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邛崃一中高2012级三诊模拟试题理科数学


邛崃一中 2012 级三诊模拟考试题 数学(理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? ?x x ? ? 1或 x ? 1?, B ? ?x log A. ?x x ? 1? B. ?x x ? 0 ?
2

x ? 0 ?, 则 A

? B ? (



C. ?x x ? ? 1?

D. ?x x ? ? 1或 x ? 1? ( )

2.已知 z (1 ? i ) ? 1, 则复数 z 在复平面上对应的点位于 A.第一象限 3.已知 p : a ? b , q : am
2

B.第二象限
? bm , 则 p 是 q 的
2

C.第三象限

D.第四象限 ( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量 a ? (cos ? , ? 2 ), b ? (sin ? ,1) 且 a ∥ b, 则 tan( ? ? A.3 5. f ( x ) ?
y A. ? 1? x x 1 1? x ( x ? ? 1 ) B. ? y 1 1? x ( x ? ? 1 ) C. ? y 1 1? x ( x ? 1) D. ? y 1 1? x ( x ? 1)

?
4

)等于( D.- (
1 3



B.-3 的反函数为

C.

1 3



6.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图 (如右图) 。为了分析居民的收入与年龄、学历、 职业等方面的关系,要从这 10000 中再用分层抽样 方法抽出 100 人作出一步调查,则在[2500,3000] (元)/月收入段应抽出( )人。 A.20 B.25 C.40

D.50 )

7.已知数列 ?a n ? 为等差数列,且 a 1 ? a 7 ? a 13 ? 4 ? , 则 cos( a 2 ? a 12 ) 的值为(
3 2 3 2
1 2 1 2

A.

B. ?

C.

D. ?

8.设 l , m , n 为不同的直线, ? , ? 为不同的平面,有如下四个命题: ①若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ∥ ? ②若 ? ? ? , l ? ? , 则 l ? ?

理科数学共 6 页,第 1 页

③若 l ? m , m ? n , 则 l ∥ n 其中正确命题的个数是 A.1 B.2
? 9.若 ? 3 ?
n

④若 m ? ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? , 则 m ? n ( ) D.4 )

C.3

x ?

1 ? ? 的展开式各项系数和为 64,则展开式中的常项数为( x ?

A.-540 B.-162 C.162 D.540 10.将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相同的 分配方案共有( ) A.252 种 B.112 种 C.70 种 D.56 种 11.已知正实数 a , b 满足: ( a ? 1)( b ? 1) ? 4 , 则 ab 的最小值是 A.-1 B. 3 C.3 D.9 ( )

12.设函数 f ( x ) 的定义域为 R,且 f ( x ? 2 ) ? f ( x ? 1) ? f ( x ), 若 f ( 4 ) ? ? 1, f ( 2011 )
? a?3 a?3 , 则 a 的取值范围是

( C. 3 , ?? ) (



A. ( ?? , 3 )

B. 0 , 3 ) (

D. ( ?? , 0 ) ? ( 3 ? ? )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。
x 13 . 函 数 y ? 2 s i n 的 图 像 按 向 量 a ? ? ?

?

? ?

?

? , ?1? 平 移 后 得 到 的 图 象 解 析 式 3 ?





?y≤2x, ? 14.已知实数 x、y 满足?y≥-2x, ?x≤3, ?

则目标函数 z=x-2y 的最小值是



15.已知△ ABC 的三个顶点在同一球面上,若∠BAC=90° ,AB=AC=2,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则该球的体积为 。 16.已知 F1 ( ? 2, 0 ), F 2 ( 2, 0 ) 为焦点的椭圆与直线 x ? 椭圆的长轴长为 。
3 y ? 4 ? 0 有且仅有一个交点,则

理科数学共 6 页,第 2 页

邛崃一中 2012 级三诊模拟考试题 数学(理 科)答题卷
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 番号 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 13. 14. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

总分

15. 16. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演处步骤。 17. (12 分)已知函数 f ( x ) ? 2 co s 2 x ? sin x
2

(Ⅰ)求 f (

?
3

) 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的最大值和最小值。

18. (12 分)如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AA1=4,E 为 BC 的中 点,F 为 CC1 的中点. (1)求 EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值; (2)求二面角 F-DE-C 的余弦值.

