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高一下数学期末考试


2014 万州二中高一数学下期期末试卷(带答案)
数学试题共 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上. 3.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 一.选择题: (共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.请将唯一正确的选项选出来,并答在答题卡 上的相应位置) 1、 已知实数 a, b 满足 a ? b ? 0, b ? 0 ,则 a, b, ?a, ?b 的大小关系是 A C 2、

a ? ?b ? b ? ?a a ? ?b ? ?a ? b

B D

a ? b ? ?b ? ?a a ? b ? ?a ? ?b

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为
B、

A、9

9 2

C、 3

D、

3 2 2

3、为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情 况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 A、简单随机抽样 B、按性别分层抽样 C、按学段分层抽样 D、系统抽样 4、 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分 成 6 组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90, 100]加以统计,得到如图 1-1 所示的频率分布直方图.已知高一年级共 有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 A.588 B.480 C.450 D.120 5. △ ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 若 c ?

2,

b ? 6, B ? 120 ,则边 a 等于
A、

6

B、

3

C、

2

D、 2

?x ? 0 ?x ? y ? 1 ? 6、由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域记为 ?1 ,不等式 ? ,确定的平面 ? x ? y ? ?2 ?y ? x ? 2 ? 0 ?
区域记为 ? 2 ,在 ?1 中随机取一点,则该点恰好在 ? 2 内的概率为

7、执行如题(7)图所示的程序框图,如果输出 s ? 3 ,那么判断框内应填入的条件是
-1-

A、 k ? 6 8、若 f(x)= = A. 2010

B、 k ? 7

C、 k ? 8

D、 k ? 9 )

,则 f(1)+f(2)+f(3)?+f(2011)+f( )+f( )+?+f(

1 2

B. 2009

C.2012

D.1

9.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 为整数的正整数 n 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5

An 7 n ? 45 a ,则使得 n ? Bn n?3 bn

10.( 理 ) 已 知 不 等 式 (2a ? b ? c)(a ? c) ? 2 ? (a ? b)(b ? c)(t ? 2 ? 1) 对 任 意 a ? b ? c 及
n n

n ? N 恒成立,则实数 t 的取值范围为
A (??,4 2 ? 1] B

(??,2 ? 2 2 ]

C

[4 2 ? 1,??)

D [2 ? 2 2 ,??)

二.填空题: (共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.请将最简答案填在答题卡相应的位置) 11、总体有编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选 出来的第 5 个个体的编号为 ▲ 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

12、小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在这一 时间段内 任一时刻等可能的到达)在华岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不超过 15 分钟的 概率是 ▲ (用数字作答) 。 13、经过两条直线 2x + y -8= 0 和 x- 2y +1= 0 的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线 方程为 ▲ 14、 若存在 , 使 f ? x0 ? ? f ? x0 ? 1? ?

? f ? x0 ? n ? ? 63 成立,则称 ? x0 , n ? 为

函数 f ? x ? 的一个“生成点” 。已知函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ,则 f ? x ? 的“生成点”共有___▲___ 个。

-2-

15、 (文)设 x, y, z

均为正数,且 xy ? z ( x ? y ? z ) ? 4 ? 2 3 ,则 ( x ? z ? 1)( y ? z ? 1) 的最

小值 ▲ 15、 (理)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数 1,3,6,10,?, 第 n 个三角形数为

n ? n ? 1? 1 2 1 ? n ? n 。记第 n 个 k 边形数为 N ? n, k ? ? k ? 3? ,以下列出 2 2 2

了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ?? 可以推测 N ? n, k ? 的表达式,由此计算 N ?10, 24 ? ? ▲

N ? n,3? ?

1 2 1 n ? n 2 2

N ? n, 4 ? ? n 2
N ? n,5? ? 3 2 1 n ? n 2 2

N ? n,6 ? ? 2n 2 ? n

三、解答题(共 6 题,要求写出解答过程或者推理步骤,共 75 分) : 16、 (本题满分 13 分,第 1 问 7 分,第 2 问 6 分) 在 △ ABC 中 , a, b, c 分 别 为 内 角 A, B, C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

的 对 边 , 且

17、 (本题满分 13 分,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1, 2,3, 4 , (Ⅰ)从袋中随机取出两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m ,将球放回袋中,然后再从袋中随机取 一个球,该球的编号为 n ,求 n<m ? 2 的概率. 18、 (本题满分 13,第 1 问 6 分,第 2 问 7 分) 在 ?ABC 中,a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, 向量 m ? (b, 2a ? c) ,n ? (cos B, cos C ) , 且 m // n . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 f ( x) ? cos(? x ?

B ) ? sin ? x(? ? 0) ,且 f ( x) 的最小正周期为 ? ,求 f ( x) 在 2
-3-

区间 [0,

?
2

] 上的最大值和最小值.

