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高一文理分科考试数学试题(六)A


高一文理分科考试数学试题(六)A
(必修 1+必修 2+必修 3+必修 4) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 在四边形 ABCD 中, 若 AC ? AB ? AD , 则四边形 ABCD 是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 ( )

D.平行四边形
( D. x ? 2 y ? 1 ? 0 )

2.

过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 B. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0

3.已知 A,B,C 是△ABC 的内角,下列等式正确的有 ①sin(A+B)=sinC ③tan(A+B)=-tan C(C≠ ? )
2





②cos(A+B)=-cosC ④sin
B?C A =cos 2 2

A.1 个

B.2 个

C.3 个

D.4 个

4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是





①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

5.计算机执行本题程序后,输出的结果是 ( A.1,3 B.4,1 C.0.0

) D.6,0 A=1 B=3 A=A+B B=A-B 输出 A,B END
第5题

6.将圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 1 ? 0 平分的直线是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

( D. x ? y ? 3 ? 0



? ? 7. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象, 只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象 ( 3 6 ? ? A.向左平移 个长度单位 B.向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C.向左平移 个长度单位 D.向右平移 个长度单位 2 2
8.已知直线 x ? y ? a 与圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ,则 a ? ( A. 2 B. 6 C. 2 或 ?2 D. 6 或 ? 6





9.数据 a1, a2 , a3 , 准差为 A. S

, an 的方差为 S 2 ,则数据 2a1 ? 3, 2a2 ? 3, 2a3 ? 3,

, 2an ? 3 的标
( )

B. 2S

C. 2 S

D. 4 S 2

? x 2 ? bx ? c , x ? 0 f 2 ? ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? x 10. 设函数 f ( x) ? ? ,若 f (4) ? f(0), (2) ,x ? 0 ?1
的零点的个数是 A.0 B.1 ( C.2 D.3 )

11.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性关系,甲乙两个同学各自独立地作 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1 和 l2.已知 在两个人的试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值恰好相等,都为 s,对变 量 y 的观测数据的平均值也恰好相等,都为 t ,那么下列说法正确的是 ( )

A.直线 l1 和 l2 有交点(s,t) B.直线 l1 和 l2 相交,但是交点未必是(s,t) C.直线 l1 和 l2 由于斜率相等,所以必定平行 D.直线 l1 和 l2 必定重合

12.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E,F 分别是 AB1 , BC1 的中点,则以下结论 中不成立 的是 ... A. EF

D1

C1

A1

?? AC 1 1
A

B1





E
D
B

F C

B. EF ? BC1 C. EF

?? 平面ABCD

D. EF ? 平面B1BDD1 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.把 110010(2)=______(5)。

?3x ? a( x ? 0) 14.已知奇函数 f ( x) ? ? ,则 g (?2) 的值为 ? g ( x)( x ? 0)
15.设 AB =(2,2) , AC =(0,4) ,则△ ABC 的内角 A=______。
16.如图,矩形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 分别在函数
y ? log x,y?x ,y?
1 2

2 2

? ? 的图象上,且矩形
2 2
x

y 2 A B

1 的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2,则 C D 点 D 的坐标为 . O 1 x 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17. (本小题满分 10 分)函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? b ? A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ? 在一个周 期内,当 x= 的解析式。

?
6

时,y 取得最小值 1,当 x=

5? 时 y 取得最大值 3.请求出此函数 6

18. (12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 面ABCD , AB / / DC , AB ? AD ,

BC ? 5 , DC ? 3 , AD ? 4 , ?PAD ? 60 .
(Ⅰ)画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标出尺寸,并写出演算过程) ; P

D

C

(Ⅱ)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ;

19. (本小题满分 12 分)已知在△ABC 中,A(2,-1) B(3,2) ,C(-3, -1) ,AD 为 BC 边上的高,求点D的坐标与 | AD |。

