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江苏省中等职业学校学业水平测试数学辅导用书过关训练


第一章
§ 1.1
【知识要点】 1.集合的概念





集合与元素

由某些确定的对象所组成的整体叫做集合。集合通常用大写的英文字母 A,B,C,?表示。 集合中的每个确定的对象叫做这个集合的元素。集合的元素通常用小写的英文字母 a,b,c, ? 表示。 2.集合元素的特性 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 3.元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素, 就说 a 属于 A, 记作 a?A; 如果 a 不是是集合 A 的元素, 就说 a 不属于 A, 记作 a?A。 4.有限集、无限集和空集 含有有限个元素的集合,叫做有限集;含有无限个元素的集合,叫做无限集。不含任何元素的集合 叫做空集,记作?。 5.常用数集 数集名称 符号 自然数集 N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

【基础训练】 1.用符号“?”或“?”填空: (1)-1 1 (4) 2 1 (7) 3 N; (2) ? Z; (5)0 Q; (8)3.14 ) . C.3?{x|x2-9=0} D.2?{x|x>0} Q; (3) 3 ?; (6)-5 Q。 R; Z;

2.下列关系式中不正确的是( A.0??

B.0?{1,2,3,4}

【能力训练】 1.下列对象不能组成集合的是( A.不等式 x+2>0 的解的全体 C.直线 y=2x-1 上所有的点 ) . B.本班数学成绩较好的同学 D.不小于 0 的所有偶数
1

§ 1.2 集合的表示法
【知识要点】 1.列举法 把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举法. 2.描述法 用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式为: {x| x 具有的共同特征}. 【基础训练】 1.小于 5 的自然数组成的集合用列举法表示为 2.方程 x+1=0 的解集用列举法表示为 3.下列元素中属于集合{x| x=2k,k ? N}的是( A.-2 B.3 C.10 D.? ) 。 ) 。 . .

4.下列元素中不属于集合{x| 2x-3<0}的是( A.-1 【能力训练】 1.用列举法表示下列集合: (1)绝对值小于 3 的所有实数组成的集合; B.0 C.1 D.2

(2) {x| x2-2x-3=0} .

§1.3 集合之间的关系
【知识要点】 1.子集 对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任意一个元素都是集合 B 的元素(即若 x?A,则 x?B) ,那么 集合 A 叫做集合 B 的子集,记作 A? B 或 B? A. 根据子集的定义,我们可以得出,任何一个集合是它自身的子集,即 A? A. 我们规定:空集是任何集合的子集,即?? A. 2.真子集
2

对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 是集合 B 的子集,并且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A, 那么集合 A 叫做集合 B 的真子集,记作 A B或B A. A.

显然,空集是任何非空集合的真子集,即,若 A 是非空集合,则? 3.集合相等

如果两个集合的元素完全相同,那么我们就说这两个集合相等,记作 A=B. 显然,A?B 且 B?A?A=B. 【基础训练】 1.用适当的符号(?,?, (1)3 (4){3,5} {3}; {5}; , ,=)填空: N; Q; ) . D. ? (3){a,b} (6) 2 {b,a}; {x| x<1}。

(2)-2 (5)Z

2.下列集合中,不是集合{1,2,3}的子集的是( A.{1,2} B.{1,3}

C. {2,4}

3.写出集合{1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.

【能力训练】 1.用适当的符号(?,?, (1){x|x>1} 2.下列正确的是( A.0?? {x|x>2}; ) . C.? ? {0} D. ? {0} ) . , ,=)填空: (2)? {0}; (3){x|x2-3x+2=0} {1,2}.

B.{0}=?

3.集合 A={x|1<x<9},B={2,3,4},那么 A 与 B 的关系是( A.A B B.A?B C.B A

D.B=A

§ 1.4 集合的运算
【知识要点】 1.交集 给定两个集合 A,B,由既属于集合 A 又属于集合 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的交 集,记作 A∩B,即 A∩B={x| x?A 且 x?B}. 2.并集
3

给定两个集合 A,B,把它们所有的元素合并在一起组成的集合,叫做集合 A 与集合 B 的并集,记作 A∪B,即 A∪B={x| x?A 或 x?B}. 3.补集 如果我们所研究的集合涉及的全部元素都属于集合 U,那么这个集合 U 叫做全集.如果 A 是全集 U 的一个子集,由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合叫做集合 A 在全集 U 中的补集,记作 CU A ,即

CU A ={x| x?U 且 x?A}.
【基础训练】 1.已知 A={0,1,3,5},B={0,2,4},那么 A∩B =( A.{1,3,5} B.{0,2,4} ) . D.{0}

C.{0,1,2,3,4,5} ) .

2.已知 A={a,b,c,d},B={b,d,e,f},那么 A∪B=( A.{b,d} B.{a,b,c,d,e,f}

C.{c,e,f} ) .

D. ?

3.设全集 U={a,b,c,d,e,f},A={a,c,e},那么 CU A =( A.{a,c,e} B.{b,d,f}

C.{a,b,c,d,e,f} . .

D. ?

4.{5,6,7,8,10}∪{5,6,8,9}= 5.{1,2,3}∩{2}= 【能力训练】 1.{x| x>3}∩{x| x>4}= 2.{x| 1<x<5}∪{x| x>3}= 3.已知 U=R,A={x A.{x| x<1} x>1} ,则 CU A =( B.{ x| x ? 1} . ) . .

C.{ x| x ? 1} ) .

D.R

4.设 A={x| x>1},B={ x| x ? 5},那么 A∩B=( A.? B.{ x| 1<x<5} x ? 5},那么 A∪B=(

C.{ x| 1 ? x<5} ) .

D.{ x| 1<x ? 5}

5.设 A={x| x>1},B={ x A.{x| x>1}

B.{ x| x ? 1}

C.{x| x>5}

D.{ x| x ? 5}

6.已知 U={0,1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={3,4,5,6},求 A∩B,A∪B, CU A ,

CU (A∩B) .

4

§ 1.5 充要条件
【知识要点】 1. 充分条件、必要条件 若命题“如果 p,那么 q”是正确的,即 p ? q,那么我们就说 p 是 q 的充分条件,或 q 是 p 的必 要条件。 2.充要条件 若 p 既是 q 的充分条件, 又是 q 的必要条件, 那么我们就说 p 是 q 的充分必要条件, 简称充要条件, 也称 p 与 q 是等价的,或称 p 等价于 q,记作 p?q。 【基础训练】 1.用符号“?、 ? 、?”填空: (1) “a=3,b=2” (2) “ab=0” (3) “x2=1” “a+b=5” ; “a=0” ; “x=±1” 。

2.下列各组条件中,p 是 q 的什么条件? (1)p:a 是整数;q:a 是自然数。 (2)p:四边形是正方形;q:四边形是平行四边形。 【能力训练】 1.若 p:x>1,q: x>2,则 p 是 q 的( A.充分不必要条件 ) 。 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) 。 D.既不充分也不必要条件

B.必要不充分条件

2.设 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 r 的充要条件,则 p 是 r 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

5

第二章

不 等 式

§ 2.1 不等式的基本性质
【知识要点】 1.不等关系 两个数量之间的不等关系可以用不等式来表示,即 a>b? a-b>0; a=b? a-b=0; a<b? a-b<0. 两个实数或代数式的大小比较可以用作差比较法. 2.不等式的基本性质 性质 1 如果 a >b,那么 a+c>b+c. 性质 2 如果 a >b ,c>0, 那么 ac >bc. 性质 3 如果 a >b ,c<0, 那么 ac<bc. 性质 4 如果 a >b ,b>c ,那么 a > c. 【基础训练】 一、填空题 1.用符号“< ”或“ > ”填空: 7 8 3 (1) ; (2) 4 11 11
4 ; 5

(3)a+1

a-1.

2.已知 a < b,用用符号“< ”或“ > ”填空: (1)3a 3.若 a < b,则 3b;
3 (a-b) 4

(2)a+4 0. ) .

b+4;

(3) -

a 4

?

b . 4

4.不等式 2x>- 4 的解集是( A.{x| x>2} B.{x| x>-2}

C.{x| x<2} ) . C.x2>0

D. {x| x<-2}

5.下列不等式中一定成立的是( A. x >0 【能力训练】 B.|x|>0

D.x2≥0

1.若 x>y,则 ax > ay,那么 a 一定 是( A.a > 0 B. a < 0 C.a ≥ 0

) .

D.a ≤ 0

2.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)x4+2x2+1,x4+2x2 +3
6

(2)(x + 1)( x + 5),(x + 3)2;

3.设 a>0,b>0,比较 a2-ab+b2 与 ab 的大小.

§ 2.2 区间
【知识要点】 1. 区间 区间是指一定范围内的所有实数所构成的集合,也就是数轴上某一“段”所有的点所对应的所有实 数. 2.各区间的定义、名称、符号及在数轴上的表示法见下表(a,b?R,且 a<b) . 定义 {x| a< x<b} {x| a≤ x≤b} {x| a< x≤b} {x| a≤ x<b} {x| x>a} {x| x≥a} {x| x<a} {x| x≤a} R 名称 开区间 闭区间 左开右闭区间 左闭右开区间 无限区间 无限区间 无限区间 无限区间 无限区间 符号 (a,b) [a,b] (a,b] [a,b) (a,+?) [a,+?) (-?,a) (-?,a] (-?,+?)
O

数轴表示
a
a
b
b b

备注 x x x x x 不包含线段的两个端点 包含线段的两个端点 包含右端点,不包含左端点 包含左端点,不包含右端点 不包含左端点的射线 包含左端点的射线

a

a
a
a

b

a a

不包含右端点的射线 包含右端点的射线 整个数轴

【基础训练】 一、填空题 1.用区间表示下列数集: (1){x| x<-1}= ; (2){x| -2< x≤8}=
7



(3){x| 1≤ x≤5}=

; (4){x| x≥2}=



2.用集合的描述法表示下列区间: (1)(-?,-1]= (3)(3,+?)= ; (2)[-5,2) = ; (4)(-1,4)= ) 。 D.[-1,3] ) 。 D.{ x | x≥2} 。 。

3.集合{x| -1< x<3}用区间表示正确的是( A.(-1,3) B.[-1,3) C.(-1,3]

4.区间(- ? ,2]用集合描述法可表示为( A.{x| x<2} 【能力训练】 B.{x | x ≤2} C.{ x | x >2}

1.已知集合 A=[-1,1],B=(-2,0),则 A∩B=( A.(-1,0) B.(-2,1] C.(-2,1)

) 。

D. [-1,0)

2.已知集合 A=(- ? ,3),集合 B=[-4,+ ? ),求 A∩B,A∪B. 3.解下列不等式组,用区间表示解集: (1) ?
?x ? 2 ? x ? ?1 ? x ? ?3 ?x ? 1

(2) ?

(3) ?

?x ? 5 ?x ? 2

(4) ?

?x ? 3 ? x ? ?2

§ 2.3 一元二次不等式
【知识要点】 1.一元二次不等式 形如 ax2+bx+c>0(≥0)或 ax2+bx+c<0(≤ 0)的不等式(其中 a≠0) ,叫做一元二次不等式。 2.一元二次不等式的解 满足一元二次不等式的未知数的取值范围,叫做这个不等式的解集。 3.一元二次不等式的解法 二次函数 y = ax2+bx+c (a > 0) 的图像与 x 轴交点的横坐标即为一元二次方程 ax2+bx+c = 0 的解. 函
8

数 y = ax2+ bx + c(a > 0)的图像在 x 轴上方(下方)的部分所对应的自变量 x 的取值范围,即为一元 二次不等式 ax2+ bx+ c > 0(< 0) (a > 0)的解集. 具体结论如下: ( a >0) 判别式△=b2-4ac 一元二次方程 ax2+ bx + c=0 的根 △>0 有两相异实数解 x1,x2(x1<x2) y 二次函数 y = ax2+bx+c 的图象 x1 O x2 x O x1=x2 x O x △=0 有两相等实数解 b x1=x2= 2a y △<0

没有实数解

y

一元二次不等式 ax2+ bx + c>0 的解集 一元二次不等式 ax2+ bx+ c < 0 的解集 【基础训练】

(-?,x1)∪(x2,+?)

(??, -

b b ) ? (? ) 2a 2a

R

(x1,x2)

?

?

1.观察函数 y = x2 - x - 2 的图像(如图) .当 时,y > 0;当 2.不等式 x2 - x - 2 > 0 的解集为 集 时,y <0.

时,y = 0; 当 -1

y

;不等式 x2 - x - 2 < 0 的解 ;不

O

2

x

;不等式 x2 - x - 2 ≥ 0 的解集为 . . ) . D. {x| x <-1 或 x >3}

等式 x2 - x - 2 ≤ 0 的解集 3.不等式 x2-3x<18 的解集是

第 1 题图

4.不等式 x2 -2x +3 > 0 的解集是( A.? B.R C.{x|-1<x<3}

5.不等式 x(x +2)≤0 的解集为( A.{ x | x≥0} B.{x | x ≤ -2}

) . C.{x| -2≤ x≤0} ) . C.{x|-2<x<3} D.{x| x <-2 或 x >3} D.{x | x≥0 或 x ≤ -2}

6.不等式(x +2)( x -3)>0 的解集是( A.{x| x >3} 【能力训练】 1.解下列不等式: (1) -x2+2x-8>0 B.{x|x<-2} ? x x ? -2?

(2) x2+4x+4≤0

9

(3) x2+x+1>0

(4) x2+2x+3<0.

2.m 为什么实数时,方程 x2-mx+1=0:⑴ 有两个不相等的实数根;⑵ 没有实数根?

3.某商场一天内销售某种电器的数量 x(台)与利润 y(元)之间满足关系:y=-10x2+500x。如果 这家商场计划在一天销售该种电器的利润在 6000 元以上,那么一天内大约应销售该种电器多少台?

§ 2.4 含绝对值的不等式
【知识要点】 1.绝对值的几何意义 实数 a 的绝对值| a |的几何意义是| a |为数轴上与实数 a 对应的点到原点的距离. 2.绝对值不等式的解集 不等式| x |< a(a > 0)的解集是(- a ,a),数轴表示为:

-a

0

a

x

不等式| x |> a(a > 0)的解集是(-?,-a)∪(a,+?),数轴表示为:

-a

0

a

x

【基础训练】 1.不等式| x |<3 的解集为 ;不等式| x |≥2 的解集为
10



2.不等式 2| x |-1<3 的解集为 3.不等式|2x-1|>5 的解集为 4.不等式|8-x|≥3 的解集为 5.不等式|2x-1|<1 的解集为( A.R B.{x| x<1} ) 。 ) 。 .

. .

C.{x| 0<x<1}
2 } 3

D.{x| -2<x<4}
2 } 3

5.不等式|3x-1|>1 的解集为( 2 A.R B.{x|x> } 3 6.与不等式|2-3x|>1 同解的是( A.2-3x>±1 【能力训练】 1.解下列不等式: (1)|2x|-3≤0

C.{x| x<0 或 x> ) 。

D.{x| 0<x<

B.3x-2>1 或 3x-2<-1

C.2-3x>1

D.-1<2-3x <1

(2)|2x-3|≥1

(3)4|1-3x|-1<0

(4)|6-x|≥2.

11

第三章





§ 3.1 函数的概念
【知识要点】 1.函数的概念 如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y,并且对于变量 x 的每一个值,变量 y 都有唯一确定的值 与之对应,那么我们就称 y 是 x 的函数,其中 x 是自变量,y 是因变量. 用集合语言表述为: 设 A 是一个非空数集,如果对于集合 A 内的任意一个数 x,按照某个确定的对应法则 f,有唯一确 定的数 y 与它对应,那么这种对应关系 f 就称为集合 A 上的函数,记作 y=f(x),其中 x 是自变量,y 是 因变量.函数 y=f(x)可以简记为 f(x). 2.函数值 函数 y=f(x)在 x=a 时的函数值记作 y=f(a). 3.函数的定义域和值域 在函数 y=f(x)中,自变量 x 的取值集合(范围)叫做函数的定义域,所有函数值组成的集合叫做函 数的值域. 4.函数定义域的求法 对于用解析式表示的函数, 如果没有特别说明, 其定义域就是使函数式子有意义的所有实数组成的 集合,即 (1)分式中分母不为 0; (2)偶次根式中被开方式不小于 0; (3)对数式中真数大于 0,底数大于 0 且不等于 1. 对于实际问题中的函数,其定义域根据自变量的实际意义确定. 【基础训练】 1.已知 f(x) =2x-1,则 f(2)= x ?5 2.已知 g(x) = ,则 g(2)= 2x ? 1 3.已知 h(x) = 2 x ? 1 ,则 h(0)= x?5 4.函数 y ? 的定义域是 x ?1 5.函数 y ? x ? 2 的定义域是 . ,g(0)= ,h(1.5)= . . ) . D.(-1,2)
12

,g(-1)= ,h(1)=

. .

6.下列各点中,在函数 y=x-2 图象上的是( A.(0,2) B. (-1,-2) C.(2,0)

【能力训练】 1.下列函数中,定义域是[0,+?)的函数是( ) . 1 A.y=2x B.y= C.y= x D. y=log2x x 2.求下列函数的定义域: (1)f(x)=log10(5x-2) (2) f(x)=

2x ? 1 ; x ?1

(3)f(x)=

1 ? 2x ? 1 ? x .

§3.2 函数的表示法
【知识要点】 函数的常用表示法有三种:列表法、图象法和解析法. 【基础训练】 1.圆柱体的体积 V=底面积 S?高 h.已知 S=2,则体积 V 可以表示为变量 h 的函数,其表达式 为 ,其定义域为 .

2.下图是气象台自动温度记录仪的描图针描绘的某一天从 0 点~24 点温度随时间变化的曲线.在 每一时刻 t,都对应着惟一一个温度 T(单位:?C) ,因此,温度是时间 t 的函数:T=f(t),则 f(t)的定义 域 D= ,f(6)= T(?C) 20 10 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16
第 2 题图

,下午一点钟时的气温是



18 20 22

24

13

【能力训练】 1.根据实验数据得知,在不同大气压下,水的沸点 T(单位:?C)与大气压 P((单位:105Pa)之间的 函数关系如下表所示: P T 0.5 81 1.0 100 ,因变量是 2.0 121 ; ; 5.0 152 10 179

(1)在此函数关系中,自变量是

(2)当自变量的值为 2.0 时,对应的函数值为 (3)此函数的定义域是 .

