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2013年广州市普通高中毕业班综合测试二数学理科


试卷类型:B

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二)

数学(理科)
2013.4 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是 A. a? ? a b b B. a ? b ? a ?

b C. ? a? ? c ? a ? b? ? b c

a D. a ? ? a

2

2.直线 y ? kx ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.相离 D.取决于 k 的值

文3 (理 1) 若 1 ? i( i 是虚数单位) . 是关于 x 的方程 x2 ? 2 px ? q ? 0( p、q ? R ) 的一个解, p ? q ? 则 A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

4.已知函数 y ? f ? x ? 的图象如图 1 所示,则其导函数 y ? f ? ? x ? 的图象可能是 y y y y y

O A.

x

O B.

x

O C.

x

O D.

x

O 图1

x

5.若函数 y ? cos ? ? x ?

? ?

?? ?? ? * ? ? ? ? N ? 的一个对称中心是 ? ,0 ? ,则 ? 的最小值为
6? ?6 ?
D.8

A.1 B.2 C.4 6.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 2 所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两 部分,则截面的面积为

4

1 ? 4 9 C. ? 4
A.

B. ? D. 4? 6 图2

7.某辆汽车购买时的费用是 15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为 1.5 万元.年维修保养 费用第一年 3000 元,以后逐年递增 3000 元,则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费 用最少)是 A.8 年 B.10 年 C.12 年 D.15 年 8.记实数 x1 , x 2 ,…, x n 中的最大数为 max ?x1, x2 ,…,xn ? ,最小数为 min ?x1 , x2 ,…,xn ? ,则 数学(理科)试题 A 第 1 页 共 10 页

max min ? x ? 1,x 2 ? x ? 1,? x ? 6? ?
A.

?

?

3 4

B.1

C.3

D.

7 2

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔,甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为 2﹕3﹕4.现 用分层抽样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中甲型钢笔有 12 支,则此样本容量 n ? . 10.已知

? ? ? 为锐角,且cos ? ? ? ? ? ,则 sin ? ? 4? 5 ? 3

?

. 个没有重复数字且能被 5 整除的五位数(结果用数

11.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,可以组成 值表示) .
2 12. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2x , 点集 M ?

?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≤2? ,N ? ?? x,y ? f ? x ? ? f ? y ?≥0? ,


则 M ? N 所构成平面区域的面积为

13. 数列 {an } 的项是由 1 或 2 构成, 且首项为 1, 在第 k 个 1 和第 k ? 1 个 1 之间有 2 k ? 1 个 2, 即数列 {an } 为: 2, 2, 2, 2, 2, 2, …, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 1, 记数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S20 ? 则 (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足 BE ? 延长 AE 交 BC 于点 F ,则 ;S2013 ? .

1 BD , 3

BF 的值为 FC



15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知点 A ? 1,

? ?? 2 ? ,点 P 是曲线 ? sin ? ? 4cos? 上任意 ? 2?


一点,设点 P 到直线 ? cos ? ? 1 ? 0 的距离为 d ,则 PA ? d 的最小值为

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分)某单位有 A 、 B 、 C 三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点 O ,使得发 射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m .假定 A 、 B 、 C 、 O 四点在同一平面内. (1)求 ?BAC 的大小; (2)求点 O 到直线 BC 的 距离. 17. (本小题满分12分)已知正方形 ABCD 的边长为2, E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 的 中点. (1)在正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,求满足 | PH | ?

