时, sin x+6 =1, g(x)取得最大值 2,当 x+6= 6 , 即 x=π 时, sin x+6

?

?

1 = ? 2,g(x)取得最小值 ? 1. 【思路点拨】研究三角函数的性质时通常先化成一个角的三角函数再进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 14. 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 , 可 得 到 函 数

y ? sin(2 x ? ) 4 的图象,则 ? 的最小值为
【知识点】三角函数的图象变换 C3

?

? 【答案】 【解析】 8

?? ?? ? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 4? 8 ? ,所以 ? 的最小值为 8 . ? ? 解析:因为
【思路点拨】由函数解析式的关系判断左右平移变换时,抓住 x 的变化进行判断.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】18.(本小题满分 12 分)

x ? x ? f ( x) ? 2 3 sin( ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) 2 4 2 4 已知函数 .
(1)求 f ( x) 的最小正周期及单调增区间; π (2)若将 f ( x) 的图象向右平移6个单位,得到函数 g ( x) 的图象,求函数 g ( x) 在区间[0,π] 上的最大值和最小值. 【知识点】三角函数的图象与性质 C3

【答案】 【解析】 (1)2π ,

[?

5? ? ? 2k? , ? 2k? ]k ? Z 6 6 (2)2,-1

?? ? f ? x ? ? 3 sin? x ? ? ? sinx ? 2? ? 解析: ( 1 )因为
?
f(x)的最小正周期为 2π;由

?? ? 3 cos x + sin x ? 2 sin ?x? ? 3 ? ,所以 ?
5? ? ? 2 k? ? x ? ? 2 k? 6 得 6 ?
14

?
2

? 2 k? ? x ?

?
3

?

?
2

? 2 k?

[?
所以增区间为

5? ? ? 2k? , ? 2k? ]k ? Z 6 6

π (2)∵将 f(x)的图象向右平移6个单位,得到函数 g(x)的图象, π ?π 7π? ? π? ? π? π ? π? ∴g(x)=f x-6 =2sin[ x-6 +3]=2sin x+6 ,∵x∈[0,π],∴x+6∈ 6, 6

?

?

?

?

?

?

?

? ? ?

π π π π 7π ? π? ? π? ∴当 x+6=2, 即 x=3时, sin x+6 =1, g(x)取得最大值 2,当 x+6= 6 , 即 x=π 时, sin x+6

?

?

1 = ? 2,g(x)取得最小值 ? 1. 【思路点拨】研究三角函数的性质时通常先化成一个角的三角函数再进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 14. 将 函 数 y ? sin 2 x 的 图 象 向 左 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 , 可 得 到 函 数

y ? sin(2 x ? ) 4 的图象,则 ? 的最小值为
【知识点】三角函数的图象变换 C3

?

? 【答案】 【解析】 8

?? ?? ? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 4? 8 ? ,所以 ? 的最小值为 8 . ? ? 解析:因为
【思路点拨】由函数解析式的关系判断左右平移变换时,抓住 x 的变化进行判断.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 单 位 圆 上 有 四 点

E ?1,0? , A? cos? ,sin ? ? ,

?? ? B ? cos 2? ,sin 2? ? , C ? cos3? ,sin 3? ? , ? 0 ? ? ? ? 3? ?









?OAC、?ABC 的面积为 S1和S2 .

cos? 表示 S1和S2 ; (1)用 sin?,

S1 S ? 2 (2)求 cos? sin ? 的最大值及取最大值时 ? 的值。

15

y
B C O

A

?
A

E

x

(第 18 题图) 【知识点】诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质 C3 C6

【答案】 (1)

S1 ?

1 ? 6? 2 sin 2? , S2 ? sin ? ?1 ? cos ? ? 2 4 ; (2)最大值为 , ? 的值为 3 .

【解析】解析: (1)根据三角函数的定义,知 ?xOA ? ? , ?xOB ? 2? , ?xOC ? 3? ,

1 1 S1 ? ?1?1? sin ?3? ? ? ? ? sin 2? 2 2 所以 ?xOA ? ?AOB ? ?BOC ? ? ,所以 . 1 1 ?1?1? sin ? ? ?1?1? sin ? ? sin ? 2 ,

又因为 S1 +S 2 ? 四边形 OABC 的面积= 2

1 S2 ? sin? ? sin 2? ? sin? ?1 ? cos? ? 2 所以 .
( 2 ) 由 ( 1

(7 分) ) 知

S1 S sin ? cos? sin ? ?1 ? cos? ? ?? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 cos? sin ? cos? sin ? 4? . ?

因为

0 ?? ?

?

3 ,所以 4

?

?

?? ?

?
4

?

?
12 ,所以

?

2 ? ? 6? 2 ? sin(? ? ) ? sin ? 2 4 12 4 ,

S1 S ? 6? 2 ? 2 4 所以 cos? sin ? 的最大值为 ,此时 ? 的值为 3 .

(14 分)

【思路点拨】 根据三角函数的定义得 ?xOA ? ?AOB ? ?BOC ? ? , 可得 S1 , 根据 S1 +S 2 ? 四

S1 S ?? ? ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 4 ? ,根据已知角的范 ? 边形 OABC 的面积,求得 S2 ;由(1)得 cos? sin ?
围求得结果.

16

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(17)(本小题满分 10 分)

x x x m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos ,cos 2 ) 4 4 4 ,记 已知向量 f (a) ?


f ( x) ? m ? n

3 2? cos( ? a) 2 ,求 3 的值;

2? ( Ⅱ ) 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移 3 个 单 位 得 到 y ? g ( x) 的 图 象 , 若 函 数

? 7? ? 0, ? y ? g ( x) ? k 在 ? ? 3 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围
【知识点】向量的数量积;三角函数的求值;三角函数的图像. F3 C3 C7

x x x ? 3? ?x ?? 1 0, ? f ? x ? ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? ? ? ? ? 4 4 4 ?2 6? 2 【答案】 【解析】(I)1(II) ? 2 ? 解析:
f ?a? ? 3 2

(I)









?? ? ? 1 3 sin ? ? ? ? ? ?2 6? 2 2 ? ? ?1 ?







? ? 4k? ?

2? 2? ? 2? ? ? 2? , k ? Z ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? 4k? ? 3 3 ? 3 ? ? 3

?? 1 ?1 2? g ? x ? ? sin ? x ? ? ? y ? f ? x? 6 ? 2 的图 ?2 (II) 将函数 的图象向右平移 3 个单位得到函数
1 ?? ? 7? ? ?1 ? 1 ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? ? x? ?? ?0, 3 ? 6? , ?2 ? 时, 6 2 6 象,当 x∈ ? ,所以 2

?? 1 3 ? 7? ? ? 3? ?1 0, ? 0 ? sin ? x ? ? ? ? ? ?0, ? 6? 2 2, ?2 所以 若函数 y ? g ( x) ? k 在 ? 3 ? 上有零点, 则 k∈ ? 2 ?
【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的取值,

? 7? ? ?0, 3 ? y ? g ( x ) ? k ? 上有零点得 k 范围. 从而求得使函数 在 ?

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届重庆一中高三 12 月月考 (201412) word 版】 2. 函

y ? 3sin(3 x ? ) ? 3 3 数 的最小正周期为(

?

)

17

?
A. 3

2? B. 3

C. 3?

3? D. 2

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 【解析】B 解析:因为 T=,故答案为 B. 【思路点拨】可直接利用公式进行计算.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】18. (本小题满分 14 分)

sin
已知

x x ? 2 cos ? 0. 2 2

(1)求 tan x 的值;

cos 2 x 2 cos( ? x) sin x 4 (2)求 的值。
【知识点】两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质 C3 C6

?

4 1 【答案】 (1) 3 ; (2) 4 . ?

sin
【解析】解析: (1)由

x x x ? 2 cos ? 0. tan ? 2, 2 2 2 得

(3 分)

x 2 ? 2? 2 ? ? 4. tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 故 2 tan

(3 分)

? 2(
(2)原式

cos 2 x ? sin 2 x 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2
(2 分)

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x
cos x ? sin x sin x 1 3 1 ? 1? ? . tan x 4 4

?

(3 分)

? 1?

(3 分)
18

tan
【思路点拨】由已知可得

x ? 2, 2 利用二倍角公式可求得 tan x ;将已知式子分子降价升

幂,分母利用两角和的余弦展开式展开,化简即可.