§ 3.3 函数的单调性
【知识要点】 1.增函数 如果函数 y=f(x)在区间(a,b)上满足:随着自变量 x 的增大,函数值(因变量)y 也增大,那么称 函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调增加,也称 y=f(x)在区间(a,b)上是增函数;区间(a,b)称为函数 y=f(x) 的单调增区间,单调增函数的图象自左向右逐渐上升. 2.减函数 如果函数 y=f(x)在区间(a,b)上满足:随着自变量 x 的增大,函数值(因变量)y 反而减小,那么 称函数 y=f(x)在区间(a,b)上单调减少,也称 y=f(x)在区间(a,b)上是减函数;区间(a,b)称为函数 y=f(x) 的单调减区间,单调减函数的图象自左向右逐渐下降. 3.单调区间 函数 y=f(x)的单调增区间和单调减区间统称为函数的单调区间. 【基础训练】 1.已知函数 f (x)的图象(如图) ,则函数 f (x)在区间(-1,0)内是 在区间(0,1)内是 y 函数(填“增”或 “减” ) .
y y= f(x) y= f(x)

函数(填“增”或 “减” ) ,

y

O -2 -1 1 2 3

x
x O 12345 第 2 题图 -3 -2 -1O

1 2 3 x

第 1 题图

第 3 题图

2.设函数 f(x)在区间(-?,+?)内为增函数(如图) ,则 f (4)
14

f (2)(填“>”或“<” ) .

3.设函数 f(x)在区间(-3,3)内为减函数(如图) ,则 f (2) 【能力训练】 1.下列函数中,在(0,+?)内为增函数的是( A.y= ? ?
?1? ?2?
x

f (-2)(填“>”或“<” ) .

) . D. y=2x2 ) . D. y=2x2-1

B.y=

1 x

C.y= -x2

2.下列函数中,在(-?,0)内为减函数的是( 1 A. y=7x+2 B. y ? C.y= -x2+2 x

3.已知函数 y= f(x),y= g(x)的图像如下图所示,根据图象说出函数的单调区间以及在各单调区间 内函数的单调性. y y 1 O -1 y=g(x) x

2 1 -2 -1 O -1 y=f(x) x 1 2 x -?

?

?
2

? 2

?

x

§3.4
【知识要点】

函数的奇偶性

如果函数 y= f(x)的定义域关于原点 O 对称,并且对定义域内的任意一个值 x, (1)若 f(-x)= f(x),就称函数 y= f(x)为偶函数,y= f(x)为偶函数? y= f(x)的图象关于 y 轴对称; (2)若 f(-x)= - f(x),就称函数 y= f(x)为奇函数,y= f(x)为奇函数? y= f(x)的图象关于原点对称.
15

【基础训练】 1.下列图象表示的函数中,奇函数是( y y ) . y y

O A

x

O B

x

O C

x

O D

x

2.下列函数中的偶函数是( ) . 1 A.y=3x B.y= C.y=2x2 x 3.下列函数中的奇函数是( ) . 3 A.y=3x-2 B.y= C.y=2x2 x 4.下列函数中的偶函数是( ) . 2 A. y=-3x? B.y= C.y=∣x-1∣ 3x 【能力训练】 1.判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)= x 2

D. y= ?

1 x 3

D. y=x2-x

D. y=x+1

(2)f(x)= -2x+5

(3)f(x)= x2-1

(4)f(x)=2x3-x.

§ 3.5 函数的实际应用
【知识要点】 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型, 是研究变量之间依赖关系的有效工具。 利用函数 模型可以处理生产、生活中的许多实际问题。 运用函数模型研究和解决实际问题的一般步骤是: 读题→建模→求解→反馈(检验) 。
16

解这类应用问题时,要考虑问题的实际意义,因此要注意自变量的取值范围。 【基础训练】 1.大型港口的水位 h 通常会随着潮汐的变化升高或降低.下图给出了某个港口某天的水位变化情 况.
水位 h/m
22.0 20.0 18.0 16.0 14.0

时间 t/时
12.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

根据上图回答下列问题: (1)该港口在这一天的什么时间水位最高?最高水位约是多少 m? (2)该港口在这一天的什么时间水位最低?最低水位约是多少 m? (3)在什么时间段内,一艘吃水约 17m 的轮船可以安全停泊该港口?

2.以下是某地区今年 5 月 16 日~5 月 31 日最高气温记录表. 日期 最高气温/?C 16 19 17 20 18 22 19 25 20 29 21 30 22 31 23 24 24 27 25 31 26 24 27 25 28 27 29 28 30 16 31 20

(1)该地区 5 月 25 日的最高气温是多少? (2)该地区在这半个月中,哪天的最高气温最高?哪天的最高气温最低?分别是多少? (3)该地区在这半个月中,最高气温高于 25?C 的有哪几天?

【能力训练】 1.255ml 的雪碧每瓶 2.6 元,假设购买的数量 x 瓶,花了 y 元, (1)请根据题目条件,用解析式将 y 表示成 x 的函数;
17

(2)如果小林要买 5 瓶雪碧,共要花多少钱? (3)如果小林有 50 元,最多可购买了多少瓶雪碧? 2.用 6m 长的篱笆在墙角围一块矩形菜地(如图) ,设菜地的长为 x(m) , (1)将菜地的宽 y(m)表示为 x 的函数,并指出该函数的定义域; (2)将菜地的面积 S(m2)表示为 x 的函数,并指出该函数的定义域; (3)当菜地的长 x(m)满足什么条件时,菜地的面积大于 5m2?




菜地 x 第 2 题图

y

18

第四章

指数函数与对数函数

§ 4.1 实数指数幂
【知识要点】 1.n 次方根 如果 xn=a(n∈N+,且 n>1) ,则称 x 为 a 的 n 次方根;正数 a 的正的 n 次方根叫做 a 的 n 次算术 根,记作 n a 。当 n a 有意义时,把 n a 叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数。 负数没有偶次方根, 即当根式的根指数为偶数时, 根式内应大于或等于零; 零的任何次方根都是零。 根式具有以下性质: (1) ( n a ) ? a (n∈N+,且 n>1) 。
n

(2)当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时 n a n ? a ? ? 2.分数指数幂与根式

?a (a ? 0), ?? a (a ? 0).

an(n∈N+)叫做 a 的 n 次幂,a 叫做幂的底数,n 叫做幂的指数。 当幂的指数推广到有理数时,规定:
m

(1) a n ? n a m (2) a
? m n

(m,n∈N+,且 n>1,当 n 为奇数时,a∈R,当 n 为偶数时,am≥0) 。
? 1
n
m

?

1
m

an

am

( a n 有意义,且 a≠0) 。

3.实数指数幂的运算法则 当我们将幂的指数推广到实数以后,其整数指数幂的运算法则仍然适用于实指数幂(见下表) 。 整数指数幂(m,n∈Z) am?an=am+n
am an ? a m ? n (a≠0)

实数指数幂(a>0,b>0,?,? ∈R) a??a?=a? +?
a? a? ? a? ? ?

(am) n=amn (ab)m=ambm
an ?a? ? ? ? n (b≠0) b ?b?
n

(a?) ?=a?? (ab)?? =a?b?
a? ?a? ? ? ? ? b ?b?
?

在实指数幂运算法则中,对幂的底数进行了限制,即底数大于零,这是一般性限制。但对一些特殊 的底数小于零的实指数幂,只要实指数幂有定义,实指数幂的运算法则仍适用,如
2 3 2 3 ? 5

(?3) 5 ? (?3) 5 ? (?3) 5

? ?3 。在运用上述运算法则进行计算或化简时,如遇根式,一般先将根式转化为

分数指数幂后,再进行计算或化简。 【基础训练】
19

1.计算 (1)2-2= (3) ?
? 8 ? = ? 27 ?
1 ?3

; ; 。

(2)(a+1)0= (4) (3 ? 7 )3 =

(a≠1); ;

(5) 5 510 =

2.将下列根式化为分数指数幂的形式 (1) 3 a 2 = ; (2)
1
7

b

3

=



(3)

1
5

( a ? b)3

=



3.将下列分数指数幂化为根式
2

(1) 2 3 = 【能力训练】 1.计算
?2



(2) a

?

1 2

=



(3) (ab)

?

5 6

=



(1) ? ? ? (?? )0 ? 4 16

?1? ?3?

3 4 9 4 (2) ( )5 ? ( )0 ? ( ) 7 9 7

2.化简
? 8 ? (1) ? ? (a≠0) 3 ? 27a ?
?3

(2) ( x ? 2) 2 (x>-2) 。

§ 4.2 幂函数
【知识要点】 1.幂函数的概念 形如 y=x?(?∈R,?≠0)的函数叫做幂函数,其中 x 为自变量,??为常数。 2.幂函数的定义域 幂函数没有统一的定义域,不同幂函数的定义域根据其幂指数的取值确定,即使得 x?有意义。 【基础训练】 1.下列函数是幂函数的是( ) 。
20

A. y ? ? ?
2

?2? ?3?

x

2

B. y ? x 3

C.y=(x-5)2 ) 。

D.y=5x2

2.函数 y= x 3 的定义域是( A.[0,+?) B.(0,+?)

C.(-?,0)∪(0,+?) D.R ) 。 D.y=x2 ;函数 y=x-3 的定义域是
?3 2

3.下列函数中定义域为[0,+?)的是( A. y ? x
3 ?5

B. y ? x

3 2

C.y=x-2

4.函数 y=x3 的定义域是 定义域是 【能力训练】 1.已知幂函数 y ? x? ,当 x ? (1)求该幂函数的表达式;
1 时,y =2. 8

;函数 y ? x 的

3 2

;函数 y ? x 的定义域是



(2)求该幂函数的定义域; 1 3 (3)求当 x =2,3, ? , 时的函数值。 2 3

§ 4.3 指数函数
【知识要点】 1.指数函数的概念 形如 y=ax(a>0,且 a≠1)的函数叫做指数函数,其中 x 为自变量,a 为常数。 指数函数与幂函数同样是幂的形式,但要注意自变量的位置,如果自变量在底数位置,那么该函数 是幂函数,如果自变量在指数位置,那么该函数是指数函数。 2.指数函数的图象及性质 函数 y=ax(a>1)
y y=ax (a>1)

y=ax(0< a <1)
y

y=ax (0< a <1)
1 ? y=1 x

图象

y=1

1 ?

O

x

O

性质

定义域:R
21

值域:(0,+∞) 图象经过点(0,1),即当 x=0 时,y=1 是 R 是的增函数 【基础训练】 1.下列函数中是指数函数的是( A.y=(-3)x B. y ? ? ?
?2? ?5?
x

是 R 上的减函数

) 。
1

C. y ? x 2

D.y=3 ?2x 函数;指数函数 y ? ? ? 是 R 上的单调
?3? ?2?
x

2.指数函数 y=0.7x 是 R 上的单调 数(填“增”或“减” ) 。



3.指数函数 y=ax (a>0, 且 a≠1) 的图象经过点(1, 3),则函数的解析式是 时,y = 或“减” ) 。 【能力训练】 1.比较大小(用“>”或“<”连接) (1)1.20.3
?1? (3) ? ? ?5?
?2

;当 x =0 函数(填“增”

;当 x =3 时,y =

;函数在 R 上是单调

1.20.4;
?1? ? ? ; ?5? 1;
?3

(2)33.1 (4)2-2.3 (6)2-4

33.2 ; 2-2.4; 0.3-2;
? 2 5

(5) ? ?
? 2 ?7 (7) ? ? ?3?
5

?4? ?5?

?2.3

? 2 ?8 ? ? ; ?3?

5

?6? (8) ? ? ?5?

?6? ? ? ?5?

?

3 5



§ 4.4 对数的概念
【知识要点】 1.对数的概念 如果 ab=N(a>0,且 a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 logaN=b。其中,a 叫做对数的 底数,N 叫做真数,logaN 读作“以 a 为底 N 的对数” 。 2.对数式与指数式的互化 我们把 ab=N 叫做指数式,logaN=b 叫做对数式,两者之间的关系如下图所示。
指数 幂 真数 对数

ab = N 底数 22

logaN=b

3.常用对数和自然对数 当对数的底数为 10 和 e 时,分别称这两个对数为常用对数和自然对数。这里的 e 是一个无理数,

e =2.718281?。
名称 常用对数 自然对数 4.几个重要结论 (1)零和负数没有对数; (2)真数为 1 的对数等于零,即 loga1=0(a>0,且 a≠1) ; (3)真数与底数相同的对数等于 1,即 logaa=1(a>0,且 a≠1) 。 【基础训练】 1 . 指 数 式 25=32 化 为 对 数 式 为 为 。 2 .对数式 log5125=3 化为指数式为 为 3.求值:log33= 。 ,log20131= ,ln1= ,lg10= 。 ;对数式 lg ; 指 数 式 3? 4 ?
1 化为对数式 81

底数

一般记法 log10N logeN

简记法 lgN lnN

10 e

1 ? ?2 化为指数式 100

【能力训练】 1.求下列各式中的 x: (1)log3x=4 (2)lgx=2

(3)lnx=0

(4) log

3

3 =x

(5)logx 8=3

23

§ 4.5 对数的运算
【知识要点】 运算性质(下述性质中 a>0,且 a≠1,M >0,N >0) : 积的对数:两个正数积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和。 即 loga (MN)= loga M+ loga N 商的对数:两个正数商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数。 即 M = log M- log N loga a a N 一个正数幂的对数,等于幂指数乘以这个数的对数。即 loga M b=bloga M 【基础训练】 1.下列各式中,正确的是( A.loga (x+y)= loga x+ loga y C. log a ( x ? y ) ? 2 . log216= ) 。 B.loga (MN)= loga M ? loga N D.log5 x3=3log5x(x>0) ; lg100-lg0.1= ;log1122- log112 。 。 ; log 5

log a x log a y

log 1 27 ?
3

1 ? 125



3.若 log32=a,则 log323= 【能力训练】 1.化简 log38÷log32 可得( A.log34 B.4 ) 。

C .3 ) 。

D.

3 2

2.若 lg2=a,lg3=b,则 lg6 可用 a,b 表示为( A.ab 3.计算 (1)lg5+lg20 B.a-b C.a+b

D.

a b

(2)lg0.01+lne -log 8.3 1

§ 4.6 对数函数
【知识要点】
24

1.对数函数的概念 形如 y=logax(a>0,且 a≠1)的函数叫做对数函数,其中 x 为自变量,a 为常数。 2.对数函数的图象及性质 函数 y=loga x (a>1)
y

y=loga x (0< a < 1)
y

y=logax (a>1)
? 1

y=logax (0<a<1)
? 1

图象

O

x

O

x

定义域:(0,+∞) 性质 值域:R 图象经过点(1,0),即当 x = 1 时,y = 0 是(0,+∞)上的增函数 【基础训练】 1.对数函数 y=log2.5 x 的定义域与值域分别是( A.R,(0,+∞) C.(0,+∞),(0,+∞) 2.比较大小(用“>”或“<”连接) (1)log70.31 log70.32 (2)log0.70.25 (4)lg3 (6)log0.52 lg2 log52 , 值 域为 , 图 象位 log0.70.35 ) 。 是(0,+∞)上的减函数

B.(0,+∞),R D.R,R

2 (3) ln 3
(5) log3

ln 0.6
3 5 0

3 . 对 数 函数 y=log1.2 x 的 定 义 域为 于 ,经过点 ,在定义域上是

函数(填“增”或“减” ) 。 , 值 域为 , 图 象位 函数(填“增”或“减” ) 。

4 . 对 数 函数 y=log0.8 x 的 定 义 域为 于 ,经过点 【能力训练】 1.下列函数中在(0,+∞)上是增函数的是( A. y ? ? ? ) 。
x

,在定义域上是

?1? ?3?

B.y=-x2

C. y ? log 1 x
2

D.y=log2 x

2 .已知对数函数 y=logax ( a>0 ,且 a ≠ 1 )的图象经过点 ( 8 , 3 ) ,则该对数函数的解析式 为 ,当 x =32 时,y = 3.求下列函数的定义域
25

,当 x =

1 时,y = 16



(1)y=log0.3 (2x-3)

(2) y ? ln 5 ? x

(3) y ? lg

1 5x ? 3

§ 4.7 利用计算器求对数值
【知识要点】 不同型号的计算器,按键和操作的方法略有不同,如果你对某种型号的计算器不是很熟悉,使用时 请先阅读一下该计算器的使用说明书,说明书中会介绍计算器的使用方法和有关计算的操作程序。 下面以 TY—90MS349 学生用计算器为例,介绍一下利用计算器求对数值的操作程序: 常用对数:按 lg 键→输入真数值→按 = 键→显示结果; 自然对数:按 ln 键→输入真数值→按 = 键→显示结果; 一般底的对数:按 log 键→输入底数值→按 ,键→输入真数值→按 = 键→显示结果。 【基础训练】 利用计算器求下列对数值(精确到 0.0001) : 1.lg8350; 4.lg2.813; 7.log22048; 10. log 2 2.lg0.345; 5.ln12.8; 8.log0.518; 3. lg

7 ; 12
1 ; 3

6.ln0.935; 9. log 4
3

?。

§ 4.8 指数函数、对数函数的实际应用
【知识要点】 指数函数与对数函数在经济、 社会、 生活中应用较为广泛, 运用指数函数与对数函数解决实际问题, 先将实际问题数学化,即建立数学模型。对于较为复杂的数学化式子在计算时可考虑取对数,如对于等
26

式可两边取同底对数,一般取常用对数,然后利用计算器计算。 【能力训练】 1.某毕业生工作后,第一年存款 5000 元,计划以后每年的存款增长 10%。 (1)第二年存款和第三年的存款分别为多少元(只列式,不计算)? (2)写出第 x 年存款数 y(元)与 x 之间的函数关系式; (3)多少年后,每年存款超过 10000 元(精确到 1 年)?

2.某企业 50 万元购进一套机械设备,并计划折旧至 25 万元时,更新这套机械设备,如果每年的 折旧率按 5%计算,问多少年后这套机械设备被更新(精确到 1 年)?

3.某林区原有林木 30000m ,如果每年植树以保证每年林木的体积(单位:m )增长 5%,经过

3

3

x 年林区中有林木 y m3。
(1)写出 y 随 x 变化的函数关系式; (2)大约经过多少年,该林区的林木体积可增加到 50000m (精确到 0.1 年)?
3

27

第五章

三角函数

§ 5.1 角的概念推广
【知识要点】 1.角的概念的推广 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 射线的端点称为 角的顶点,射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边. (2)正角、负角和零角 一条射线绕着端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角; 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角; 如 果一条射线没有做任何旋转,那么也把它看成一个角,叫做零角. 2.象限角和非象限角 为了方便,经常在平面直角坐标系中研究角.让角的顶点与坐标原点重合,角的始边与 x 轴正半轴 重合,规定:角的终边在第几象限,就称这个角是第几象限角。角的终边在坐标轴上时,这个角不属于 任何象限,称为非象限角。 3.终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角(连同角 α 在内) ,可组成一个集合{β| β =α + k?360?,k ∈Z},即任一与 角 α 终边相同的角,都可以表示成角 α 与周角的整数倍的和的形式。 【基础训练】 1.一条射线绕着端点按 方向旋转形成的角叫做正角;按 角。 象限角;315?角是第 象限角;-60? 方向旋转形成的角

叫做负角;如果一条射线没有做任何旋转,那么把它看成 2.30?角是第 角是第 象限角;120?角是第 象限角。 ; 90? 角的终边在

3 . 0? 角的终边在 在 ;270?角的终边在 4.与 90?终边相同的角的集合是 是 【能力训练】 1.下列命题中正确的是( ) 。

; 180? 角的终边 。

;-90?角的终边在

;与 820?终边相同的角的集合 。

;与-496?终边相同的角的集合是

28

A.终边在 y 轴正半轴上的角是直角 C.第四象限角一定是负角 2.下列角中与 130° 角终边相同的角是( A.1000° B.-630° ) 。

B.终边相同的角一定相等 D.锐角一定是第一象限角

C.-950°

D.-150°

§5.2 弧度制
【知识要点】 1.角度制和弧度制 用角度作单位来度量角的制度叫做角度制;用弧度作单位来度量角的制度叫做弧度制。 2.1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,记作 1rad。 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为 0。 3. 弧度与角度的换算关系: 180° =π rad ; 1° =

?

