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解三角形知识点汇总和典型例题学生版


呈贡进阶教育学科辅导教案讲义
授课对象 授课时间 课 型 杨婷婷 9 月 27 日 复习课 授课教师 授课题目 使用教具 杨明江 解三角形复习总结 人教版教材

教学目标 教学重点和难点 参考教材

熟练掌握三角形六元素之间的关系,会解三角形 灵活解斜三角形 人教版必修 5 第一章
教学流程及授课详案

/>解三角形的必备知识和典型例题及详解
一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a +b =c 。 (勾股定理) (2)锐角之间的关系:A+B=90°; (3)边角之间的关系: (锐角三角函数定义) sinA=cosB=
2 2 2

a b a ,cosA=sinB= ,tanA= 。 c c b

2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A、B、C 为其内角,a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=π 。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等

a b c ? ? ? 2 R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍

a2=b2+c2-2bccosA;
3.三角形的面积公式:

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+b2-2abcosC。

1 1 1 aha= bhb= chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 上的高) ; 2 2 2 1 1 1 (2) S ? = absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2
(1) S ? =

青青学子

至善至纯

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4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边) 求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平 分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第 1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第 1、已知三边求三角. 第 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 5.三角形中的三角变换 三角形中的三角变换,除了应用上述公式和上述变换方法外,还要注意三角形自身的特点。 (1)角的变换 因为在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 sin(A+B)=sinC;cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanC。

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(2)判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 6.求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; (4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。 二、典例解析 题型 1:正、余弦定理 1(15 北京文科)在 ???C 中, a ? 3 , b ?

6 , ?? ?

2? ,则 ?? ? 3



2.(15 年广东文科)设 ???C 的内角 ? , ? , C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 ,

cos ? ?
A. 3

3 ,且 b ? c ,则 b ? ( 2
B. 2



C. 2 2

D. 3 。

3.(15 年安徽文科)在 ?ABC 中, AB ?

6 , ?A ? 75? , ?B ? 45? ,则 AC ?

0 0 4.(15 年福建文科)若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

2

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5.(15 年新课标 2 文科)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

(II)若 ?BAC ? 60? ,求 ? B .

6. ( 15 年 陕 西 文 科 ) ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a , b, c , 向 量 m ? (a, 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积.

3

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7. ( 15 年 天 津 文 科 ) △ABC 中 , 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 已 知 △ABC 的 面 积 为

1 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 6?

题型 2:三角形面积 1、 (2013 新课标 2) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 b ? 2 , B ?

?
6

,C ?

?
4

,则

?ABC 的面积为(
(A) 2 3 ? 2

) (B) 3 ? 1 (C) 2 3 ? 2 (D) 3 ? 1

2、在 ?ABC 中, sin A ? cos A ?

2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积。 2

4

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题型 3:三角形中的三角恒等变换问题 1. 在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列,且 a -
2

c2=ac-bc,求∠A 的大小及

b sin B c

的值。

题型 4:正、余弦定理判断三角形形状 1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 C.等腰三角形 题型 5:三角形中求值问题 1、 ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 出这个最大值。 B.直角三角形 D.等边三角形 )

B?C 取得最大值,并求 2

5

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题型 6:正余弦定理的实际应用 例 6. (2009 辽宁卷文,理)如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上的两 座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为
0

750 , 30 0 ,于水面 C 处测

得 B 点和 D 点的仰角均为 60 ,AC=0.1km。试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等, 然后求 B,D 的距离(计算结果精确到 0.01km,

2

? 1.414,

6

? 2.449)

三、思维总结 1.解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如 A、B、C) ,由 A+B+C = π 求 C,由正弦定理求 a、b; (2)已知两边和夹角(如 a、b、c) ,应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的 角,然后利用 A+B+C = π ,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A) ,应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由 正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C。 2.三角学中的射影定理:在△ABC 中, b 3.两内角与其正弦值:在△ABC 中,

? a ? cos C ? c ? cos A ,?

A ? B ? sin A ? sin B ,?
6

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4.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及 几何作图来帮助理解” 。 三、课后跟踪训练 1.(2010 上海文数 18.)若△

ABC 的三个内角满足
( )

sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形.

(B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
2

2. ( 2010 天津理数 7 )在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 a

? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A=(
(A) 30 0 (B) 600

) (C) 1200 (D)1500 )

3.(2010 湖北理数)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( A -

2 2 3

B

2 2 3

C - 6 3

D

6 3

4. (2010 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3 , A+C=2B, 则 sinC= .

5(2009 湖南卷文)在锐角 ?ABC 中, BC ? 1, B ? 2 A, 则 范围为 .

AC 的值等于 cos A

, AC 的取值

6. (2009 全国卷Ⅰ理) 在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a 、b 、 , 已知 a 且 sin

c

2

? c 2 ? 2b ,

A cos C ? 3cos A sin C,

求b

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8.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, 且 sin A ?

A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

9.(2010 陕西文数 17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

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10.(2010 辽宁文数 17) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边, 且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C

? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

11.(2010 辽宁理数)在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边, 且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

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