【 【名校精品解析系列】 数学文卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(17)(本小题满分 10 分)

x x x m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos ,cos 2 ) 4 4 4 ,记 已知向量 f (a) ?
(I)若

f ( x) ? m ? n

3 2? cos( ? a) 2 ,求 3 的值; 2? 3 个单位得到 y ? g ( x) 的图象,若函数

( Ⅱ ) 将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 7? ? 0, ? y ? g ( x) ? k 在 ? ? 3 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围
【知识点】向量与三角函数 C3 F3

x x x ? 3? ?x ?? 1 0, ? f ? x ? ? 3 sin cos ? cos 2 ? sin ? ? ? ? ? 4 4 4 ? 2 6 ? 2 (I) 【答案】 【解析】 (I)1(II) ? 2 ? 解析:
f ?a? ? 3 2









?? ? ? 1 3 sin ? ? ? ? ? ?2 6? 2 2
? o? ? s ? ? 2? ? ? ? 3







? ? 4k

2? ?? 3

,k

? ?Z ? ?

2? c ? 3

2? ? ? c k? o ? s ? 3 ?

? 4

?

(II) 将函数

y ? f ? x?

?? 1 ?1 2? g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 6 ? 2 的图 ?2 的图象向右平移 3 个单位得到函数
?
因 为







?? 1 ?1 y ? g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 6? 2 ?2

?
6

?

1

x? 2

?

?? 6 , 所 以

1 ?? ?? 1 3 ? 7? ? ?1 ?1 0, ? ? sin ? x ? ? ? 1 0 ? sin ? x ? ? ? ? 2 6 ? ,所以 6 ? 2 2 ,若函数 y ? g ? x ? 在 ? ? 3 ? ?上 ?2 ?2
3 的最大值为 2 ,最小值为 0.
【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的取值.

19

C4 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】6.已知

? ? ? 0, ? ?

? 2 sin(? ? ) ? 4 10 ,则 tan 2? ? ( ,且
24 D. 7



4 A. 3

3 B. 4

24 C. 7 ?

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5

【答案】 【解析】C

解析:∵

? ? ? 0, ? ?

? 2 p 7 2 sin(? ? ) ? cos(q - ) = 4 10 , 4 10 ,∴ ,且

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 =2 1 - tan q 7 ,故选:C. cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】13.已知

? ? ? 0, ? ?

sin(? ?
,且

?
4

)?

2 10 ,则 tan 2? ? ________.

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5

24 【答案】 【解析】 7 ?

解析: ∵

? ? ? 0, ? ?

? 2 p 7 2 sin(? ? ) ? cos(q - ) = 4 10 , 4 10 , , 且 ∴

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 24 =? 2 1 - tan q 7 ,故答案为 7 . cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得

20

方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】13.已知

? ? ? 0, ? ?

sin(? ?
,且

?
4

)?

2 10 ,则 tan 2? ? ________.

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5

24 【答案】 【解析】 7 ?

? 2 p 7 2 sin( ? ? ) ? cos( q ) = ? ? ? 0, ? ? 4 10 , 4 10 , 解析: ∵ , 且 ∴

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 24 =? 2 1 - tan q 7 ,故答案为 7 . cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】16.(13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? 2 .
2 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,求 f ( x) 的值域. (2)当
【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值 域.C4 C5 C6 (2)最大值为 1,最小 值为 ? 2

【答案】 【解析】 (1)

f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 解析: (1)

?

21



的单调增区间为

(2)



∴当

时,

的最大值为 1,最小 值为 ? 2

【思路点拨】 (1)利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简 f ( x) 的解析式,利用三角函数

的性质,可得 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 域求得

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,根据正弦函数的定义域和值

,从而得到 f ( x) 的值域.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】17.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2 )的

周期为 ? ,且图象上一个最低点为 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

M(

2? , ?2) 3 。

x ? [0,
(Ⅱ)当

] 12 ,求 f ( x) 的最值.

?

【知识点】函数 y = A sin(wx +j ) 的图象变换;由 y = A sin(wx +j ) 的部分图象确定其解 析式.C4 C7

骣 p f ( x) = 2sin 琪 2x + 琪 f x 6 ; 桫 【答案】 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ) x = 0 时, ( ) 取得最小值 1;
x= p 12 时, f ( x) 取得最大值 3 。

M(
解析: (Ⅰ)由最低点为

2p 2? w= =2 , ?2) T 3 得 A = 2 ,由周期为 ? 得
22

M(
由点

4p 4p 2? 2sin( +j ) = - 2 sin( +j ) = - 1 , ?2) 3 3 3 在图象上得 即 , Z)

4p p 11p +j = 2 k p j = 2 kp (k 3 2 6 所以 ,故 0 <j <


,

骣 p p p f ( x) = 2sin 琪 2x + j = 琪 桫 6 。 6 ,所以 2 ,所以

x ? [0,
(Ⅱ)因为

?

12 ,可得

]

2x +

p 6

轾 p p 犏, 犏 6 3 , 臌

2x +
所以当

p p = 6 6 时,即 x = 0 时, f ( x) 取得最小值 1;

2x +


p p p = x= 12 时, f ( x) 取得最大值 3 。 6 3 ,即

M(
【思路点拨】 (Ⅰ) 由最低点求出 A, 利用周期求出 ω, 图象上一个最低点为

2? , ?2) 3 . 代

入函数解析式求出 j , 然后求 然后求出求

f ( x)

x ? [0,
的解析式; (Ⅱ) 当

?

12 , 得到

]

2x +

p 6

轾 p p 犏, 犏 6 3 , 臌

f ( x)

的最值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】3.要

y ? cos(2 x ? ) 3 的图象,只需将函数 y ? cos 2 x 的图象( 得到函数
?
A.向右平移 6 个单位长度

?



?
B.向右平移 3 个单位长度

?
C.向左平移 6 个单位长度

?
D.向左平移 3 个单位长度

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】A

? ? ? 【解析】∵将函数 y=cos2x 的图象向右平移 6 个单位,得到 y=cos2(x- 6 )=y=cos(2x- 3 )

23

【思路点拨】根据左加右减,看出三角函数的图象平移的方向,再根据平移的大小确定函数 式中平移的单位,这里的平移的大小,是针对于 x 的系数是 1 来说的.

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 4 【数学理卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】12.已知 tan β=3,sin(α+β) 5 =13,且 α,β∈(0,π),则 sin α 的值为 【知识点】两角和与差的正弦、余弦、正切 C5 .

63 【答案】 65 4 5 4 3 ? 【解析】∵α,β∈(0,π) ,tanβ= 3 ,sin(α+β)= 13 ,∴sinβ= 5 ,cosβ= 5 ,0<β< 2 , 3? ∴0<α+β< 2 , 5 1 ? 5? ∵0<sin(α+β)= 13 < 2 ,∴0<α+β< 6 ,或 6 <α+β<π, 4 ? ? 5? ∵tanβ= 3 >1,∴ 2 >β> 4 ,∴ 6 <α+β<π, 12 1 ? sin (? ? ? ) 13 ∴cos(α+β)==- ,
2

5 3 12 4 63 ∴sinα=sin(α+β-β)=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ= 13 × 5 + 13 × 5 = 65 .
【思路点拨】求得 sinβ 和 cosβ 的值, 根据已知条件判断出 α+β 的范围, 进而求得 cos(α+β) 的值,最后利用正弦的两角和公式求得答案.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】6.已知

? ? ? 0, ? ?

? 2 sin(? ? ) ? 4 10 ,则 tan 2? ? ( ,且
24 D. 7



4 A. 3

3 B. 4

24 C. 7 ?

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5
24

【答案】 【解析】C

解析:∵

? ? ? 0, ? ?

? 2 p 7 2 sin(? ? ) ? cos(q - ) = 4 10 , 4 10 ,∴ ,且

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 =2 1 - tan q 7 ,故选:C. cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】13.已知

? ? ? 0, ? ?

sin(? ?
,且

?
4

)?

2 10 ,则 tan 2? ? ________.

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5

24 【答案】 【解析】 7 ?

解析: ∵

? ? ? 0, ? ?

? 2 p 7 2 sin(? ? ) ? cos(q - ) = 4 10 , 4 10 , , 且 ∴

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 24 =? 2 1 - tan q 7 ,故答案为 7 . cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联

考(201501) 】13.已知

? ? ? 0, ? ?

sin(? ?
,且

?
4

)?

2 10 ,则 tan 2? ? ________.

【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正切.C4 C5

24 【答案】 【解析】 7 ?

解析: ∵

? ? ? 0, ? ?

? 2 p 7 2 sin(? ? ) ? cos(q - ) = 4 10 , 4 10 , , 且 ∴
25

tan(q ∴

4 p tan q - 1 1 tan q = )= = 3, 4 1 +1 tan q 7 ,∴ 2 tan q 24 24 =? 2 1 - tan q 7 ,故答案为 7 . cos(q p p ) tan(q - ) 4 ,可得 4 ,解

tan 2q =


【思路点拨】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 方程求得 tan q ,最后可求得 tan 2q 的值.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】16.(13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? 2 .
2 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,求 f ( x) 的值域. (2)当
【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值 域.C4 C5 C6 (2)最大值为 1,最小 值为 ? 2

【答案】 【解析】 (1)

f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 解析: (1)

?