2 的概率;

(2)从 A、B、C、D、E、F、G、H 这八个点中,随机选取两个点,记这两个点之间的 距离为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

数学(理科)试题 A

第 2 页 共 10 页

A

A1
D 18. (本小题满分 14 分)等边三角形 ABC 的边长为 3,点 且满足 D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点, E B 图 3 C B D E C

图 4 (如图 3) 将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1 DE 的位置, . 使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角, 连结 A1 B 、A1C (如图 4) . 求证:A1D ? 平面 BCED ; 在线段 BC 上是否存在点 P , (1) (2) 使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在,求出 PB 的长,若不存在,请说明理由. 19. (本小题满分14分)已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? 2a 在区间 ?0,1? 上与 x 轴有两 个不同的交点;命题 q : g ? x ? ? x ? a ? ax 在区间 ? 0, ?? ? 上有最小值.若 ? ?p ? ? q 是真命题,求实数 a 的取值范围. 20. (本小题满分14分)经过点 F ? 0,1? 且与直线 y ? ?1 相切的动圆的圆心轨迹为 M .点 A 、D 在轨迹 M 上,且关于 y 轴对称,过线段 AD (两端点除外)上的任意一点作直线 l ,使直线 l 与轨迹 M 在点 D 处的 切线平行,设直线 l 与轨迹 M 交于点 B 、 C . (1)求轨迹 M 的方程; (2)证明: ?BAD ? ?CAD ; (3)若点 D 到直线 AB 的距离等于
?

AD CE 1 ? ? DB EA 2

2 AD ,且△ ABC 的面积为 20,求直线 BC 的方程. 2
3 2

21. (本小题满分14分)设 an 是函数 f ? x ? ? x ? n x ?1 n ? N* 的零点. (1)证明: 0 ? an ? 1 ; (2)证明:

?

?

n 3 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? . n ?1 2

2013 年广州市普通高中毕业班综合测试(二) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D

二、 填空题: 本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性. 7 小题, 共 每小题 5 分, 满分 30 分. 其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.第 13 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9.54 10.

2 10

11. 216

12. 2?

13. 36 ; 3981

14.

1 4

15. 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题主要考查解三角形等基础知识,考查正弦定理与余弦定理的应用,本小题满分12分) 解:(1)在△ ABC 中,因为 AB ? 80 m , BC ? 70 m , CA ? 50 m ,

数学(理科)试题 A

第 3 页 共 10 页

802 ? 502 ? 702 1 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? ? . 由余弦定理得 cos ?BAC ? 2 ? 80 ? 50 2 2 ? AB ? AC
因为 ?BAC 为△ ABC 的内角,所以 ?BAC ?

? . 3

(2)方法 1:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………………………………………………………5 分 设外接圆的半径为 R , 在△ ABC 中,由正弦定理得

? BC 3 ? 2 R ,因为 BC ? 70 ,由(1)知 A ? ,所以 sin A ? . 3 sin A 2
A

所以 2 R ?

70 3 70 140 3 ,即 R ? .…………………8 分 ? 3 3 3 2
O B

过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D ,…………………………9 分 在△ OBD 中, OB ? R ?

BC 70 70 3 ? ? 35 , , BD ? 2 2 3
2

D

C

? 70 3 ? 35 3 2 所以 OD ? OB ? BD ? ? . ? ? 3 ? ? 35 ? 3 ? ?
2 2

所以点 O 到直线 BC 的距离为

35 3 m .……………………………………………………………12 分 3

方法 2:因为发射点 O 到 A 、 B 、 C 三个工作点的距离相等, 所以点 O 为△ ABC 外接圆的圆心.……………………5 分 连结 OB , OC , 过点 O 作边 BC 的垂线,垂足为 D , …………………6 分

A O B D C

? ?? ,所以 ?BOC ? . 3 3 ? BC 70 ? ? 35 , 所以 ?BOD ? .在 Rt △ BOD 中, BD ? 3 2 2
由(1)知 ?BAC ? 所以 OD ?

35 3 BD 35 35 3 ? ? .所以点 O 到直线 BC 的距离为 m. ? 3 tan ?BOD tan 60 3

17. (本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识,考查运算求解能力与数据处 理能力等,本小题满分12分) 解: (1)这是一个几何概型.所有点 P 构成的平面区域是正方形 ABCD 的内部,其面积是 2 ? 2 ? 4 . 满足 | PH | ?