理科数学共 6 页,第 3 页

19. (12 分) 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行 4 次考核,规定:按顺序 考核,一旦考核合格就不必参加以后的考核,否则还需参加下次考核,若小张参加每次考 核合格的概率依次组成一个公差为
1 8

的等差数列,他参加第一次考核合格的概率超过
9 32

1 2



且他直到参加第二次考核才合格的概率为

(I)求小张第一次参加考核就合格的概率

P1; (Ⅱ)求小张参加考核的次数 ? 和分布列和数学期望值 E ? .

20. (12 分)设函数 f ( x ) ? 分别为 1,4。

a 3

x ? b x ? c x ? d (a>0),且方程 f ( x ) ? 9 x ? 0 的两个根
3 2
'

(Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x ) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ( ? ? , ? ? ) 无极值点,求 a 的取值范围。

理科数学共 6 页,第 4 页

21. (12 分)已知椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的右准线是 x ? 1 ,倾斜角为 ? ?
1 1 , ) 2 4 3 4

?
4

的 直 线 l 交椭圆于

A、B 两点,AB 的中点为 M ( ? (I)求椭圆的方程;

(II)若 P、Q 是椭圆上满足 | O P | ? | O Q | ?
2 2

的 点 , 若直线 OP、OQ 的斜率分别为

k O P , k O Q ,求证: | k O P ? k O Q | 是定值。

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22. (14 分)在等比数列 { a n } 中,a n ? 0 ( n ? N *) ,公比 q ? ( 0 ,1) , a 3 ? a 5 ? 5 ,又 a 3 且 与 a 5 的等比中项为 2。 (1)求数列 { a n } 的通项公式; (2)设 b n ? 5 ? log (3)设 T n ?
1 S1 ?
2

a n ,数列 { b n } 的前 n 项和为 S n ,求数列 { S n } 的通项公式;

1 S2

?? ?

1 Sn

,求 T n .

理科数学共 6 页,第 6 页

邛崃一中 2012 级三诊模拟考试题 数学(理 科)参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1—6 AABBAB 7—12 DAABDC 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13. y ? 2 s in ( x ?
?
3 ) ?1

14.-9

15. 4 3 ?

16. 2 7

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.解: (Ⅰ) f (
?
3 ) ? 2 co s 2? 3
2

? sin

2

?
3

= ?1 ?
2

3 4

? ?

1 4

(Ⅱ) f ( x ) ? 2 ( 2 co s x ? 1) ? (1 ? co s x )
? 3 co s x ? 1, x ? R
2

因为 co s x ? ? ? 1,1 ? ,所以,当 co s x ? ? 1 时 f ( x ) 取最大值 2;当 co s x ? 0 时,
f ( x ) 取最小值-1。

18.解:建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0), A(2,0,0), C(0,2,0), B(2,2,0), E(1,2,0), F(0,2,2). → →→ (1)EF=(-1,0,2).m n → 易得平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1), → → 设EF与 n 的夹角为 θ, 2 则 cosθ =5 5, 5 ∴EF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为 5 . → → (2)EF=(-1,0,2),DF=(0,2,2). → → → → → 设平面 DEF 的一个法向量为m ,则m · =0,m · =0, DF EF → → → 6 可得m =(2,-1,1),∴cos〈m , n 〉= 6 , 6 ∴二面角 F-DE-C 的余弦值为 6 . 19.解: (I)由题意得 (1 ? p 1 )( p 1 ?
? p1 ? 1 4 或 5 8
理科数学共 6 页,第 7 页

1 8

) ?

9 32

,

.

? p1 ?

1 2

,? p 1 ?

5 8

.

(II)由(I)知小张 4 次考核每次合格的概率依次为
5 3 7 5 9 , , ,1 ,所以 P ( ? ? 1) ? , P ( ? ? 2 ) ? , 8 4 8 8 32

P ( ? ? 3 ) ?? (1 ? P ( ? ? 4 ) ? (1 ? 5 8

5 8

)( 1 ? 3 4

3 4

)?

7 8 7 8

?

