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高一数学必修四 《2.2.2向量减法运算及其几何意义》课件


2.2.2

向量减法运算及其几何意义

1.了解相反向量的概念; 2.掌握向量的减法,会作两个向量的差向量,并理解其 几何意义;

3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,
使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想.

1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分 别

如何操作?
? b
? ? a?b ? ? a?b

? a

? b ? b ? a

三角形法则: 首尾相接连端点.

? a

平行四边形法则: 起点相同连对角.

2.向量的加法运算有哪些运算性质?
? ? ? ? ? a+0 ? 0 +a ? a ? ? ? ? a与b为相反向量???????????????a+b ? 0

? ? ? ? a?b ? b?a ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ? ? ? ? | a+b |?| a | + | b | ? ? ? ? | a+b |?|| a | - | b ||

向量是否有减法?如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数,向 量的减法是否也有类似的法则?

向量减法的含义
? 思考1:两个相反向量的和向量是什么?向量 a 的相反向量 ? 可以怎样表示? ?a ? 思考2:?a 的相反向量是什么?零向量的相反向量是什

么?
? ? -(-a) ? a 规定:零向量的相反向量仍是零向量.

思考3:在实数的运算中,减去一个数等于加上这个数的

相反数.据此原理,向量 a-b 可以怎样理解?
? ? ? ? 定义: a-b =a+(-b) .

? ?

思考4:两个向量的差还是一个向量吗?
? ? ? ? 思考5:向量 a 加上向量 b 的相反向量,叫做 a 与b 的差向量,

求两个向量的差的运算叫做向量的减法,对于向量
??? ? ? ? ? a, b , c ,若a ? c =b ,则c等于什么? ? ? ? ? ? ? a ?c =b??????????????c =b ? a

向量减法的几何意义
? ? ? ? 思考1:如果向量 a 与 b 同向,如何作出向量a ? b? ? a ? b
? ? a?b

? ? ? ? 思考2:如果向量 a 与 b 反向,如何作出向量 a ? b?

? a ? b

? ? a?b

? 思考3:设向量a

? ??? ? ? ??? ? ? 与 b 不共线,作OA ? a,OB ? b,由

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? BA ?OA 可得什么结论?
? a ? b

O

? a

A

? b

? ? a?b

B

??? ? ? ? BA ? a ? b

???? ? ??? ? ? ? ? 思考4:设向量 a与b 不共线,作 OA=a, 以OA、OC OC=-b,

? ? ? ? ? ? ???? ???? 为两邻边作平行四边形,则 OD= a-b. 如何理解 BA=OD.
? a ? ?b ? b ? b ? ? a?b

C
? ? a?b ? a

D

O

A

B

思考5:求作两个向量的差向量也有三角形法则和平行四 边形法则,其中三角形法则的作图特点是什么? C
? ?b ? b ? ? a?b ? a

D

O
? ? a?b

A

B 起点相同连终点,被减向量定指向.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 思考6:向量 a-b与b-a 是什么关系? | a-b | 与 | a + b | 、 | a -b|

的大小关系如何?
? ? ? ? a-b与b-a 是相反向量. ? ? ? ? | a-b ? a + b | , 当且仅当 ? ? ? ? 当且仅当 | a-b ? | a - b || ,

? ? a与b 反向时取等号; ? ? a与b 同向时取等号.

? ? ? ? | a-b | 与 | a+b | 有什么大小关系吗?为什么? 思考7:

B
? b

? ? a+b ? ? a-b ? a

C

O

A

? ? ? ? ? ? 思考8:对于非零向量 a与b,向量a+b与a-b 可能相等吗?

例1

如图,已知向量

? ??? 求作向量 a, b,c,d,

? ?? ? a ? b,c ? d.

? a

? b

? d

? c
A

? ? a ?b

B

D

b
a O

d
c

? ? ? c?d
C

例2:选择正确答案

??? ? ??? ? ???? D ) (1) AB ? BC ? AD ? (??????? ???? ??? ? ??? ? ( A) AD ( B)CD (C ) DB

???? ( D) DC

??? ? ???? ??? ? (2) AB ? AC ? DB ? (??????? C ) ???? ???? ??? ? ( A) AD ( B) AC (C )CD

???? ( D) DC

??? ? ? ??? ? ? ?? 例3.如图,平行四边形ABCD,AB ? a, AD ? b,用a、 b 表示向 ??? ? ??? ? 量 AC、 DB.

? b

D

C
注意向量的方向,向量 AC ? a ? b,
??? ? ? ?

A

? a

B

向量 DB ? a ? b

??? ?

? ?

1. C D

B O . A

BADC

2.(1)化简 AB ? AC ? BD ? CD

解 : 原式 ? CB ? BD ? CD ? CD ? CD ? 0
(2)化简OA ? OC ? BO ? CO

???? ??? ? ??? ? ??? ? 解 : 原式 ? (OA ? BO) ? (OC ? CO) ???? ??? ? ? ??? ? ? (OA ? OB) ? 0 ? BA

(一)知识 1.理解相反向量的概念; 2. 理解向量减法的定义; 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则.

(二)重点
重点:向量减法的定义、向量减法的三角形法则.

少而好学,如日出之阳;壮而好学,如日
中之光;老而好学,如炳烛之明。

——刘向


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