的单调增区间为

(2)



∴当

时,

的最大值为 1,最小 值为 ? 2

【思路点拨】 (1)利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简 f ( x) 的解析式,利用三角函数
26

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,根据正弦函数的定义域和值 的性质,可得 f ( x) 的单调递增区间; (2)当
域求得 ,从而得到 f ( x) 的值域.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

sin ? cos ? 1 1 ? tan ?? ? ? ? ? 2, 2 ,则 tan ? ? _______ (201501) 】13.已知 1 ? cos 2?
【知识点】倍角公式;两角差的正切公式.C6 C5

1 【 答 案 】【 解 析 】 3
2 s a i n a c o -s

sin ? cos ? 1 ? 2 , 变 形 可 得 : 解 析 : 因 为 1 ? cos 2?

2 =1 = a c o s,根据题意可知 2 a 2 s i nsin a ? 0 ,所以 sin a = cos a ,即

tan a = 1 ,所以

tan b = tan 轾 a - (a - b ) = 臌

1 + tan a tan ( a - b )

tan a - tan ( a - b )

=

1 3

1 ,故答案为 3 。

sin ? cos ? 1 1 ? tan ?? ? ? ? ? 2 得到 tan a = 1 ,再结合 2 进行变角即可。 【思路点拨】先由 1 ? cos 2?

C6 二倍角公式 【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考( 201501 ) 】 16 .在 ?ABC 中,

tan

1 A? B ? 2 sin C , AC ? BC 2 若 AB ? 1 ,则 2 的最大

值 . 【知识点】半角公式;余弦定理;最值问题.C6 C8

21 【答案】 【解析】 3
? cos C ?

tan
解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

1 , 2 而在 ?ABC 中,有 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ? 1 ,令

1 1 AC ? BC ? b ? a ? m 2 2 2 2 ,? b ? 2m ? 2a ,两式联立可得: 7a ? 10ma ? 4m ? 1 ? 0 ,

易知此方程有解,故 ? 0 ,解得

0?m?

21 21 3 ,故答案为 3 。
27

tan
【思路点拨】先根据已知条件利用半角公式化简

1 A? B ? 2 sin C , cos C ? 2 2 ,然后 可得

1 1 AC ? BC ? b ? a ? m 2 结合余弦定理得到关系式 a ? b ? ab ? 1 ,再令 2 ,联立结合方程
2 2

有解的条件即可求出最大值。

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】16.(13 分) 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? 2cos x ? 2 .
2 2

(1)求 f ( x) 的单调递增区间;

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,求 f ( x) 的值域. (2)当
【知识点】两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值 域.C4 C5 C6 (2)最大值为 1,最小 值为 ? 2

【答案】 【解析】 (1)

f ( x) ? 1 ? 2sin x cos x ? 2 cos 2 x ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ? ) 4 解析: (1)

?



的单调增区间为

(2)



∴当

时,

的最大值为 1,最小 值为 ? 2

【思路点拨】 (1)利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简 f ( x) 的解析式,利用三角函数

的性质,可得 f ( x) 的单调递增区间; (2)当

? 3? x ?[ , ] 4 4 时,根据正弦函数的定义域和值

28

域求得

,从而得到 f ( x) 的值域.

【 【名校精品解析系列】数学理卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

cos 40?
(201501) 】7. 化简 cos 25? 1 ? sin 40? A. 1 B. 3 C.

?
( ) D. 2 解 析 : 原 式

2

【知识点】二倍角公式;诱导公式;辅助角公式.C2 C6 【 答 案 】 【 解 析 】 C

=

cos 2 200 - sin 2 200 cos 200 + sin 200 2 cos 250 = = = 2 cos 250 cos 250 cos 250 cos 200 - sin 200

(

)

,故选 C.

【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 已 知 单 位 圆 上 有 四 点

E ?1,0? , A? cos? ,sin ? ? ,
?O A 、? C

?
x









S1和S2 . A B C 的面积为

cos? 表示 S1和S2 ; (1)用 sin?,

S1 S ? 2 (2)求 cos? sin ? 的最大值及取最大值时 ? 的值。

y
B C O

A

?
A

E

(第 18 题图) 【知识点】诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质 C3 C6

29

【答案】 (1)

S1 ?

1 ? 6? 2 sin 2? , S2 ? sin ? ?1 ? cos ? ? 2 4 ; (2)最大值为 , ? 的值为 3 .

【解析】解析: (1)根据三角函数的定义,知 ?xOA ? ? , ?xOB ? 2? , ?xOC ? 3? ,

所以 ?xOA ? ?AOB ? ?BOC ? ? ,所以

1 1 S1 ? ?1?1? sin ?3? ? ? ? ? sin 2? 2 2 .

1 1 ?1?1? sin ? ? ?1?1? sin ? ? sin ? 2 又因为 S1 +S 2 ? 四边形 OABC 的面积= 2 , 1 S2 ? sin? ? sin 2? ? sin? ?1 ? cos? ? 2 所以 .
( 2 ) 由 ( 1

(7 分) ) 知

S1 S sin ? cos? sin ? ?1 ? cos? ? ?? ? ? 2 ? ? ? sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 cos? sin ? cos? sin ? 4? . ?

因为

0 ?? ?

?

3 ,所以 4

?

?

?? ?

?
4

?

?
12 ,所以

?

2 ? ? 6? 2 ? sin(? ? ) ? sin ? 2 4 12 4 ,

S1 S ? 6? 2 ? 2 4 所以 cos? sin ? 的最大值为 ,此时 ? 的值为 3 .

(14 分)

【思路点拨】 根据三角函数的定义得 ?xOA ? ?AOB ? ?BOC ? ? , 可得 S1 , 根据 S1 +S 2 ? 四

S1 S ?? ? ? 2 ? 2 sin ? ? ? ? ? 1 4 ? ,根据已知角的范 ? 边形 OABC 的面积,求得 S2 ;由(1)得 cos? sin ?
围求得结果.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试

sin ? cos ? 1 1 ? tan ?? ? ? ? ? 2, 2 ,则 tan ? ? _______ (201501) 】13.已知 1 ? cos 2?
【知识点】倍角公式;两角差的正切公式.C6 C5

1 【 答 案 】【 解 析 】 3
2 s a i n a c o -s

sin ? cos ? 1 ? 2 , 变 形 可 得 : 解 析 : 因 为 1 ? cos 2?

2 =1 = a c o s,根据题意可知 2 a 2 s i nsin a ? 0 ,所以 sin a = cos a ,即

30

tan a = 1 ,所以

tan b = tan 轾 a - (a - b ) = 臌

1 + tan a tan ( a - b )

tan a - tan ( a - b )

=

1 3

1 ,故答案为 3 。

sin ? cos ? 1 1 ? tan ?? ? ? ? ? 2 得到 tan a = 1 ,再结合 2 进行变角即可。 【思路点拨】先由 1 ? cos 2?

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,角 B 为锐角,且

sin B ?

2 2 3

sin 2
(1)求

A?C ? cos 2 B 2 的值;

(2)若 b ? 2 ,求 ac 的最大值。 【知识点】二倍角 余弦定理 C6 C8

1 【答案】 (1) 9 ; (2)3. ?

? 1 ? 2 2 ? ? cos B ? 3 sin B ? ? 3 ? 【解析】解析: (1) B为锐角
sin 2 A?C 1 ? cos( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2

?

1 ? cos B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2

1?

1 3 ? 2 ? (1)2 ? 1 ? ? 1 2 3 9

(7 分)

cos B ?
(2)由余弦定理得

a2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 3

? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ?
2

2 ac, b ? 2 3 代入得

2 ac ? 4 3
2

又? a ? c ? 2ac

2 ? ac ? 4 ? 2ac 3
31

即 ac ? 3 (当且仅当 a =c 时取等号成立) ∴ ac 的最大值为 3。 (7 分)

cos B ?
【思路点拨】由已知可得

1 3 ,将已知式子降幂升角再由 cos ? A ? C ? ? ? cos B 化简

a2 ? c2 ?
代入即可求值;由余弦定理可得 求得.

2 ac ? 4 2 2 3 ,再利用基本不等式 a ? c ? 2ac 即可

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】18. (本小题满分 14 分)

sin
已知

x x ? 2 cos ? 0. 2 2

(1)求 tan x 的值;

cos 2 x 2 cos( ? x) sin x 4 (2)求 的值。
【知识点】两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质 C3 C6

?

4 1 【答案】 (1) 3 ; (2) 4 . ?

sin
【解析】解析: (1)由

x x x ? 2 cos ? 0. tan ? 2, 2 2 2 得

(3 分)

x 2 ? 2? 2 ? ? 4. tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 故 2 tan

(3 分)

? 2(
(2)原式

cos 2 x ? sin 2 x 2 2 cos x ? sin x) sin x 2 2
(2 分)

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) (cos x ? sin x) sin x
cos x ? sin x sin x

?

