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上海市华东师大二附中2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题


华师大二附中 2013 学年第二学期期末考试(理科卷)
(时间 90 分钟,满分 100 分)

高二数学试卷
一. 填空题(每题 3 分,共 36 分) 1.表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的_______。 2.在空间刻画两条异面直线的位置关系,需要用异面直线的_____________。 3.掷一颗均匀的骰子,若随机事件 A

表示“出现奇数点” ,则 A 的对立事件 B 表 示__________。 4. 若 三 棱 柱 ABC — A' B' C' 的 体 积 是 12 , 则 四 棱 锥 C'— A' B' BA 的 体 积 是 ________。 5.四面体的 4 个顶点和 6 条棱的 6 个中点可以确定_______条直线。 6.若正四面体 ABCD 的棱长为 1 , M 是 AB 的中点,则 MC ? MD ? _________。 7.若 ( n ? a ) n 展开式中 a 的系数是 256 ,则 n ? ________。 8.若三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为 60? ,底面三角形三边为 3、 、 ,则 4 5 此三棱锥的侧 面积为____________。 9.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是 70 %至 80 %。写出下列 解释中正确的序号____________。 ①上海地区面积的 70 %至 80 %将降雨; ②上海地区下雨的时间在 16 .8 小时至 19 .2 %小时之间; ③上海地区在相似的气候条件下有 70 %至 80 %的日子是下雨的; ④上海地区在相似的气候条件下有 20 %至 30 %的日子是晴,或多云,或阴。 10.已知 ABCD? A' B' C' D' 是单位正方体, 黑、 白两只蚂蚁同时从点 A 出发沿棱向 前爬行,每 走完一条棱称为“走完一段” 。黑蚂蚁爬行的路线是 AA' ? A' D' ? ?,白蚂蚁 爬行的路线是
AB ? BB' ? ? 。它们都遵循如下规则:所爬行的第 k ? 2 段与第 k 段所在的直 线必须是异

面直线(其中 k 是正整数) 。设黑、白两只蚂蚁走完 100 段后各停留在正方体的 某个顶点处, 此时黑、白两只蚂蚁的距离是_________。

B C D E F G D 11.若把 A、 、 、 、 、 、 七人排成一排, A、 必须相邻, C、 不能相邻 则 且 B 的概率是

_______(结果用数值表示) 。 12.由棱长为 a 的正方体的每个面向外侧作侧棱为 a 的正四棱锥, 以这些棱锥的顶 点为顶点的 凸多面体的全面积是_______________。 二. 选择题(每题 3 分,共 12 分) 13. 在 统 计 中 , 样 本 的 方 差 可 以 近 似 地 反 映 出 总 体 的 ( ) ( A )平均状态; ( B )分布规律; ( C )波动大小; ( D )最大值 和最小值。 14.在一个倒置的正三棱锥容器中,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都 接触,经过棱 锥 的 一 条 侧 棱 和 高 作 截 面 , 正 确 的 截 面 图 为 ( )

A

B

C

D

15.有 13 对夫妇参加活动,每位男士与所有的人(除自己的妻子)握手,但妇女 之间不握手, 这 人 之 间 共 握 手 26 ( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 ( A )C26 次; ( B )C26 ? C13 ? C13 次; ( C )C26 ? C13 次; ( D )C26 ? C13 次。 16.若一个圆锥和一个半球有公共的底面,且它们的体积相等,则圆锥的轴截面 的顶角是 ( ) ( A) arccos 4 ;
3

(B) arccos 5 ;

4

(C ) arccos 5 ;

3

(D) arccos

5 5



三.解答题(共 52 分) 17. ( 8 分 ) 已知正方体的棱长为 3 cm ,在每一个面的正中有一个正 方形孔贯通到对面,孔的边长为 1 cm ,孔的各棱与正方体的棱 要么平行,要么垂直。 (1)求该几何体的体积; (2)求该几何体的表面积。 18. (10 分 ) 已知球 O 与球 P 在棱长为 1 正方体内外切,球 O 与球 P 至少与正方体 的三个面相 切,且正方体的中心在线段 OP 上。

(1)求两球的半径之和; (2)求两球面积之和的最大值和最小值。
A' D' B' C'

19. (10 分 ) 在高为 1的直四棱柱 ABCD? A' B' C' D' 中,底面 ABCD 是等腰梯形, AB ? BC ? CD ? 1, ? 2 。 AD (1)求异面直线 BC' 与 CD' 所成的角; (2)求被截面 ACD' 所截的两部分几何体的体积比。