20. (12 分)曲线 y ? x 2 ? 6 x ? 1坐标轴的交点都在圆 C 上, (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)如果圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A, B 两点,且 OA ? OB ,求 a 的值

20. (本小题满分 12 分)某中学举行了一次知识竞赛,共有 800 名学生参加了这 次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况,用系统抽样的方法从中抽取 50 个成绩 (得分均为整数,满分为 100 分)进行统计。请根据尚未完成的频率分布表,解 答下列问题: (1)先将所有的学生随机地编号为 000,001,002,…,799,试写出第 5 组 第一位学生的编号;

(2)填充频率分布表的空格,并作出频率分布直方图; (3) 若成绩在 85.5~95.5 分的为二等奖, 问赛学生中获得二等奖的约为多少人?

22. (12 分)已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1,圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (Ⅰ)若过点 C1 (?1, 0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 求直线 l 的方程; (Ⅱ)设动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长,如图 9 所示. (i)证明:动圆圆心 C 在一条定直线上运动; (ii)动圆 C 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由

6 , 5

答案解析 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 C 7 C 8 C
2

9 D

10 C

11 C

12 B

1. 【解析】集合中有两个元素,则集合 A 的真子集个数是 2 ? 1 ? 3 .选 D 2. 【解析】设直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 ,又经过 (1,0) ,故 c ? ?1 , 所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 3. 【解析】化成标准方程: O 1: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1, O 2: x2 ?) y ? 2)2 ? 4 ,则

O1 (1, 0) , O2 (0, 2) , | O1O2 |? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 5 ? R ? r ,则两圆相交
4. 【解析】正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,正确答案为 D 5. 【解析】解法 1 由题意可知当俯视图是 A 时,即每个视图是变边长为 1 的正方形,那么 此几何体是立方体,显然体积是 1,注意到题目体积是 C. 解法 2 当俯视图是 A 时,正方体的体积是 1;当俯视图是 B 时,该几何体是圆柱,底面

1 ,知其是立方体的一半,可知选 2

? ?1? ? 积是 S ? ? ? ? ? ? ,高为 1,则体积是 ;当俯视是 C 时,该几何是直三棱柱,故 4 4 4 ?2?
体积是 V ?

?

2

1 1 ? 1? 1? 1 ? , 当 俯 视 图 是 D 时 , 该 几 何 是 圆 柱 切 割 而 成 , 其 体 积 是 2 2
A D M B C

1 ? V ? ? ? 12 ? 1 ? .故选 C. 4 4
6. 【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心,故选 C 7. 【解析】如图,取 BD 的中点 M ,连接 AM , CM ,则得

AM ? BD, CM ? BD ? BD ? 平面 AMC ? AC ? BD ,
又 AC 和 BD 是异面直线,故选 C 8. 【解析】

OA ? OB , ? AB ? 2 2 ,则圆心 O 到直线 x ? y ? a 的距离为 2 ,所以

0?0?a 2

? 2, 解得a ? 2或 ? 2 。因此选 C

9. 【解析】A 中,指数和对数函数的底数 a ? 1 ,直线的截距应大于 1,所以直线不正确。B 中,指数和对数函数的底数 0 ? a ? 1 ,直线的截距应小于 1,所以直线不正确。C 中指数和 对数函数的底数不一致,错误。D 中,指数和对数函数的底数 a ? 1 ,直线的截距大于 1, 正确。选 D.