(3 分)
32

? 1?

1 3 1 ? 1? ? . tan x 4 4 tan

(3 分)

【思路点拨】由已知可得

x ? 2, 2 利用二倍角公式可求得 tan x ;将已知式子分子降价升

幂,分母利用两角和的余弦展开式展开,化简即可.

C7 三角函数的求值、化简与证明 【数学(理)卷·2015 届四川省成都市高中毕业班第一次诊断性检测(201412)word 版】

sin 2? ?
9.若

5 10 ? 3? sin(? ? ? ) ? ? ?[ , ? ] ? ?[? , ] 5 , 10 ,且 4 2 ,则 ? ? ? 的值是 ,

7? (A) 4

9? (B) 4

5? 7? (C) 4 或 4

5? 9? (D) 4 或 4
5 ? ? ?[ , ? ] 5 , 4

【知识点】两角和与差的正弦、余弦 C7 【答案】 【解析】A 解析: ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? 2? ,

sin 2? ?

? cos 2? ? ?

? ? 2 5 ? ?[ , ] 4 2 ,又 5 且

sin(? ? ? ) ?

10 ? ? 3? ? ? [ , ] ? ?[? , ] 4 2 , 10 , 2 ,

? cos( ? ? ? ) ? ?

3 10 10 ,因此 sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? 2? ]

? sin(? ? ? ) cos 2? ? cos(? ? ? )sin 2?

?

10 2 5 3 10 5 2 ? (? ) ? (? )? ?? 10 5 10 5 2 ,

? ? ? ?[


5? 7? , 2? ] ? ?? ? 4 4 ,故选 A. ,所以

【思路点拨】利用角的变换 ? ? ? ? ( ? ? ? ) ? 2? ,得 sin(? ? ? ) ? sin[(? ? ? ) ? 2? ]

? sin(? ? ? ) cos 2? ? cos(? ? ? )sin 2? 即可求解.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】19. (本小题满分 14 分)

33

2b ? 3c cos C ? cos A 。 3a 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且
(1)求角 A 的值;

B?
(2)若角

?
6 , BC 边上的中线 AM ? 7 ,求 ?ABC 的面积。

【知识点】三角变换、正弦定理、余弦定理 C7 C8 ? A? 6; 【答案】 (1) (2) 3 . 【解析】解析: (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 由正弦定理得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C , (2 分) (2 分)

? 3sin ? A ? C ? 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A .
因为 B=?-A-C ,所以

sinB ? sin ? A ? C ?



所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B ? (0,? ) ,所以 sinB ? 0,

所以

cos A ?

? 3 A? 6. 2 ,因为 0 ? A ? ? ,所以
A? B?

(3 分) (1 分)

2? π C? 3 . 6 AC ? BC (2)由(1)知 ,所以 , 1 MC ? x 2 ,又 AM ? 7. 设 AC ? x ,则

在 AMC 中,由余弦定理
2 2 2 得 AC ? MC ? 2 AC ? MC cos C ? AM ,

x x x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2 即

解得 x=2.



S?ABC ?

1 2 2? x sin ? 3. 2 3

(4 分) (2 分) 化简可得

【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C ,

2sin B cos A ? 3 sin B ,即可得

cos A ?

? 3 1 A? MC ? x 6 ;设 AC ? x ,则 2 ,在 AMC 2 得

中,由余弦定理解得 x=2. 再由面积公式求得三角形面积.
34

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性

测试 (201501) word 版】 14. 已知 【知识点】三角恒等变换 C7

cos(? ?

?
4

)?

10 ? n 2 ( i s , ? ? (0, ) 10 2 , 则

? )?

?
3 =
▲ 。









4? 3 10

3
【 解 析 】 解 析 : 由 题 意 可 得 :

?? ? cos 2 ? ? ? ? ? 4? ?
cos(? ?

1?

?? ? c? o ? ?s ? 2 ?? 4 2? 1 ? ? 4 ? ? cos ? 2? ? ? ? ? sin 2? ? ? sin 2? ? 2 10 2? 5 ,即 ? 5,

?
4

因为

)?

? ? ? ?? 10 ? 0 ? ? ? ? ? 2? ? ? 0, ? , , ? ? (0, ) 4 2 ? 2 ? 根据同角三角恒等 10 2 , 所以
cos 2? ? 3 5



































?? ? ? 4?3 3 ? 4?3 3 sin ? 2? ? ? ? sin 2? cos ? cos 2? sin ? 3 3 3 10 ? ? ,故答案为 10 .
sin 2? ?
【思路点拨】将已知式子平方可得:

4 ? 10 ? cos(? ? ) ? , ? ? (0, ) 5 ,因为已知 4 10 2 ,

? ?? 3 2? ? ? 0, ? , cos 2? ? 2 ? ? 根据同角三角恒等基本关系可得 5 ,利用正弦差角展开公式可 可得
得.

【 【名校精品解析系列】 数学理卷· 2015 届河南省安阳一中等天一大联考高三阶段测试 (三) (201412)word 版】(17)(本小题满分 10 分)

x x x m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos ,cos 2 ) 4 4 4 ,记 已知向量 f (a) ?


f ( x) ? m ? n

3 2? cos( ? a) 2 ,求 3 的值; 2? 3 个 单 位 得 到 y ? g ( x) 的 图 象 , 若 函 数

( Ⅱ ) 将 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 向 右 平 移

35

? 7? ? 0, ? y ? g ( x) ? k 在 ? ? 3 ? 上有零点,求实数 k 的取值范围
【知识点】向量的数量积;三角函数的求值;三角函数的图像. F3 C3 C7

x x ? 3? ?x ?? 1 2 x 0 , f x ? 3 sin cos ? cos ? sin ? ? ? ? ?? ? ? 2 4 4 4 ? ? ?2 6? 2 【答案】 【解析】(I)1(II) 解析:
f ?a? ? 3 2

(I)









?? ? ? 1 3 sin ? ? ? ? ? ?2 6? 2 2 ? ? ?1 ?







? ? 4k? ?

2? 2? ? 2? ? ? 2? , k ? Z ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? 4k? ? 3 3 ? 3 ? ? 3

(II) 将函数

y ? f ? x?

?? 1 ?1 2? g ? x ? ? sin ? x ? ? ? 6 ? 2 的图 ?2 的图象向右平移 3 个单位得到函数

1 ?? ? 7? ? ?1 ? 1 ? ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? ? x? ?? ?0, 3 ? 6? , ?2 ? 时, 6 2 6 象,当 x∈ ? ,所以 2

?? 1 3 ? 7? ? ? 3? ?1 0, ? 0 ? sin ? x ? ? ? ? ? ?0, ? 6? 2 2, ?2 所以 若函数 y ? g ( x) ? k 在 ? 3 ? 上有零点, 则 k∈ ? 2 ?
【思路点拨】由向量的关系可求出函数的解析式,再根据三角函数的性质求出函数的取值,

? 7? ? ?0, 3 ? y ? g ( x ) ? k ? 上有零点得 k 范围. 从而求得使函数 在 ?

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word

cos ? ? ?
版】11.若

?? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4 ? _________. 5 ,且 ? 为第三象限角,则 ?

【知识点】三角求值 C7

7 2 【答案】 【解析】 10 ?
c o? s??
解 析 : 因 为

4 3 sin ? ? ? 5 , 且 ? 为 第 三 象 限 角 , 所 以 5 , 则

?? 2 ? s i? n ?? ?? 4? 2 ?

s? i?n

2 2

? ? c? os

3

2 ? 10

4 2 ?? 10

2 . 1 0

7

【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.

36

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word

cos ? ? ?
版】11.若

?? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4 ? _________. 5 ,且 ? 为第三象限角,则 ?

【知识点】三角求值 C7

7 2 【答案】 【解析】 10 ?
c o? s??
解 析 : 因 为

4 3 sin ? ? ? 5 , 且 ? 为 第 三 象 限 角 , 所 以 5 , 则

?? 2 ? s i? n ?? ?? 4? 2 ?

s? i?n

2 2

? ? c? os

3

2 ? 10

4 2 ?? 10

2 . 1 0

7

【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word

cos ? ? ?
版】11.若

?? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4 ? _________. 5 ,且 ? 为第三象限角,则 ?

【知识点】三角求值 C7

7 2 【答案】 【解析】 10 ?
c o? s??
解 析 : 因 为

4 3 sin ? ? ? 5 , 且 ? 为 第 三 象 限 角 , 所 以 5 , 则

?? 2 ? s i? n ?? ?? 4? 2 ?

s? i?n

2 2

? ? c? os

3

2 ? 10

4 2 ?? 10

2 . 1 0

7

【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.

