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广东省梅州市五华县2013届高三10月第一次质检数学文试题 word版


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广东省梅州市五华县 2013 届高三上学期第一次质检

数学(文)试题
本试卷满分 150 分,考试时间 150 分,考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。 2.非选

择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅 笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 参考公式: 锥体的体积公式: V ?
1 3 S h (其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高) V球 ? 3 4

球的表面积,体积公式:

?R

3

(R 是半径)

一、选择题:本大题 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题意要求的。 1 . 已 知 集 合 ? ? { 0 , 1 , 2 , , , 集 合} A ? {1, 2, 3}, B ? {2, 4}, 则 ( C ? A ) ? B 为 3 4 , ( ) A.{1,2,4} 2.复数
2i i ?1 ?

B.{2,3,4}

C.{0,2,4}

D.{0,2,3,4}

( ) A. 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i 3.如右图,是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( A. 9? ? 42 B. 36? ? 18 C. ? ? 1 2
2 9

D. ? 1 ? i )

D. ? ? 1 8
2

9

4.在△ABC 中, A ? A. C.
?
6 3? 4

?
3

, B C ? 3, A B ?

6 , 则角 C=





B. D.

?
4 ? 4 3? 4



5.“ m ? 1 ”是“函数 f ( x ) ? x 2 ? x ? m 有零点”的( A.充分不必要条件
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B.充要条件

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C.必要不充分条件 6.曲线 f ( x ) ?
1

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D.既不充分又不必要条件

? 1? 2 x 在点 ? 1, ? 处点的切线方程为 2 ? 2?

( ) A.2x+2y+1=0

B.2x+2y-1=0

C.2x-2y-1=0

D.2x-2y-3=0

?2x ? y ? 2 ? 0 ? 7. 设变量 x, 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , y 则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?



A.-5

B.-4

C.-2

D.3
? · b, x ? R , 则
f (x)

? ? ? 1 8 . 已 知 向 量 a ? ( 2 c o s x , ? 2 ), b ? (c o s x , ), f ( x ) ? a 2



( ) A.最小正周期为 ? 的偶函数 C.最小正周期为
?
2

B.最小正周期为 ? 的奇函数 D.最小正周期为
?
2

的偶函数

的奇函数 。

9.在等差数列 { a n } 中,有 a 6 ? a 7 ? a 8 ? 12 ,则此数列的前 13 项之和为 A.24 B39 C.52 D.104

10.设集合 S ? { A0 , A1 , A2 , A3 ) ,在 S 上定义运算 ? : A1 ? A2 ? A3 其中 k 为 i ? j 被 4 除的 余数, 1, 3, ( 的组数为 ( i , j =0, 2, 则使关系式 ( A1 ? A2 ) ? A1 ? A0 成立的有序数 i , j ) )

A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题: (本大题共 5 小题,考生作答 4 小题, ,每小题 5 分,满分 20 分) (一)必做题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。 ) 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人, 并根据所得数据画出样本的频 率分布直方图(如图) ,为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从 这 10000 人中再用分层抽样的方法抽出 200 人作进一步调查,其中低于 1500 元的称为 低收入者,高 3000 元的称为高收入者,则应在低收入者和高收入者中抽取的人数一共 是 。

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12.如图所示的流程图中,输出的结果是
?? ? ?? ?


?? ?

13.已知向量 p ? (2, ? 3), q ? ( x , 6) ,且 p ∥ q ,则 p ? q 的值为



(二)选做题(14~15 题为选做题,考生只能选做其中一题,两道题都做的,只计第 14 题 的分。 ) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 :? ?
? x ? a in? ? y ? 3 cos ? ?x ? l ?1 ? y ? 1 ? 2t ( t 为参

数)与曲线 C 2 : ?

(? 为 参 数 , a ? 0 ) 有 一 个 公 共 点 在 X 轴 上 , 则

a= 。 15. (几何证明选讲选做题) 如图3, PAB、 PCD 为⊙0 的两条割线, PA=5, 若 AB=7, CD=11, AC=2,则 BD 等于 。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? A sin( x ? ? )( A ? 0, 0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是
?? ? 3 1 ? ?。 2?

1,其图像经过点 M ?

,

(1)求 f ( x ) 的解析式;
? ?

(2)已知 ? , ? ? ? 0 ,

? ?

3 12 , 求 f (? ? ? ) 的值 ? , 且 f (a ) ? , f (? ) ? 5 13 2 ?