? x2 ? 4 x ? 6 , x ? 0 ? f (4) ? f (0) ?16 ? 4b ? c ? c ?b ? ?4 10. 【解析】 ? ,即 f ( x) ? ? ?? ?? ,x ?0 ? f (2) ? 2 ?4 ? 2b ? c ? 2 ?c ? 6 ?1
即当 x ? 0 时,由 g ( x) ? f ( x) ? x ? 0 得 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ? x ? 2, x ? 3 。 当 x ? 0 时,由 g ( x) ? f ( x) ? x ? 0 得 x ? 1 ,不成立,舍去。所以函数的零点个数为 2 个, 选 C. 11. 【解析】一个分段函数要是单调减函数,必须满足每一个函数是减函数,且左边函数 的最小值大于等于紧挨着它的右边函数的最大值,

? 2a ? 1 1 5 ? ? ?a? , 所以有 ?0 ? a ? 1 2 8 ?2 ? 8a ? 3 ? log 1 a ?
12. 【解析】如图,连接 A1 B, A1C1 ,则在 ?BA1C1 中,

D1

C1 B1

A1

E D
A B

F C

EF 是其中位线,? EF ?? AC 1 1,
从而可得 EF 与 BC1 成 60 的角,则 B 不正确; 13. 【答案】 (3, 0) , ?

2 4
2 2

【解析】圆的标准方程 为 ( x ? 3) ? y ? 1 ,所以圆心坐标为 (3, 0) ,半径为 1. 要使直线

y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,所以有 k ? 0 。圆心到直线 kx ? y ? 0 的距离为

1 2 ? 1 ,即 k 2 ? ,所以 k ? ? 8 4 k 2 ?1
14. 【答案】 ?8 【解析】因为函数 f ( x) 为奇函数,所以 f (0)=30 +a=0 ,即 a ? ?1 。 所以 f (?2) ? g (?2) ? ? f (2) ? ?(32 ?1) ? ?8 15. 【解析】 【答案】

3k

9? 2
H
O

2 R 【解析】如图,令球 O 的半径为 R ,由题得 OH ? R ? R ? 3 3 在 ?OHR 中,由题得 HC ? 1 , R 2 9 9 9? 2 2 则 R ? 1 ? ( ) ? R ? ? S球O ? 4? ? ? 3 8 8 2
16. 【解析】 【答案】 1 ,1 2 4 【解析】由 2 ? log

A
C

? ?

B

2 2

x ,得 x ?

1 1 1 ,得 A 点的横坐标为 ,故 D 点的横坐标为 ;B 点纵 2 2 2
1 2

坐标与 A 点纵坐标相同也为 2,由 2 ? x 得 x ? 4 ,得 B、C 的横坐标为 4,由 y ? 得 C、D 的纵坐标为

? ? ?1 4
2 2
4

1 4

17. 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 3 时, A ? x ?1 ? x ? 5? , B ? x x ? 1 或 x ? 4? , ∴A

?

?

B ? ? x ?1 ? x ? 1 或 4 ? x ? 5?
(ⅱ)当 a ? 0 时, A ? x 2 ? a ? x ? 2 ? a? ? ?

(Ⅱ)(ⅰ)若 A ? ? ,此时 2 ? a ? 2 ? a ? a ? 0

?

此时 ?

?2 ? a ? 1 ?a ? 1 ?? ? 0 ? a ?1 ?2 ? a ? 4 ?a ? 2

综上可知,实数 a 的取值范围是 a ? 1 18. 【解析】 (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE ? AB ,垂足为 E , 由已知得,四边形 ADCE 为矩形, AE ? CD ? 3 在 Rt ?BEC 中,由 BC ? 5 , CE ? 4 ,依勾股定理得: BE ? 3 , 从而 AB ? 6, 又由 PD ? 平面 ABCD 得, PD ? AD 从而在 Rt ?PDA 中,由 AD ? 4 , ?PAD ? 60? ,得 PD ? 4 3 正视图如右图所示:

4 3

3

6 正视图

(Ⅱ)取 PB 中点 N ,连结 MN , CN 在 ?PAB 中, M 是 PA 中点,

1 AB ? 3 ,又 CD AB , CD ? 3 2 ∴ MN CD , MN ? CD ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴ DM CN 又 DM ? 平面 PBC , CN ? 平面 PBC ∴ DM 平面 PBC
∴ MN

AB , MN ?