180

rad ≈0.01745 rad ;

180 ? 1 rad = ( ) ≈57.3°

?

4. 弧长公式及扇形面积公式: (1)弧长公式: l=|α| r (2)扇形面积公式: S ? 【基础训练】 1.角度与弧度的互化 (1) 18° = 2. ;(2) -67.5° = 象限角; 象限角。 ; ;(3)

1 lr 2

?

?
3

? 是第 6

2? 是第 3

3? ? 5

,(4) ?

4? . ? 3 7? 象限角; 是第 4

象限角;

是第 3 . 0 的终边在

? 的终边在 2

; π 的终边在



3? 的终边 2

在 4.与



? 终边相同的角的集合是 6



5.(1)已知扇形的半径为 10cm,圆心角为

? ,则该扇形的弧长是 4
29

cm,面积是

cm2。

(2)已知扇形的半径为 6cm,圆心角为 30° ,则该扇形的弧长是

cm,面积是

cm2。

【能力训练】 1.下列角中为第四象限角的是( A.490° B. ) 。 C. ?

2.下列各角中与角 A.

7? 6

? 终边相同角的是( 6 23? B. ? 6

9? 4

?
9 23? 6

D.630°

) 。 C. D.

19? 6

§5.3 任意角的三角函数
【知识要点】 1.任意角的三角函数的定义 设角 α 是任意角,在角 α 的终边上任取除原点以外的任一点 P(x,y) ,点 P 到原点的距离为 r,
2 2 r =|OP|= x ? y >0

则比值

y y 叫做 α 的正弦,记作 sinα,即 sinα= ; r r x x 比值 叫做 α 的余弦,记作 cosα,即 cosα= ; r r y y 比值 叫做 α 的正切,记作 tanα,即 tanα= 。 x x

正弦函数和余弦函数的定义域都是 R,正切函数的定义域是{α| α≠ 2.三角函数值在各象限内的符号如图: y y y

? + k?π,k∈Z}。 2

﹢ ﹣
O

﹢ ﹣
x

﹣ ﹣
O

﹢ ﹢
x

﹣ ﹢
O

﹢ ﹣
x

sinx

cosx

tanx

3.利用计算器求三角函数值 操作步骤为:按 D/R 键,设定角的计算模式为角度(D)或弧度(R)→按 sin 键(cos 键、tan 键) →输入相应的角度值或弧度值→按=键,显示三角函数值。 【基础训练】 1.已知角 α 的终边过下列点,求 sinα ,cosα ,tanα 。 (1)P1(3,4); (2)P2(-1,1)

30

(3)P3(-5,-12)

(4)P4( 3 ,-1)

2.求下列各角的正弦值、余弦值、正切值。 (1)60? (2)π

3.确定三角函数值的符号(用“<”或“>”填空) 。 (1)sin70° 0; (2) cos

7? 12

0; (3)tan(-46° ) 象限角; 象限角。

0。

4.已知 sinα >0 且 cosα <0 ,则角 α 的是第 已知 sinα < 0 且 tanα >0 ,则角 α 的是第 【能力训练】

1.已知角 α 为第四象限角,且终边过点 P(3,y) ,若|OP|=5,求 sinα ,cosα ,tanα 。 2.已知 sinα cosα >0 ,则角 α 的是第 已知 sinα tanα <0 ,则角 α 的是第 象限角; 象限角。

§ 5.4 同角三角函数的基本关系
【知识要点】 同角三角函数的基本关系 (1)sin2α +cos2α=1 【基础训练】 1.化简: (1)sin2 70° +cos270° = (4) ; (2)sin23α +cos23α= ; (5)cos60° tan60° = 。 ; (3)sin
2

(2)

sin ? =tanα cos?

?
2

? cos 2

?
2

?



sin 45? = cos 45?

2. (1)已知 sinα=0.6,α 是第二象限角,求 cosα,tanα。
31

(2)已知 cosα=-0.6,α 是第三象限角,求 sinα,tanα。

【能力训练】 1.下列等式中,正确的是( A.sin2 40° +cos250° =1 C.sin4α +cos4α=1 2.已知 sinα= ) 。 B. sinα tanα=cosα D.cosα tanα=sinα

3 ,求 cosα,tanα。 2

3.已知 tanα= 3 ,α 是第三象限角,求 sinα 和 cosα。

§ 5.5 三角函数的诱导公式
【知识要点】 三角函数的诱导公式(k∈Z) 公式 1 sin(α+2kπ) = sinα 公式 2 sin(-α) = -sinα 公式 3 sin(π-α) = sinα 公式 4 sin(π+α)= -sinα 【基础训练】 1.化简
32

cos(α+2kπ)= cosα cos(-α)= cosα cos(π-α)= -cosα cos(π+α)= -cosα

tan(α+2kπ)= tanα tan(-α)= -tanα tan(π-α)= -tanα tan(π+α)= tanα

(1)sin(α+2π)= (3)sin(180° -α) = (5)cos(α+π) = 2.下列结论中,错误的是( A.cos(-α) = -cosα C.tan(π+α) = tanα 3. 求三角函数值 (1)sin(-30° ) = (4)sin405° = 【能力训练】 化简:

; ; ; ) 。

(2)cos(α+180° )= (4)tan(-α) = (6)tan(π-α) = ;





B.sin(π-α) = sinα D.sin(α+180° ) = - sinα

(2)cos150° = (5)cos ( ?

13? )= 6

(3)tan210° = (6)tan

11? = 4

(1)sin(-210° ) tan240° + cos(-210° );

(2)

sin(180? ? ? ) ? cos(360? ? ? ) tan(? ? 360? ) ? cos(?? )

§ 5.6 正弦函数的图象与性质
【知识要点】 1.正弦函数的图象 (1) 正弦函数在[0,2π]上的图象(如右图)有五个关 键点:(0,0),( y 1 O -1 ? ?
? 2
3? 2

3? ? ,1),(π,0),( ,-1),(2π,0)。 2 2

常用“五点法”作正弦函数在[0,2π]上的简图. (2) 正弦函数 y=sinx , x∈R 的图象称为正弦曲线. y ?
-3?

?

?

? 2?

x

?

?
-?

?
?

?
3?

x
5?

?

-2?

?

O -1

?

2?

?

4?

2.正弦函数的性质 (1)周期函数:对于函数 y=f(x),如果存在一个不为零的常数 T,当 x 取定义域 D 内的每一个值 时,都有 x+T∈D,并且等式 f(x+T) = f(x)成立,那么函数 y= f(x)叫做周期函数,常数 T 叫做这个函数的 周期 (2)正弦函数的图象和性质
33

函 数

y=sinx,x∈R y

图 象

?
-5? -4? -3?

?
-?

?
?

?
3?

x
5?

?

-2?

?

O -1

?

2?

?

4?

定义域 值 域 当x= 最 性质 周期性 奇偶性 在[单调性 值

R

? +2kπ (k∈Z)时,ymax =1; 2 3? 当x= +2kπ (k∈Z)时,ymin =-1 2

[-1 , 1]

y=sinx,x∈R 是周期函数,其周期 T=2π y=sinx,x∈R 是奇函数

? +2kπ, 2 ? 在[ +2kπ, 2

? +2kπ] (k∈Z)上是增函数; 2 3? +2kπ] (k∈Z)上是减函数 2

【基础训练】 1.函数 y=sinx 的定义域是 ymax = ,当 x= ,值域是 时,ymin = 。 ,最小值是 ,最小值是 sin47° ;sin( ? ,周期是 ,周期是 sin( ? 。 . ,周期是 ,当 x= 时,

2.函数 y= 3 +sinx 的最大值是 3.函数 y=sinx-3 的最大值是 4.比较大小:sin34°

2? ) 9
) 。

?
9

).

5.在下列区间中,函数 y=sinx 单调递增的是(

? A.[0 , ] 2

? B.[ ,π] 2

C.[π,

3? ] 2

D. [0,π]

【能力训练】 1.用“五点法”作下列函数在[0,2π]上的简图。 (1)y=sinx (2)y=sinx+1

(3)y=sinx-1

34

§ 5.7 余弦函数的图象与性质
【知识要点】 1.余弦函数的图象 (1)余弦函数在[0,2π]上的图象(如右图)有五个 关键点:(0,1),( 1? O -1 y
? ?2

3? ? ,0),(π,-1),( ,0),(2π,1)。 2 2

?
?

3? 2 ?

? x 2?

常用“五点法”作余弦函数在[0,2π]上的简图. (2) 余弦函数 y=cosx , x∈R 的图象称为余弦曲线。 y
-3?

?
-2?

-?

?

?

1 ? O -1

?

?
2?

3?

?
4?

x

?

?

2.余弦函数的图象和性质 函 数 y=cosx,x∈R y 图 象
-4? -3?

?
-2?

-?

?

?

1 ? O -1

?

?
2?

3?

?
4?

x

? R [-1 , 1]

?

定义域 值 最 性 质 周期性 奇偶性 单调性 【基础训练】 1.函数 y=cosx 的定义域是 ymax = ,当 x= ,值域是 时,ymin = 。 ,最小值是 ,最小值是 域 值

当 x =2kπ (k∈Z)时,ymax =1; 当 x =π+2kπ (k∈Z)时,ymin =-1 y=cosx,x∈R 是周期函数,其周期 T=2π y=cosx,x∈R 是偶函数 在[2kπ, π+2kπ] (k∈Z)上是减函数; (k∈Z)上是增函数

在[π+2kπ, 2π+2kπ]

,周期是

,当 x=

时,

2.函数 y=cosx+2 的最大值是 3.函数 y=cosx-2 的最大值是

,周期是 ,周期是

; .

35

4.比较大小:cos230°

cos250° ,cos

? 10
) 。

cos

? 。 9
D. [0,π]

5.在下列区间中,函数 y=cosx 单调递增的是( A.[0,

? ] 2

B.[

? ,π] 2

C.[π,

3? ] 2

【能力训练】 下列结论中正确的是( ) 。

A.y=sinx 和 y=cosx 都是偶函数 B.y=sinx 和 y=cosx 都是周期函数 C.y=sinx 和 y=cosx 在[0 ,

? ]都是增函数 2

D.y=sinx 和 y=cosx 在 x =2kπ (k∈Z)时有最大值 1

§5.8 已知三角函数值求角
【知识要点】 1.已知任意一个角,可以求出它的三角函数值(角必须属于这个函数的定义域) ;反之,已知一个 三角函数值,也可以求出与它对应的角。 2.一些常用特殊角的三角函数值 Α(rad) α(° ) sinα cosα 0 0° 0 1

? 6
30°

? 4
45°

? 3
60°

? 2
90° 1 0

π 180° 0 -1

1 2
3 2 3 3

2 2 2 2
1

3 2 1 2
3

tanα 3.用计算器求值

0

不存在

0

(1)已知正弦函数值,可利用计算器求出[ ?

?
2



? ]内的角,操作步骤为: 2

按 D/R 键,设定角的计算模式为角度(D)或弧度(R)→按 2ndF 键→按 sin-1 键→输入正弦函数 值→按=键,显示[ ?

?

2



? ]内的角; 2

(2)已知余弦函数值,可利用计算器求出[0,π]内的角,操作步骤为: 按 D/R 键,设定角的计算模式为角度(D)或弧度(R)→按 2ndF 键→按 cos-1 键→输入余弦函数 值→按=键,显示[0,π]内的角。

36

(3)已知正切函数值,可利用计算器求出( ?

?
2



? )内的角,操作步骤为: 2

按 D/R 键,设定角的计算模式为角度(D)或弧度(R)→按 2ndF 键→按 tan-1 键→输入正切函数 值→按=键,显示( ?

?

2



? )内的角。 2

4.已知三角函数值求角仅限[0,π]内的特殊角。如果已知正弦值,在[0,π ]求角,此时应有两解, 但用计算器求解时只能得到其中的一个解——锐角 α,另一个解为 π-α。 【基础训练】

2 ? ,且 0≤x≤ ,则 x= 2 2 3 2.已知 cosx= ? ,且 0≤x≤π,则 x= 2
1.已知 sinx= 3.已知 tanx= 3 ,且 0≤x≤π,则 x= 4.已知 sinx=0.5,且 0≤x≤90° ,则 x= 5.已知 cosx=

; ; ; ; ; ;

3 ,且 0≤x≤180° ,则 x= 2

6.已知 tanx=-1,且 0≤x≤180° ,则 x=

37

第六章





§ 6.1 数列
【知识要点】 1.数列的概念 按一定次序排成的一列数 叫做数列,数列中的每一个数都叫做数列的项。数列的一般形式 简记为{an},其中 a1 叫做数列的第 1 项(或首项) ,an 叫做数列的第 n 项。 2.数列的分类 项数有限的数列叫做有穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列。 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个式子表示,我们把这样的式子叫做数列 的通项公式。 【基础训练】 1.数列 2,4,6,8,10,12,14 的第 2 项是 2.数列 8,5,2,…的首项是 3.数列 1,1,1,1,1,1 第 4 项是 4.数列 1,2,3,4,5,6 是 穷” ) 。 5.数列 8,6,4,2,0,?中的 4 是第几项( A.1 B. 2 C. 3 D.4 ) 。 ) 。 . . 数列(填“有穷”或“无 .

数列;1,2,3,4,5,6,?是

6.数列 10,20,30,40,50 的项数是( A.2 B.3 C.4 D.5

7.已知下列数列的通项公式,写出它的前 5 项: (1)an=1-2n (2)an=(-1)n(n+3)

【能力训练】
38

1.写出下列数列的一个通项公式: (1)4,7,10,13,16,??; (2)1,4,9,16,25,??;

§ 6.2 等差数列
【知识要点】 1.等差数列的概念 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前面一项的差都等于同一个常数, 则称这个数列为等差数列, 这个常数称为公差,通常用字母 d 表示. 2.等差数列的通项公式是 an=a1+(n-1)d ,n?N+。 n( a1 ? an ) n(n ? 1) 3.等差数列的前 n 项和公式是 Sn= =na1+ d 2 2 【基础训练】 1.等差数列 7,4,1,-2,??的首项 a1= 第 7 项 a7= . ,公差 d= ,通项公式 an= , , 公差 d= , 通项公式 an= ,

2.等差数列 8,5, 2,??的首项 a1= 第 10 项 a10= .

3.等差数列 2,m,6,8,??中 m 的值是 4.在等差数列{an}中,a1=3,a21=55,则 S21= 1 5.在等差数列{an}中,a1=6,d= ? ,则 S20= 2

。 . .

6.已知等差数列{an}的通项公式 an =4n-3,求(1)数列{an}的前 4 项; (2)公差 d; (3)前 6 项 的和 S6.

7.已知等差数列 1,-1,-3,??,问-89 是这个数列的第几项?

39

【能力训练】 1.2+4+6+??+20= .

2.在等差数列{an}中,若 a5=6,a8=15,求首项 a1 和公差 d。

3.已知数列{an}中,a1=2 且 an+1- an=

1 ,求 a11 和 S7。 2

§ 6.3 等比数列
【知识要点】 1.等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它前面一项的比都等于同一个常数, 则称这个数列为等比数列, 这个常数称为公比,通常用字母 q(q ? 0 )表示. 2.等比数列的通项公式是 an=a1?qn-1 ,n?N+。 3.等比数列的前 n 项和公式是 ? a1 (1 ? q n ) ? a1 (1 ? an q ) (q ? 1). ( q ? 1). ? ? Sn= ? 1 ? q 或 Sn= ? 1 ? q ? na ( q ? 1). ?na (q ? 1). ? 1 ? 1

【基础训练】 填空题 1.等比数列 1,3,9,27,?中,首项 a1= a7= 。 ,公比 q= ,通项公式为 ,

1 1 1 2. 等比数列 1,? , ,? , ?中, 首项 a1= 2 4 8
a5= 。 3.若等比数列前两项是 ?

, 公比 q=

, 通项公式为



1 ,3,则该数列的通项公式是______________。 2
40

4.若等比数列的通项公式是 c n ?

1 n ? 3 ,则首项是 4

,公比为



5.若 2,6,x 构成等比数列,则 x= 。 1 6.等比数列 4,2,1, ,?的前 6 项的和是______________。 2 1 7.已知{an}为等比数列,若 a1= ,q=3,则 S4=______________。 3 8.下列数列不是等比数列的是( A.1,1,1,1 ) 。

B.-1,2,4,-8

1 1 1 C. , ? ,, ?1 8 4 2
) 。

D. , ? 1,

3 2

2 3

9.等比数列{an}中,a1= -4,q= A.

1 ,则 a10 等于( 2
C.

1 128

B. ?

1 128

1 512

D. ?

1 1024

【能力训练】 1.在等比数列{bn}中,已知 b1= 3,q= 2,求 b5。

2.在等比数列{cn}中,c4=1,q=-3,求 c1.

3.已知等比数列{an},a1=3,a4= 24。求(1)公比 q; (2)前 5 项的和 S5.

§6.4 数列的实际应用
【知识要点】 数列在经济、社会、生活中应用较为广泛,运用数列知识解决实际问题,主要是应用等差数列和等 比数列的相关知识解决有关问题,要注意分清数列的类型,并判断是通项问题还是前 n 项和的问题。 【能力训练】 1.一竹梯有 11 条横档,相邻两档间的距离都相等,已知最上一档长 40cm,最下一档是 50cm,则
41

从上到下第 7 条横档为



2.某校数控专业实习基地的一台车床价值 360 万元,每年的折旧率为 10%,第 10 年末该设备的 价值为 万元(只列式,不计算) .

3.某学校阶梯教室有 20 排座位,从第二排起,每一排比前一排多 2 个座位,最后一排有 60 个座 位。问(1)这个阶梯教室第一排有多少个座位?(2)这个阶梯教室共有多少个座位?

4.某人向银行贷款 20000 元,贷款期限为 2 年,银行按照复利率 0.5%计月息,问:此人按期还款 最终应偿还银行多少元?

42

第七章
§ 7.1
【知识要点】 1.平面向量的概念 既有大小又有方向的量称为向量. 2.向量的表示

平面向量

平面向量的概念

常用一条有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向。以 A 为起点、B 为终点的向量,记为 AB 。也可用小写黑体字母 a,b,c 等表示,手写时写成带箭头的小 ? ? ? 写字母 a , b , c 等。 3.向量的长度(或模) 向量的大小称作向量的长度(或模) .