17. (本小题满分 13 分)某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取 了 100 份问卷进行统计,得到相关的数据如下表: 节能意识弱 节能意识强 总计

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20 至 50 岁 大于 50 岁 总计

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45 10 55 9 36 45 54 46 100

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的有多 少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再是这 5 人中任取 2 人,求恰 有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率。 18. (本小题满分 13 分) 如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,
B B1 ? 2 ,M 是线段 B1D1 的中点。

(1)求证: B M ∥平面 D1AC; (2)求三棱锥 D1-AB1C 的体积。

19. (本小题满分 14 分)已知等比数列 { a n } 的各项均为正数,且 2 a1 ? 3 a 2 ? 1, a 32 ? 9 a 2 a n (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 1og 3 a1 ? 1og 3 a 2 ? ? ? 1og 3 a n ,求数列 {
1 bn } 的前 n 项和。

20. (本小题满分 14 分)已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左 焦点为 F ( ? 3 , 0 ) ,右项点 D(2,0) ,设点 A ? 1,
? ? 1 ? ?。 2?

(1)求该椭圆的标准方程; (2)过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C,求△ ABC 面积的最大值。

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ? a 1 n x ?

ax 2

2

? 2 xa ? R

(Ⅰ)当 a=1 时,试求函数 f ( x ) 在区间[1,e]上的最大值;
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(Ⅱ当 a ? 0 时,试求函数 f ( x ) 的单调区向。

参考答案
一、选择题选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. ) 1. C 2. A 3. D 4.B 5.C 6. C 7.B 8.A 9.C 10. A 二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) 11.60 人 10.提示:满足条件的(i, j)为(0,0)(2,2)(2,0)(3,2) , , , 12. 120 13. 1 3 14.
3 2

15. 6
3 2

14. 【解析】曲线 C 1 : ?

? x ? t ? 1, ? y ? 1 ? 2t

直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0 ) ;

曲线 C 2 : ?

? x ? a s in ? , ? y ? 3 cos ?

直角坐标方程为

x a

2 2

?

y

2

? 1 ,其与 x 轴交点为 ( ? a , 0), ( a , 0) ,

9
3 2
PA PD ? AC DB ? BD ? 6

由 a ? 0 ,曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ?



15. 【解析】由 P A ? P B ? P C ? P D 得 P D ? 15 又? ? P A C ? ? P D B ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16、解:解:(1)依题意知 A=1 ????????????1分
1 ?? ? ?? ? f ? ? ? s in ? ?? ? ? 2 ? 3 ? ? 3 ? ,

?

?

?
3

?? ?

4? 3 ????????3分

又3
? ? ?
2

?
?
3

?? ?

5? 6



??????????4分

f

?x? ?

因此
f ??

? ? ? s in ? x ? ? ? cos x 2 ? ?
3 5

??????????5分
cos ? ? 12 13

(2)?

??
4 5

cos ? ?

f


5 13

?? ? ?



? , ? ? ? 0,
?

?

? ?
? 2 ?

?

s in ? ?

s in ? ?



??????????9分

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f ?? ? ?

??

co s ?? ? ?

??

c o s ? c o s ? ? s in ? s in ? ?

3 5

?

12 13

?

4 5

?

5 13

?

56 65

..........1 2 分

17.解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意 识强,
9 54



36 46

相差较大??1 分,所以节能意识强弱与年龄有关??3 分

(2)年龄大于 50 岁的有

36 45

? 350 ? 280 (人)??6 分(列式 2 分,结果 1 分)

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ?

9 45

? 1 (人)??7 分,

年龄大于 50 岁的 4 人??8 分, 记这 5 人分别为 A,B1,B2,B3,B4。从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法:?9 分 (A,B1)(A,B2)(A,B3)(A,B4)(B1,B2)(B1,B3)(B1,B4)(B2,B3)(B2,B4) , , , , , , , , , (B3,B4) 完全正确列举??????10 分, , 设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁” ,则 A 中的基本 事件有 4 种: (A,B1)(A,B2)(A,B3)(A,B4) ??????11 分, , , , 故所求概率为 P ( A ) ?
4 10 ? 2 5

??13 分

18、解: (1)连结 D1O ,如图, ∵ O 、 M 分别是 B D 、 B1 D1 的中点, B D D 1 B 1 是矩形, ∴四边形 D1O B M 是平行四边形, ∴ D1O / / B M . --------2 分

∵ D1O ? 平面 D1 A C , B M ? 平面 D1 A C , ∴ B M / / 平面 D1 A C .-------------------5 分 (2)解法 1 连结 O B1 ,∵正方形 A B C D 的边长为 2,
B B1 ? 2 ,∴ B1 D1 ? 2 2 , O B1 ? 2 , D1O ? 2 ,则 O B1 ? D1O ? B1 D1 ,
2 2 2


O B1 ? D 1 O .

--------------------------------------------------

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------7 分

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又∵在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 中, A C ? B D , A C ? D1 D ,且 BD ? D 1D ? D , ∴ A C ? 平面 B D D 1 B1 ,又 D1O ? 平面 B D D 1 B1 , ∴ A C ? D1O ,又 A C ? O B1 ? O , ∴ D 1O ? 平面 A B1C ,即 D1O 为三棱锥 D1 ? A B1C 的高. ----------9 分 ∵ S ?AB C ?
1

1 2

? A C ? O B1 ?