解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)取 AB 的中点 E ,连结 ME , DE 在梯形 ABCD 中, BE CD ,且 BE ? CD ∴四边形 BCDE 为平行四边形 ∴ DE BC ,又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ∴ DE 平面 PBC ,又在 ?PAB 中, ME PB

ME ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC ∴ ME 平面 PBC .又 DE ME ? E , ∴平面 DME 平面 PBC ,又 DM ? 平面 DME ∴ DM 平面 PBC

19. 【解析】 (Ⅰ)取 x ? y ? 0, 则 f (0 ? 0) ? 2 f (0) 取 y ? ? x, 则f ( x ? x) ? f ( x) ? f (? x)

? f (0) ? 0

? f (? x) ? ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立 ∴ f ( x) 为奇函数
(Ⅱ)证明:任取 x1 , x2 ? (??, ??) ,且 x1 ? x2 , 则 x2 ? x1 ? 0 , f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? 0,? f ( x2 ) ? ? f (? x1 ) ? f ( x1 ) 则 f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数 ∵ f ( x) 在 ? ?3,3? 上为减函数,则在 ? ?3,3? 上 f (?3) ? f ( x) ? f (3)
f (3) ? f (1 ? 2) ? f (1) ? f (2) ? 3 f (1) ? ?6, 且 f (?3) ? ? f (3) ? 6

? f ( x) ? ? ?6,6?

20. 【解析】 (Ⅰ)曲线 y ? x ? 6 x ? 1与 y , x 轴的交点分别为
2

(0,1),(3 ? 2 2,0),(3 ? 2 2,0)
因而圆心坐标为 C (3, t ), 则有 32 ? (t ?1) 2 ? (2 2 ) 2 ? t 2 ?t ? 1
2 2 2 2 半径为 3 ? (t ? 1) ? 3 ,所以圆方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9

(Ⅱ)设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 满足 ?

?x ? y ? a ? 0
2 2 ?( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 9
2

解得: 2 x 2 ? (2a ? 8) x ? a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,? ? ? 56 ? 16a ? 4a ? 0

? x1 ? x2 ? 4 ? a, x1 ? x2 ?

a 2 ? 2a ? 1 2

?OA ? OB,? x1 x2 ? y1 y2 ? 0, y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a
?2x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? 0,?a ? ?1
C

C1
B

E 21. 【解析】(Ⅰ)取 AB 中点 E,连结 CE, A 1B , A 1E , ∵AB= AA1 , ?BAA1 = 60 ,∴ ?BAA1 是正三角形,
0

B1 A1

A

∴A 1E ⊥AB, ∵ CE

∵CA=CB,

∴CE⊥AB,

A1E ? E ,∴AB⊥面 CEA1 , ∴AB⊥ AC 1 ;
3 3 ? 3 ,在正 ?BAA1 中, A1E ? 2 ? ? 3, 2 2

(Ⅱ)在正 ?ABC 中, CE ? 2 ?

2 2 2 在 ?A1 EC 中 , A ,又 6 ? 1A E ? C E 由 ( Ⅰ ) 知 A1E ⊥ AB , 则 1C ? A 1 E ? CE ?

,即三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高为 A A1 E ? 平面 A B C 1E ? 3 , 故三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积 V ? A1 E ? S ?ABC ? 3 ?

1 ?2 3 ? 3 2

22. 【解析】 (Ⅰ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5
4) 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 所以圆心 C2 (3,

4k ? 4
2

? 4. k ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 .
y ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 , (Ⅱ) (i)证明:设圆心 C ( x,

…………4 分

即 ( x ? 1)2 ? y2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动. 3 ? m) , (ii)圆 C 过定点,设 C (m, 则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 .
y

…………8 分

y
C2

则动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x2 ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .
? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? 2 3 ? x ? y ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? 2 ? 2
C1

O

C 才

x

所以定点的坐标为 1 ? 3 2, 2 ? 3 2 , 1 ? 3 2, 2? 3 2 . 2 2 2 2

?

? ?

?


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