A B C

D

20. (12 分 ) 点 A 从坐标原点出发,每次等可能地或向右、或向左、或向上、或向 下平移一个单 位。经过 4 次平移后,点 A 的坐标是 ( x, ) ,此事件发生的概率是 p ( x, ) 。 y y (1)求 p ( 4, ) 和 p ( 3,) ; 0 1 (2)求 p ( 2, ) 和 p (1,) ; 0 1 (3)当点 A 的坐标是 ( x, ) 时,随机变量 ? 表示获得 64 ( | x | ? | y | ) 元的奖金,求 ? y 的数学期望。
0 1 2 2 2 21. (12 分 ) 在 ( x 2 ? x ? 1)n ? Dn x 2 n ? Dn x 2 n ?1 ? Dn x 2 n - 2 ? ? ? Dn n ?1 x ? Dn n 的展开式 0 中,把 Dn , 1 Dn , n , , n n 叫做三项式的 n 次系数列。 D2 ? D2

(1)写出三项式的 2 次系数列和 3 次系数列; (2)列出杨辉三角形类似的表 ( 0 ? n ? 4, ? N ) ,用三项式的 n 次系数表示 n 0 1 k ?1 Dn ?1 , n ?1 , n ?1 D D
(1 ? k ? 2 n ? 1) ;
3 (3)用二项式系数表示 Dn 。

华师大二附中 2013 学年第二学期期末考试高二数学(理科卷) 解答
一.填空题(每题 3 分,共 36 分) 1.表示随机事件发生的可能性大小的数叫做该事件的 概率 。 2.在空间刻画两条异面直线的位置关系,需要用异面直线的 距离和夹角 。 3.掷一颗均匀的骰子,若随机事件 A 表示“出现奇数点” ,则 A 的对立事件 B 表 示出现偶数点。 4.若三棱柱 ABC — A' B' C' 的体积是 12 ,则四棱锥 C'— A' B' BA 的体积是 12 。 5.四面体的 4 个顶点和 6 条棱的 6 个中点可以确定 33 条直线。 6.若正四面体 ABCD 的棱长为 1 , M 是 AB 的中点,则 MC ? MD ? 7.若 ( n ? a ) n 展开式中 a 的系数是 256 ,则 n ? 4 。
4 5 8.若三棱锥各侧面与底面所成的二面角均为 60? ,底面三角形三边为 3、 、 ,则
1 4



此三棱锥的侧 面积为 12 。 9.据上海中心气象台发布的天气预报,一月上旬某天上海下雨的概率是 70 %至 80 %。写出下列 解释中正确的序号 ③ 。 ①上海地区面积的 70 %至 80 %将降雨; ②上海地区下雨的时间在 16 .8 小时至 19 .2 %小时之间; ③上海地区在相似的气候条件下有 70 %至 80 %的日子是下雨的; ④上海地区在相似的气候条件下有 20 %至 30 %的日子是晴,或多云,或阴。 10.已知 ABCD? A' B' C' D' 是单位正方体, 黑、 白两只蚂蚁同时从点 A 出发沿棱向 前爬行,每走完一条棱称为“走完一段” 黑蚂蚁爬行的路线是 。 白蚂蚁爬行的路线是 AB ? BB' ? ? 。 它们都遵循如下规则: AA' ? A' D' ? ?, 所爬行的第 k ? 2 段与第 k 段所在的直线必须是异面直线(其中 k 是正整数) 。 设黑、白两只蚂蚁走完 100 段后各停留在正方体的某个顶点 处,此时黑、白两只蚂蚁的距离是 2 。 11.若把 A、 、 、 、 、 、 七人排成一排, A、 必须相邻, C、 不能相邻 则 且 B C D E F G D B 的概率是
4 21

(结果用数值表示) 。

12.由棱长为 a 的正方体的每个面向外侧作侧棱为 a 的正四棱锥, 以这些棱锥的顶 点为顶点的 凸多面体的全面积是 ( 3 3 ? 2 6 ) a 2 。 二.选择题(每题 3 分,共 12 分) 13. 在 统 计 中 , 样 本 的 方 差 可 以 近 似 地 反 映 出 总 体 的 ( C ) ( A )平均状态; ( B )分布规律; ( C )波动大小; ( D )最大值 和最小值。 14.在一个倒置的正三棱锥容器中,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都 接触,经过棱 锥 的 一 条 侧 棱 和 高 作 截 面 , 正 确 的 截 面 图 为 ( B )

D C A B 15.有 13 对夫妇参加活动,每位男士与所有的人(除自己的妻子)握手,但妇女 之间不握手, 这 人 之 间 共 握 手 26 ( B ) 2 2 1 2 2 1 2 2 ( A )C26 次; ( B )C26 ? C13 ? C13 次; ( C )C26 ? C13 次; ( D )C26 ? C13

次。 16.若一个圆锥和一个半球有公共的底面,且它们的体积相等,则圆锥的轴截面 的顶角是 (

C )
( A) arccos 4 ;
3

(B) arccos 5 ;

4

(C ) arccos 5 ;