??? ?

向量 AB 的长度,记作 AB ;向量 a 的长度,记作|a|,手写时可写成 a 。 4.零向量 长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0(手写成 0 ) . 5.单位向量 长度为 1 个单位长度的向量叫做单位向量,记作 e。 6.相等向量(或同一向量) 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(或同一向量) . 向量 a 与 b 相等,记作 a= b。 7.相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相反向量. 向量 a 与 b 相反,记作 a=- b。 8.平行向量(或共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量) 。 向量 a, b 平行,记作 a//b。 规定:零向量与任何向量平行,即 0∥a。 【基础训练】 1. 向量是既有 又有 的量。 向量(或
43

??? ?

??? ?

?

2.长度相等且方向相同的向量叫做

) ;长度相等且方向相反的向量叫做

向量.如果两个非零向量方向相同或相反,就说这两个向量

??? ? 3. 在平行四边形 ABCD 中, 与向量 AB 平行的向量是 ??? ? 相等的向量是 ,与向量 AB 相反的向量是
【能力训练】

??? ? , 与向量 AB

F



D
E A O A B 第 5 题图 D

C B
C

1.一个等腰三角形的腰长为 2,底边长为 3,其顶点能构成多少个向量?试写出这些向量并求它们 的模。

2.下列结论中正确的是(

) .

A.若 a 和 b 都是单位向量,则 a=b B.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合 C.两个相等向量的模相等 D.模相等的两个平行向量是相等的向量

§ 7.2 平面向量的加法、减法和数乘向量
【知识要点】 1.平面向量的加法

(1)已知向量 a, b,在平面内任取一点 A,作 AB ? a, BC ? b,则向量 AC 叫做 a,b 的和(或 和向量) ,记作 a+ b,即 a+b ? AB ? BC ? AC . 求两个向量和的运算叫做向量的加法. (2)三角形法则:根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. (3)平行四边形法则:对于不共线的非零向量 a,b,以任意点 O 为起点分别作 OA ? a,OC ? b, 以 OA,OC 为邻边作平行四边形 OABC,则以 O 为起点的对角线向量 OB 就是向量 a,b 的和.这样的 方法称为向量加法的平行四边形法则. (4)对于任一向量 a,有 a+0=a,a+(-a)=0。 (5)向量的加法满足交换律、结合律,即 a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 。 2.平面向量的减法

??? ?

??? ?

????

??? ? ??? ?

????

??? ?

????

??? ?

OB ? b, 已知向量 a, b, 在平面内任取一点 O, 作 OA ? a, 则由向量求和的三角形法则, 得 b ? BA ? a,
44

??? ?

??? ?

??? ?

向量 BA 叫做向量 a,b 的差,记作 a-b,即 BA ? a-b ? OA ? OB 。 求两个向量差的运算,叫做向量的减法. 向量的减法是向量加法的逆运算,即 a-b=a+(-b). 当向量 a,b 的起点相同时,两个向量的差 a-b 是减向量 b 的终点到被减向量 a 的终点的向量. 3.平面向量的数乘运算 实数?与向量 a 的积是一个向量,记作?a,它的长度和方向规定如下: (1)|?a|=|?||a|; (2)当?>0 时,?a 与 a 方向相同;当?<0 时,?a 与 a 方向相反;当?=0 时,?a=0. 实数?与向量 a 相乘,叫做向量的数乘. 向量数乘满足下面的运算律: (1)?(μ a)= (?μ) a (2)(?+μ) a=?a+μa (3)? (a+b)= ?a+?b(?,μ 为任意实数) 【基础训练】 ??? ? ??? ? ??? ? 1. AB ? BC ? CD ? ? ??? ? ??? 2.在?ABC 中, AB + BC =

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? , AB- AD ? , AB +( OA - OB )= ??? ? ???? , AB - AC = 。 ??? ? ???? ??? ? ??? ? 3. 如图, 在平行四边形 ABCD 中,AB + AD = ,AB - DB =
C A O D 第 3 题图 C B A 第 4 题图 B O D F A E



??? ? ???? ,AB - DC =
D O B 第 5 题图 C



。 ??? ? ??? ? 5 . 如 图 , O 是 正 六边形 ABCDEF 的中 心 , 则 OA - OB = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? , AB ? BC ? CD+DE ? EF ? FA = 。 OA ? EF = 6.计算: (1)5(a+b)-2(a-b)

??? ? ??? ? 4. 如图, 在四边形 ABCD 中,AB + BD = ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ???? , AB ? BO ? OC ? CD = AB +( BD + DC )=

??? ? ???? ,AB - AD =

???? ???? ,AD ? DO =
??? ? ??? ? , CD ? AF =





(2)5(a+2b)+2(a-3b)

§ 7.3 平面向量的坐标表示
45

【知识要点】 1.在平面上,建立一个直角坐标系 xOy,若设 x 轴正方向上的单位向量为 i,y 轴正方向上的单位 向量为 j,则 x 轴上的向量可以表示成 xi 的形式,y 轴上的向量总可以表示成 yj 的形式,其中 x,y 分别 是它们的终点在数轴上的坐标. 2.平面直角坐标系中的任一向量都可以唯一地表示成 a=xi+yj 的形式. 3.我们把 a=xi+yj 叫做向量 a 的坐标形式,把 xi 叫做向量 a 在 x 轴上的分向量,把 yj 叫做向量 a 在 y 轴上的分向量。把有序数列(x,y)叫做向量 a 在直角坐标系中的坐标,记作 a=(x,y),其中 x 叫做 向量 a 的横坐标,y 叫做向量 a 的纵坐标,a=(x,y)叫做向量 a 的坐标表示.
2 2 4.向量 a=xi+yj 的模|a|= x ? y 。

5. 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=(x1+x2,y1+y2) a-b=(x1-x2,y1-y2) 6. c=(x,y),?为一实数,则?c=(?x,?y)。 7. 两非零向量平行的充要条件 设两个非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a//b ? x1 y2- x2 y1=0。 【基础训练】 1.点 A 的坐标为(5,-1),向量 OA 的坐标为 2.已知 a=(4,-3),b=(5,2),则 a+b= -b= ,2a-3b= .

??? ?

;向量 a=-2i+3j,向量 a 的坐标为 ,a-b= ,5a =

. ,

3.已知 A、B 两点的坐标,求 AB , BA 的坐标: (1)A(5,3),B(-3,2) (2)A(-2,1),B(-5,-1)

??? ?

??? ?

4.计算下列向量的模 (1)a=(4,6) (2)b=(-5,2) (3)c=(-3,-4)

5.向量 a=(x,2),b=(3,- 6),当 x 为何值时,a//b。

46

【能力训练】 1.已知 a=(3,- 4),且|?a|=10,求?。

§ 7.4 平面向量的内积
【知识要点】 1. 平面向量的夹角

已知两个非零向量 a 和 b,作 OA ? a, OB ? b 则∠AOB 叫做向量 a 和 b 的夹角,记作 θ=<a,b>, 规定,0?≤θ≤180?。 当 θ=0?时,向量 a 和 b 同向; 当 θ=180?时,向量 a 和 b 反向; 当 θ=90?时,称向量 a 和 b 垂直,记作 a⊥b。 2. 平面向量的内积 把|a||b|cosθ 这个乘积叫做向量 a 和 b 的内积(或数量积) ,记作 a?b,即 a?b=|a||b|cosθ 规定:零向量与任意向量的内积为实数 0。 3.两个向量内积的性质: (1)当 a 和 b 同向时,a?b=|a||b|; (0≤ θ ≤π )

??? ?

??? ?

特别地,当 a=b,a?a=|a||a|或|a|= a ? a . (2)当 a 和 b 反向时,a?b=-|a||b|。 (3)当 a⊥b 时,a?b=0. 4.向量的内积运算满足的运算律: (1)a?b =b?a (2)? (a ?b)= (?a) ?b= a ?(?b) (3)(a+b) ?c=a?c+b?c 5.用向量的坐标求内积 设平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则这两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即 a?b =x1 x2 + y1 y2. x1x 2 ? y1 y 2 a?b 当 a,b 是两个非零向量时,cosθ= = 。 2 2 2 2 |a |?|b| x1 ? y1 x 2 ? y2
47

? ?

a⊥b ? a?b=0 ? x1 x2 + y1 y2=0。 【基础训练】 1.已知|a|=3,|b|=4, a 与 b 的夹角为 30?,求 a?b.

2.已知 a?a=9,求|a|.

3.求下列向量的内积: (1)a=(4,-3),b =(-1,-5) (2)a=(-1,2),b =(2,-1)

(1)a=(2,3),b =(-2,-3)

(2)a=(0,2),b =(-3,0)

4.已知 a=(1,-2),b =a=(4,m),若 a⊥b,求 m.

【能力训练】 1.已知 a=(3,4),b =(-6,-8),a 与 b 的夹角为 θ,求 cosθ.

2.已知 a=(2,-1),b =(-1,5),求 3a?2b

48

第八章
【知识要点】 1.两点间距离公式

直线与圆的方程

§ 8.1 两点间距离公式及中点公式

设点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),则两点间距离公式:
2 2 |P1P2| = ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )

2.中点公式 设点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),点 P(x,y)是线段 P1P2 的中点,则中点公式:

x1 ? x 2 ? x ? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
【基础训练】 1 .在平面直角坐标系中,已知 A(1 , -2) , B(3 , 5) ,则 |AB|= 是 。 2.在平面直角坐标系中,已知 C(-1,3),D(2,- 4),则 |CD|=________,线段 CD 的中点坐标 是 。 3.已知点 A(7,-2),B(-1,3),则| AB |=________,线段 AB 的中点坐标是_________。 4.已知点 A(4,-4),B(8,10),则|AB|等于( A.12 B. 6 5 C. 5 6 ) . D. 2 53 ) . ,线段 AB 的中点坐标

5.已知两点 A(2,-4),B(-2,3),则线段 AB 的中点坐标为( A.(0,-1) 【能力训练】 1.已知点 A(-4,4),B(a,9),且|AB|=13,求 a 的值。 B.(0,-0.5) C.(4,-7)

D.(2,-3.5)

2. 已知点 A(-2,4),AB 的中点为 M(0,3),求点 B 的坐标。

49

§ 8.2 直线的倾斜角和斜率
【知识要点】 1.直线的倾斜角 我们把一条直线向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角。 2.直线的倾斜角范围 若直线的倾斜角 α ,则 0°≤ α <180° 。直线与 x 轴平行时,倾斜角为 0° 。 3.直线的斜率 把直线倾斜角 α ( α ≠ 90°)的正切值叫做直线的斜率。直线的斜率用 k 表示,k = tan α。 4.斜率公式 设直线 l 经过两个已知点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),并设直线 l 的倾斜角 α ≠ 90°(x1≠x2),那么直线 y ? y1 l 的斜率 k = 2 . x 2 ? x1 【基础训练】 1.已知直线 l 垂直于 x 轴,则直线 l 的倾斜角是 2.已知直线 l 垂直于 y 轴,则直线 l 的倾斜角是 3.直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 4.直线 l1 的倾斜角为 30° ,则 l1 的斜率为 为 。 5. 已知直线 l1 经过点 A1(8, 6)、 B1(-2, -4), 则直线 l1 的斜率为 B2(1,- 3 ),直线 l2 的斜率为 。 。 ; 直线 l2 经过点 A2(-1, 3 )、 。 ;直线 l2 的倾斜角为 120° ,则 l2 的斜率 ,斜率 ,斜率 。 。

6.已知直线 AB 的斜率为 1,那么它的倾斜角是 7.下列命题中正确的是( A.任何直线都有斜率 C.任何直线都有倾斜角 ) 。

B.任何直线的斜率都不等于零 D.有的特殊直线的倾斜角不存在 ) 。

8.经过下列两点的直线斜率不存在的是( A.(2,1),(3,2) C.(1,4),(-1,4) 【能力训练】 1.过点 M(-2,t)、N(2t,3)的直线的斜率为

B.(2,-3),(-3,2) D.(4,3),(4,6)

1 ,求 t 的值。 2

50

2.画出直线 y=-x+1,并求该直线的倾斜角和斜率。

§ 8.3 直线的方程
【知识要点】 1.直线的点斜式方程 若直线 l 过点 A(x0,y0),斜率为 k,则直线 l 的方程为:y-y0=k(x-x0).特别地, (1)直线 l 过点 A(x0,y0),且与 x 轴平行,则直线方程为:y=y0; (2)直线 l 过点 A(x0,y0),且与 y 轴平行,则直线方程为:x=x0。 2.直线的斜截式方程 (1)截距的概念:直线 l 在 y 轴上的截距即为直线与 y 轴交点的纵坐标。 (2)斜截式方程:若直线 l 在 y 轴上的截距为 b,斜率为 k,则直线 l 的方程为:y=kx+b. 3.直线的一般方程 在平面坐标系中,关于 x,y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(A、B 不全为 0) 叫做直线的一般方程。 【基础训练】 1. (1)经过点(1,-2),斜率为 7 的直线的点斜式方程是 (2)经过点(-6,1),斜率为-4 的直线的点斜式方程是 (3)经过点(5,-1)且平行与 x 轴的直线的方程是 (4)经过点(-2,-3)且平行与 y 轴的直线的方程是 2. (1)经过点(0,1),倾斜角是 45?的直线的方程是 (2)斜率为-3,与 y 轴相交于点 Q(0,-5)的直线方程为 (3)过 A(-1, ; 。 ; ; ; ; ; ; ; ;

3 3 ),在 y 轴上截距为 的直线方程为 2 2
,在 y 轴的截距为 ,在 y 轴的截距为

3. (1)直线 y=3x+1 的斜率为 (2)直线 y=-2x-3 的斜率为 (3)直线 7x-4y+8=0 的斜率为

,在 y 轴的截距为
51

(4)直线 4y-5=0 的斜率为

,在 y 轴上的截距为 ) .



4.经过点 P(-2,3),倾斜角为 60?的直线方程( A.y+3= 3 (x-2) C.y -3= 3 (x+2) 【能力训练】 1.直线 3x+ 3 y+5=0 的倾斜角为( A. ) . B.y+3= ? 3 (x-2)

D.y - 3= ? 3 (x+2)

2? 3

B.

5? 6

C. ?

?
3

D. ?

?
6

2? ; 3 5? (2)过点 A(0,4),倾斜角为 ; 6
(1)过点 A(3,4)、倾斜角为 (3)斜率为-3,在 y 轴上的截距为 4; (4)过 A(1,-3),B(1, 2 )两点; (5)斜率为 5,在 x 轴上的截距为-8。 3.已知一条直线经过点 P(-3,1),且与直线 y=2x-1 的斜率相等,求该直线的方程。

2.求下列直线 l 的方程:

§ 8.4 两条直线的位置关系
【知识要点】 1.两条直线的交点 ? A1x ? B1 y ? C1 ? 0 方程组 ? 的解为坐标的点,是这两条直线的交点。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 2.两条直线平行 当直线 l1 和直线 l2 的斜率分别为 k1 和 k2,有 l1 // l2 3.两条直线垂直 当直线 l1 和直线 l2 的斜率分别为 k1 和 k2,有 l1 ⊥ l2 ? 【基础训练】 1.已知直线 l 的方程为 y=2x-1,若直线 l1// l,则 l1 的斜率为
52

?

k1=k2 且 b1≠b2

k1k2=-1

;若直线 l2⊥ l,则 l2 的斜

率为

。 2.判断下列各组直线的位置关系: (1) :2x-4y=7,l2:x-2y+5=0 (2)l1:x-2y-2=0,l2:-6x-3y+1=0 (3)l1:x-y-2=0,l2:-6x-3y+1=0 (4)l1:x- 5 =0,l2:-3y+1=0 (5)l1:2x-3y=0,l2:-6x+9y+1=0 _______。 _______。 _______。 _______。 _______。

3.求直线 l1:2x-y=7 与直线 l2:3x+2y-7=0 交点的坐标。

【能力训练】 1.下列命题中,正确的是( A.斜率相等的两直线一定平行 B.两平行直线的斜率一定相等 C.斜率乘积为-1 的两条直线一定相互垂直 D.两条相互垂直的直线的斜率乘积一定为-1 2.直线 l1 的斜率是 ( ) A.- 3 B. 3 C. )

3 , 绕其与 x 轴的交点逆时针方向旋转 90° ,得到直线 l2, 则 l2 的斜率是 3
3 3 3 3

D.-

3.已知直线 l:x-2y-7=0,求(1)过点(2,1)且与 l 平行的直线 l1 的方程; (2)过点(2,1) 与 l 垂直的直线 l2 的方程。

4.求经过直线 2x+3y+8=0 和 x-y-1=0 的交点,且斜率为-2 的直线的方程。

53

§ 8.5 点到直线的距离公式
【知识要点】 点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d ? 【基础训练】 1.点 P(1,2)到直线 x+y-1=0 的距离为 2.点 P(2,-3) 到直线 x -1=0 的距离为 3.点 P(0,1)到直线 3x-4y+6=0 的距离为( ;点 P(1,0)到直线 2x-y+3=0 的距离为 ;点 P(2,-3) 到直线 y=2 的距离为 ) . D.2 。 。

| Ax 0 ? By0 ? C | A2 ? B2

2 A. 5

3 B. 5

9 C. 5

4.点 P(3,2)到直线 y= A.1 【能力训练】

1 x+3 的距离为( ) . 2 5 3 5 B. C. 3 5

D. 5

1.已知三角形的三顶点为 A(2,4) ,B(1,-2) ,C(-2,3) ,求: (1)直线 BC 的方程; (2)BC 边上的高 AD 的长度。

§ 8.6 圆的方程
【知识要点】 1.在直角坐标平面内,已知一个圆以 C(a , b)为圆心,r 为半径,那么该圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2. 2.圆心为原点,半径为 r 的圆的方程为 x2+y2=r2. 3.圆的一般方程 将圆的标准方程展开后可得圆的一般方程
54

x2+y2+Dx+Ey+F=0 其中圆心坐标为 (? 【基础训练】 1.写出符合下列条件的圆的方程: (1)圆心在原点,半径为 3; (2)圆心为(4,-5) ,半径为 3;

(D2+E2-4F > 0)

D 2 ? E 2 ? 4F D E ,半径为 ; ,? ) 2 2 2

(3)圆心为点(-2,1) ,半径为 5 ; (4)圆心在(0,-2) ,半径为 2. 2.写出下列圆的圆心坐标和半径: (1)圆(x-2)2+y2=6 的圆心为 (2)圆(x+5)2+(y-3)2=16 的圆心为 (3)圆 x 2+(y+6)2=25 的圆心为 (4)圆(x-m)2+(y-n)2=p (p>0)的圆心为 (5)圆 x2+y2-2x+4y+2=0 的圆心为 (6)圆 x2+y2-4x=0 的圆心为 ,半径为 ,半径为 ,半径为 ,半径为 ,半径为 ,半径为 。 ) . ; ; ; ; ;

3.圆 x2+y2-x+y+R=0 表示一个圆,则 R 的取值范围是( A. ? ??, 2 ? 【能力训练】 1.求符合下列条件的圆的方程. (1)圆心在(0,-3) ,过点(3,1) ; B. ? ??, 2 ? C. ? ??,

? ?