2 的点 P 构成的平面区域是以 H 为圆心, 2 为半径的圆的内部与正方形 ABCD 内部

的公共部分,它可以看作是由一个以 H 为圆心、 2 为半径、 数学(理科)试题 A 第 4 页 共 10 页

D 圆心角为

G

C

? 的扇形 HEG 的内部(即四分之一个圆)与两个 2
H F

直角边为 1 的等腰直角三角形(△ AEH 和△ DGH )内部

1 ? ? 2 ? ? 1? 1 ? ? 1 . 2 2 ? ?1 ? 1 2 所以满足 | PH | ? 2 的概率为 ? ? . 4 8 4
构成.其面积是

1 ? ?? 4

? 2?

2

A

E

B

2 E F G H (2)从 A、B、C、D、 、 、 、 这八个点中,任意选取两个点,共可构成 C8 ? 28 条不同的线段.

其中长度为 1 的线段有 8 条,长度为 2 的线段有 4 条,长度为 2 的线段有 6 条,长度为 5 的线段有 8 条,长度为 2 2 的线段有 2 条.

8 2 ? , 28 7 4 1 6 3 8 2 2 1 P ?? 2 ? ? , P ?? ? 2 ? ? ? ,P ? ? 5 ? ? , P ? ?2 2 ? ? . 28 7 28 14 28 7 28 14
所 以 ? 所 有 可 能 的 取 值 为 1 , 2,2, 5,2 2 . 且 P ?? ? 1? ?

?

?

?

?

?

?

所以随机变量 ? 的分布列为:

?

1
2 7
7

2
1 7
7 14

2
3 14
7 14

5
2 7
7

2 2
……10 分

P

1 14

随机变量 ? 的数学期望为 E? ? 1? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 5 ? 2 ? 2 2 ? 1 ? 5 ? 2 2 ? 2 5 . 18. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求 解能力等,本小题满分 14 分) 证明: (1)因为等边△ ABC 的边长为 3,且

AD CE 1 ? , ? DB EA 2
D

A

? 所以 AD ? 1 , AE ? 2 .在△ ADE 中, ?DAE ? 60 ,

由余弦定理得 DE ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 .
2 2 2 因为 AD ? DE ? AE ,所以 AD ? DE .

E B C

折叠后有 A1D ? DE .因为二面角 A1 ? DE ? B 是直二面角,所以平面 A DE ? 平面 BCED . 1 又平面 A DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A DE , A1D ? DE , 1 1 所以 A1D ? 平面 BCED . 数学(理科)试题 A 第 5 页 共 10 页

(2)解法 1:假设在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 . 如图,作 PH ? BD 于点 H ,连结 A1H 、 A1 P .………………5 分 由(1)有 A1D ? 平面 BCED ,而 PH ? 平面 BCED , 所以 A1D ? PH .又 A D ? BD ? D , 1 所以 PH ? 平面 A BD .所以 ?PA H 是直线 PA1 与平面 A1 BD 所成 1 1 的角.设 PB ? x ? 0 ? x ? 3? ,则 BH ? H B P C D E

?

A1

x 3 , PH ? x. 2 2 1 x. 2
2 2

在 Rt △ PA H 中, ?PA H ? 60? ,所以 A1 H ? 1 1

1 1 ? ?1 ? ? DH ? 2 ? x . A1D2 ? DH 2 ? A1H 2 , 12 ? ? 2 ? x ? ? ? x ? . 在 Rt △ A1DH 中, 1D ? 1 , 由 得 解 A 2 2 ? ?2 ? ?
得x?

5 ,满足 0 ? x ? 3 ,符合题意.所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 2 5 60? ,此时 PB ? . 2

解法 2:由(1)的证明,可知 ED ? DB , A1D ? 平面 BCED . 以 D 为坐标原点,以射线 DB 、 DE 、 DA1 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系

D ? xyz 如图. 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? ,则 BH ? a , PH ? 3a , DH ? 2 ? a . A 1
所以 A ? 0,0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 .…………7 分 1 所以 PA1 ? a ? 2, ? 3a,1 .因为 ED ? 平面 A1 BD ,

z

?

