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河北省唐山市滦南一中2014届高三12月月考数学(理)试题 Word版含答案


滦南一中 2014 届高三 12 月月考 数学(理)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求.

2i (1)已知复数 z= ,则 z 的共轭复数为 1+i (A)1-2i (B)1+2i (C)1-i (D)1+i (2)已知集合 A={x||x|<

3},B={x|x-1≤0},则 A∪B 等于 (A)(-∞,3] (B)(-∞,3) (C)[2,3] (D)(-3,2] (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为-25 时,输出 x 的值为 (A)-1 (B)1 (C)3 (D)9 (4)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2a8=6+a11,则 S9 的值等于 (A)54 (B)45 (C)36 (D)27 (5) 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生, 将 他们的模块测试成绩分成 6 组: [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80, 90),[90,100] 加以统计, 得到如图所示的频率分布直方图。 . 已知高一年级共有学生 600 名, 据此估计, 该 模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为 (A)588 (B)480 (C)450 (D)120
?2x-y≤0, (6)已知正数 x,y 满足 ? 则 z= ?x-3y+5≥0, 频率 组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 O

40 50 60 70 80 90 100 分数

( 1 ) ·( 1 ) 的最小值为 4 2
(A)1 2 (B) 4
3

x

y

1 (C)16

1 (D)32

? (7)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A= 3 ,b=2acos B,c=1, 则△ABC 的面积等于 3 3 (A) 4 (B) 2 3 (C) 6 3 (D) 8

(8) 5 位人员派往 3 个不同的城市监督环保工作, 把 要求每个城市至少派一位人员的不同分 配方案有 (A)36 种 (B)150 种 (C)240 种 (D)300 种 1 (9)已知函数 f (x)=Asin ωx(A>0,ω>0)的最小正周期为 2,且 f 2 =1,将 y=f (x)的图 1 象向左平移 3 个单位得到函数 y=g (x)的图象,则 g (x)= ? ? (A)sin ?x+ 3 (B)sin ?x- 3 1 1 (C)sin ?x+ 3 (D)sin ?x- 3

( )

( (

) )

( (

) )

(10)已知某几何体的三视图如图(单位:m)所示,则这个几何体的外接球的表面积(单 位:m2)等于 7? (A) 3 (B)16π

(C)8π

28? (D) 3

x2 y2 (11)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,△ABE 是锐角三角形,则该双曲线 的离心率 e 的取值范围是 (A)(1,+∞) (B)(2,1+ 2) (C)(1,1+ 2) (D)(1,2)

(12) 已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0, ?(x)是 f (x)的导函数, x>0 时总有 xf ?(x) 且 f 当 <f (x)成立,则不等式 f (x)>0 的解集为 (A){x|x<-1 或 x>1} (B){x|x<-1 或 0<x<1} (C){x|-1<x<0 或 0<x<1}(D){x|-1<x<1 且 x≠0}

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)已知抛物线 y2=2px(p>0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A,B 两点,若 线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为______________. 2 (14) x +x (1- x)4 的展开式中 x 的系数是__________.

(

)

(15)已知|→|=|→|=1,→·→=0,点 C 满足→=λ→+μ→(λ,μ∈R), OA OB OA OB OC OA OB λ 且∠AOC=30?,则 μ 等于_____________. 17Sn-S2n (16)设{an}是等比数列,公比 q= 2,Sn 为{an}的前 n 项和,Tn= ,则当 an+1 n=__________时,Tn 最大. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22)(23)(24)题为 , , 选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 1 如图,在△ABC 中,cos ∠ABC= 3 ,AB=6,AD=2DC,点 D 在 AC 边上. (Ⅰ)若 BC=AC,求 sin ∠ADB; (Ⅱ)若 BD=4 3,求 BC 的长.
A

D B C

(18) (本小题满分 12 分) 1 2 甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 2 与 5 ,投中得 1 分,投不中得 0 分. (Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人得分之和 X 的数学期望; (Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率. (19) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE⊥平面 ABCD,∠BAD=∠ADC= 1 90?,AB=AD= 2 CD=a,PD= 2a. (Ⅰ)若 M 为 PA 中点,求证:AC∥平面 MDE; (Ⅱ)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小.