1? ? 2?

D. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

(2)过已知点 A(2,3) ,B(4,9) ,且以线段 AB 为直径。

(3)过直线 x+3y+7=0 与 3x-2y-12=0 的交点,圆心在(-1,1) .

2.点(2a,1-a)在圆 x2+y2=4 上,求实数 a 的值。

55

§ 8.7 直线与圆的位置关系
【知识要点】 直线 l:Ax+By+C=0 和圆:(x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有相交、相切和相离三种,见下表。 位置关系 相交 示意图象 几何方法 代数方法

d r

d<r

?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 方程组 ? 二解 ? Ax ? By ? C ? 0 ?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 方程组 ? 一解 ? Ax ? By ? C ? 0 ?( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 方程组 ? 无解 ? Ax ? By ? C ? 0

相切

d r

d=r

相离 【基础训练】

d r

d>r

1.直线 3x+4y-1=0 与圆(x-1)2+(y+3)2=9 的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离

) .

D.以上都不是

2.直线 4x-3y+6=0 和圆 (x-4)2+(y+1)2=25 的位置关系是_____;直线 2x-y+5=0, 圆(x—2)2+y2=4 的位置关系是_______。 【能力训练】 1.直线 x-y+b=0 与圆 x2+y2=8 相切,则 b 等于( A.-4 或 4 B.-4 C.4 D. 2 2 ) .

2.直线 2x-y+2=0 与圆 x 2+(y-1)2=r2 相切,则 r=___.

§ 8.8 直线与圆的方程的实际运用
【知识要点】 直线与圆的方程在科技与生产实际中有着广泛的运用, 要注意根据实际问题中图形的对称性, 先建 立适当的直角坐标系,将实际问题转化为解析几何问题进行求解。 【能力训练】 1.赵州桥的跨度是 37.4m,圆拱高约 7.2m,求这座圆拱桥的拱圆方程。
56

7.2m 37.4m

2.一艘轮船沿直线回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西 70km 处,受 影响的范围是半径 30km 的圆形区域。已知港口位于台风正北 40km 处。如果这艘船不改变航线,那么 它是否受到台风的影响?

3.某公园建造一座跨度为 l=8m,高度和跨度的比为 h:l=1:4 的圆形拱桥,每隔 1m 竖一根撑柱, 求第五根撑柱的高。 (精确到 0.1m)

h l

57

第九章

立体几何

§9.1 平面的基本性质 【知识要点】 1.平面 “平面”是从现实生活中的桌面、平静的水面等物体抽象出来,它们都是没有厚薄、无限延展的, 通常用平行四边形表示。 平面用希腊字母 α、β??来表示,也可以用表示平面的平行四边形的顶点或对角顶点的字母来表 示。 2.点、直线、平面的基本位置关系 空间图形可以看作是空间点的集合,点、线、面的基本位置关系可用集合的关系来表示(见下表) 。 文字语言 点 A 在直线 a 上 点 A 不在直线 a 上 点 A 在平面 α 上 点 A 不在平面 α 上 直线 a,b 交于 A 点 直线 a 在平面 α 内 符号表示 A?a A?a A?α A?α a∩b=A a ?α α α 直线 a 在平面 α 外 a?α α 3.平面的基本性质 (1)如果一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内; (2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过该点的公共直线。 若两个平面有一条公共直线,则称这两个平面相交,这条公共直线叫做这两个平面的交线。 (3)经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面。 推论 1:经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面。 推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。 推论 3:经过两条平行直线有且只有一个平面。
58

图形表示 A A α A A α A b a A a a a a

a

【基础训练】 1.点 A 在直线 a 上记作 点记作 。 ,直线 a 和平面 α 相交于点 P 记作 ;平面 α 与平 ,点 A 不在直线 a 上记作 ,直线 a 与直线 b 相交于 A

2.直线 a 在平面 α 内记作 面 β 交于直线 l 记作 3. 条直线和 。

的三点可以确定一个平面,两条 也可以确定一个平面。 ) 。 C.两条平行直线 ) 。

直线可以确定一个平面, 一

4.下列条件中能确定一个平面的是( A.一条直线和一个点

B.空间任意三个点

D.两个点

5. “点 A 在直线 a 上,直线 a 在平面 β 内”可表示为( A.A∈a ,a∈β 【能力训练】 B.A∈a ,a?β

C.A?a ,a∈β

D.A?a ,a?β

1.将“直线 a 在平面 α 内,它与平面 α、β 的交线 l 交于点 P”转化为符号表示,并画出相应的图 形。

2.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,画出 AA1 与 CC1 所确定的平面 AA1C1C,指出平面 AA1C1C 与平面 ABCD、平面 A1B1C1D1、平面 ABB1A1 的交线 各是什么? D

D1 A1

C1 B1 C

A

第 2 题图

B

3.1 个平面将空间分成

个部分,两个平面最多将空间分成

个部分。

§9.2 空间两条直线的位置关系 【知识要点】 1.空间两条直线的位置关系
59

空间两条不重合的直线位置关系有三种情形:相交 、平行、异面 。 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 2.平行线的传递性 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3.等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 4.异面直线所成的角 设 m 与 n 是异面直线,经过空间任一点 O,作直线 m′//m、n′//n ,m′与 n′所成的锐角(或直角)叫 做异面直线 m、n 所成的角,异面直线所成的角的范围是 ( 0, ] 。 2 5.两条直线垂直 两条异面直线 m,n 所成的角为直角时称这两条异面直线垂直,记作 m?n。 【基础训练】 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, (1)与 AA1 平行的棱有 (2)与 CC1 垂直的棱有 2. 两条相交直线有 两条异面直线有 条; (3)与 BB1 异面的棱有 个公共点;两条平行直线有 个公共点。 。 条。 个公共点; D A C 第 1 题图 B 条; D1 A1 C1 B1

?

3. 既不平行也不相交的两条直线的位置关系是 4. 判断下列命题是否正确: (1)若直线 a 与直线 b 不平行,则 a 与 b 一定相交?( (2)若直线 a 与 b 不相交,则 a // b??????? ( (3)若 a 与 b 为异面直线,则 a 与 b 一定不相交??( (4)若 a 与 b 为异面直线,则 a 与 b 一定不平行??( (5)平行于同一条直线的两条直线一定平行????( (6)垂直于同一条直线的两条直线一定平行????( (7)若 a?α、b?β,则 a 与 b 为异面直线????? ( (8)若 a?α、b ? α,则 a 与 b 为异面直线?????( (9)若 a?α、b∩α =A,则 a 与 b 为异面直线????( (10)若 a // b,b // c ,则 a // c??????????( 5.平行于同一条直线的两条直线的位置关系是( A.平行 B.相交 C.异面 ) 。 ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

D.平行、相交或异面 ) 。 D1 A1 D A C B 第 1 题图 C1 B1

6. 垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是( A.平行 B.相交 C.垂直

D.平行、相交或异面
60

【能力训练】 1. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,(1)求 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)求 AA1 与 BC1 所 成的角的大小。

§9.3 直线与平面的位置关系 【知识要点】 1.直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有三种情形: (1)直线在平面内:直线上所有的点都在平面内;若直线 l 在平面 α 内,则直线 l 与平面 α 有无 数个公共点;直线 l 在平面 α 内记作 l?α。 (2)直线与平面平行:直线与平面没有公共点,直线 l 与平面 α 平行记作 l // α。 (3)直线与平面相交:直线与平面有且只有一个公共点,直线 l 与平面 α 相交,记作 l ∩ α =A。 2. 线面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 3.线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行, 并且经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平 行。 4.直线与平面垂直的定义 如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,那么直线 l 与平面 α 相互垂直,记作 l⊥α ,直线 与平面垂直是直线与平面相交中的特殊情况。 5. 线面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线与这个平面垂直。 6. 线面垂直的性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。 7. 直线和平面所成的角 平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角,叫做斜线与平面所成的角。直线垂直于平面时,直线 与平面所成的角为直角;直线平行于平面或直线在平面内时它们所成的角为 0° 角。直线与平面所成角 的范围为 [ 0, ] 。 2 【基础训练】
61

?

1.直线 l 与平面 α 的位置关系有





。 D1 A1 D A C B 第 2、3 题图 ;与平面 B B1C1C 。 C1 B1

2 . 如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 与 直 线 AB 平 行 的 平 面 有 直线 A1A 平行的平面有 有 。 3. 如 图 , 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 , 与 平 面 ABCD 平 行 的 棱 有 平行的棱有 4.判断下列命题是否正确: ;与平面 ABCD 垂直的棱有 ;与平面 B B1C1C 垂直的棱有 ;与直线 AB 垂直的平面有 ;与

;与直线 A1A 垂直的平面

(1)如果直线 m 与平面 α 没有公共点,则 m∥α??????????????( (2)如果直线 m 与平面 α 只有一个公共点,则 m 与 α 相交????????? ( (3)直线 m∥平面 α,m 只能与平面 α 内的一条直线平行??????????( (4)一条直线垂直于平面内的两条相交直线,则这条直线一定垂直这个平面??( (5)若直线 a⊥平面 α ,b ? α,则 a⊥b????????????????? ( 5.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列表述正确的是( A.A1A⊥平面 BB1C1C C.A1A // 平面 ABCD B.A1A⊥平面 DC C1D1 D.A1A // 平面 BB1C1C ) 。 A B ) 。 B1 A1

) ) ) ) ) C1 D1

6. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列表述错误的是( A.AB // 平面 ABCD C.AB // 平面 A1B1C1D1 B.AB⊥平面 BCC1B1 D.AB⊥平面 ADD1A1

C

D 第 5、 6 题图 D1 C1 B1 C B A 第 7、8 题图

7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB1 与 平面 ABCD 所成的角是( A.90° B.0° C.45° D.60°

) 。 A1 ) 。 D

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AD 与平面 BCC1B1 所成的角是( A. 0° B.30° C.45° D.60°

【能力训练】 1. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中( , 1) 求 BC 与平面 ABC1D1 所成的角; (2)求 BB1 与平面 ABC1D1 所成的角; (3)求 A1B1 与平面 ABC1D1 所成的角。 D

D1 A1

C1 B1 C

A 第 1 题图 2. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB、AD 的中点,判 断直线 EF 与平面 BB1D1D 的关系。
62

B

D1 A1 D F A

C1 B1 C B

3.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,分别判断直线 AC、直线 AA1 和直线 BB1 与平面 BB1D1D 的关系。 C1 D1 B1 A1 第 2 题图 A D B C

§9.4 平面与平面的位置关系 【知识要点】 1.平面与平面的位置关系 不重合的两个平面位置关系有两种: (1)两个平面平行:如果两个平面 α、β 没有公共点,则称平面 α、β 平行,记作 α // β ; (2) 两个平面相交: 如果两个平面 α、 β 有公共点 A, 则平面 α、 β 相交于过点 A 的直线 a, 记作 α∩β =a。 2.平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么这两个平面互相平行。 如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行。 3.平面与平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 4.二面角及二面角的平面角 由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这个直线叫做二面角的棱, 每个半平面叫 做二面角的面。 以二面角棱上任意一点 O 为端点,在两个面上分别作棱的垂线 OA、OB,则∠AOB 叫做二面角的 平面角。 二面角的大小用它的平面角来度量,二面角的大小范围为[0,π]。 平面角是直角的二面角叫做直二面角,此时两个平面互相垂直,记作 α?β。 5.平面与平面垂直的判定定理
63

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 6.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直交线的直线垂直于另一个平面。 【基础训练】 1.两个平面的位置关系有 和 。 (填平行、相交或异面) 。 D1 A1 D A ) 。 第 4 题图 C B C1 B1

2.如果两个平行平面同时和第三平面相交,那么它们的交线 3.二面角的取值范围是 。

4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 ABCD∥平面 平面 ADD1A1∥平面 ;平面 ∥平面 ABB1A1。 ) 。



5.过平面外一点与已知平面平行的平面个数是( A. 1 B.2 C.3 D.无数

6.过平面外一点与已知平面垂直的平面个数是( A. 1 B.2 C.3 D.无数

7.若两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的位置关系是( A. 互相垂直 B.互相平行 C.一定相交 D.平行或相交 ) 。

) 。

8.若两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面( A. 互相垂直 B.互相平行 C.一定相交

D.平行或相交 A1

9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,找出 (1)与平面 ABCD 垂直的平面; (2)与平面 BCC1B1 垂直的平面。

B1 D1 B A D 第 9 题图

C1

C

【能力训练】 1. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,判断平面 ACC1A1 与平面 BDD1B1 的位置关系。 D1 A1 D A 第 1 题图 C B C1 B1

64

§9.5 柱、锥球及其组合体 【知识要点】 1.棱柱 有两个面互相平行,其余每相邻两个面的交线互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱垂直于底面的棱柱 叫做直棱柱,侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱,底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 2.棱锥 有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥。 如果棱锥的底面是正 多边形,并且顶点在底边面内的射影是正多边形的中心,这样的棱锥叫做正棱锥。 3.圆柱、圆锥 将矩形、直角三角形分别绕着它的一边、一直角边所在的直线旋转一周,形成的几何体分别叫做圆 柱、圆锥。 4.球 将半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周,形成的几何体叫做球。 5.简单几何体的侧面积和体积 名称 图形 侧面积 体积 备注

直棱柱

S 侧=ch

V= S 底 h (适用于一般棱柱)

c:底面周长, h:高.

正棱锥

1 S 侧= ch? 2

V=

1 S 底h 3

h?:斜高,c:底面 周长,h:高.

(适用于一般棱锥)

名称





侧面积

体积

圆 柱

h r

l

S 侧=2πrl

V=πr2h

65

圆 锥

h r

l

S 侧=πrl

V=

1 2 πr h 3



S=4πR2

V=

4 3 πR 3

【基础训练】 1.已知正方体的棱长为 1,则其表面积为 ,体积为 。 ,体积为 ,体积为 。 。 。

2.已知正三棱柱底面边长为 2,高为 4,则其侧面积为 3.已知圆柱的底面半径为 1,高为 2,则其侧面积为 4.已知球的半径为 2,则它的表面积为 5.若正方体的棱长为 a,则正方体的体积为( A. a3 B.a2 C .a ) 。 C.48π D.64π ) 。 D.18π ) 。 ,体积为 ) 。 D.3a

6.球的半径为 4,球的表面积是( A. 16π B.32π

7.圆锥的高为 2,底面半径为 3,它的体积是( A.6π B.9π C.12π

8.底面边长和侧棱长都是 1 的正三棱柱的侧面积是( A. 1 B.3 C.6 )个面。 C.6 D.8 D.9

9.正方体的表面共有( A.2 10.正方体共有( A.6 【能力训练】 B.4

)条棱。 B.8 C.12 D.16

1. 若正方体的表面积是 48,求正方体的棱长和体积。

2. 如图,已知 S-ABCD 为正四棱锥,AB=2,SA=3,求棱锥的高和棱锥的体积。 S
66

D A

O B

C

第 10 章 概率统计
§ 10.1 计数原理
【知识要点】 1.分类计数原理 做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方 法,?,在第 n 类办法中有 mn 种方法,无论通过哪种办法的哪种方法,都可以独立完成这件事,那么 完成这件事共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法. 2.分步计数原理 做一件事情,完成它分成 n 个步骤,做第一步中有 m1 种不同的方法,做第二步中有 m2 种不同的方 法,?,做第 n 步中有 mn 种不同的方法,必须经过每一步步骤才能完成这件事,那么完成这件事共有 N=m1?m2???mn 种不同的方法. 【基础训练】 1.书架上层有 5 本不同的数学书,6 本不同的语文书.现从中任取一本,有 法;若从中各取一本,有 2.由 1,2,3 可以组成 不同的取法. 个没有重复数字的两位数. ) . 种不同的取

3.从 5 名男生和 5 名女生中任选 1 人参加校合唱队,那么不同的选法有( A.1 种 B. 5 种 C.10 种 D.25 种

4.从 2,3,5 三个数字任选两个作为分数的分子和分母,那么不同的分数有( A.3 种 【能力训练】 B. 4 种 C.5 种 D.6 种

) .

1.从甲地到乙地有 2 条路可走,从乙地到丙地有 4 条路可走;又从甲地不经过乙地到丙地有 3 条 路可走.那么从甲地到丙地共有 种不同的走法.

2.有不同的语文书 3 本,不同的数学书 4 本,不同的英语书 5 本. (1)从中任选一本,有多少种不同的取法? (2)从中各选一本,有多少种不同的取法?

3.邮局门前有 3 个邮筒,现将 4 封信逐一投入邮筒,共有多少种不同的投法?
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§ 10.2 随机事件和概率
【知识要点】 1.随机事件的概念 在一定的条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件,简称事件,通常用大写字母 A,B, C,??表示. 在一定的条件下,必然会发生的事件叫做必然事件,用字母Ω 表示. 在一定的条件下,肯定不会发生的事件叫做不可能事件,用字母?表示. 2.频率和概率 频率是指多次重复试验中某随机事件 A 发生的次数与试验次数的比值. 对于给定的随机事件 A,在相同条件下,随着实验次数的增加,事件 A 发生的频率会在某个常数附 近摆动并趋于稳定.我们可以用这个常数来刻画随机事件 A 发生的可能性大小,并把这个常数称为随 机事件 A 的概率,记作 P(A) .这种概率叫做统计概率. 显然,必然事件的概率 P(Ω )=1,不可能事件的概率 P(?)=0. 【基础训练】 1.分别用“随机事件” 、 “必然事件” 、 “不可能事件”填空: (1) “抛掷一枚骰子,出现的点数小于 7”是 (2) “当 x 取任一实数时,总有 x2<0”是 (3) “某人射击一次,中 10 环”是 2.下列事件中,概率为 1 的是( A.随机事件 B.必然事件 ) . B.明天下雨 D.买一张彩票中奖 ) . C.不可能事件 D.对立事件 . ; ;

3.下列现象不是随机现象的是( A.掷一枚硬币着地时反面朝上 C.三角形的内角和为 180°

4.某射手在相同的条件下进行射击,结果如表: 射击次数 n 击中靶心次数 m 击中靶心频率 10 8 20 19 50 44 100 92 200 178 500 455

m n

(1)计算表中击中靶心的频率;
68

(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率估计值是多少?

§ 10.3 概率的简单性质
【知识要点】 1.互斥事件: 在一次实验中不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件. 把事件 A 或事件 B 至少有一个发生的事件称为事件 A 与 B 的和,记作 A∪B. 2.对立事件: 把在一次实验中,其中必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件.一个事件 A 的对立事件通常 记为 A . 3.概率的简单性质 (1)性质 1 P(Ω )=1,P(?)=0. (2)性质 2 对于任一事件 A,0≤P(A)≤1. (3)性质 3 如果 A、B 是互斥事件,那么 P(A∪B)= P(A)+ P(B) . (4)性质 4 一个事件 A 的对立事件通常记作 A ,所以 P( A )=1-P(A) . 【基础训练】 1.已知事件 A,B 互斥,P(A)=0.4, P(B)=0.5,则 P(A∪B)= .