?

?

?

????

?

?

D E B x H P C y

???? 所以平面 A1 BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0 .

?

?

因为直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,

?

???? ???? PA1 ?DE 3a 3, 所以 sin 60? ? ???? ???? ? ? 2 2 PA1 DE 4a ? 4a ? 5 ? 3
解得 a ?

5 5 .即 PB ? 2a ? ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意. 4 2
?

所以在线段 BC 上存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ,此时 PB ?

5 . 2

19. (本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识,考查数形结合思想、 数学(理科)试题 A 第 6 页 共 10 页

分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等,本小题满分14分) 解:要使函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点, 必须 ? f ?1?≥0, 即 ?2 ? 4a≥0, ?
? ?0 ? a ? 1, ? ? ? 0. ? ? f ? 0 ?≥0, ?1 ? 2a≥0,

? ?0 ? a ? 1, ? ?? ?2a ?2 ? 4 ?1 ? 2a ? ? 0. ?

解得 2 ? 1 ? a≤ .

1 2

所以当 2 ? 1 ? a≤ 时,函数 f ? x ? ? x2 ? 2ax ? 1 ? 2a 在 ?0,1? 上与 x 轴有两个不同的交点.…5分 下面求 g ? x ? ? x ? a ? ax 在 ? 0, ?? ? 上有最小值时 a 的取值范围: 方法1:因为 g ? x ? ? ?

1 2

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

①当 a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 和 ? a, ?? ? 上单调递减, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上无最小值;②当 a ? 1 时,

??1, g ? x? ? ? ??2 x ? 1,

x≥1, g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 ?1;………………………8分 x ? 1.

③当 0 ? a ? 1 时, g ? x ? 在 ? 0, a ? 上单调递减,在 ? a, ?? ? 上单调递增,

g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值 g ? a ? ? ?a2 .…………………………………………………………9分
所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值.……………………………………………10分 方法2:因为 g ? x ? ? ?

??1 ? a ? x ? a, ? ?? ?1 ? a ? x ? a, ?

x≥a, x ? a.

…………………………………………………………6分

因为 a ? 0 ,所以 ? ?1 ? a ? ? 0 . 所以函数 y1 ? ? ?1 ? a ? x ? a ? 0 ? x ? a ? 是单调递减的.………………………………………………7分 要使 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值,必须使 y2 ? ?1 ? a ? x ? a 在 ? a, ?? ? 上单调递增或为常数.……8分 即 1 ? a≥0 ,即 a≤1 . 所以当 0 ? a≤1 时,函数 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有最小值. ……………………………………………10分 若 ? ?p ? ? q 是真命题,则 ?p 是真命题且 q 是真命题,即 p 是假命题且 q 是真命题.……………11分 所以 ?0 ? a≤ ?
1 解得 2 ? 1, 或a ? , 2

0 ? a≤ 2 ?1 或

? ?0 ? a≤1. ?

1 ? a≤1 . 2

故实数 a 的取值范围为 ? 0, 2 ? 1? ? ? 1 ,1? . ? ? ?
?2 ?

数学(理科)试题 A

第 7 页 共 10 页

20. (本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算 求解能力和推理论证能力等,本小题满分14分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ? x, y ? ,依题意得, x ? ? y ? 1? ? y ? 1 .…………………………1 分
2 2

整理,得 x2 ? 4 y .所以轨迹 M 的方程为 x2 ? 4 y .…………………………………………………2 分 方法 2:设动圆圆心为 P ,依题意得点 P 到定点 F ? 0,1? 的距离和点 P 到定直线 y ? ?1 的距离相等, 根据抛物线的定义可知,动点 P 的轨迹是抛物线.……………………………………………………1 分 且其中定点 F ? 0,1? 为焦点,定直线 y ? ?1 为准线.所以动圆圆心 P 的轨迹 M 的方程为 x2 ? 4 y . (2)由(1)得 x2 ? 4 y ,即 y ?