1 2 1 3

?2

2?2 ? 2

2 , D1O ? 2


VD
1

? A B1 C

?

1 3

? S ? A B C ? D 1O ?
1

?2

2?2 ?

4 3

2 . -----------------------------13

分 解法 2: 三棱锥 D1 ? A B1C 是长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D1 割去三棱锥 D1 ? D A C 、 三棱锥 B1 ? B A C 、三棱锥 A ? A1 B1 D1 、三棱锥 C ? C 1 B1 D1 后所得,而三棱锥
D 1 ? D A C 、 B1 ? B A C 、 A ? A1 B1 D1 、 C ? C 1 B1 D1 是等底等高,故其体积相

等.

----------8 分

? VD

1 ? A B1 C

? V ABCD ? A B C
1 1

1 D1

? 4V B

1 ? BAC

? 2? 2?

2 ? 4?

1 3

?

1 2

? 2? 2?

2 ?

4 3

2

. ----------13 分
2 2 19、解: (Ⅰ)设数列{ a n }的公比为 q,由 a 32 ? 9a 2a 6 得 a 32 ? 9 a 4 , 所以 q ?

1 9

------2

分 由条件可知 q >0,故 q ? 分 由 2 a 1 ? 3 a 2 ? 1 得 2 a 1 ? 3 a 1 q ? 1 ,所以 a 1 ? ----------5 分 故数列{ a n }的通项式为 a n ? ----------6 分
第 7 页 共 10 页

1 3

----------4

1 3

1 3
n

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(Ⅱ )

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b n ? log 3 a1 ? log 3 a 2 ? ... ? log 3 a n

? ? (1 ? 2 ? ... ? n ) ? ? n ( n ? 1) 2

----------9 分 故
1 bn ? ? 2 n(n ? 1) ? ? 2( 1 n ? 1 n?1 )

----------11 分
1 b1 ? 1 b2 ? ... ? 1 bn ? ? 2 ((1 ? 1 2 )?( 1 2 ? 1 3 ) ? ... ? ( 1 n ? 1 n ?1 )) ? ? 2n n ?1

所以数列 {

1 bn

} 的前 n 项和为 ?

2n n?1

---------14 分 20、解: (1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1. ????2分
x
2

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

? y

2

? 1 ????????4 分

4

(2)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,设该直线方程为 y=kx,代入
x
2

??????5 分
?1,

? y

2

4

解得 B(
4k

2
2

,
?1

2k 4k
2

),C(-
?1 4k

2
2

,-
?1

2k 4k
2

),????????7
?1

分 则 BC ? 4
1? k
2

,
2

????????8 分

1 ? 4k

k ?

1 2

又点 A 到直线 BC 的距离 d=

,
2

??????????9 分

1? k
1 2
2

∴△ABC 的面积 S△ABC=

BC ?d ?

2k ? 1 1 ? 4k
4k 4k
2
2

????????10 分

于是 S△ABC=

4k

? 4k ? 1
2

4k

?1

?

1?

?1

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4k 4k
2

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1 2

?1

≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=-

时,等号成立????????13 分 ??????????14分 ?????1 分
1 x ( x ? 1) x
2

∴S△ABC 的最大值是 2 . 21.解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ? ? ) .
x
2

当 a ? 1 时, f ( x ) ? ln x ?

? 2 x ,因为 f ? ( x ) ?

? x?2 ?

? 0,

3分

2

所以函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 上单调递增,则当 x = e 时,函数 f ( x ) 取得最大值
e
2

f (e) ? 1 ?

? 2e .

????????5 分

2
ax ? 2 x ? a
2

(Ⅱ) f ? ( x ) ?



??????6 分

x

当 a ? 0 时,因为 f ? ( x ) ? ? 2 ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上单调递减;?7 分
2 当 a ? 0 时,⑴当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 时,即 a ? 1 时, f ?( x ) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间

( 0 , ? ? ) 上单调递增;
2

??????9 分

⑵当 ? ? 4 ? 4 a ? 0 时,即 0 ? a ? 1 时,由 f ?( x ) ? 0 解得,
1? 1? a a 1? 1? a a
2 2

0 ? x ?

,或 x ?

1?

1? a a 1?

2



?????10 分

由 f ?( x ) ? 0 解得

? x ?

1? a a 1?

2



???11 分

所以当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x ) 在区间 ( 0 ,

1? a a

2

) 上单调递增;在

(

1?

1? a a

2

,

1?

1? a a

2

) 上单调递减, (

1?

1? a a

2

, ? ? ) 单调递增.

?13 分

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上单调递减; 当 a ? 1 时,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ? ? ) 上单调递增;
1? 1? a a
2

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 ( 0 ,

) 上单调递增;在

第 9 页 共 10 页

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( 1? 1? a a
2

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1? 1? a a
2

,

1?

1? a a

2

) 上单调递减, (

, ? ? ) 单调递增.

?14 分

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