(20) (本小题满分 12 分) 已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1, F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成 等差数列. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有 且仅有一个公共点,点 F1,F2 在直线 l 上的正投影 分别为 M, N,求四边形 F1MNF2 的面积 S 的最大值.

y l M N

F1

O

F2

x

(21) (本小题满分 12 分) 1 已知函数 f (x)=x- x -aln x. (Ⅰ)若函数 f (x)在点(1,f (1))处的切线与圆 x2+y2-2y=0 相切,求 a 的值; (Ⅱ) x∈(1, 当 +∞)时, 函数 f (x)的图象恒在坐标轴 x 轴的上方, 试求出 a 的取值范围.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 , , 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,己知 D 为△ABC 的 BC 边上一点,⊙O1 经过点 B,D,交 AB 于另一点 E,⊙ O2 经过点 C,D,交 AC 于另一点 F,⊙O1 与⊙O2 的另一交点为 G. (Ⅰ)求证:A,E,G,F 四点共圆; (Ⅱ)若 AG 切⊙O2 于 G,求证:∠AEF=∠ACG.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,l 是过定点 P (4,2)且倾斜角为 α 的直线;在极坐标系(以坐标 原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴, 以 取相同单位长度) 曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cos θ. 中, (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程;并将曲线 C 的方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M,N,求|PM|+|PN|的最大值.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|2x+1|+|2x-3|. (Ⅰ)解不等式 f (x)≤6; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f (x)<|1-2a|有解,求实数 a 的取值范围.

高三年级 12 月月考理科数学答案
一、选择题:CBCAB 二填空题: CABAD DB 14。3 15. 3 16.4 13。X=—1

17.解: (Ⅰ)因为 BC=AC,所以∠A=∠ABC, 2 2 AB 因为 AB=6,所以 AD= AC= × =6. 3 3 2cos ∠ABC 于是 AB=AD. A 1 A 2 因为 cos A=2cos2 -1= ,所以 cos2 = , 2 3 2 3 A π π A A 6 又 ∈ 0, ,所以 sin ∠ADB=sin - =cos = . ?(6 分) 2 2 2 2 2 3 (Ⅱ)设 BC=a,AD=2DC=2m. 1 在△ABC 中,由余弦定理得 9m2=36+a2-2×6a× 3 , 即 9m2=36+a2-4a.① 由∠BDA 与∠BDC 互补知,cos ∠BDA+cos ∠BDC=0. BD2+AD2-AB2 BD2+CD2-BC2 再由余弦定理得 + =0, 2BD·AD 2BD·CD 48+4m2-36 48+m2-a2 即 + =0,化简得 3m2=a2-54.② 16 3m 8 3m 由①②解得 a2+2a-99=0,a=9 或 a=-11(舍去).故 BC=9.?(12 分)

(

)

(

)

. 18.解: (Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B, 则 P(A)= ,P(B)= ,P( )= ,P( )= . 甲、乙两人得分之和 ξ 的可能取值为 0、1、2, 则 ξ 概率分布为:

∴Eξ =0×

+2× = . ? ? (6 分) (Ⅱ)

∴每人在罚球线各投球一次, 两人得分之和 ξ 的数学期望为

“甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中”的事件是 “甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球均未命中”的事件 C 的对立事件, 而 P(C)= × = . .

∴甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为 1﹣P(C)= 即甲、乙两人在罚球线各投球二次,这四次投球中至少一次命中的概率为 19. 解: (1)证明:连接 PC,交 DE 与 N,连接 MN, 在△PAC 中,∵M,N 分别为两腰 PA,PC 的中点 . (12 分)

∴MN∥AC,?(2 分) 又 AC?面 MDE,MN? 面 MDE, 所以 AC∥平面 MDE. ?(4 分) (2)以 D 为空间坐标系的原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间 直角坐标系, 则 P(0,0, a) ,B(a,a,0) ,C(0,2a,0) , 所以 设平面 PAD 的单位法向量为 设面 PBC 的法向量 , ,则可取 , ,?(6 分) ?(7 分)

则有

即:

,取 z=1,





?(10 分)

设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 θ ,



?(11 分)

∴θ =60°,所以平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 60°?(12 分) 20.解: (1)依题意,设椭圆 C 的方程为 .

∵|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列,∴2a=|PF1|+|PF|2=2|F1F2|=4,a=2. 又∵c=1,∴b =3.∴椭圆 C 的方程为
2


2 2

?(4 分)
2 2 2

(2)将直线 l 的方程 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程 3x +4y =12 中,得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0. 2 2 2 2 由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知,△=64k m ﹣4(4k +3) (4m ﹣12)=0, 2 2 化简得:m =4k +3. 设 , ,

法一:当 k≠0 时,设直线 l 的倾斜角为 θ ,则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ |, ∴ , = ,

∵m =4k +3,∴当 k≠0 时, 当 k=0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 法二:∵

2

2

, . .





?(12 分) ,



由题意,只需当 x ? (1,??) 时, f ( x) ? 0 恒成立. (5 分)

综上所述, a 的取值范围是 (??,2] .

?(12 分)

|PM|+|PN|最大值是 4 2 24. (Ⅰ) [—1,2] -------------(5 分)

?(10 分)

------(10 分)


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