1 2 1 x ,则 y? ? x . 4 2

设点 D ? x0 ,

? ?

1 1 2? x0 ? ,由导数的几何意义知,直线 l 的斜率为 k BC ? x0 .…………………………3 分 2 4 ?

由题意知点 A ? ? x0 , 则

? ?

1 2? ? 1 ? ? 1 ? x0 ? .设点 C ? x1 , x12 ? , B ? x2 , x2 2 ? , 4 ? ? 4 ? ? 4 ?

y

C

1 2 1 2 x1 ? x2 x ?x 1 ,即 1 4 k BC ? 4 ? 1 2 ? x0 x1 ? x2 4 2

x ? x2 ? 2 x0 .……4 分

1 2 1 2 x2 ? x0 x ?x 4 ?4 ? 2 0 x2 ? x0 4

E . 由 于 A BO l D x





k AC

1 2 1 2 x1 ? x0 x ?x 4 ?4 ? 1 0 x1 ? x0 4

k AB

k AC ? k AB ?

x1 ? x0 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? 2 x0 ? ? ? 0 ,即 k AC 4 4 4

? ?k AB .所以 ?BAD ? ?CAD .

(3)方法 1:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .………………………………8 分 2
1 2 x0 ? ? ? x ? x0 ? . 4

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,直线 AB 的方程为: y ?

1 2 ? 1 2? ? y ? x0 ? ? ? x ? x0 ? , ? 由 ? 解 得 点 B 的 坐 标 为 ? x0 ? 4, ? x0 ? 4 ? ? . 所 以 4 4 ? ? ? x 2 ? 4 y. ?
A B 2 ?

?

0

x ?4 ?

?

?

?0 ? x

2 ? 20 . x
?

2 ?

由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,同理可得 AC ? 2 2 x0 ? 2 .………………………………11 分 所以△ ABC 的面积 S ?

1 ? 2 2 x0 ? 2 ? 2 2 x0 ? 2 ? 4 x0 2 ? 4 ? 20 , 2

解得 x0 ? ?3 .当 x0 ? 3 时,点 B 的坐标为 ? ?1, ? , k BC ? 数学(理科)试题 A

? ?

1? 4?

3 , 2

第 8 页 共 10 页

直线 BC 的方程为 y ?

1 3 ? ? x ? 1? ,即 6 x ? 4 y ? 7 ? 0 . 4 2

当 x0 ? ?3 时,点 B 的坐标为 ? ?7, 直线 BC 的方程为 y ?

? ?

3 49 ? ? , k BC ? ? 2 , 4 ?

49 3 ? ? ? x ? 7 ? ,即 6 x ? 4 y ?7 ? 0 . ……………………………………14 分 4 2

方法 2:由点 D 到 AB 的距离等于

2 AD ,可知 ? BAD ? 45? .…………………………………8 分 2

? ? 由(2)知 ?CAD ? ?BAD ? 45 ,所以 ?CAB ? 90 ,即 AC ? AB .

由(2)知 k AC ?

x1 ? x0 x ? x0 x ? x0 x2 ? x0 ? ? ?1. , k AB ? 2 .所以 k AC k AB ? 1 4 4 4 4
① ②
? ? x2 ? x0 ? 4.

即 ? x1 ? x0 ?? x2 ? x0 ? ? ?16 . 由(2)知 x1 ? x2 ? 2 x0 .