19、 (本题满分 12 分,第 1 问 6 分,第 2 问 6 分)
2 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n 2 ? n ? 1) sn ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2) 令 bn ?

n ?1 5 , 数列{bn}的前 n 项和为 Tn 。 证明: 对于任意的 n ? N * , 都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

20、 (本题满分 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) 已知函数 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,且 f ( x ) 在区间

[ ?1,1] 上的最小值是 4.
(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式;









g ( x) ? x ? 5 ? f ( x)













3? ? x ? ? ??, ? ? 4? ?



x g ( ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? m 2 g ( x ) ? g (m) ? ? ? 均成立,求实数 m 的取值范围. m

21、 (文) (本题满分 12 分,第 1 问 5 分,第 2 问 7 分) 已知各项均为正数的数列{ a n }的前 n 项和满足 S n ? 1 ,且 6 S n ? (a n ? 1)(a n ? 2), n ? N * (1)求{ a n }的通项公式; (2)设数列{ bn }满足 a n (2
bn

? 1) ? 1 ,并记 Tn 为{ bn }的前 n 项和,求证:
-4-

3Tn ? 1 ? log 2 (a n ? 3), n ? N *

(理) (本题满分 12 分,每小问 4 分)已知函数 f ( x)对任意x ? R都有f ( x) ? f (1 ? x) ? 2 .

n ?1 )(n ? N *) 的值; n 1 2 n ?1 (2)数列 ?an ?满足 a n ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1), (n ? N *) n n n
(1)求 f ( )和f ( ) ? f (

1 2

1 n

求证:数列 ?an ?是等差数列 (3) bn ?

1 4n 2 , Sn ? , Tn ? b12 ? b2 ? b32 ? an ? 1 2n ? 1

2 ,试比较 Tn 与 S n 的大小. ? bn

万州二中高 2016 级高一下期期末考试数学参考答案 一.选择题:每题 5 分 ABCBC DBADB 二.填空题:每题 5 分 11、 01 12、

7 16 2 x或x ? y ? 5 ? 0 3

13、 y ? 14、5

15、 (文)3 (理)1000 三、解答题(共 6 题,要求写出解答过程或者推理步骤,共 75 分) : 16、 (本题满分 13 分)
-5-

解: (Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c
2



a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc
由余弦定理得

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
??????????7 分

故 cos A ? ?

1 ,A=120° 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B) ?

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B)

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。 ??????????13 分 17、 (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)从袋子中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4, 2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. ??????????2 分 从袋中随机取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 因此所求事件的概率为 P ?

2 1 ? . 6 3

??????????6 分

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m ,放回后,在从袋中随机取一个球,记下编 号为 n ,其一切可能的结果 (m, n) 有: (1,1) (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1) (3,2), (3,3) ( 3,4 ) , ( 4,1 ) ( 4,2 ) , ( 4,3 ) ( 4,4 ) , 共 16 个 ??????????8 分 有满足条件 n ? m ? 2 的事件为(1,3) , (1,4) , (2,4)共 3 个 所以满足条件 n ? m ? 2 的事件的概率为 P 1 ?

3 . 16 3 13 ? . 16 16
?????13 分

故满足条件 n ? m ? 2 的事件的概率为 P ? 1 ? P 1 ? 1? 18、 (本题满分 13 分) 解: (I)由 m // n ,得 b cos C ? (2a ? c) cos B, ,

??????????2 分

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B 由正弦定理,
得 sin Bc os C ? sin C cos B ? 2sin A cos B ??????????4 分 ????????6 分

1 ? sin( B ? C ) ? 2 s in A cos B,? cos B ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? 2 3

(Ⅱ)由题知 f ( x) ? cos(? x ?

?
6

) ? sin ? x ?

3 3 ? cos ? x ? sin ? x ? 3 sin(? x ? ) , 2 2 6

-6-

? ? ,?? ? 2 , f ( x) ? 3 sin(2 x ? ) ? 6 ? ? 7? ? 1 当 x ? [0, 2] 时, 2 x ? ? [ , ],sin(2 x ? ) ? [ ? ,1] 6 6 6 6 2
由已知得 所以,当 x ?

2?

?

??????????9 分 ???????10 分

?
6

时, f ( x) 的最大值为 3 ;当 x ?

?
2

时, f ( x) 的最大值为 ?

3 ?13 分 2

19、 (本题满分 12 分) (第 1 问 6 分,第二问 6 分)

20、 (本题满分 12 分)
2 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 0 解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,设 f ( x ) ? a ( x ? 2)( x ? 3) ? a ( x ? x ? 6) ,

且a ? 0 对 称 轴 x0 ?