【 【名校精品解析系列】数学文卷· 2015 届重庆市巴蜀中学高三上学期第一次模拟考试 (201501) 】17.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中

A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ?

?
2 )的

周期为 ? ,且图象上一个最低点为 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

M(

2? , ?2) 3 。

37

x ? [0,
(Ⅱ)当

] 12 ,求 f ( x) 的最值.

?

【知识点】函数 y = A sin(wx +j ) 的图象变换;由 y = A sin(wx +j ) 的部分图象确定其解 析式.C4 C7

骣 p f ( x) = 2sin 琪 2x + 琪 f x 6 ; 桫 【答案】 【解析】 (Ⅰ) (Ⅱ) x = 0 时, ( ) 取得最小值 1;
x= p 12 时, f ( x) 取得最大值 3 。

M(
解析: (Ⅰ)由最低点为

2p 2? w= =2 , ?2) T 3 得 A = 2 ,由周期为 ? 得

M(
由点

4p 4p 2? 2sin( +j ) = - 2 sin( +j ) = - 1 , ?2) 3 3 3 在图象上得 即 , Z)

4p p 11p +j = 2 k p j = 2 kp (k 2 ,故 6 所以 3 0 <j <


,

骣 p p p 琪 f ( x) = 2sin 琪 2x + j = 桫 6 。 6 ,所以 2 ,所以

x ? [0,
(Ⅱ)因为

?

12 ,可得

]

2x +

p 6

轾 p p 犏, 犏 6 3 , 臌

2x +
所以当

p p = 6 6 时,即 x = 0 时, f ( x) 取得最小值 1;

2x +


p p p = x= 12 时, f ( x) 取得最大值 3 。 6 3 ,即

M(
【思路点拨】 (Ⅰ) 由最低点求出 A, 利用周期求出 ω, 图象上一个最低点为

2? , ?2) 3 . 代

入函数解析式求出 j , 然后求 然后求出求

f ( x)

x ? [0,
的解析式; (Ⅱ) 当

?

12 , 得到

]

2x +

p 6

轾 p p 犏, 犏 6 3 , 臌

f ( x)

的最值.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word
38

cos ? ? ?
版】12.若

?? ? 4 sin ? ? ? ? ? 4 ? __________. 5 ,且 ? 为第三象限角,则 ?

【知识点】三角函数求值 C7

7 2 【答案】 【解析】 10 ?
c o? s??
解 析 : 因 为

4 3 sin ? ? ? 5 , 且 ? 为 第 三 象 限 角 , 所 以 5 , 则

?? 2 ? s i? n ?? ?? 4? 2 ?

s? i?n

2 2

? ? c? os

3

2 ? 10

4 2 ?? 10

2 . 1 0

7

【思路点拨】直接利用两角和的正弦公式解答即可.

C8 解三角形 【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】16、(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x, ? 3sin2 x) , b ? (cos x,1) , x ? R . (1)求 f ?x ? 的单调递减区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , f ( A) ? ?1 , a ? 7 , 且 向 量

m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C) 共线,求边长 b 和 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8

? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? 【答案】(1) ? (2)b=3,c=2
?? ? f ?x ? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos? 2 x ? ? 3 ?. ? 【解析】 (1) 由题意知
? y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ? 上单调递减,

?令

2k? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ? ?
,得

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? f ?x ?















? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? ?

39

?? ?? ? ? ? ? 7? ? cos? 2 A ? ? ? ?1 ? f ? A? ? 1 ? 2 cos? 2 A ? ? ? ?1 ? 2A ? ? 3? 3? ? ? 3 3 , (2) , ,又 3
?2A ?

?
3

??,


A?

?
3
2

2 2 2 a ? 7 ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? ?b ? c? ? 3bc =7.

B 与 ) n ? (2,sin C) 共 线 , 所 以 2 s i nB ? 3 s iC n ,由正弦定理得 因 为 向 量 m ? ( 3, sin
2b ? 3c .
? b ? 3, c ? 2 .

【思路点拨】化简求出单调区间,根据余弦定理,正弦定理解出边 b,c.

【数学理卷·2015 届湖南省衡阳市八中高三上学期第六次月考(201501) 】16、(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? a ? b ,其中 a ? (2cos x, ? 3sin2 x) , b ? (cos x,1) , x ? R . (1)求 f ?x ? 的单调递减区间; ( 2 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , f ( A) ? ?1 , a ? 7 , 且 向 量

m ? (3,sin B) 与 n ? (2,sin C) 共线,求边长 b 和 c 的值.
【知识点】三角函数的图象与性质解三角形 C3 C8

? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? 【答案】(1) ? (2)b=3,c=2
?? ? f ?x ? ? 2 cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? cos2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2 cos? 2 x ? ? 3 ?. ? 【解析】 (1) 由题意知
? y ? cos x 在 ?2k? ,2k? ? ? ??k ? Z ? 上单调递减,

?令

2k? ? 2 x ?

?
3

? 2k? ? ?
,得

k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

? f ?x ?















? ?? ? k? ? , k? ? ??k ? Z ? ? 6 3? ?

?? ?? ? ? ? ? 7? ? cos? 2 A ? ? ? ?1 ? f ? A? ? 1 ? 2 cos? 2 A ? ? ? ?1 ? 2A ? ? 3? 3? ? ? 3 3 , (2) , ,又 3
40

?2A ?

?
3

??,


A?

?
3
2

2 2 2 a ? 7 ,由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? ?b ? c? ? 3bc =7.

B 与 ) n ? (2,sin C) 共 线 , 所 以 2 s i nB ? 3 s iC n ,由正弦定理得 因 为 向 量 m ? ( 3, sin
2b ? 3c .
? b ? 3, c ? 2 .

【思路点拨】化简求出单调区间,根据余弦定理,正弦定理解出边 b,c.

【数学理卷·2015 届湖北省部分高中高三元月调考(201501) 】17.(12 分)在△ABC 中,角 A、 B、C 对应边分别是 a、b、c,c=2,

sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin A sin B .
(1)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求△ABC 面积; (2)求 AB 边上的中线长的取值范围. 【知识点】解三角形 C8

2 3 CD ? 0, 3 ? ? 【答案】 (1) 3 (2)

?

1 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab????cos C ? ?????C ? 2 3 【解析】①由题意知
由 sinC+sin(B-A)=2sin(2A) => sinBcosA=2sinAcosA

(1)若 cosA=0

A?

?
2

?????S ?ABC ?

2 3 3 2 3 3

(2)若 cosA≠0

b=2a

S?ABC ?

? uur uur a 2 ? b2 ? 2ab cos 2 2 uuu r CA ? CB 2 3 a ? b ? ab CD ? CD ? 4 2 4 ② 故 =
a 2 ? b2 ? ab a 2 ? b 2 ? ab 1 2 CD ? 2 2 4 4 又 cosC= 2 , a ? b ? ab =4, = >1
4 ? 2ab ?3 CD ? 0, 3 ? ? 4 ,故

?

【思路点拨】根据余弦定理求出边角求出面积,根据范围求出 CD 的范围。
41

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】16. (本 小题满分 12 分)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 是的对边分别是 a, b, c ,其中 c ? 10 ,且

cos A b 4 ? ? . cos B a 3
(1)求证: ABC 是直角三角形; ⌒

(2)设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上, ?PAB ? 60? ,求四边形 ABCP 的面积.

【知识点】解三角形

C8

【答案】 (1)略: (2) 18 ? 8 3 .

cos A sin B ? . 【解析】 (1)证明:根据正弦定理得, cos B sin A
整理为: sin A cos A ? sin B cos B, 即sin 2 A ? sin 2 B, 因为 0 ? A ? ? ,0 ? B ? ? , 所以 0 ? 2 A ? 2? ,0 ? 2 B ? 2? ,

所以 A ? B ,或者

A? B ?

?
2

.
3分

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , A ? B , 2 2 由于 a 3 所以 所以
故 ABC 是直角三角形。 (2)由(1)可得: a ? 6, b ? 8. 5分

在 Rt ABC 中,

sin ?CAB ?

BC 3 4 ? , cos ?CAB ? . AB 5 5

sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB )
42

? sin 60? cos ?CAB ? cos 60? sin ?CAB
? 3 4 1 3 1 ? ? ? ? (4 3 ? 3). 2 5 2 5 10

8分

cos?PAB ? 5 . 连结 PB ,在 Rt ABC 中, AP ? AB·

S
?

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

1 1 ab ? AP ? AC ? sin ?PAC 2 2 1 1 ? 5 ? 8 ? (4 5 ? 3) ? 18 ? 8 3. 2 10
10 分

? 24 ?

cos A sin B ? . 【思路点拨】根据正弦定理得, cos B sin A 即 sin 2 A ? sin 2 B ,根据三角形内角的特 A? B ?