2.口袋中有红球、黄球与蓝球各若干个,摸出红球的概率为 0.4,摸出蓝球的概率为 0.5,则摸出 黄球的概率是 【能力训练】 3.甲、乙两人下棋,和棋的概率是 0.5,乙获胜的概率是 0.3,则甲获胜的概率是 的概率是. 1.某射手射击一次射中 10 环,9 环,8 环,7 环的概率是 0.24,0.28,0.19,0.16,计算这名射手 射击一次.求: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率. ,甲不输 .

§ 10.4 等可能事件的概率
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【知识要点】 1.基本事件 如果一个随机事件中只含有一种可能的结果,那么这个事件就是基本事件。 2.古典概型 如果一个随机试验可能出现的结果只有有限个, 即基本事件总数是有限的, 并且每个基本事件发生 的可能性相同,那么称这样的随机试验为古典概型试验,简称古典概型. 在古典概型中, 如果基本事件的总数为 n, 那么任一基本事件 A ( 2, ?, n) 发生的概率 P(Ai)= i i=1, 而包含 m 个基本事件的事件 A 的概率为 P( A) ? 【基础训练】 1.由 1,2,3 三个数字组成无重复数字的两位数,现从中任意取出一个两位数,写出这个试验的 全部基本事件. 2.抛掷两枚质地均匀的硬币,写出这个随机试验中所有的基本事件。 3.从 1,2,3,4,5 中任取一个数,取到的数是奇数的概率是 4.抛掷一枚质地均匀的骰子,则向上的点数是偶数的概率是 5.从 54 张扑克牌中任意抽取一张,抽到的扑克牌为梅花的概率是 6.先后抛掷两枚硬币,出现“一正一反”的概率是( A. ) . D. . . .

1 ; n

m 事件A包含的基本事件数 ,这种概率叫做古典概率. ? n 基本事件总数

1 4

B.

1 3

C.

1 2

3 4

7.书架上有语文、英语、数学、物理、化学共 5 本不同的书,现从中任抽一本,则没有抽到物理 书的概率是( A. ) . B.

1 5

2 5

C.

3 5

D.

4 5

【能力训练】 1.在一个盒子中有编号为 1 到 10 的 10 个相同的小球,现从中任取一球,求下列事件的概率. (1)A={球的标号数不大于 4}; (2)B={球的标号数为 3 的倍数}; (3)C={球的标号数为 2 或 3 的倍数}。

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§ 10.5 总体、样本和抽样方法
【知识要点】 1.总体与样本 把所考察的对象的某项指标值的全体作为总体, 构成总体的每一个指标值作为个体, 从总体中抽出 若干个个体所组成的集合叫做样本,样本中所包含的个体数量叫做样本容量. 2.简单随机抽样 从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本,如果每一次抽取时各个个体被抽到的概 率相等,这种抽样方法称为简单随机抽样. 常用的简单随机抽样方法有抽签法、随机数表法. 3.系统抽样 当总体所含的个体较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先制定的规则,从每个部 分中抽取一个个体,得到所需的样本,这样的抽样方法称为机械抽样或系统抽样. 4.分层抽样 当总体由差别明显的几个部分组成时,为了使抽样更客观地反映总体情况,可先将总体中各个个 体按差别特征,分成层次分明且互不重叠的几部分,然后按各部分在总体中所占比例进行简单随机抽 样,这种抽样方法叫做分层抽样,其中所分成的各个部分称为“层” . 【基础训练】 1.某职业学校高一有 15 个班,为了了解学生的课外兴趣爱好,对每班的 5 号进行问卷调查.这里 运用的抽样方法是( A.分层抽样 ) . B. 抽签法 C.随机数表法 D.系统抽样 ) .

2.某工厂从生产流水线上每隔 3 分钟取一个样品进行检测,这种抽样方法是( A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样

D.其他抽样方法 ) . D.样本容量是 5

3.从全班 45 名学生中抽取 5 名学生进行体能测试,下列说法正确的是( A.总体是 45 B.个体是每个学生 C.样本是 5 名学生

4.某职业学校共有教职工 140 名,其中教师 105 名,管理人员 14 名,后勤人员 21 名.为了了解 职工对学校管理的意见,从中抽取一个容量为 20 的样本,要用 员的人数分别是 , , . 抽样方法,抽取的三类人

5.某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的仪器,数量之比是 2:3:5,现采用分层抽样的方法抽取 一容量为 50 的样本,则样本中这三种不同型号的仪器分别有
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件,

件,

件.

【能力训练】 某中专学校高一新生机电类学生约 200 人,信息类学生约 250 人,服务类学生约 150 人.学生处为 了了解学生刚入学时的适应情况,请你设计一个方案,得到一个容量为 60 人的样本?

§ 10.6 总体分布估计
【知识要点】 当采用随机抽样完成样本数据收集后, 要通过样本数据估计总体分布情况, 就需要把收集到得数据 分布情况整理出来.列频率分布表、画频率分布直方图是对数据进行加工整理的两种基本方法. 【基础训练】 1.数据 2,4,6,8,10,12 的极差是 .

2.容量为 100 的样本,按从小到大的顺序分成 8 组,如下表: 组号 频数 1 10 2 13 3 14 4 15 5 13 6 13 7 12 , 8 10 .

则第 4 组的频数和频率分别是

3.200 辆汽车通过一段公路时的速度频率分布直方图如下,则时速在[50,60)汽车大约 有 辆.
频率 组距
0.04 0.03 0.02 0.01

时速(km/时) 40 50 60 70 80 1.在对 100 个数据进行整理后的频数分布表中,各组的频率之和和频数之和分别是(

0

) .

A.100,1

B. 100,100

C.1,100

D.1,1 ) .

2.一个样本的容量为 n,分组后某一组的频数和频率分分别是 40,0.25,则 n 是( A.10 B. 40 C.100 D.160

3.某班级 40 名学生的数学平时成绩,其分组和各组的频数如下表 (0, 30) [30,40) 1 1 [40,50) 4 ) . C.0.3 D.0.7 [50,60) 6 [60,70) 12 [70,80) 10 [80,90) 5 [90,100] 1

则及格人数的概率是( A.0.12 【能力训练】

B. 0.28

某学校为了了解高一新生每月的零花钱使用情况,通过随机抽样,抽取了 100 名学生进行调查,样 本数据统计如下:
35% 28% 21% 14% 72

根据上述样本频率分布直方图,估计该校高一新生中, (1)零花钱用于哪方面的费用最多?大约占多少? (2)用于手机的费用大约占多少? (3)若某生每月零花钱为 500 元,估计该生用于学习(包括资料和文具)的费用大约是多少?

§ 10.7 总体特征值估计
【知识要点】 1.样本平均数 a ? a2 ? ? ? an 称 1 为这 n 个数据 a1,a2,?,an 的算术平均数或均值,记作 n a ? a2 ? ? ? an 1 n a? 1 ? ? ai , n n i ?1 如果这 n 个数是从总体中抽取的一个样本,那么 a 叫做样本均值. 若取值为 x1,x2,?,xn 的频率分布为 p1,p2,?,pn,则其平均数为

x =x1 p1 + x2 p2+?+xn pn.
2.样本方差 若一组数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,则称 s ?
2

1 n ? ( xi ? x) 2 为这个样本的方差,其算术平 n i ?1

方根

1 n ? ( xi ? x) 2 称为样本的标准差. n i ?1

【基础训练】 1.数据 1,2,3,4,5,6 的平均数是 ,方差是 . .

2.已知一组数据 75,70,x,80 的平均数为 75,则 x 的值是
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3.小明参加学校举办的英语竞赛,参赛项目阅读、作文、听力和口语的成绩分别是 90 分、80 分、 80 分、70 分.若将阅读、作文、听力和口语的成绩分别按 30%、30%、20%、20%的比例计算总分, 小明的总得分是 。

4.某学校篮球队的 5 名队员身高(单位:cm)分别是 185,178,184,183,180,则这些队员的 平均身高是( A.183 ) . B.182 C.181 D.180 ) .

5.给出 5 个数 90,93,94,93,90,则这 5 个数的平均值和方差分别是( A.92,2 【能力训练】 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8

1.某班共有 50 名学生,其中 30 名男生平均身高 1.7m,20 名女生平均身高 1.6m.那么这个班学 生的平均身高是 . ) .

2.已知一组数据 x1,x2,?,xn 的平均值是 2,则 x1+1,x2+1,?,xn+1 的平均值是( A.2 B.3 C.4 D.5

3.甲乙两名学生某门课程的 5 次测试成绩分别如下(单位:分) : 甲 60 80 70 90 70 乙 80 65 70 80 75 问:哪位学生成绩比较稳定?

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第十一章

二进制及其转换

§ 11.1 二进制及其转换
【知识要点】 1.二进制化成十进制 采用“乘权相加法” ,注意不要丢掉数位上数字为 0 的项. 2.十进制化成二进制 采用“除 2 倒取余法” ,将十进制数转化为二进制数时,要注意余数的先后顺序,先得到的余数为 二进制数的低位,后得到的余数为二进制数的高位。 【基础训练】 一、填空题 1.将下列二进制数转换为十进制数. (1) (1011)2 (2) (1100)2

(3) (10010)2

(4) (10101)2

2.将下列十进制数转换为二进制数. (1) (7)10 (2) (15)10

(3) (23)10

(4) (42)10

【能力训练】 1.二进制数(101101)2 转换为十进制数为( A.16 B.25 C.17 ) D.45 ) D.101101
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2.十进制数(46)10 转换为二进制数为( A.111011 B.101110 C.110101

3.下列四个不同进制的数中,其值最大的是( A.(121)10 B.(1110111)2 C.(120)10

) D.(1111110)2

§ 11.2 命题逻辑与条件判断
【知识要点】 1.命题的概念及命题的真假 能判断正确或错误的语句是命题;其中正确的命题为真命题,错误的命题为假命题. 2.逻辑连接词“且” 、 “或” 、 “非”及其真值表 (1)且:若 p,q 是两个命题, 则“p 且 q”是一个新的命题,记作“p∧q” ,其真值表为: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∧q 真 假 假 假

(2)或:若 p,q 是两个命题, 则“p 或 q”是一个新的命题,记作“p∨q” ,其真值表为: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p∨q 真 真 真 假

(3)非:若 p 是一个命题, 则 p 的非(又称为否定)是一个新的命题,记作 “? p” ,其真值表 为: p 真 假 【基础训练】 1.判断下列命题的真假,在横线上注明“真”或“假” 。 (1)内错角相等。 (2)一个角的补角大于这个角本身。 (3)两点确定一条直线。 (4)大于 90°的角是钝角。 _________ _________ _________ _________ ? p 假 真

2.下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,请指出它是真命题还是假命题。
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(1)4>0. (2)2012 年夏季奥运会在英国伦敦举行. (3)三角形的两边之和大于第三边. (4)明天是晴天吗? (5)0.3333 是无理数. (6)严禁停车! (7)若 x2>4,则 x>2. (8)若 a,b,c 成等比数列,则“b2=ac” . 3.下列语句不是命题的是( A.两点之间线段最短 C.x 与 y 的和等于 0 吗? )

_________ _________ _________ _________ _________ _________ _________ _________

B.相交的两条直线有一个交点 D.对顶角不相等

4.已知命题 p、q,写出命题 p∧q,p∨q,? p,? q ,并判断它们的真假。 (1)p:x=1 是方程 x2=1 的解,q:x= -1 是方程 x2=1 的解

(2)p:5>2,q:5=2

【能力训练】 1.已知命题 p:若 x2+y2=0, ,则 x、y 全为 0;命题 q:若 a>b,则 ①p∧q,②p∨q,③? p,④ ? q,其中真命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4

1 1 ? 。给出下列四个复合命题: a b

§ 11.3 逻辑变量与基本运算
【知识要点】 1.逻辑变量和逻辑常量 开关 A,B,灯 L 的状态会发生变化,且只有两种变化的状态,这样的量叫做逻辑变量。 逻辑变量只有两种状态,只能取值 0 和 1。这里的 0 和 1 只是一种符号,表示两种对立的状态,它 们之间没有数的大小关系。0 和 1 叫做逻辑常量。 2.或运算
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一个事件 L 的发生依赖于两个条件 A,B,当这两个条件中至少有一个成立时,事件 L 发生,称这 种逻辑关系为“或”逻辑关系,也称为或运算,记作 L=A+ B。 或运算的真值表 A 1 1 0 0 3.与运算 一个事件 L 的发生依赖于两个条件 A,B,当且仅当这两个条件同时成立时,事件 L 才发生,称这 种逻辑关系为“与”逻辑关系,也称为与运算,记作 L=A?B 或 L=AB。 与运算的真值表 A 1 1 0 0 4.非运算 一个事件 L 的发生依赖于一个条件 A,当条件 A 成立时,事件 L 不发生;反之,当条件 A 不成立 时,事件 L 发生,称这种逻辑关系为“非”逻辑关系,也称为非运算,记作 L=。 非运算的真值表 A 1 0 【基础训练】 写出下列各式的运算结果: (1)0· 1= (3) 0 · 1= (5) 1 ? 0 ? 0 = (7) 1 ? 1 ? 1 ? 0 ? 1 ? ; ; ; ; (2)1· 1= (4) 1 · 1= ; ; ; . B 1 0 1 0 A?B 1?1=1 1?0=0 0?1=0 0?0=0 B 1 0 1 0 A+B 1+1=1 1+0=1 0+1=1 0+0=0

A 1 =0
0 =1

(6) 0 ? 0 ? 1 ? (8) 0 ? 1 ? 1 ? 0 ? 0 ?

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§ 11.4 逻辑式与真值表
【知识要点】 1. 逻辑代数式 由常量 1,0 以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式,简称逻辑式. 2.等值逻辑式 如果对于逻辑变量的任何一组取值,两个逻辑式的值都相等,这样的两个逻辑式叫做等值逻辑式. 【基础训练】 1.右边的真值表所表示的逻辑表达式为( A. Y ? AB B. Y ? A ? B C. Y ? A ? B D. Y ? AB 2.写出下列各式的运算结果 (1) 1 ? 1 ; (2) 0 ? 1 ? 1 ; ) A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 Y 0 0 0 1

(3) 1 ? 0 ? 0

3.完成下列真值表 (1) A 0 0 1 1 (2) A 0 0 1 1 【能力训练】 用真值表证明等式: (1) A ? B = A · B (2)A· (B+C)=A· B+A· C B 0 1 0 1 B 0 1 0 1

A

A +B

A ?B

A

B· 1

1 A +B·

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§ 11.5 逻辑运算律
【知识要点】 1.常用逻辑运算律 运算律名称 0—1 律 自等律 重叠律 互补律 交换律 结合律 分配律 吸收律 反演律 还原律 2.利用运算律化简逻辑式的一般步骤: (1)去括号; (2)使得项数最少; (3)使基本逻辑变量出现的次数最少. 【基础训练】 0· A =0 1· A =1 A· A =A A· A =0 A· B =B· A A· (B· C) =(A· B)· C A· (B+C) =A· B+A· C A+A· B=A 运算律公式表示 1+A =1 0+A = A A+A =A A+ A =1 A+B =B+A A+(B+C) =(A+B)+C A+(B· C) =(A+B)· (A+C) A· (A+ B)=A

A? B= A + B
A =A

A? B= A· B

1.化简
(1)0· A =___________; (3)A· A =___________; (5)A+A =___________; 2.化简逻辑式 (1) AB +B; (2) ABC ; (3) ABC ? AB ? BC (2)0+A =____________; (4)A+ A =____________; (6) A =____________.

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第 12 章

算法与程序框图

§ 12.1 算法的概念
【知识要点】 1. 算法的概念 算法是指用来解决问题的一系列明确而有效的步骤,是解决问题的清晰指令。 2.有效算法的特征 有穷性:算法必须能在执行有限个步骤之后终止,即算法步骤是有限的。 可行性(有效性) :算法的每一个步骤都是可执行的操作,即每一个步骤都可以在有限时间内完成。 确切性:算法的每一个步骤必须有确切的定义,不能存在歧义。 初始条件:有刻画运算对象的初始条件。 有输出:有对算法运算结果的输出。 3.变量和赋值 在解决问题的过程中,可以取不同数值的量叫做变量。给变量赋值的一般格式为: 变量名=表达式, 其中的符号“=”就是赋值号,它的意义是将后面的表达式的值赋给变量,也就是将表达式的值存 储到这个变量所对应的存储单元中. 【基础训练】 1.已知一个学生的语文成绩为 89 分,数学成绩为 96 分,外语成绩为 99 分,请将“求他的平均成 绩的一个算法”补充完整. 第一步:A=89,B=96,C=99; 第二步: 第三步: x ? ;

S ; 3

第四步:输出 x .

2.请仔细阅读下面的算法:
S1:A=1,B=2,C=3; S2:A=A+B; S3:A=A+B+C; S4:输出 A,B,C.
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问:最后输出的 A,B,C 的值各为 3.下列关于算法的说法 ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止;







③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果。 其中正确的有( A.1 个 ) 。 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 。

4. 看下面的四段话,其中不是解决问题的算法的是( A.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达

B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 C.方程 x2-1=0 有两个实根 D.求 1+2+3+4+5 的值,先计算 1+2=3,再求 3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为 15 5.下列不能看成算法的是( A.洗衣机的使用说明书 C.从长沙乘火车到北京,再从北京坐飞机到纽约 ) 。 B.烹制油闷大虾的菜谱 D.小明不会做饭

§ 12.2 程序框图
【知识要点】 1.程序框图的概念 程序框图又称流程图, 是一种用规定的框、 带箭头的线 (也称流程线或指向线) 及文字说明来准确、 直观地表示算法的图形. 2.常用的表示算法步骤的图形符号及其名称、意义 程序框 名称 起止框 少的. 表示一个算法输入和输出的信息,可用在算法中 输入输出框 任何需要输入、输出的位置. 赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、公式 处理框 等分别写在不同的用以处理数据的处理框内. 意义 表示一个算法的起始和结束,是任何流程图不可

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判断某一条件是否成立。当条件成立时,程序沿 判断框 “是”或“Y”方向执行;当条件不成立时,程 序沿“否”或“N”方向执行. 流程线 3.三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:由若干个依次执行的步骤组成的。它是最简单的算法结构,也是任何一个算法都 离不开的一种基本结构。
否 否

表示流程进行的方向.

步骤 A

满足条件? 是

满足条件? 是

步骤 B

语句 1

语句 2

语句 1

顺序结构示意图

条件结构示意图

(2)条件结构:是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式. (3)循环结构:是指从某处开始,按照一定反复执行某些步骤的情况.反复执的情况.