1 , 开 口 向 下 , f ( x ) min ? f ( ?1) ? ?4a ? 4 , 解 得 a ? ?1 , 2

f ( x ) ? ? x 2 ? x ? 6 ;??5 分
(Ⅱ) g ( x ) ? x ? 5 ? x ? x ? 6 ? x ? 1 , g (
2 2

x ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? m 2 g ( x ) ? g (m) ? ? ?恒 m

成立 即

3? x2 ? ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 4 ? m 2 ( x 2 ? 1) ? m 2 ? 1? 对 x ? ? ??, ? ? 恒成立 2 ? ? 4? m ?

-7-

化简 (

3? 1 1 3 2 ? ? 4m 2 ) x 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 , 即 2 ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 对 x ? ? ??, ? ? 恒成 2 m m x x 4? ?

立??8 分 令y??

1 ? 4 ? 3 2 ? ? 1 ,记 t ? ? ? ? , 0 ? ,则 y ? ?3t 2 ? 2t ? 1 , 2 x x x ? 3 ?
1 4 5 1 5 2 ,当 t ? ? 时 ymin ? ? ,故 2 ? 4m ? ? 10 分 3 3 3 m 3

二次函数开口向下,对称轴为 t0 ? ?

(3m 2 ? 1)(4m 2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?
21、 (文) (Ⅰ)解:由 a1 ? S1 ? 此 a1=2。

3 3 或m ? ?????????????12 分 2 2

1 (a1 ? 1)(a1 ? 2) ,解得 a1=1 或 a1=2,由假设 a1=S1>1,因 6

1 1 又由 an+1=Sn+1- Sn= (a n ?1 ? 1)(a n ?1 ? 2) ? (a n ? 1)(a n ? 2) , 6 6

得 an+1- an-3=0 或 an+1=-an 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去。 因此 an+1- an-3=0。从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列, 故{an}的通项为 an=3n-2。???????????????5 分 (Ⅱ)证:由 a n (2 b ? 1) ? 1 可解得
? 3n ? 1 ? 3n ?3 6 ? · ·?· b z ? log z ? ?。 ?1 ? a ? ? log z 3n ? 1 ;从而 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? log z ? 2 5 3 n ? 1? ? n ? ? 3n ? 2 ?3 6 因此 3Tn ? 1 ? log z (a n ? 3) ? log z ? · ·?· 。 ? · 2 5 3 n ? 1 3n ?2 ? ?
3

f (n ? 1) 3n ? 2 ? 3n ? 3 ? (3n ? 3) 3 3n ? 2 ?3 6 ? ·? 令 f ( x) ? ? · ·?· ,则 ? ? ? · 3n ? 1 ? 3n ? 2 f ( n) 3n ? 5 ? 3n ? 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ?2 5
因 (3n ? 3) 2 ? (3n ? 5)(3n ? 2) 2 ? 9n ? 7>0 ,故 f (n ? 1)>f (n) . 特别的 f (n) ? f (1) ?
27 > 1 。从而 3Tn ? 1 ? log(a n ? 3) ? log f (n)>0 , 20

3

3

即 3Tn ? 1> log 2 ( an ? 3) 。

?????????????12 分

(理)解: (1)f(x)对任意 x ? R都有f ( x) ? f (1 ? x) ? 2

-8-

1 1 1 1 x ? 时有f ( ) ? f (1 ? ) ? 2 ? f ( ) ?1 2 2 2 2 1 1 1 令 x ? (n ? N *)时有f ( ) ? f (1 ? ) ? 2 n n n 1 n ?1 ? f ( )? f ( )?2 n n
(2)证明:f(x)对任意 x∈R 都有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2,

??????2 分

???????4 分

k k n?k ????????5 分 时有f ( ) ? f ( )?2 n n n 1 2 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? f ( ) ? f (1) n n n n ?1 n?2 1 ? an ? f (1) ? f ( )? f ( ) ? ? f ( ) ? f (0) n n n 1 n ?1 n ?1 1 ? 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f (1) ? f (0)] n n n n ? 2an ? ( 2 n ? 1)(n ? N *)
则令 x ?

? an ? n ? 1(n ? N *) ? an ?1 ? an ? (n ? 2) ? (n ? 1) ? 1(n ? N *)
∴{an}是等差数列. (3)解:由(2)有 bn ?
1 1 ? (n ? N *) an ? 1 n

???????8 分

? bn 2 ?

1 4 4 4 1 1 ? 2? 2 ? ? 2( ? ) 2 n 4n 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 2 ? bn ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? 3 3 5 ?( 1 1 ? )] 2n ? 1 2n ? 1

2 ?Tn ? b12 ? b2 ? b12 ?

? 2(1 ?

1 4n )? ? Sn 2n ? 1 2n ? 1
?????12 分

?Tn ? S n

-9-


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