?

点可得 A ? B ,或者

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , 2 2 即证 2 ,由于 a 3 所以 A ? B, 所以
.

得三角形为直角三角形;由(1)可得: a ? 6, b ? 8.

3 4 sin ?CAB ? , cos ?CAB ? . 5 5 而 sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB) 利 用 两 在 Rt ABC 中
角差的正弦展开式可得 sin ?PAC 的值,再有

S

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

可求得结果.

【数学理卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412)word 版】16. (本 小题满分 12 分)在△ABC 中,三个内角 A,B,C 是的对边分别是 a, b, c ,其中 c ? 10 ,且

cos A b 4 ? ? . cos B a 3
(1)求证: ABC 是直角三角形; ⌒

(2)设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上, ?PAB ? 60? ,求四边形 ABCP 的面积.

43

【知识点】解三角形

C8

【答案】 (1)略: (2) 18 ? 8 3 .

cos A sin B ? . 【解析】 (1)证明:根据正弦定理得, cos B sin A
整理为: sin A cos A ? sin B cos B, 即sin 2 A ? sin 2 B, 因为 0 ? A ? ? ,0 ? B ? ? , 所以 0 ? 2 A ? 2? ,0 ? 2 B ? 2? ,

所以 A ? B ,或者

A? B ?

?
2

.
3分

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , A ? B , 2 2 由于 a 3 所以 所以
故 ABC 是直角三角形。 (2)由(1)可得: a ? 6, b ? 8. 5分

在 Rt ABC 中,

sin ?CAB ?

BC 3 4 ? , cos ?CAB ? . AB 5 5

sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB )

? sin 60? cos ?CAB ? cos 60? sin ?CAB
? 3 4 1 3 1 ? ? ? ? (4 3 ? 3). 2 5 2 5 10

8分

cos?PAB ? 5 . 连结 PB ,在 Rt ABC 中, AP ? AB·

S
?

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

1 1 ab ? AP ? AC ? sin ?PAC 2 2

44

? 24 ?

1 1 ? 5 ? 8 ? (4 5 ? 3) ? 18 ? 8 3. 2 10

10 分

cos A sin B ? . 【思路点拨】根据正弦定理得, cos B sin A 即 sin 2 A ? sin 2 B ,根据三角形内角的特 A? B ?

?

点可得 A ? B ,或者

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , 2 2 即证 2 ,由于 a 3 所以 A ? B, 所以
.

得三角形为直角三角形;由(1)可得: a ? 6, b ? 8.

3 4 sin ?CAB ? , cos ?CAB ? . 5 5 而 sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB) 利 用 两 在 Rt ABC 中
角差的正弦展开式可得 sin ?PAC 的值,再有

S

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

可求得结果.

【数学文卷·2015 届四川省绵阳中学高三上学期第五次月考(201412) 】16. (本小题满分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 是 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 其 中 c ? 10 , 且

cos A b 4 ? ? . cos B a 3
(1)求证: ABC 是直角三角形; ⌒

(2)设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧 AC 上, ?PAB ? 60? ,求四边形 ABCP 的面积.

【知识点】解三角形

C8

【答案】 (1)略: (2) 18 ? 8 3 .

cos A sin B ? . 【解析】 (1)证明:根据正弦定理得, cos B sin A
整理为: sin A cos A ? sin B cos B, 即sin 2 A ? sin 2 B,

45

因为 0 ? A ? ? ,0 ? B ? ? , 所以 0 ? 2 A ? 2? ,0 ? 2 B ? 2? ,

所以 A ? B ,或者

A? B ?

?
2

.
3分

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , 2 2 由于 a 3 所以 A ? B, 所以
故 ABC 是直角三角形。 (2)由(1)可得: a ? 6, b ? 8. 5分

在 Rt ABC 中,

sin ?CAB ?

BC 3 4 ? , cos ?CAB ? . AB 5 5

sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB )

? sin 60? cos ?CAB ? cos 60? sin ?CAB
? 3 4 1 3 1 ? ? ? ? (4 3 ? 3). 2 5 2 5 10

8分

cos?PAB ? 5 . 连结 PB ,在 Rt ABC 中, AP ? AB·

S
?

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

1 1 ab ? AP ? AC ? sin ?PAC 2 2 1 1 ? 5 ? 8 ? (4 5 ? 3) ? 18 ? 8 3. 2 10
10 分

? 24 ?

cos A sin B ? . 【思路点拨】根据正弦定理得, cos B sin A 即 sin 2 A ? sin 2 B ,根据三角形内角的特 A? B ?

?

点可得 A ? B ,或者

? ? b 4 A ? B ? , 即C ? , ? , A ? B , 2 2 即证 2 ,由于 a 3 所以 所以
.

得三角形为直角三角形;由(1)可得: a ? 6, b ? 8.

3 4 sin ?CAB ? , cos ?CAB ? . 5 5 而 sin ?PAC ? sin(60? ? ?CAB) 利 用 两 在 Rt ABC 中
角差的正弦展开式可得 sin ?PAC 的值,再有

S

ABCP

?S

ABC

?S

PAC

可求得结果.

46

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考( 201501 ) 】 16 .在 ?ABC 中,

tan

1 A? B ? 2 sin C , AC ? BC 2 若 AB ? 1 ,则 2 的最大

值 . 【知识点】半角公式;余弦定理;最值问题.C6 C8

21 【答案】 【解析】 3
? cos C ?

tan
解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

1 , 2 而在 ?ABC 中,有 c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b2 ? ab ? 1 ,令

1 1 AC ? BC ? b ? a ? m 2 2 2 2 ,? b ? 2m ? 2a ,两式联立可得: 7a ? 10ma ? 4m ? 1 ? 0 ,

易知此方程有解,故 ? 0 ,解得

0?m?

21 21 3 ,故答案为 3 。
tan 1 A? B ? 2 sin C , cos C ? 2 2 ,然后 可得

【思路点拨】先根据已知条件利用半角公式化简

1 1 AC ? BC ? b ? a ? m 2 结合余弦定理得到关系式 a ? b ? ab ? 1 ,再令 2 ,联立结合方程
2 2

有解的条件即可求出最大值。

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为

a、b、c .

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长及 △ ABC 的面积. 【知识点】解三角形 C8

C?
【答案】 【解析】 (1)

3 3 2, π 2 4 (2)

47

1 3 ? 4 5 ? ?1 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? C ? π ? ( A ? B ) 4 5 解析: (1) , . 又 0 ? C ? π,
?C ? 3 π 4 ;
tan A ?

(2)由题意得 c ? 17 , 因为 tanA<tanB,所以角 A 对应的边最小, 由

1 1 4 得 sinA= 17 ,

B ? C
所 以

7 s? i s C i n

1

nA? 2 2
3

1

7 ? 1 7

1
,

?2
又 sinB=

3 34

,





1 S?ABC ? ? 1 ?7 2

3 ? 2 ? 34 2 .

【思路点拨】先利用两角和的正切公式求角 C 的正切,结合角 C 的范围确定角,再由三角 形大边对大角确定最大的边,再利用正弦定理求最小的边,利用三角形面积公式求面积.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为

a、b、c .

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长及 △ ABC 的面积. 【知识点】解三角形 C8

C?
【答案】 【解析】 (1)

3 3 2, π 2 4 (2)

1 3 ? ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 4 5 ? ?1 1 3 1? 4 5 解析: (1) C ? π ? ( A ? B ) , . 又 0 ? C ? π,
?C ? 3 π 4 ;

48

(2)由题意得 c ? 17 , 因为 tanA<tanB,所以角 A 对应的边最小, 由

tan A ?

1 1 4 得 sinA= 17 ,

B ? C
所 以

7 s? i s C i n

1

nA? 2 2
3

1

7 ? 1 7

1
,

?2
又 sinB=

3 34

,





1 S?ABC ? ? 1 ?7 2

3 ? 2 ? 34 2 .

【思路点拨】先利用两角和的正切公式求角 C 的正切,结合角 C 的范围确定角,再由三角 形大边对大角确定最大的边,再利用正弦定理求最小的边,利用三角形面积公式求面积.

【 【名校精品解析系列】数学(理)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 ( 201501 ) 】 17 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为

a、b、c .

tan A ?

1 3 tan B ? 4, 5.

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长及 △ ABC 的面积. 【知识点】解三角形 C8

C?
【答案】 【解析】 (1)

3 3 2, π 2 4 (2)

1 3 ? 4 5 ? ?1 ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 1? 4 5 解析: (1) C ? π ? ( A ? B ) , . 又 0 ? C ? π,
?C ? 3 π 4 ;
tan A ?