否 循环体 满足条件? 是 满足条件? 是 否 循环体

循环结构示意图

在循环结构中,必须包含执行或终止循环体的条件,以免出现死循环。

【基础训练】 1.根据如图的算法流程图,当输入 x 的值为 3 时,输出的结果为_____,当输入 x 的值为 7 时,输出 的结果为_____。

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开始 输入 x N y=2x-1 x<5 Y y=x2-1 N

开始 输入 x x<0 Y x=-x

开始 x=1

S=S+x S>10? 是



输出 y 结束 第 1 题图

输出 x 结束 第 2 题图

输出 S 结束 第 3 题图

2.根据如图的算法流程图,当输入 x 的值为 3 时,输出的结果为_____,当输入 x 的值为-3 时,输 出的结果为_____。 3.根据如图的算法流程图写出输出结果 S= 。

4.已知函数 y=|x-3|,程序框图(如图所示)表示的是给定 x 值,求其相应函数值的算法,请将该 程序框图补充完整,其中①处应填
开始

, ②处应填


开始

输入 x 否 ① 是

输入 x m=x 除以 2 所得的余数 是 否

y=3-x



输出 y 结束 第 4 题图

输出“x”是偶数

输出“x”是奇数

结束 第 5 题图

5 .如图所示的程序框图,能判断任意输入的整数 x 是奇数或是偶数。其中判断框内的条件 是 。 6.任意给定一个正实数 x,计算以 x 为半径的圆的面积 S,写出它的算法程序框图。

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第 13 章 数据表格信息处理
§ 13.1 数据表格、数组
【知识要点】 1.数据表格 数据表格是反映数据信息及其对应关系、内在逻辑关系的表格。 组成数据表格的格子叫做单元格,单元格中的数据叫做元素,一般用 a,b,?表示。 数据表格通常由表号(表序) 、表题、表头、栏目行、栏目列、表身组成。表身中每个单元格所记 录的数据信息都与所在的栏目行、栏目列相对应。 2.数组 表格中,每一个栏目下一组依次排列的数据叫做数组,用黑体字母 a,b,?表示,数组中的每一 个数据叫做元素,用带下标的字母 a1,a2,?表示。 数组常分为文字数组、数字数组、混合数组。 当且仅当两个数组按顺序对应的元素相等,且元素的个数也相等时,两个数组相等。 数组中元素的顺序不能改变,但数组中的元素可重复出现。 【基础训练】 1.下表是某单位部分员工的工资表: 姓名 王华 丁伟 吴兰 基本工资(元) 1200 1000 1500 岗位津贴(元) 600 580 640 奖励工资(元) 644 500 510

根据表格,分别写出表示姓名、基本工资、岗位津贴及奖励工资的数组. 2.下表是某班期中考试部分学生的成绩表
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姓名 甲 乙 丙 丁 上表中表示丙成绩的数组为( A.(90,85,92) C.(90,95,89,80)

语文 90 95 89 80 ) 。

数学 85 89 83 75

英语 92 91 76 83

B.(89,83,76) D.(语文,数学,英语)

3.2012 年某次公务员考试部分考生成绩表 姓名 任进 赵波 胡俊 公共基础知识 78 53 85 ) 。 B.(66,71,78)是数字数组 D.3 名考生的公共基础知识总分为 216 行政职业能力测试 66 71 78 试卷类别 B B A

依据上表,下列说法错误的是( A.(53,71,B)是数字数组 C.胡俊的总分最高 【能力训练】 1.下列说法中正确的是(

) 。

A.数组中各元素的顺序可以改变 B.数组中的元素不可以重复出现 C.数组就是用列举法表示的数集 D.构成数组的元素可以是数字,也可以是字母 2.李明在超市购买了以下商品:①康师傅方便面 4 桶,单价 3.5 元/桶,打九折;②脉动饮用水 10 瓶,单价 3 元/瓶,不打折;③苹果 2 斤,单价 4.5 元/斤,打八五折;④雕牌洗衣粉 2 袋,单价 5.5 元/ 袋,打八折。制作一张购物表,表中须有商品名称、数量、单价、折扣率、应付款。

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§ 13.2 数组的运算
【知识要点】 1.数组的维数 数组 a= (a1,a2,?,an)中元素的个数 n 叫做数组的维数,数组 a 叫做 n 维数组。 2.数字数组的加法、减法运算 对于两个 n 维数字数组 a= (a1,a2,?, an),b= (b1,b2,?, bn),规定: a+ b = (a1,a2,?,an)+(b1,b2,?,bn) = (a1+b1,a2+b2,?,an+ bn), 数组 a+ b 叫做 a,b 的和数组,简称和。 a-b = (a1,a2,?, an)-(b1,b2,?,bn) = (a1-b1,a2-b2,?, an-bn), 数组 a-b 叫做 a,b 的差数组,简称差。 3.数字数组的数乘运算 实数 k 乘数字数组 a= (a1,a2,?,an),简称数乘。规定: ka=k(a1,a2,?,an)=(ka1,ka2,?,kan)。 4.数字数组的内积运算 对于两个 n 维数字数组 a=(a1,a2,?,an),b=(b1,b2,?,bn),规定: a· b=(a1,a2,?,an)· (b1,b2,?,bn) =a1b1+a2b2+?+anbn, a· b 叫做数组 a 与数组 b 的内积。数组内积的结果是一个数字。 5.n 维数字数组的加、数乘、内积运算有下列规律(其中 λ,μ 是实数,a,b,c 是数组) : (1) a+0 = a ,a+(-a)=0 , 其中,0=(0,0,…,0)是 n 维数字数组,0 是数值,表示数组 0 中的一个元素。 (2) 运算律 结合律: (a+b)+c=a+(b+c) ; λ(μa)=(λμ)a =μ(λa) ; λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb) 。 交换律: a+b=b+a ; a· b=b· a ; 分配律: (λ+μ)a=λa+μa ; λ(a+b)=λa+λb ; (a+b)· c=a· c+b · c 。
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注意 数组的加、减、内积运算要求两个数组的维数必须相同;数组的加、减、数乘运算的结果还 是一个数组且维数不变,数组内积运算的结果是一个数值。 【基础训练】 1.下表中基本工资与奖励工资的和数组为( 姓名 王华 丁伟 吴兰 A.(2444,2080,2650) C.(1844,1500,2010) 基本工资(元) 1200 1000 1500 ) 。 奖励工资(元) 644 500 510

岗位津贴(元) 600 580 640

B.(3700,1820,1654) D.(1800,1580,2140) ) 。 D.4 ,a-b = ; 。

2.已知数组 a=(1,2,1),b=(-2,1,2),则 a· b=( A.(2,2,2) B.2

C.(-1,3,3)

3.已知数组 a=(1,2,-2,3),b=(1,0,-1,3),则 a+b = 4.已知数组 a=(-1,2),b=(2, -1),则 2a+b =

5.下表中的“差异”表示“实际”与“目标”的差,完成下表: 部门 A B C D 目标 508 575 300 459 实际 630 371 378 599 差异

【能力训练】 1.已知数组 a=(3,-2,4),b=(1,x,y),若 a=3b,求实数 x,y 的值。

2.已知三维数组 a=(-3,-5,4),b=(1,x,7),若 a?b = 0,求实数 x 的值。

3.某商场 2012 年前三季度销售额(单位:万元)如下表 部门 一季度 二季度
88

三季度

销售总额

百货 食品 五金 家电 依据上表回答下列问题:

284.78 198.25 112.45 565.60

385.76 100.50 88.75 888.75

284.55 86.65 90.80 654.40

(1)各部门三个季度的销售总额,并填入表中; (2)食品部门的季平均销售额(保留 4 位有效数字) ; (3)二季度与一季度比,那些部门的销售额增加了,并求出增幅(精确到千分位) 。

4.某班级第一小组学生四门学科期中考试的成绩如下表所示,试求各科平均成绩、每人四门学科 总分及他们四门学科的平均成绩,并把所得数据填入表中。 学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 课程平均成绩 语文 80 75 78 62 83 75 71 63 52 67 数学 90 94 86 81 85 89 92 85 73 76 英语 86 43 66 71 68 71 82 57 85 89 信息技术 96 90 89 81 78 92 85 79 78 79 平均成绩

§ 13.3 数据的图示
【知识要点】 数据的图示主要有饼图、直方图、折线图等。
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数据的图示能够直观地反映数据信息,以及数据信息之间的相互关系、变换趋势,便于分析原因, 寻找规律。 1.饼图 饼图能够直观地反映个体与总体的比例关系,它是将圆作为总体,通过圆上扇形面积的大小来反 映某个数据或某个项目在总体中所占的比例。 2.直方图 直方图又称柱形图。它能通过矩形的高低来形象地显示同类事物之间的数量、频数差异。 3.折线图 折线图是用线段依次连接坐标系中数据所表示的点而形成的折线。折线图可以显示数据随时间变 化的特征,它能很好地反映数据之间的联系,根据折线的走向能够分析数据的变化情况。 【基础训练】 1.某班从甲、乙、丙三名候选人中选举一名学生代表,每张选票上只能选一人或不选,否则视为 无效票。得票超过半数者当选,无人超过半数时,得票前两位者再进行第二轮选举。全班同学参加了投 票,得票情况统计如下: 得票数量统计表 项目 票数 甲 20 乙 丙 3 ) 。 C.50 ) 。 D.不能确定 D.55 其他 1
得票数量饼图 丙 6%

(1)该班的总人数为( A.40 B.45

(2)通过计算可知当选的是( A.甲 B.乙

C.丙

2.右图反映了 2012 年伦敦奥运会我国获得的奖牌构成情况, 现已知我国获得的奖牌总数为 88 枚,则金牌、银牌、铜牌的数目 分别为_________,__________,__________。 3、 下图是 2006 年至 2011 年中国外贸进出口贸易总额直方图, 根据该图可知,在 逆增长,在 年进口贸易总额和出口贸易总额均出现 年,进出口贸易差最大。

90

2006年至2011年中国外贸进出口货物总额(单位:亿美元) 20000 15000 10000 5000 0 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 进口额 出口额

4.下图是根据某地近两年 9 月中旬旬日最高气温情况绘制的折线图,通过观察图表,可以判断这 两年 9 月中旬气温比较稳定的年份是( A.2011 年 B.2012 年 ) 。 C.2013 年 D.无法确定

2011年与2012年9月中旬最高气温比较
35 32 31 29 26 23 20 28 26 28 26 24 23 29 26 26 27 24 26 24 22 21 28 28 33 33

9 月11 日 9 月12 日 9 月13 日 9 月14 日 9 月15 日 9 月16 日 9 月17 日 9 月18 日 9 月19 日 9 月20 日 2011 年 2012 年

【能力训练】 1.下图是 2006 年至 2011 年中国全年全社会固定资产投资额及其增长率的直方图和折线图。
2006年至2011年中国全社会固定资产投资额(单位:亿元)

400000 300000 200000 100000 0 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 109998 137324 172828 278122 224599

311022

2011年

91

2006年至2011年中国全社会固定资产投资增长率

34.0% 32.0% 30.0% 28.0% 26.0% 24.0% 22.0% 20.0%

30.0% 24.8% 25.9% 23.8% 23.6%

23.9%

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

(1) 请用数据表格反映图中的数据; (2) 根据图示,对中国固定资产投资情况作简要评析。

第 14 章 编制计划的原理与方法
§ 14.1 编制计划的有关概念
【知识要点】 1.工作明细表
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工作明细表包含活动代码、活动项目、完成活动项目时间及活动项目之间关系等内容。 2.工期或工时 完成某一项工作所需要的时间叫做工期或工时,完成全部工作所需要的时间叫做总工期。 3.紧前工作、紧后工作和平行工作 两项相互邻接并存在先后操作顺序的工作 A、B,如果完成工作 A 后才能开始工作 B,我们把工作 A 叫做工作 B 的紧前工作,工作 B 叫做工作 A 的紧后工作。 可以同时进行的多项工作叫做平行工作。 紧前工作、紧后工作、平行工作一般用大写英文字母 A,B,C,?表示。 4.流程图 我们把一个工程的各项工作用包含节点、箭线、活动名称(或编号)和工期(或工时)等的图形来 描述它们之间的关系,这种图形叫做流程图。 5.节点和箭线 节点是紧前工作的结束,也是紧后工作的开始。连接两节点的箭线表示一项工作。通常在箭线的上 方标注工作名称编号,在箭线的下方标注工时。 6.虚设工作 有时为了说明问题的需要,人为地设置一些虚拟的工作,我们把它们叫做虚设工作。常用虚箭线表 示虚设工作,虚设工作的工期为 0。

【基础训练】 1.做“青菜鸡蛋汤”有以下几道工序:①破蛋(1 分钟) ,②洗青菜(2 分钟) ,③水中放入青菜加 热至沸腾(3 分钟) ,④沸腾后倒入鸡蛋加热(1 分钟) ,⑤搅蛋(1 分钟) 。 (1) 以下说法错误的是( A.①是④的紧前工作 C.②是③的紧前工作 (2)以下属于平行工作的是( A.①和④ B.①和⑤ ) 。 B.①是⑤的紧前工作 D.③是④的紧前工作 ) C.②和③ D.③和①

2.王芳下午放学到晚饭前,有以下几件事要完成:A.乘公交车回家(20 min) ,B.洗手(1 min) ; C.淘米(2 min) ;D.用电饭煲煮饭(25 min) ;E.写作业(30 min) ;F.预习(10 min) ;G.收拾文 具、书包(3 min) ;H.听英语(10 min) 。其中,A 的紧后工作是 是平行工作的有 【能力训练】 1.小明要烧水沏茶,需要完成以下几件事情:A.洗茶壶(5 分钟) ;B.烧水(10 分钟) ;C.洗
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,D 的紧前工作是





茶杯(5 分钟) ;D.找茶叶(2 分钟) ;E.泡茶(3 分钟) ;F.喝茶(10 分钟) 。 (1) 上述各项工作中邻接的有哪些? (2) 平行工作有哪些? (3) 你认为小明完成这些工作最短需要多长时间?

§ 14.2 关键路径法
【知识要点】 1.路径 在工作流程图中,从开始节点沿箭线方向到终止节点的一条线路,叫做一条路径。 2.路径的长度 一条路径上各工序工期的和叫做路径的长度。 3、关键路径 对于一项工程而言,只有流程图中长度最长的路径上各工序依次完成之后,工程才能结束,这条长 度最长的路径叫做关键路径。 关键路径上的每一件工作都叫做关键工作,关键路径上的每一个节点都叫做关键节点,关键路径的 长度就是该工程的总工期。 【基础训练】 1.某项工程的流程图如下图所示(单位:min) :
B 5 1 C 7 2 3 A 10 0 4 D 13 第 1 题图 G E 9 5 F 4 6

(1) 其中的关键路径 A. A ? E ? F C. B ? G ? E ? F (2) 完成该工程的总工期是( A.23 B.22 C.24 B. C ? D ? F D. B ? G ? D ? F ) 。 D.21
94

是(

) 。

2.某项工程的流程图如下(单位:天) :
5 H 1 B 1 2 5 D 3 第 2 题图 2 A 1 C 1 4 G 4 6 1 F 2 7 E

试列出从开始节点①到终止节点⑦的所有路径, 指出哪条是关键路径, 并确定完成该工程的最短总 工期。

§ 14.3 网络图
【知识要点】 1.网络图 每一项工作用一条箭线表示, 箭线的起点和终点都是编有号码的节点; 两个工作间按它们的内在逻 辑关系邻接,在表示每一项工作的箭线上方标注工作名称、下方标注工期。这样的图叫做双代号逻辑网 络图,简称网络图。 显然,前面所学的工作流程图就是网络图。 2.网络图的功能 能完整而系统地反映工程自始至终的全过程; 能确切而由逻辑地表示工程各项工序之间的内在关系。 3.绘制网络图的基本规则 (1)由开始节点出发,按照工作的流向从左向右绘制,直到终止节点。箭线因尽量体现从左到右 的走向,避免出现逆向箭线与回路。图中只能有一个开始节点和一个终止节点。 (2)一项工作有两个节点,两个节点之间至多有一条箭线,节点的编号一定按照箭线的方向由小 到大。 (3)在每一项工作的箭线上方标注工作名称或编号,下方标注工期。虚设工作用虚箭线表示,虚 设工作的工期为 0。

【基础训练】 1、下列关于网络图的说法正确的是( A. 网络图中可出现两个终止节点;
95

) 。

B. 网络图中允许存在逆向箭线与回路; C. 箭线的上方和下方分别标有这项工作的工作编号和工期; D. 虚设工作不一定用虚箭线表示。 2.指出以下流程图中不符合规则之处: (1)
1 1 A 2 C 3 2 B 4

2

(2)
2 B 1 5 A 10 0 E 3 C 9 4 D 4 5

(3)
A 1 C 7 B 5

1

2

4

3

(4)
3 D 4 1 A 1 E 0 C 7 4 B 5 5

2

§ 14.4 横道图
【知识要点】 1.横道图 横道图又称甘特图, 它是以图示的方式通过活动列表和时间刻度形象地表示出任何特定项目的活动 顺序与持续时间。 横道图能够清晰地表示各项工作间的内在逻辑关系,直观地显示计划中各项工作的时间进程。 2、绘制横道图的注意点 横道图的左边是工作明细表,显示每项工作的代码、工作名称与工期; 用横道表示一项工作及其工期,横道的长度表示该工作的工期; 关键路径上的关键工作用红色横道表示,非关键工作用斜纹横道表示;
96

表格上方是工程标尺(顺计时) ,下方为进度标尺(倒计时) ,横道的长度对于于相应工作的开始 时间和结束时间。

【基础训练】 1.某工程的横道图如下: (1)横道图显示,该工程的总工期为 (2)该工程的关键路径为 天; ;

(3)开工后 16 天,监理前去工地检查,按照横道图显示工程应处于哪几道工序?

2.下图是某工程的横道图。 (1) 写出关键路径、关键工作、总工期; (2) 指出其中的平行工作;
工作代码 工期/天 A 3 B 2 C 3 D 1 E 2 F 1 进度标尺 星期 工程周 1 2 3 4 5 6 7 8

8 一

7 二

6 三

5 四 一

4 五

3 六

2 日

1 一 二

第 15 章 三角计算及其应用
§ 15.1 两角和与差的正弦、余弦公式
【知识要点】 两角和与差的正弦、余弦公式:
97

sin(α± β)=sinαcosβ± cosαsinβ, cos(α± β)=cosαcosβ ? sinαsinβ 【基础训练】 1.化简: (1) cos22?cos98?-sin22?sin98? (2) sin95?cos25?+cos95?sin25?

(3) cos70?cos10?-sin70?sin10?

(4) sin73?cos13?-cos73?sin13?

