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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2


2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
2.3.1 平面向量基本定理

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【课标要求】 1. 通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体会平面向量定 理的含义,了解基底的含义. 2.理解并掌握平面向量基本定理. 3.掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义. 【核心扫描】 1.平面向量基本定理.(重点) 2.平面向量基本定理的应用.(难点) 3.两个向量的夹角与两条直线所成的角.(易混点)

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自学导引 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的 a= λ1e1+λ2e2 (2)基底:

任意 向量 a,有且只有一对实数 λ1,λ2,使
.

不共线 的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向

量的一组基底. 想一想:平面向量的基底唯一吗? 提示 基底.
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不唯一.只要两个向量不共线,都可以作为平面的一组

2.两向量的夹角与垂直 (1)夹角:已知两个 则 ∠AOB
非零

→ → 向量 a 和 b,作OA=a,OB=b,

=θ 叫做向量 a 与 b 的夹角.

①范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是 0° ≤θ≤180° . 同向 ②当 θ=0° a 与 b 时 . 反向 ③当 θ=180° a 与 b 时 . (2)垂直:如果 a 与 b 的夹角是 记作 a⊥b.
90°

,则称 a 与 b 垂直,

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名师点睛 1.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理中, 实数 λ1, 2 的唯一性是相对于基底 e1, λ e2 而言的,平面内任意两个不共线的向量都可作为基底,一旦 选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的.

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(3)这个定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问 题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底 化归,使问题得以解决. 提醒 灵活应用三角形法则、平行四边形法则是学好用好平面 向量基本定理的关键.

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2.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的 选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为 这个平面内所有向量的一组基底的条件.

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(2)关于基底的一个结论 设 e1,e2 是平面内一组基底,当 λ1e1+λ2e2=0 时,恒有 λ1=λ2 =0.用反证法证明如下: λ2 假设 λ1≠0,则由 λ1e1+λ2e2=0 得 e1=-λ e2,所以 e1∥e2,与 1 已知 e1,e2 是平面内一组基底矛盾,因此假设不成立,λ1=0, 同理 λ2=0.综上 λ1=λ2=0,该结论的应用十分广泛. (3)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.

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题型一 利用基底来表示向量 → 【例 1】 如图,四边形 OADB 是以OA=a, → =b 为边的平行四边形,又 BM=1BC, OB 3 1 → → → CN=3CD,试用 a、b 表示OM、ON、MN. [思路探索] 根据平面向量基本定理,所要表示的向量先在其中 的一个三角形中用两个向量表示出来,再寻找这两个向量与其 他向量的关系,以至找出所要表示的向量与基底的关系.
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1→ → =OB+BM=b+1BC=b+1·BA=b+1(a-b)=1a+5b, → → → 解 OM 3 32 6 6 6 1→ → =OC +CN=OC+1CD= 1OD+1· OD=2OD=2(a+b)= 2a → → → → → → ON 3 2 32 3 3 3 2 +3b,
?1 5 ? 1 1 1→ 1 → → → → → MN=MC+CN=(OC-OM)+3CD=2(a+b)-?6a+6b?+3×2(a ? ?

1 1 +b)=2a-6b.

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规律方法 (1)用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减 法的三角形法则或平行四边形法则结合实数与向量的积的定 义,解题时要注意解题途径的优化与组合. (2)将向量 c 用 a,b 表示,常采用待定系数法,其基本思路是 设 c=xa+yb,其中 x,y∈R,然后得到关于 x,y 的方程组求 解.

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【变式 1】 在平行四边形 ABCD 中, M、N 分别是 CD、BC 的中点, → → 设AM=a、AN=b.试以 a、b 为基底 → → 表示向量AB和AD. 解 根据向量加法的三角形法则有

→ → → → → → AB+BN=AN、AD+DM=AM, ?→ 1 → ?AB+2AD=b, 即? → → ?AD+1AB=a, 2 ? 2 4 ?→ ?AB=-3a+3b, 解得? → ?AD=4a-2b. 3 3 ?
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题型二

向量的夹角问题

【例 2】 已知|a|=|b|=2,且 a 与 b 的夹角为 60° ,则 a+b 与 a 的夹角是多少?a-b 与 a 的夹角又是多少? [思路探索] 可先作图,再利用平面几何知识求解. → → 解 如图所示,作OA=a,OB=b,且∠AOB=60° . 以 OA,OB 为邻边作?OACB, → → → 则OC=OA+OB=a+b, → → → BA=OA-OB=a-b.∵|a|=|b|=2, ∴△OAB 是等边三角形. ∴四边形 OACB 是菱形.
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→ → ∴OC与OA的夹角是 30° → 与OA的夹角为 60° ,BA → . 即 a+b 与 a 的夹角为 30° ,a-b 与 a 的夹角为 60° . 规律方法 求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向

量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一作二证三算”的步骤 求出.

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【变式 2】 已知|a|=|b|=2,且 a+b 和 a 的夹角和 a-b 和 a 的夹角相等,求 a 与 b 的夹角. → → 解 如图,作OA=a,OB=b, 以 OA,OB 为邻边作?OACB, → → → → 则OC=a+b,BA=OA-OB=a-b, → → BC=OA=a, ∴a+b 与 a 夹角为∠AOC, a-b 与 a 夹角为∠ABC,a 与 b 夹角为∠AOB.

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∵|a|=|b|, ∴?OACB 为菱形, 1 1 ∴∠AOC=2∠AOB,∠ABC=2∠OBC, 由已知得∠AOC=∠ABC, ∴∠AOB=∠OBC=90° ,即 a 与 b 的夹角为 90° .