21 256

, 3 256 ,

)( 1 ?

)( 1 ?

)?1 ?

所以 ? 的分布列为
?

1
5 8

2
9 32

3
21 256

4
3 256

P

? E? ? 1?

5 8

? 2? a 3
3

9 32

? 3?
2

21 256

? 4?

3 256

?

379 256

.

20.解:由 f ( x ) ?

x ? bx ? cx ? d

2 得 f ?( x ) ? a x ? 2 b x ? c

2 因为 f ? ( x ) ? 9 x ? a x ? 2 b x ? c ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1,4,

所以 ?

? a ? 2b ? c ? 9 ? 0 ?1 6 a ? 8 b ? c ? 3 6 ? 0

(*)

(Ⅰ)当 a ? 3 时,又由(*)式得 ?

? 2b ? c ? 6 ? 0 ?8b ? c ? 1 2 ? 0

解得 b ? ? 3, c ? 1 2

又因为曲线 y ? f ( x ) 过原点,所以 d ? 0 故 f ( x) ? x ? 3x ? 12 x
3 2

( Ⅱ)由 于 a>0,所以 “ f ( x ) ?

a 3

x ? b x ? c x ? d 在( -∞, +∞) 内无极值点 ”等 价于
3 2

2 “ f ? ( x ) ? a x ? 2 b x ? c ? 0 在(-∞,+∞)内恒成立”。

由(*)式得 2 b ? 9 ? 5 a , c ? 4 a 。 又 ? ? ( 2 b ) ? 4 a c ? 9 ( a ? 1)( a ? 9 )
2

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解?

?a ? 0 ? ? ? 9 ( a ? 1)( a ? 9 ) ? 0

得 a ? ?1, 9 ? ,即 a 的取值范围 ?1, 9 ?
?
4

21.解: (I)由于直线 AB 的倾斜角为 所以直线的方程为 y ? x ?
3 4 .

且过点 M ( ?

1 1 , ), 2 4

代入椭圆方程,整理得 ( b ? a ) x ?
2 2 2

3 2

a x?
2

9a 16

2

?a b
2

2

? 0,

x1 ? x 2 2
a
2

?

1 2

? (?

3 2

)? b

a
2

2 2

? a

? ?

1 2

, 即a

2

? 2b .
2



? 1 ,联立 a

2

? b

2

? c ,求得 a
2

2

?

1 2

,b

2

?

1 4

.

c

所以椭圆方程为 2 x ? 4 y
2

2

? 1.

2 2 (II)设 P ( x 3 , y 3 ), Q ( x 4 , y 4 ) 都在椭圆 2 x ? 4 y ? 1 上,

由 | OP | ? | OQ | ?
2 2

3 4

得 x3 ? y3 ? x4 ? y 4 ?
2 2 2 2

1 4

(1 ? 2 x 3 )
2 2

1 4
2

(1 ? 2 x 4 )
2

?

1 4

1 ? 2( x3 ? x4 ) ? 4 x3 x4
2 2 2

2

x3 x4

x3 x4

2

2

?

1 2

.

22.解: (1)

a n ? 0 ,? a 3 ? a 5 ? 5 ,又 a 3 与 a 5 的等比中项为 2 ,? a 3 a 5 ? 4 ,

而 q ? ( 0 ,1) ,? a 3 ? a 5 ,? a 3 ? 4 , a 5 ? 1 ,
?q ? 1

1 n ?1 5?n , a 1 ? 16 ,? a n ? 16 ? ( ) ? 2 2 2



(2) b n ? 5 ? lo g 2 a n ? 5 ? (5 ? n ) ? n ,? b n ? 1 ? b n ? 1 ,
? { b n } 是以 b1 ? 1 为首项,1 为公差的等差数列? S n ?
n ( n ? 1) 2



(3)由(2)知 1 ?
S
n

2 1 1 ? 2( ? ) n ( n ? 1) n n ?1

? Tn ?

1 S1

?

1 S2

?? ?

1 Sn

? 2[(1 ?

1 2

)?(

1 2

?

1 3

)?? ? (

1 n

?

1 n ?1

)]

? 2 (1 ?

1 n ?1

) ?

2n n ?1



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