(2)由题意得 c ? 17 , 因为 tanA<tanB,所以角 A 对应的边最小, 由

1 1 4 得 sinA= 17 ,

B ? C
所 以

7 s? i s C i n

1

nA? 2 2

1

7 ? 1 7

1
,

?2
又 sinB=

3 34

,





49

1 3 3 S?ABC ? ? 17 ? 2 ? ? 2 34 2 .
【思路点拨】先利用两角和的正切公式求角 C 的正切,结合角 C 的范围确定角,再由三角 形大边对大角确定最大的边,再利用正弦定理求最小的边,利用三角形面积公式求面积.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】11.在 ?ABC 中, 围 A. (2,3] B. [1,3] C. (0,2] D. (2,5]

tan

A? B ? 2 sin C , 2 若 AB ? 1,求 ?ABC 周长的取值范

【知识点】同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8

tan
【答案】 【解析】A 解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

? cos C ?

1 p AB BC AC 2 3 ,\ C = = = = 2 3 .由正弦定理,得 sin C sin A sin B 3 ,

△ABC 的周长

y = AB + BC + CA = 1 +

2 3 2 3 2p sin A + sin( - A) 3 3 3

=1+

2 3骣 3 3 p 琪 sin A + cos A = 1 + 2sin 骣 琪 A+ 琪 琪 3 桫 2 2 桫 6 ,

骣 p 1 p p 5p < sin 琪 A+ < A+ < 琪 2 6 桫 6 6 6 ∵ ,∴

1


所以,△ABC 周长的取值范围是 (2,3] ,故选 A. 【思路点拨】利用三角形的三角和为 π 及三角函数的诱导公式化简已知的等式,利用三角 形中内角的范围,求出∠C 的大小,利用三角形的正弦定理将边 BC,CA 用角 A 的三角函数表 示,利用两角差的正弦公式展开,再利用三角函数中的辅助角公式将三角形的周长化简成 y=Asin(ωx+φ)+k 形式,利用三角函数的有界性求出△ABC 周长的取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届河北省唐山一中等五校高三上学期第二次联 考(201501) 】11.在 ?ABC 中, 围 A. (2,3] B. [1,3] C. (0,2] D. (2,5]
50

tan

A? B ? 2 sin C , 2 若 AB ? 1,求 ?ABC 周长的取值范

【知识点】同角三角函数基本关系的运用;正弦定理.C2 C8

tan
【答案】 【解析】A 解析:

sin ? A ? B ? A? B sin C ? ? ? 2sin C, 2 1 ? cos ? A ? B ? 1 ? cos C

? cos C ?

1 p AB BC AC 2 3 ,\ C = = = = 2 3 .由正弦定理,得 sin C sin A sin B 3 ,

△ABC 的周长

y = AB + BC + CA = 1 +

2 3 2 3 2p sin A + sin( - A) 3 3 3

=1+

2 3骣 3 3 p 琪 sin A + cos A = 1 + 2sin 骣 琪 A+ 琪 琪 3 桫 2 2 桫 6 ,

骣 p 1 p p 5p < sin 琪 A+ < A+ < 琪 2 6 桫 6 6 6 ∵ ,∴

1


所以,△ABC 周长的取值范围是 (2,3] ,故选 A. 【思路点拨】利用三角形的三角和为 π 及三角函数的诱导公式化简已知的等式,利用三角 形中内角的范围,求出∠C 的大小,利用三角形的正弦定理将边 BC,CA 用角 A 的三角函数表 示,利用两角差的正弦公式展开,再利用三角函数中的辅助角公式将三角形的周长化简成 y=Asin(ωx+φ)+k 形式,利用三角函数的有界性求出△ABC 周长的取值范围.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】20.(本小题满分 12 分)

?ABC 的 内 角

A , B , C

所 对 的 边 分 别 a, b, c , 已 知 向 量

m= (cos A, 3 sin A) ,n= (2 cos A, ?2 cos A) , m ? n= ?1 .

b ? 2c
(1)若 a ? 2 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求 【知识点】解三角形。向量的数量积 C8 F3 【答案】 【解析】(1) 2 3 ;(2)2 解 析 : (1) 因 为
m? ? n2 c 2 o ?sA ? 3 sA i ?n 2 A

a cos( ? C ) 3 的值.

?

?? ? ? c? o sA 3 ?? sA i n 2 1 2 c o s ? 2 ? ?? 3? ? , 所 以

2

?? ? ? ? ? ? ? cos ? 2 A ? ? ? ?1 2? ? ? 2 A? ? ? 2? 2A ? ? ? , A ? 3? ? 3 3 3, 所 以 3 3 ,由 ,又
1 2? ? 4 b 2 ? ?2 ? b 2?

?

1 ? cos ? 2 ? 4 ? sin ? 2 3 3 得 b=4,所以 ?ABC 的面积为 2 3 ;
51

(2)

sin ? A ? C ? ? 2sin C b ? 2c sinB? 2sin C ? ? ?? ? ?? ? 3 ?? ? a cos ? ? C ? sin A cos ? ? C ? cos ? ? C ? ?3 ? ?3 ? 2 ?3 ?

=

?? ? 3 3 3 cos ? ? C ? cos C ? sin C sin ? A ? C ? ? 2sin C ?3 ? ?2 2 ? 2 ? 3 3 3 ?? ? ?? ? ?? ? cos ? ? C ? cos ? ? C ? cos ? ? C ? 2 2 2 ?3 ? ?3 ? ?3 ? .
【思路点拨】在解三角形时,当出现边角混合条件时,可先利用正弦定理或余弦定理先转化 为角的关系或边的关系,再进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学(文)卷·2015 届吉林省实验中学高三上学期第二次模拟考试 (201501) 】20.(本小题满分 12 分)

?ABC 的 内 角

A , B , C

所 对 的 边 分 别 a, b, c , 已 知 向 量

m= (cos A, 3 sin A) ,n= (2 cos A, ?2 cos A) , m ? n= ?1 .

b ? 2c a cos( ? C ) 3 (1)若 a ? 2 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求 的值.
【知识点】解三角形。向量的数量积 C8 F3 【答案】 【解析】(1) 2 3 ;(2)2 解 析 : (1) 因 为
m? ? n2 c 2 o ?sA ? 3 sA i ?n 2 A

?

?? ? ? c? o sA 3 ?? sA i n 2 1 2 c o s ? 2 ? ?? 3? ? , 所 以

2

?? ? ? ? ? ? ? cos ? 2 A ? ? ? ?1 2? ? ? 2 A? ? ? 2? 2A ? ? ? , A ? 3 ? ? 3 3 3, 所 以 3 3 ,由 ,又
1 2? ? 4 b 2 ? ?2 ? b 2?

?

1 ? cos ? 2 ? 4 ? sin ? 2 3 3 得 b=4,所以 ?ABC 的面积为 2 3 ;

(2)

sin ? A ? C ? ? 2sin C b ? 2c sinB? 2sin C ? ? ?? ? ?? ? 3 ?? ? a cos ? ? C ? sin A cos ? ? C ? cos ? ? C ? ?3 ? ?3 ? 2 ?3 ?
?? ? 3 3 3 cos ? ? C ? cos C ? sin C ?3 ? ?2 2 ? 2 ? 3 3 ?? ? ?? ? cos ? ? C ? cos ? ? C ? 2 2 ?3 ? ?3 ? .

=

sin ? A ? C ? ? 2sin C 3 ?? ? cos ? ? C ? 2 ?3 ?

【思路点拨】在解三角形时,当出现边角混合条件时,可先利用正弦定理或余弦定理先转化

52

为角的关系或边的关系,再进行解答.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】19. (本小题满分 14 分)

2b ? 3c cos C ? cos A 。 3 a a c C b ? ABC A B 在 中,角 , , 的对边分别为 , , ,且
(1)求角 A 的值;

B?
(2)若角

?
6 , BC 边上的中线 AM ? 7 ,求 ?ABC 的面积。

【知识点】三角变换、正弦定理、余弦定理 C7 C8 ? A? 6; 【答案】 (1) (2) 3 . 【解析】解析: (1)因为 (2b ? 3c)cos A ? 3a cos C , 由正弦定理得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C , (2 分) (2 分)

? 3sin ? A ? C ? 即 2sin B cos A ? 3 sin A cos C ? 3 sin C cos A .
因为 B=?-A-C ,所以

sinB ? sin ? A ? C ?



所以 2sin B cos A ? 3 sin B . 因为 B ? (0,? ) ,所以 sinB ? 0,

所以

cos A ?

? 3 A? 6. 2 ,因为 0 ? A ? ? ,所以
A? B?

(3 分) (1 分)

2? π C? 3 . 6 ,所以 AC ? BC , (2)由(1)知 1 MC ? x 2 ,又 AM ? 7. 设 AC ? x ,则

在 AMC 中,由余弦定理
2 2 2 得 AC ? MC ? 2 AC ? MC cos C ? AM ,

x x x2 ? ( )2 ? 2 x ? ? cos120o ? ( 7)2 , 2 2 即

解得 x=2.