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题型三 利用平面向量基本定理求参数
? ? ? ? → ?=1, → ?= 3, 【例 3】 已知 OA? ?OB? ∠AOB=90° 点 C 在∠AOB , ? ? ? ? ? ? ?

m → → → 内,且∠AOC=30° .设OC=mOA+nOB(m、n∈R),求 的值. n [思路探索] 利用平面向量基本定理、共线和待定系数法求解.

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解 如图所示, → ⊥OA.不妨设? → ?=2, ? ? ∵OB → ?OC? ? ? → → → → 过 C 作CD⊥OA于 D,CE⊥OB于 E, 则四边形 ODCE 是矩形, → → → → → OC=OD+DC=OD+OE.
? ? ? ? ? ?→ ? ? → ? → ?=2,∠COD=30° ∵ OC? ,∴?DC?=1,?OD?= 3, ? ? ? ? ? ? ? ? ?

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→ → → → ? ? → ?= 3,? → ?=1,故OD= 3OA,OE= 3OB, 又∵ OB? ? ?OA? ? ? ? 3
? ? ? ?

3→ → → ∴OC= 3OA+ 3 OB, 3 m 3 此时 m= 3,n= ,∴ = =3. 3 n 3 3

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规律方法

本题实际上就是平面向量基本定理的应用,把向量

c 分解成不共线的两个向量 a、b 的线性表示,对于这类问题我 们可以采用待定系数法,列出方程进而求出待定的系数,然后 写出表达式.

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→ 1→ 【变式 3】 (2012· 大庆高一检测)在△ABC 中,AD= AB,DE 4 ∥BC,且 DE 与 AC 相交于点 E,M 是 BC 的中点,AM 与 DE → → → 相交于点 N,若AN=xAB+yAC(x,y∈R),则 x+y=( A.1 解析 1 B.2
?

).

1 C.4
?

1 D.8

→ →? → 1??? → → ??? 1?1AB+1AC? 1 → 1 → AN=2?AD+AE?=2?4 =8AB+8AC,∴x=y= 4

1 1 1 1 ,即 x+y= + = . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → → 【例 4】 如图所示,在△OAB 中,OA=a,OB=b,M、N 分 → =1a,ON=1b,设AN与BM交 → → → 别是边 OA、OB 上的点,且OM 3 2 → 于点 P,试以 a、b 为基底表示OP.

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审题指导 → → → → → → → 从OP=OM+MP,OP=ON+NP两个角度表示OP → → → → → 引入参数m,n,设MP=mMB,NP=nNA → 建立等量关系 → → 确定参数 → 表示出OP

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[规范解答] ∵A、P、N 三点共线,B、P、M 三点共线, → → 设MP=mMB, → → NP=nNA, → → → → → → ∵OP=OM+MP,OP=ON+NP, → → → 则OP=OM+mMB
? 1 ? 1 1 =3a+m?b-3a?=3(1-m)a+mb, ? ?

(2 分)

→ → → OP=ON+nNA 1 = (1-n)b+na. 2
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(8 分)
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∵a 与 b 不共线, ?1 ?3?1-m?=n ∴? ?1?1-n?=m ?2 → =1a+2b. ∴OP 5 5

1 2 ?n=5,m=5

(11 分)

(12 分)

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【题后反思】 该类问题以向量的表示为载体,融三点共线、平 面向量基本定理于其中,在知识构建上既有横向联系,又有纵 向加深,求解过程中,首先立足三点共线,引入适当参数建立 向量间的等量关系,在此基础上利用平面向量基本定理建 立待求向量与基向量的关系.最后利用同一平面内,同一向量 用同一基底表示的唯一性求解相应参数,并得出结论.

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【变式 4】 如图所示,已知在△AOB 中, 点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点, → → OD=2DB,DC 和 OA 交于点 E, → → 设OA=a,OB=b. → → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE=λOA,求实数 λ 的值.

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→ 2→ 解 (1)由题意 A 是 BC 的中点,且OD=3OB, → → → 由平行四边形法则得OB+OC=2OA. → → → ∴OC=2OA-OB=2a-b, → =OC-OD=(2a-b)-2b=2a-5b. DC → → 3 3

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→ → → → → (2)EC∥DC.又∵EC=OC-OE=(2a-b)-λa → =2a-5b, =(2-λ)a-b,DC 3 2-λ 1 ∴ 2 =5, 3 4 ∴λ=5.

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误区警示 未弄清向量的夹角而出错 → → → → 【示例】 已知OA=2a,OB=2b,OC=-a+3b,求向量BA与 → BC的夹角. → → → → → → [错解] 由已知得,BA=OA-OB=2a-2b,BC=OC-OB=(- → → → → a+3b)-2b=-a+b,显然BA=-2BC,可见BA与BC共线,故 → → BA与BC的夹角为 0° .

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两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况, 当 两个向量同向共线时,其夹角为 0° ,当两个向量反向共线时, 其夹角为 180° .上面的解答没有注意到这个问题,导致出错. → → → → → → [正解] 由已知得,BA=OA-OB=2a-2b,BC=OC-OB=(- → → → → a+3b)-2b=-a+b,显然BA=-2BC,可见BA与BC共线,且 → → 是反向共线,故BA与BC的夹角为 180° .

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求两个向量的夹角时, 应把这两个向量平移到起点重 合的位臵,若不便于平移,就需要作辅助线.两向量的夹角的 范围是[0° ,180° ],当两向量同向共线时,其夹角为 0° ;当两 个向量反向共线时,其夹角为 180° .

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