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§2.2.1向量的加法运算及几何意义(1):


向量的加法运算及

几何意义

引入 : 某对象从A点经B点到C点, 两次位移 AB , BC的结果, 与A点直接到C点的位移 AC的结果相同.
C

A

B

向量的加法的三角形法则: 已知向量a和b, 在平面内任取一点O , 作OA ? a , AB ? b,

则向量OB叫做a和b的和, 记作a ? b.即a ? b=OA+ AB =OB
A

B

首 尾 顺 次 相 连

O

求两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种

求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.

向量加法的平行四边形法则 : 以同一点O为起点的两个已知向量a , b为 邻边作 OABC , 则以O为起点的对角线OB 就是a与b的和.这种作两个向量和的方法叫 做向量加法的平行四边形法则.


A B

起 点

O

C

例1.已知向量a , b, 求作向量a ? b.

结论1 : 当a , b不共线时,| a ? b |?| a | ? | b |

思考 : 当在数轴上表示两个共线向量时, 它们的加法与与数的加法有什么关系?

结论 2 : | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b |

例2.已知向量a , b, c , 试作出向量a ? b, b ? a , b ? c , a ? (b ? c ),(a ? b ) ? c .

向量加法的运算律 : 交换律: a ? b ? b ? a; 结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

结 论3 : a? ( ? a)( ? ? a) ? a ? 0; a?0?0?a ?a

练习: 1.化简 :
AD (1) AB ? CD ? BC ? ________;
MN ( 2) MA ? BN ? AC ? CB ? ________;

?

0 ___ (3) AB ? BD ? CA ? DC ? _____

?

? ?

?

?

2.根据图示填空
E
g

e

f
a

D d

(1)a ? b ? ( 2)c ? d ?

c
f

; ;

A

c
B

b

C

(3)a ? b ? d ? ( 4)c ? d ? e ?

f g

; ;

例3.已知O为正六边形ABCDEF的中心, 作出下列向量 (1)OA ? OC ;( 2) BC ? FE ;(3)OA ? FE ;
E D

解: (1)OA ? OC ? OB;
F

O

C

( 2) BC ? FE ? AD; (3)OA ? FE ? 0.

A

B

例4.如图, 一艘船从A点出发,以2 3km / h的 速度向垂直于对岸的方向行驶 ,同时河水以 2km / h向东流, 求船实际行驶的大小与方向.
解:如图,设用向量 AC表示船向垂直于对岸 的速度,用向量 AB 表示水流的速度 以AC,AB为邻边作平行四边形,则 AD 就是船实际行驶的速度
在Rt ABD中, AB ? 2, BD ? 2 3

C

D

A

B

AD ? AB ? BD
? AD ? 4
? tan ?DAB ? 3 ??DAB ? 60 答:船实际行驶速度的大小为4km/h,方向与水流速度间的夹角60 .

例5.如图, E、F、G、H 分别是梯形ABCD的 边AB、BC、CD、DA的中点, 化简下列各式. (1) DG ? EA ? CB; ( 2) EG ? CG ? DA ? EB .
D
解 : (1) DG ? EA ? CB ? GC ? BE ? CB ? GC ? CB ? BE ? GB ? BE ? GE . ( 2) EG ? CG ? DA ? EB ? EG ? GD ? DA ? EB ? ED ? DA ? EB ? EA ? EB ? 0

A H

E

B

F

C
G

课堂小结:
向量加法的定义
三角形法则

平行四边形法则

向量加法的运算律 向量加法的运算


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