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数列的概念


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浙江省大田中学:程 键

1.数学难吗?
当我面对:
1. 1990前后出生的学生. 2. 1995前后出生的学生. 3. 2000前后出生的你们.

>
2.数学有用吗?

问题:
老师,你为什么选择教数学? 老师,数学这么难?怎么才能学好数学?

数学大师:数学是有用的 数学也许是无用的.

数学最终是有用的

数学是有用的 数学还是有用的 数学始终都是有用的
大自然

有人说,大自然是懂数学的。
不知你注意过没有 树木的分杈 花瓣的数量 植物种子的排列 …… 都遵循了某种数学规律

树木的分杈

8

白色马蹄莲的花语是“至死不渝、忠贞不渝的爱”。

花瓣的数量

花瓣的数量
虎刺梅花语:倔强而又坚贞,温柔又忠诚,勇猛又不失儒雅。

延龄草花语: 美貌、优雅.

花瓣的数量

飞燕草花语: 清明、正义、自由,轻盈、美丽,单薄、短促.

花瓣的数量

大自然是最懂数学的.

植物种子的排列

传说中:古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:

他们称其:

三角形数 1, 3, 6, 10, .…..

他们称其: 正方形数

1,

4,

9,

16, ……

(1)12,10,13,4,3,1,2,7,9,8. (2)1,1,2,3,5,8. (3)1,3,6,10,…… (4)1,4,9,16,……

它们有何共同特点? 1.都是数 2.按照一定顺序排列.

2.1 数列的概念与简单表示法
1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数,称为数列.
数列中的每一个数 ,叫做这个数列的项. 数列中的每一项都和它的序号有关

数列的一般形式可以写成:
a1 , a2 , a3 , …,an , … .简记为: {an}

第1项, 第2项, 第3项,… 第n项,…. (首项)

思考:{an}与an有何区别和联系?
分析:{an}表示数列;an表示数列的项.

具体地说,{an}表示数列a1,a2,a3,a4,…,an,…, 而an只表示这个数列的第n项.其中n表示项的位置序号, 如:a1,a2,a3,an分别表示数列的第1项,第2项,第 3项及第n项.

(1)按数列的项的个数分:项数有限的数列叫做有 穷数列;项数无限的数列叫做无穷数列。

2
数 列 的 分 类

(2)按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的情 况)来分:
递增数列
从第2项起, 每一项都 大于它的 前一项

递减数列
从第2项起, 每一项都 小于它的 前一项

常数列
各项都 相等

摆动数列
从第2项起, 有些项大于 它的前一项, 有些项小于 它的前一项

你能按照数列分类的的标准对不同数列进行 分类吗?
书本P28-29观察并完成数列的分类

3. 数列的实质 从映射的观点看 ,数列可以看作:从序号到数列项的映射
n 1 2 3 … 令 a(n) =f(n) a1 a2 a3







从函数的观点看 ,数列可以看作:从序号到数列项的函数。
* 即: 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N ( 或它的有限子集{1, 2,…,n})的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值。



n



an

4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来

表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式 ,即 an =f(n).

例1.已知数列an=3n2-28n. (1)写出数列的首项和第6项. (2)-49是否是该数列的一项?如果是,是第几项? 68是否是该数列的一项呢?
思考:通项公式可以看成数列的函数解析式. 利用一个数列的通项公式,你能确定 这个数列哪些方面的性质?

例2 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别
是下列各数:
1 1 1 (1)1,- , ,- ; 2 3 4

(2)2,0,2, 0;

数列是否都有通项公式? 数列的通项公式是否是惟一的?

5.数列的表示法
数列的图象是一系列孤立的点.
全体正偶数按从小到大的顺序构成数列,其为:
2,4,6,…,2n,… . 试用列表和图象的方法把这个数列表示出来.

n 1 an 2

2 4

3 … k … 6 … 2k …

an 10 8 6 4 2
O

与函数一样,数列也可以用图象、列表等方法来表示.

1 2 3 4 5 n

课堂练习

完成书本P31练习4

变式1.数列的前5项分别是以下各数,试写出各数列的一个

通项公式:
1 1 1 1 1 (1)1, , , , ; an= 2n-1 (n∈Z+) 3 5 7 9 1 1 1 1 (2)- 2×1 , 2×2 ,- 2×3 ,2×4 1 , - 2× 5 ; ( - 1) n an= 2n (n∈Z+)

√2 √2 1 1 (3)1, , , , . 2 4 4 2 1 an= n-1 (n∈Z+) 22

例3 下图中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图4个
三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数 列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.

an=3n-1

数列an=3n-1在直角坐标系中的图象如下: an 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 O

1

2

3

4 n

1、数列的有关概念 2、数列的分类 3、数列的实质; 4、数列的通项公式; 5、数列的表示.

课后作业 (1)完成作业本数列的概念与简单表示法 第一课时.

面对数学,面对困难 请保持一颗快乐而坚定的心.

快乐在前方!!!

快乐在前方 1,1,2,3,5,8,13,

?

斐波那契 (Fibonacci;1170 ? 1250 )

《算盘书》 1202.

苹果的logo的设计和斐波拉契数列相关,请查阅课外资料 找出它们的联系.


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