S?ABC

1 2? ? x2 sin ? 3. 2 3

(4 分) (2 分) 化简可得
53

【 思 路 点 拨 】 由 正 弦 定 理 得 (2sin B ? 3sin C)cos A ? 3sin A cos C ,

2sin B cos A ? 3 sin B ,即可得

cos A ?

? 3 1 A? MC ? x 6 ;设 AC ? x ,则 2 ,在 AMC 2 得

中,由余弦定理解得 x=2. 再由面积公式求得三角形面积.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试 (201501) word 版】 17. 在等腰三角形 ABC 中,AB ? AC ,D 在线段 AC ,AD ? kAC ( k 为常数,且 0 ? k ? 1 ) , BD ? l 为定长,则 ?ABC 的面积最大值为 【知识点】解三角形 C8 ▲ 。

l2 2(1 ? k 2 ) 【解析】解析:如图所示,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立平面直角坐标系, 【答案】



A? x, y ? , y ? 0
2


2

AB ? AC,
2

? AD ? kAC ? kAB
2

, 得

即 :

A
2

? D

2

, k

2 ? (x B ) ?l A

( ?y

2

), ?k

x 整?

2

y 理

y ?

? ?1 ? k 2 ? x 2 ? 2lx ? l 2 1? k 2

2l l2 k 2l 2 ? ?x ? x? ? 1? k 2 1 ? k 2 ?1 ? k 2 ?2
2
ABD ? max ?

, 即

ym

a ? x

kl 1? k 2



BD ? l, ∴

?S

?S ABC ? max ?

1 k

l2 2 ?1 ? k 2 ?

l2 2(1 ? k 2 ) . .故答案为

【思路点拨】如图所示,以 B 为原点,BD 为 x 轴建立平面直角坐标系,设

A? x, y ? , y ? 0
2



据题意得到? AD ? kAC ? kAB ,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出 y , 变形后利用二次函数的性质求出 y 的最大值,进而确定出三角形 ABD 面积的最大值,根据

AD ? kAC 即可得出三角形 ABC 面积的最大值.

54

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 16. 设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 已知

a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4,

cos ? A ? C ? (I)求 ABC 的周长; (II)求 的值。
【知识点】解三角形 C8

11 【答案】 【解析】 (I)5; (II) 16

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解析: (I)因为 a+b+c=1+2+2=5;

1 ?4 4 ,所以 c=2,则△ABC 的周长为

15 a sin C 15 1 15 sin A ? ? 4 ? cos C ? sin C ? c 2 8 ,因为 a<c,所以 4 ,所以 4 , (II)因为
cos A ?
A < C, 则 A 为 锐 角 , 所 以

7 8

,





c

A? s? C ?o

?

c A o ?s C

7 c 8

1 A o ? s 4

1 5 1 5 1 1 C ? s i? n ? s i n? 8 1 6 . 4

【思路点拨】结合已知条件,恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 16. 设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 已知

a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4,

cos ? A ? C ? (I)求 ABC 的周长; (II)求 的值。
【知识点】解三角形 C8

11 【答案】 【解析】 (I)5; (II) 16

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解析: (I)因为 a+b+c=1+2+2=5;

1 ?4 4 ,所以 c=2,则△ABC 的周长为

55

15 a sin C 15 1 15 sin A ? ? 4 ? cos C ? sin C ? c 2 8 ,因为 a<c,所以 4 ,所以 4 , (II)因为
cos A ?
A < C, 则 A 为 锐 角 , 所 以

7 8

,





c

A? s? C ?o

?

c A o ?s C

7 c 8

1 A o ? s 4

1 5 1 5 1 1 C ? s i? n ? s i n? 8 1 6 . 4

【思路点拨】结合已知条件,恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.

【 【名校精品解析系列】数学理卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 16. 设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 已知

a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4,

cos ? A ? C ? (I)求 ABC 的周长; (II)求 的值。
【知识点】解三角形 C8

11 【答案】 【解析】 (I)5; (II) 16

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解析: (I)因为 a+b+c=1+2+2=5;

1 ?4 4 ,所以 c=2,则△ABC 的周长为

15 a sin C 15 1 15 sin A ? ? 4 ? cos C ? sin C ? c 2 8 ,因为 a<c,所以 4 ,所以 4 , (II)因为
cos A ?
A < C, 则 A 为 锐 角 , 所 以

7 8

,





c

A? s? C ?o

?

c A o ?s C

7 c 8

1 A o ? s 4

1 5 1 5 1 1 C ? s i? n ? s i n? 8 1 6 . 4

【思路点拨】结合已知条件,恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届重庆一中高三 12 月月考(201412)word 版】19.

锐角
(12 分) 已知在
? ?

sin C ab ? 2 2 2 ΔABC 中, 角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c , 且 cos C a ? b ? c

56

(Ⅰ)求角 (Ⅱ)当

大小; 时,求 的取值范围.

【知识点】解三角形 C8 【答案】 【解析】 (Ⅰ)30°(Ⅱ)(7,4+2]

解析: (Ⅰ)由已知及余弦定理,得

因为

为锐角,所以

(Ⅱ)由正弦定理,得







【思路点拨】本题主要通过正余弦定理以及三角形内角和为 180°求解,解题过程中应注意 结合角的范围确定角的大小.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】19. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,角 B 为锐角,且

sin B ?

2 2 3

sin 2
(1)求

A?C ? cos 2 B 2 的值;

(2)若 b ? 2 ,求 ac 的最大值。 【知识点】二倍角 余弦定理 C6 C8

57

1 【答案】 (1) 9 ; (2)3. ?

? 1 ? 2 2 ? ? cos B ? 3 sin B ? ? 3 ? 【解析】解析: (1) B为锐角
sin 2 A?C 1 ? cos( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 2 cos 2 B ? 1 2 2

?

1 ? cos B ? 2 cos 2 B ? 1 ? 2

1?

1 3 ? 2 ? (1)2 ? 1 ? ? 1 2 3 9

(7 分)

cos B ?
(2)由余弦定理得

a2 ? c2 ? b2 1 ? 2ac 3

? a2 ? c2 ? b2 ? a2 ? c2 ?
2

2 ac, b ? 2 3 代入得

2 ac ? 4 3
2

又? a ? c ? 2ac

2 ? ac ? 4 ? 2ac 3
即 ac ? 3 (当且仅当 a =c 时取等号成立) ∴ ac 的最大值为 3。 (7 分)

cos B ?
【思路点拨】由已知可得

1 3 ,将已知式子降幂升角再由 cos ? A ? C ? ? ? cos B 化简

a2 ? c2 ?
代入即可求值;由余弦定理可得 求得.

2 ac ? 4 2 2 3 ,再利用基本不等式 a ? c ? 2ac 即可

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届浙江省重点中学协作体高三上学期第二次适应性 测试(201501)word 版】14.在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 cos B cos C ,则 tan B ? tan C ? ▲ 。 【知识点】解三角形 C8 【答案】 2 【解析】解析:在三角形中

sin A ? sin ?? ? B ? C ? ? sin ? B ? C ?

,所以已知式

58





s

? B ?i ?

n C ?
sC o

B s
c s

?iC
o


n
s

B c ?



o C
i



s
n

B c

s

B i ? nC c B oC

c Bo ?2 s c

s



t

B?

C?

s B ? c B

a?

?i Bo C

n ?

n s ,故答案为 2.
, 展 开 可 得

B

t

C

s c

【 思 路 点 拨 】 利 用 三 角 形 的 内 角 可 得

sin A ? sin ? B ? C ?

sin B cos C ? cos B sin C ?2 cos B cos C ,而将所求式子正切化为弦,就可得结果.

【 【名校精品解析系列】数学文卷·2015 届四川省石室中学高三一诊模拟(201412)word 版】 17. 设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c , 已知

a ? 1,b ? 2, cos C ?

1 4,

cos ? A ? C ? (I)求 ABC 的周长; (II)求 的值。
【知识点】解三角形 C8

11 【答案】 【解析】 (I)5; (II) 16

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
解析: (I)因为 a+b+c=1+2+2=5;

1 ?4 4 ,所以 c=2,则△ABC 的周长为

15 a sin C 15 1 15 sin A ? ? 4 ? cos C ? sin C ? c 2 8 ,因为 a<c,所以 4 ,所以 4 , (II)因为
cos A ?
A < C, 则 A 为 锐 角 , 所 以

7 8

,





c

A? s? C ?o

?

c A o ?s C

7 c 8

1 A o ? s 4

1 5 1 5 1 1 C ? s i? n ? s i n? 8 1 6 . 4

【思路点拨】结合已知条件,恰当的选择余弦定理和正弦定理进行转化求值是本题的关键.

C9 单元综合

59

60


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