不妨设点 C 在 AD 上方(如图) ,即 x2 ? x1 ,由①、②解得 ? x1 ? x0 ? 4, …………………………10分 因为 AB ? ? x ? x ?2 ? ? 1 x 2 ? 1 x 2 ? ? 2 2 x ? 2 , 2 0 0 ? 0 ? 2
?4 4 ?
2

同理 AC ? 2 2 x0 ? 2 .以下同方法1. 21. (本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识,考查运算求解能力和推理论 证能力等,本小题满分14分) 证明: (1)因为 f ? 0? ? ?1 ? 0 , f ?1? ? n ? 0 ,且 f ? x ? 在 R 上的图像是一条连续曲线,
2

所以函数 f ? x ? 在 ? 0, 内有零点.因为 f ? ? x ? ? 3x ? n ? 0 ,所以函数 f ? x ? 在 R 上单调递增.所 1?
2 2

以函数 f ? x ? 在 R 上只有一个零点,且零点在区间 ? 0, 内.而 an 是函数 f ? x ? 的零点,所以 0 ? an ? 1 . 1? (2)先证明左边的不等式: 因为 an ? n an ?1 ? 0 ,由(1)知 0 ? an ? 1 ,所以 an ? an .即 1 ? n an ? an ? an .
3 2
3

2

3

所以 a

n

?

1 1 1 . 1 .所以 a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 ? ??? 2 1 ? 1 22 ? 1 n ?1 n2 ? 1

以下证明 2 1 ? 21 ? ? ? 21
1 ?1 2 ?1

n ?1

?

n . n ?1
1 1 1 , ? ? n ? n ? 1? n n ? 1
? ? ?



方法 1(放缩法) :因为 a ? 1 ? n 2
n ?1

所以 a ? a ? ? ? a ? ?1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ? n . 1 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? n ?1 n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1
? ? ? ? ?

数学(理科)试题 A

第 9 页 共 10 页

方法 2(数学归纳法) :1)当 n ? 1 时,

1 1 ? ,不等式①成立. 1 ?1 1?1
2

* 2)假设当 n ? k ( k ? N )时不等式①成立,即 1 ? 1 ? ? ? 1 ? k . 2 2 2

1 ?1 2 ?1

k ?1

k ?1

那么 1

k 1 1 1 1 . ? ? ? ??? 2 ? 2 12 ? 1 22 ? 1 k ? 1 ? k ? 1?2 ? 1 k ? 1 ? k ? 1? ? 1
1 k ?1

? k ? 1? . ②即证 1 ? k ? 1? ? k . ? 2 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1 ? k ? 1? ? 1 k ? 1 1 1 ? 2 即证 2 .由于上式显然成立,所以不等式②成立. k ? 2k ? 2 k ? 3k ? 2
以下证明 k ?

? k ? 1?

2

?1

?

即当 n ? k ? 1 时不等式①也成立.根据 1)和 2) ,可知不等式①对任何 n ? N 都成立.
*

所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?

n . n ?1
3

再证明右边的不等式:当 n ? 1 时, f ? x ? ? x ? x ?1 . 由于 f ? 1 ? ? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? 3 ? 0 , f ? 3 ? ? ? 3 ? ? 3 ? 1 ? 11 ? 0 , ? ? ? ? ? ? ? ? 64 8 ?4? ?4? 4 ? 2? ? 2? 2
3

3

所以 因

1 ? a3 1 1 3 ? a1 ? .由(1)知 0 ? an ? 1 ,且 an3 ? n2an ?1 ? 0 ,所以 an ? 2 n ? 2 . 2 4 n n
为 当
3 ? 4

n≥2





1 1 1 ? ? ? 2 n ? n ? 1? n n ? 1 n
1 1 3 ? 1 ? 1? ? 1 . 2 1n 2

,1 所





n≥2





a1 ?

?2 ? a

a3 ? ? a4? ? n

2

1? 1? 1 1 ? ?1 ? ? ?a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 3? 3 ?2 ? ? n ? 4n ?

* 所以当 n ? N 时,都有 a1 ? a2 ? ? ? an ?

3 . 2

综上所述,

n ? a ? a ? ? ? an ? 3 . n ?1 1 2 2

数学(理科)试题 A

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