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2010年江苏东海高级中学高一数学暑假作业(12)平面向量


2010 年江苏东海高级中学高一数学暑假作业(12)
—平面向量
学生资源网(www.chinasaint.org) 说明:本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 60 分,第Ⅱ卷 90 分,共 150 分,答题时 间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,请将所选答案填在括号内

) 1.在△ABC 中,一定成立的是 A.asinA=bsinB
2 2

( C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA ( D.等腰三角形 (



B.acosA=bcosB
2

2.△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形



3.在△ABC 中,较短的两边为 a ? 2 2 , b ? 2 3 ,且 A=45°,则角 C 的大小是 A.15° B.75 C.120° D.60°



4.在△ABC 中,已知 | AB |? 4, | AC |? 1, S ?ABC ? 3 ,则 AB ? AC 等于 A.-2 B.2 C.±2 D.±4





5.设 A 是△ABC 中的最小角,且 cos A ? A.a≥3 B.a>-1

a ?1 ,则实数 a 的取值范围是 a ?1
C.-1<a≤3 D.a>0





6.在△ABC 中,三边长 AB=7,BC=5,AC=6,则 AB ? BC 等于 A.19 B.-14 C.-18 D.-19





7.在△ABC 中,A>B 是 sinA>sinB 成立的什么条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要

( D.既不充分也不必要



8.若△ABC 的 3 条边的长分别为 3,4,6,则它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个 三角形的面积比是 A.1∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.3∶4 ( ) ( )

9.已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3) ,若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k = A.1 B.-1 C.0 D.2

10.已知向量 a= (cos? , sin ? ) ,向量 b= ( 3 ,?1) ,则|2a-b|的最大值是 A.4 B.-4 C.2 D.-2





11.已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的




-1-

? A.充分但不必要条件 ? C.充要条件

B.必要但不充分条件? D.既不充分也不必要条件

12.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改为 10°,则坡底要伸长 ( A.1 公里 B.sin10°公里 C.cos10°公里 D.cos20°公里 )

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分,答案填在横线上) 13.在△ABC 中,BC=3,AB=2,且

sinC 2 ? ( 6 ? 1) ,A= sin B 5

.

14.在△ABC 中,已知 AB=l,∠C=50°,当∠B=

时,BC 的长取得最大值. . .

15. 向量 a、 满足 b (a-b) 2a+b) ( ? =-4, 且|a|=2, |b|=4, a 与 b 夹角的余弦值等于 则 16.已知 a⊥b、c 与 a、b 的夹角均为 60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c) = 三、解答题(本大题共 74 分,17—21 题每题 12 分,22 题 14 分) 17.设 e1、e2 是两个互相垂直的单位向量,且 a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,求 a?b.?


18.设三角形各角的余切成等差数列,求证:相应各边的平方也成等差数列.

19.已知△ABC 中,A(2,-1) ,B(3,2) ,C(-3,-1) ,BC 边上的高为 AD, 求 AD 及 D 点坐标.?
-2-

20. 如图, 半圆 O 的直径 MN=2, OA=2, 为半圆上任意一点, AB 为一边作正三角形 ABC, B 以 问 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大?最大面积是多少?

21.已知 A、B、C 成等差数列,求 tan

A C A C ? tan ? 3 tan ? tan 的值. 2 2 2 2

-3-

22.如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a.若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹 角θ 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

参考答案
一、选择题 1.C2.A 3.B 4.C 5.A 6.D 7.C 8.B 9.B 10.A 11.C 12.A 二、填空题 13.120° 14.40° 15. ?

1 2

16.11

三、解答题 17.解法一:∵e1?e2=|e1||e2|cos90°=0 ? ∴a?b=(3e1+2e2)?(-3e1+4e2)?
2 ? ?9e12 ? 8e 2 ? 6e1 ?e 2

=-9|e1|2+8|e2|2=-9+8=-1 ? 解法二:∵e1、e2 是单位向量,且 e1⊥e2,于是可得:a=(3,2),b=(-3,4) ∴a?b=3?(-3)+2?4=-1 ? 18.解析:∵ 2cot B ? cot A ? cot C,
b 2 ) 2R , a c ? 2R 2R (

?2cos B ? sin2 B / sin A? sin C,

2 2 2 故 2( a ? c ? b ) ?

∴a +b =2b

2

2

2

,故得证.

2ac

19. 解析:设 D 点坐标为(x,y),D 分 BC 所成的比为λ ,则

-4-

x?

3 ? ? (?3) 2 ? ? (?1) ,y ? 1? ? 1? ? 3 ? 3? 2?? AD ? ( ? 2, ? 1), BC ? (?6,?3) 1? ? 1? ?

? AD ? BC ,? AD ? BC ? 0 3 ? 3? 2?? ? ?6( ? 2) ? 3( ? 1) ? 0 1? ? 1? ? 1 解得 : ? ? 2
∴x=1,y=1 故 D 点坐标为(1,1) AD =(-1,2)? , 20.解析:设∠AOB=θ ,由余弦定理知 AB2=OA2+OB2-2OA?OB?cosθ =5-4cosθ ∴S△ABC=

3 AB 2 5 3 ? ? 3 cos θ 4 4

S△AOB=

OA? OB ? sin? ? sin? 2
5 3 5 3 ? ? 3 cos? ? sin ? ? ? 2 sin(? ? ) 4 4 3

∴S 四边形 OACB=

当θ =

5? 时,S 四边形 OACB 最大, 6
5 3 +2 4
∴A+C=

最大值为

21.解析:∵A+B+C=π , A+C=2B ,

2 ? 3



A?C tan ? 3, 2

tan

A C A C ? tan ? 3(1 ? tan ? tan ) , 2 2 2 2 A C A C 故有 tan ? tan ? 3 tan ? tan ? 3. 2 2 2 2 解法一: AB ? AC,? AB ? AC ? 0. ?

22.? AP ? ? AQ, BP ? AP ? AB, CQ ? AQ ? AC,

? BP ? CQ ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC)
? AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ ? AB ? AC ? ?a 3 ? AP ? AC ? AB ? AP ? ?a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) 1 PQ ? BC 2 ? ?a 2 ? a 2 cos ? . ? ?a 2 ?
-5-

故当 cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同 )时, BP ? CQ最大.其最大值为 0.
解法二:以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐 标系.

设 | AB |? c, | AC |? b, 则A(0,0), B (c,0), C (0, b), 且 | PQ |? 2a, | BC |? a. 设点 P的坐标为 ( x, y ), 则Q (? x,? y ). ? BP ? ( x ? c, y ), CQ ? (? x,? y ? b), BC ? (?c, b), PQ ? (?2 x,?2 y ). ? BP ? CQ ? ( x ? c)(? x) ? y (? y ? b) ? ?( x 2 ? y 2 ) ? cx ? by.
? cos ? ? PQ ? BC | PQ | ? | BC | ? cx ? by . a2 ? cx ? by ? a 2 cos ? .

? BP ? CQ ? ?a 2 ? a 2 cos ? .

故当 cos? ? 1,即? ? 0( PQ与BC方向相同 )时, BC ? CQ最大, 其最大值为 0.

-6-


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