2、已知 cosα=

3 ? ? ? ,0<α< ,求 sin(α+ ),cos(α- )的值。 5 2 3 4

3、已知 sinα=

1 ? ,α 是第二象限角,求 cos( +α)的值。 2 3

【能力训练】 1.判断下列等式是否成立: (1) cos(α+β)=cosα+cosβ (2) cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (3) cos(α+β)- cos(α-β)=-2sinαcosβ (4) sin(α+β)=sinαcosβ-cosαsinβ 2.化简: (1) sin(

? ? +α) +sin( -α) 3 3

(2) cos(α-15° )-cos(α+15° )

3、已知 α 是锐角,β 是钝角,cosα=

3 12 , sinβ= ,求 sin(α+β)、cos(α-β)的值。 5 13
98

§ 15.2 二倍角公式
【知识要点】 二倍角公式 sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2 sin2α 注意:公式中,等号左边的角是右边角的两倍关系。如 4α 角是 2α 角的两倍,α 角是 则有如下等式: sin4α=2sin2αcos2α,cosα= cos 2

?
2

? sin 2

?
2

? 的两倍, 2

等。

【基础训练】 1.已知角 α 是锐角,sinα= A. ?

1 9 5 2.已知 cosα=- ,α 是第二象限角,求 cos2α,sin2α 的值。 13
1 9
B. 3、化简: (1) sin

2 ,则 sin2α=( 3 4 5 4 5 C. D. ? 9 9

) 。

? ? cos 8 8

(2) cos222.5° -sin2 22.5°

3? (3) 2cos2 8 -1

3? (4) 1-2sin2 8

【能力训练】 化简: (1) 4sin

? ? cos ; 4 4

(2) 2cos2 2 -1

?

99

(3) 1-2sin22A

§ 15.3 正弦型函数
【知识要点】 1.正弦型函数 形如 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,φ 为常数)的函数叫做正弦型函数。其中 A 叫做 f(x)的振幅,ω 叫做 f(x)的角频率或角速度, ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相位。正弦型函数的图像叫做正弦型曲线。正弦型 曲线与正弦曲线相似,正弦函数是正弦型函数的特殊情况(A=1, ω=1, φ=0) 。 2.正弦型函数 y=Asin(ωx +φ)的基本性质 定义域:实数集 R; 值域:[-A,A],最大值为 A,最小值为-A; 1 2? 周期:T= (f= 叫做频率) 。 ? T 3.正弦型函数 y=Asin(ωx +ω)的图象可由正弦函数 y=sinx 的图象变换而得到。 【基础训练】 1.函数 y=5sin( A.4π , 5

x ? ? )的周期、振幅分别是( 2 6

) 。

B. 4π, -5 C.π, 5 1 2.函数 y=1+ sin2x 的最大值是 ( 2 1 3 A.1 B. C. D.0 2 2

D.π, -5 ) 。
y 2
7? 6

3.已知 y=Asin(ωx+φ) 在一个周期内的简图如右图所 示,则它的周期 T= 是 。 4.求下列函数的振幅、角速度、初相位、周期、最大 值和最小值。 (1) y=5sin(
第 3 题图

5? 3

x

,最大值是

,最小值
-

? 3

O

? 6

2? 3

1 ? x+ ) 2 6

(2) y=

1 ? sin(4x- ) 4 2

100

【能力训练】 1、已知函数 y=2sin(mx + A.

1 5

B.

? 5

? 2 )(m>0)的周期为 ,则 m=( 5 5
D.5π ) 。

) 。

C. 5

2、函数 y=sinx 与函数 y= A.周期 B.角速度

1 sinx 比较,不同的是( 2
C.值域

D.初相位

§ 15.4 正弦定理、余弦定理
【知识要点】 在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 。 1、A+B+C=π,a+b>c,a-b<c ,a>b ? A>B ; 2、正弦定理

a b c ? ? sin A sin B sin C
3、余弦定理 a2= b2+ c2 -2bccosA, b2= c2 + a2 -2accosB, c2= a2+ b2-2abcosC 。 或

b2 ? c 2 ? a 2 , 2bc c2 ? a 2 ? b2 , cos B ? 2ca a 2 ? b2 ? c2 。 cos C ? 2ab cos A ?
3.三角形面积公式 1 1 1 S = ab sin C = bc sin A = ca sin B 。 2 2 2 4.应用正弦定理、余弦定理解三角形 (1) 已知三角形的“两角一边” ; (2) 已知三角形的“两边及一边的对角” ; (3) 已知三角形的“两边夹一角” ;
101

(4) 已知三角形的“三边” 。

【基础训练】 1.在△ABC 中,B=45°,C =75°, b = 12, 求 a 边。

2.在△ABC 中,a = 4, b = 4 3 , C =30°,则边长 c 的值为( A.16 B.4 C.4 7 D.64-16 3

) 。

3.在△ABC 中,a = b =3, c = 3 3 ,求角 C 及角 A 。

4.在△ABC 中,B=15° ,A=135° , c = 12, 求这个三角形的最大边的长 。

第 16 章 坐标变换与参数方程
§ 16.1 坐标轴平移
【知识要点】
102

1.坐标轴平移的特点 只改变坐标原点的位置,不改变坐标轴的方向和单位长度。 2.坐标轴平移的坐标变换公式 ? x ? x? ? x0 ? x? ? x ? x0 或? 。 ? ? y ? y ? ? y 0 ? y ? ? y ? y0 其中,(x , y)为原坐标,(x?,y?)为新坐标,(x0,y0)为 O?点在原坐标系中的坐标。

【基础训练】 1、平移坐标轴,将坐标原点移至 O? (1,1),则点(2,3)在新坐标系中的坐标为( A. (3,4) B. (-1,-2) C. (2,3) D. (1,2) ) 。 ) 。

2、平移坐标轴,将坐标原点移至 O? (0,1),则新坐标系中的点(2,1)在原坐标系下的坐标为( A. (2,0) B. (-2,2) C. (2,2) D. (-2,0)

3、平移坐标轴,点(2,3)在新坐标系中的坐标为(4,1),则移轴公式是_________________;

【能力训练】 1、平移坐标轴,点 A(-1,3)在新坐标系中的坐标为(3,-1),求点 B(0,1)在新坐标系中的坐标。

2、平移坐标轴,将坐标原点移到 O? (1,-1),求下列曲线(或直线)在新坐标系中的方程。 (1)2x-3y+1=0 (2)(x-1)2+(y+1)2=1

§ 16.2 参数方程
【知识要点】 1.定义 如果曲线上任意一点 P(x , y)的坐标都能用某一个变量 t 的函数表示: ? x ? f (t ) ? ? y ? g (t ) 则称这个方程组是曲线的参数方程,变量 t 叫做参数(或参变量) 。 对于某一确定的曲线,选择不同的参数,所得参数方程的形式也不同,但当参数选定后,其参数方 程是唯一的。 2.几种常见曲线的参数方程 (1) 过点(x0,y0),倾斜角为 θ(0≤θ<π)的直线的参数方程为
103

? x ? x0 ? t cos ? ? ? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

(2)圆 C:(x-x0)2+(y-y0)2=r2(r>0)的参数方程为 ? x ? x0 ? r cos ? (θ 为参数) ? ? y ? y0 ? r sin ? 其中,r 为圆的半径,(x0,y0)为圆心坐标。 特别地,当圆心在坐标原点时,圆的参数方程为 ? x ? r cos ? (θ 为参数) 。 ? ? y ? r sin ?

【基础训练】 1、下列方程中,是直线 x+y-1=0 的参数方程(t 为参数)的为 ( ) ?x ? t ?x ? t ?x ? t ?x ? t A. ? B. ? C. ? D. ? ?y ? t ?1 ? y ? t ?1 ? y ? ?t ? 1 ? y ? ?t ? 1 ? x ? 5 cos ? 2、已知曲线的参数方程为 ? (θ 是参数),则此曲线表示 ( ) ? y ? 5 sin ? A.直线 C.椭圆 D.双曲线 ? x ? 2 cos ? ? 2 3、已知圆的参数方程为 ? (θ 是 参 数 ) 则 该 圆 的 圆 心 坐 标 为 ? y ? 2 sin ? ? 1 为 。 4、已知圆的圆心在坐标原点,半径是 10,写出该圆的参数方程____________________。 5、将下列曲线的参数方程化为普通方程: ? 1 ?x ? t ? 4 ?x ? (1) ? (2) ? ( t 是参数) t (t 为参数) 2 y ? t ? 1 ? ? ? y ? 3t B.圆

,半径

【能力训练】 1、过点 A(-1,-2)且倾斜角为

? 的直线的参数方程为( 6
? x? ? ? B. ? ?y ? ? ? 3 t ?1 2 t ?2 2

) 。

? x? ? ? A. ? ?y ? ? ?

3 t ?1 2 t ?2 2

(t 为参数)

(t 为参数)

104

t ? x ? ?1 ? 2 ? C. ? ?y ? 3 t ? 2 ? 2 ?

(t 为参数)

t ? x ? ?1 ? 2 ? D. ? ?y ? 3 t ? 2 ? 2 ?

(t 为参数)

第 17 章
【知识要点】

复数及其应用

§ 17.1 复数的概念

105

1.虚数单位 i 规定 i2=-1,其中 i 称为虚数单位。 “i”不是实数,不表示具体的数量。 2.复数的概念 将 a+bi( a , b∈R)这类数叫做复数,a 叫做复数的实部,b 叫做复数的虚部。 3.实数、虚数、纯虚数的概念 复数 a+bi( a , b∈R)中,当虚部 b=0,则它是实数;当虚部 b≠0,则它是虚数;当 a=0 且 b≠0,则它 是纯虚数。 4.复数相等的充要条件 两个复数相等的充要条件是“实部相等且虚部相等” ,即: a+bi =c+di ( a , b , c , d∈R) ?a=b 且 c=d。 5.共轭复数 (1)共轭复数的概念 如果两个复数实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数。 复数 z 的共轭复数记作 z ,即:若 z= a+bi( a , b∈R),则 z =a-bi( a , b∈R)。 注意:实数的共轭复数就是它本身。 【基础训练】 1 . 下 列 各 数 : 4+3i , 2i , -4, 是 ,虚数是 3.复数 2 ? 3i 的实部为 ,虚部为 π , 2-i , 5i 中 , 复 数 是 ,纯虚数是 。 ___________. 。 ,实数

4. 若 a+3i =2+bi ( a , b ∈R),则 a =___________, b= 5.若复数 z= 3+4i,则 z =( A.3-4i B.-3+4i ) 。 C.-3-4i

D.4+3i

【能力训练】 1.若(2+a)+(3-b)i=4i ( a , b ∈R),则 a 、b 的值分别是( A.2,3 B.3,2 C.-2,-1 ) 。 D.2,1

2.当实数 m 取什么值时,复数(m-3)+(4-2m)i 分别是实数、虚数、纯虚数? 3.若复数(2m-1)+(m+5) i 的共轭复数是它本身,求实数 m 的值。

§ 17.2 复数的代数运算
【知识要点】 1.复数的加法、减法和乘法运算
106

设任意两个复数 z1= a+bi ,z2= c+di ( a , b,c,d∈R),则 z1+z2=(a+bi)+(c+di) =(a+c)+(b+d)i ; z1 -z2 =(a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i ; z1?z2=(a+b)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。 2.运算律 交换律:z1 +z2 = z2 +z1,z1 ?z2 = z2?z1 结合律:(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3),(z1 ?z2)?z3 = z1?(z2 ?z3) 分配律: z1?(z2+z3)= z1?z2+z1?z3

【基础训练】 1.计算:i2= 2.计算: (1) (2+i)+(2-i) (2) (2+3 i)-(1- i ) ,i3= ,i4= ,i6= 。

(3) (4+ 3i)+(2- 3i)+(-1+ 2i)

(4) (1+ i)(2- i)

3.设复数 z1= -1+ 2i ,z2=6i,计算: z1+z2 , z1 -z2,z1 ? z2 。

【能力训练】 1.计算 i +i2 + i3+ i4+??+ i9 =( A.0 B.i C.1+i ) 。 D.-1

2.设复数 z1=3-4i ,计算: z ? z , z ? z , z ? z

§ 17.3 复数的几何意义及三角形式
【知识要点】 1.复平面
107

把横轴和纵轴(原点 O 除外)分别叫做实轴和虚轴.这样的平面直角坐标系叫做复平面.用复平 面内的点来表示复数,叫做复数的几何表示法. 2.复数的模与辐角 复平面内表示复数 z=a+bi (a , b ∈ R) 的点 Z(a , b) 到原点的距离叫做复数的模,记作 |z| ,即 |z|= a ? b .以 x 轴正半轴为始边,OZ 为终边的角 θ 叫做复数 z 的辐角.
2 2

注意:复数的辐角是不唯一的。 复数 z 在(-π,π ]内的辐角叫做辐角主值,记作 arg z。 3.复数的三角形式 z = r(cosθ+isinθ)叫做复数的三角形式,其中 r 为模,θ 为辐角。 z= a+bi( a , b∈R)叫做复数的代数形式。 【基础训练】

? ? + isin ),则|z|=_____________,arg z=__________。 3 3 ? 2.若复数 z 的辐角为 ,模为 2,则复数 z 的三角形式为_______________________。 4
1.若复数 z=5(cos 3.如图所示复平面内的点 Z 所表示的复数为( A.-3-i B.1-3i C.1+3i ) C.π ) 。 B.z = cos30?- isin30? D.z = 4(sin1+icos1) D. ) 。 D.-3+i
-3 -1 O 第 3 题图 x y Z 1

4.复数 z = i 的辐角主值为( A.0 B.

? 2

3? 2

5.下列各式是复数三角形式的是( A.z = 2(cos2 + isin2) C.z = -5(cos3 + isin3) 【能力训练】

1.将下列复数的三角形式化为代数形式: (1) z1 = 2(cos

? ? +isin ) 6 6

(2) z2 = 3 (cos60?+isin60?)

第 18 章
【知识要点】

线性规划初步

§ 18.1 线性规划问题的有关概念
108

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。 线性规划问题的数学模型有如下共同特征: 1.每一个问题都用一组决策变量来表示,这些变量一般情况下取非负值; 2.存在一定的约束条件,通常用一组一次(线性)不等式或等式表示; 3.都有一个要达到的目标,用决策变量的一次(线性)函数即目标函数来表示,按问题的不同实 现最大化或最小化。 满足以上三个条件的线性规划数学模型的一般形式为: 目标函数 max ( min ) z=c1x1+c2x2+??+cnxn。 ?a11x1 ? a12x 2 ? ?? ? a1n x n ? ( ?, ? )b1 , ? ?a 21x1 ? a22x 2 ? ?? ? a2n x n ? ( ?, ? )b2 , ? 约束条件 ??? ?a x ? a x ? ?? ? a x ? ( ?, ? )b , m2 2 mn n m ? m1 1 ? ?x1 , x 2 ,??, x n ? 0. 【基础训练】 1.下列符号表示“最大值”的是( A.mx
minz ? x ? y

) 。 C.min ) 。
minz ? x 2 ? y ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3x ? y ? 8 ? 0 ? x, y ? 0 ? maxz ? x ? y

B.msx

D.max

2.下面不是线性规划问题的是( A. ?
?x ? y ? 4 ? 0 ?x ? 2 y ? 8 ? 0 ? x, y ? 0 ? minz ? 3x ? y ?? x ? 2 y ? 8 ? 0 ? x ? 2 y ? 12 ? 0 ? x, y ? 0 ?

B. ?

C. ?

D. ?

?x ? 3y ? 6 ?x ? y ? 3 ? 0 ? x, y ? 0 ?
maxz ? x ? 2y

3.下面是线性规划问题的是(
max z ? 6x ? y
2

) 。 B. ?
?4 x ? y ? 0 ? x ? 7 y ? 10 ? x, y ? 0 ? minz ? 6x ? y
? xy ? 2 y ? 2 ? x ? 7 y ? 10 ? x, y ? 0 ?

A. ?

?3 x ? 2 y ? 0 ? x ? 7 y ? 10 ? x, y ? 0 ? z ? 6x ? y

C. ?

?3 x ? 2 y ? 0 ? x ? 7 y ? 10 ? x, y ? 0 ?

D. ?

【能力训练】 1.建立下列线性规划问题的数学建模: 某人有楼房一幢,室内面积共 180m2,拟分隔两类房间作为旅游客房。大房间面积为 18m2,可住
109

游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间面积为 15m2,可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元;装修大房间每间需 1000 元,装修小房间每间需 600 元。如果他只能筹款 8000 元用于装修,且 游客能住满客房,他应隔出大、小房间各多少间,能获得最大利益?(只列式)

§ 18.2 二元线性规划问题的图解法
【知识要点】 1.二元线性规划问题 只有两个决策变量的线性规划问题叫做二元线性规划问题。 2.平面区域的划分 在平面直角坐标系中,方程 Ax+By+C=0(A、B 不全为 0)表示一条直线,它把平面分成两个区域, 在其中一个区域 (直线 Ax+By+C=0 一侧)内对任意一点 P (x,y) , 都有 Ax+By+C>0, 而在另一区域 (直 线 Ax+By+C=0 另一侧)内对任意一点 Q(x,y),有 Ax+By+C<0。 3.可行解、可行域和最优解 满足线性规划问题约束条件的解叫做可行解, 约束条件所表示的平面区域叫做可行域, 可行域中使 得目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解。 4.二元线性规划问题的图解法一般步骤 第一步,在直角坐标系中画出可行域; 第二步,在可行域中找出使目标函数得到最优解的点 P(x0,y0); 第三步,将 x0,y0 的值代入目标函数中对应的决策变量,求出最优解。 【基础训练】 1.下列点中在直线 2x+3y=0 上的是( A.(3 , 2) B.(2 , 3) ) 。 D.(-2 , 3 )

C.( 3, -2 )

2.已知点 P ( 3 , 2 ) 、 Q ( 4 , 0 ) 、 R ( 0 , 3 ) 、 S (1 , -2 ) ,则在不等式 x-3y-4 > 0 表示的平面区 域内的点是( A.P ) B.Q C.R ) 。 B.直线 2x+3y-12=0 的下方 (不包括直线) D.直线 2x+3y-12=0 的下方(包括直线) ) 。 D.S

3.不等式 2x+3y-12<0 所表示的平面区域是( A.直线 2x+3y-12=0 的上方 (不包括直线) C.直线 2x+3y-12=0 的上方 (包括直线) 4.不等式 x + y-2 < 0 所表示的平面区域是(

110

y 2 2 O x -2 O 2

y

y

y

2 x O 2 x C -2

2

O

x

A

B

D

5.点(1,2)____________(填“在”或“不在”)不等式 5x+ y- 10>0 所表示的平面区域内。 6.不等式 x+ 2y- 6<0 表示直线 x+2y- 6=0______________(填“上方”或“下方” )的平面区域。 【能力训练】 1.已知点 P(0,3)和点 Q(x0,y0)在直线 2x-y+8=0 的同侧,则( A.2x0 - y0 +8<0 C.2x0-y0<0 B.2x0 -y0 +8>0 D.2x0 - y0 <0 ) 。
y 1

) 。

2.表示图中阴影部分平面区域的不等式组是(

?y ? 0 ? A . ? x ? ?1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
?x ? 0 ? C. ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ? 0 ?

? y ? ?1 B. ? ?x ? y ? 1 ? 0
?x ? 0 ? D. ? y ? ?1 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
-1 O

1

x

第 2 题图

111


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