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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示练习 新人教A版必修4


2.3.4

平面向量共线的坐标表示
一、A 组 )

1.若 a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是( A.a-c 与 b 共线 C.a 与 b-c 共线 B.b+c 与 a 共线 D.a+b 与 c 共线

解析:∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).

∴b-c=a.∴a 与 b-c 共线.
答案:C 2.(2016·河南郑州高一期末)平面向量 a=(1,-2),b=(-2,x),若 a∥b,则 x 等于( A.4 B.-4 C.-1 D.2 解析:∵平面向量 a=(1,-2),b=(-2,x),且 a∥b, )

∴1·x-(-2)·(-2)=0,解得 x=4.故选 A.
答案:A 3.如果向量 a=(k,1)与 b=(6,k+1)共线且方向相反,那么 k 的值为( A.-3 B.0 C.D.-2 解析:∵向量 a=(k,1)与 b=(6,k+1)共线且方向相反, )

∴(k,1)=λ (6,k+1),λ <0. ∴k=6λ ,1=(k+1)λ ,解得 k=-3.故选 A.
答案:A 5. 导学号 08720064 已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应 满足的条件是( A.m≠-2 C.m≠1 ) B.m≠ D.m≠-1

解析:若点 A,B,C 能构成三角形,则 A,B,C 三点不共线,即不共线,又=(1,2),=(m,m+1),∴m+1-2m≠0,

∴m≠1.
答案:C 6.已知 A(2,3),B(6,-3),P 是线段 AB 上靠近 A 的一个三等分点,则点 P 的坐标 是

.
即(x-2,y-3)=(4,-6), 解方程组

解析:设 P(x,y),由题意得,

答案: 7.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标 为

.

解析:设点 B 的坐标为(x,y),则 b==(x-1,y-2).

1

∵a∥b,∴-2(y-2)-3(x-1)=0,
即 3x+2y-7=0. 又点 B 在坐标轴上,∴当 x=0 时,y=; 当 y=0 时,x=.

∴点 B 的坐标为.
答案: 8.(2016·广东揭阳惠来一中检测)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈.若,O 为坐标原点,则角 α 的值是 解析:=(-3,3),=(cos α ,sin α ).

.

∵,∴-3sin α -3cos α =0, ∴tan α =-1. ∵α ∈,∴α =.
答案: 9.已知 A,B,C,D 四点的坐标分别为 A(0,-1),B(3,2),C(1,3),D(-1,1),证明四边形 ABCD 是梯形. 证明:∵=(3,3),=(-2,-2),

∴=-,∴,AB∥CD.
又=(-1,2),=(-2,1), 且-1×1-2×(-2)=3≠0,

∴不平行,即 AD 与 BC 不平行. ∴四边形 ABCD 是梯形.
10.已知向量=(4,3),=(-3,-1),点 A(-1,-2). (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标; (2)若点 P(2,y)满足点 P,B,D 三点共线,求 y 的值. 解:(1)设 B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),

∴(x1+1,y1+2)=(4,3), ∴ ∴B(3,1).
同理可得 D(-4,-3),设 BD 的中点 M(x2,y2), 则 x2==-,y2==-1.

∴M.
(2)=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),

=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). ∵P,B,D 三点共线,∴. ∴-4+7(1-y)=0.∴y=.
二、B 组 1.已知 e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λ e1-e2,当 a∥b 时,实数 λ 等于( A.-1 B.0 C.D.-2 解析:∵e1=(1,0),e2=(0,1),a=2e1+e2,b=λ e1-e2, )

2

∴a=2(1,0)+(0,1)=(2,1),b=λ (1,0)-(0,1)=(λ ,-1). ∵a∥b,∴2×(-1)-1×λ =0,解得 λ =-2.故选 D.
答案:D 2.已知 a=(-2,1-cos θ ),b=,且 a∥b,则锐角 θ 等于( A.45° C.60° B.30° D.30°或 60°
2 2

)

解析:由 a∥b,得-2×=1-cos θ =sin θ ,

∵θ 为锐角,∴sin θ =. ∴θ =45°.
答案:A 3.已知=(k,2),=(1,2k),=(1-k,-1),且相异三点 A,B,C 共线,则实数 k 等于( A.1 C.B.1 或D.-1 或 由已知得,,即(1-k)(-1-2k)-(2k-2)·(-k)=0, 解得 k=1 或-. 当 k=1 时,=(1,2),=(1,2),即 A,B 两点相同,与已知矛盾. )

解析:=(1-k,2k-2),=(-k,-1-2k),

∴k=-.
答案:C 4.已知点 A(,1),B(0,0),C(,0).设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E,那么有=λ ,则 λ 等于( A.2 C.-3 B. D.)

解析:如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,

∴|EC|=. ∵=λ ,λ <0, ∴|λ |==3. ∴λ =-3.
答案:C 5.已知向量 a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若 a-2b 与 c 共线,则 k= 解析:∵a=(,1),b=(0,-1),

.

∴a-2b=(,1)-(0,-2)=(,3).
又 c=(k,),且 a-2b 与 c 共线,

∴3k=3.∴k=1.
答案:1

3

6.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点 A,B,C 在同一条直线上,且 m=2n,则 m+n= 解析:

.

=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m), =(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为 A,B,C 共线,所以共线, 所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).① 又 m=2n,② 解①②组成的方程组得 所以 m+n=9 或. 答案:9 或 7.在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,已知两点 F1(2,1),F2(-2,1),若点 P 满足=λ +(1-λ ),λ ∈R, 则点 P 的轨迹方程是 解析:依题意,设=(x,y), 则(x,y)=λ (2,1)+(1-λ )·(-2,1)=(4λ -2,1), 所以 x=4λ -2,y=1. 也就是说点 P 的轨迹方程为直线 y=1. 答案:y=1 8.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量 a=(1,-2),b=(3,4). (1)求向量 3a+4b 的坐标; (2)当实数 k 为何值时,ka-b 与 3a+4b 共线. 解:(1)向量 a=(1,-2),b=(3,4),向量 3a+4b=(3,-6)+(12,16)=(15,10). (2)ka-b=(k-3,-2k-4), 3a+4b=(15,10).由 ka-b 与 3a+4b 共线, 可得 10k-30=-30k-60,解得 k=-. 9. 导学号 08720065 已知向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),求: (1)3a+b-2c; (2)若 a=mb+nc,求实数 m,n 的值; (3)当 k 为何实数时,a+kc 与 2b-a 平行,平行时它们是同向还是反向? 解:(1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).

.

∴解得
(3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).

∵(a+kc)∥(2b-a), ∴2(3+4k)-(2+k)(-5)=0. ∴k=-.

4


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