3

(D) arccos

5 5



三.解答题(共 52 分) 17. ( 8 分 ) 已知正方体的棱长为 3 cm ,在每一个面的正中有一个正 方形孔贯通到对面,孔的边长为 1 cm ,孔的各棱与正方体的棱 要么平行,要么垂直。 (1)求该几何体的体积; V ? 27 ? 7 ? 20 ( cm3 ) 。 (2)求该几何体的表面积。 S ? 6 ? ( 9 ? 1 ? 4 ) ? 72 ( cm2 ) 。 18. (10 分 ) 已知球 O 与球 P 在棱长为 1 正方体内外切,球 O 与球 P 至少与正方体 的三个面相 切,且正方体的中心在线段 OP 上。 (1)求两球的半径之和; 设球 O 、球 Q 的半径分别是 r1 、2 。 r ∵
( 3 ? 1) r1 ? ( 3 ? 1) r2 ? ( 3 ? 1) ( r1 ? r2 ) ? 3 ,
3? 3 2



r1 ? r2 ?

3? 3 2



(2)求两球面积之和的最大值和最小值。 记a ? 。
a 2

S ? 4? ( r12 ? r22 ) ? 4 ? ( 2 r12 ? 2 a r1 ? a 2 ) ? 8? [ ( r1 ?

)2 ?

1 4 1 2

a2 ] ,

2? 3 2

? r1 ?

1 2



当 r1 ?

3? 3 4

时,Smin ? 3 ( 2 ? 3 ) ? ; r1 ? 当

2? 3 2

, r1 ? 或

时,Smax ? 4 ( 2 ? 3 ) ? 。
A' B' C' D'

19. (10 分 ) 在高为 1的直四棱柱 ABCD? A' B' C' D' 中,底面 ABCD 是等腰梯形, AB ? BC ? CD ? 1, ? 2 。 AD (1)求异面直线 BC' 与 CD' 所成的角; 由已知 ABCD 和 A' B' C' D' 是全等的底角为 60? 的等腰梯形, B' BCC' 和 C 'CDD' 是边长为 1的正方形。 设 AD 的中点为 E , A' D' 的中点为 E ' ,连接 BE' 。 ∵ BCDE ? B' C' D' E' 是底面为菱形的直四棱柱, ∴ BE' // CD' , ? E ' BC ' 是异面直线 BC' 与 CD' 所成的角。
C ∵ 在 ? BC ' E ' 中, BC ' ? BE ' ? 2, ' E ' ? 1 , cos? E ' BC' ?

A B C

D

2? 2?1 2? 2 ? 2

?

3 4



∴ 异面直线 BC' 与 CD' 所成的角是 arccos 4 。 (2)求被截面 ACD' 所截的两部分几何体的体积比。 ∵
VD '? A
C

3

?

D

1 3

?

1 2

? 3 ? 1? 1 ?

3 6

, V柱 ?

1? 2 2

?

3 2

?1 ?

3 3 4



V柱 ? VD '? ACD ?

3 3 4

?

3 6

?

7 3 12



∴ 被截面 ACD' 所截的两部分几何体的体积比是 2: 。 7 20. (12 分 ) 点 A 从坐标原点出发,每次等可能地或向右、或向左、或向上、或向 下平移一个单 位。经过 4 次平移后,点 A 的坐标是 ( x, ) ,此事件发生的概率是 p ( x, ) 。 y y (1)求 p ( 4, ) 和 p ( 3,) ; 0 1 设 点 A 向 右 、 向 左 、 向 上 、 向 下 平 移 的 次 数 分 别 是 i 、 、 、 ( i 、 、 、? N ,? j ? k ? l ? 4 ) 。 j k l j k l i ∵ ( x, ) ? ( i ? j , ? l ) ? ( 4, ) ? i ? j ? 4, ? l ? 0 ? i ? 4, ? 0, ? 0, ? 0 , y k 0 k j k l ∴ ∵ ∴
p ( 4, ) ? 0
1 44
1 C4 4 4

?
?

1 256



( x, ) ? ( i ? j , ? l ) ? ( 3,) ? i ? j ? 3, ? l ? 1 ? i ? 3, ? 0, ? 1, ? 0 , y k 1 k j k l
p ( 3,) ? 1
1 64



(2)求 p ( 2, ) 和 p (1,) ; 0 1 ∵ ( x, ) ? ( i ? j , ? l ) ? ( 2, ) ? i ? j ? 2, ? l ? 0 y k 0 k ? i ? 3, ? 1, ? 0, ? 0 ,或 i ? 2, ? 0, ? 1,? 1 j k l j k l ∴ ∵ ∴
p ( 2, ) ? 0
1 C4 4 4

?

P42 44

?

1 16



( x, ) ? ( i ? j , ? l ) ? (1,) ? i ? j ? 1, ? l ? 1 y k 1 k ? i ? 2, ? 1, ? 1, ? 0 ,或 i ? 1, ? 0, ? 2, ? 1 j k l j k l p (1,) ? 1
P42 44

?

P42 44

?

3 32



(3)当点 A 的坐标是 ( x, ) 时,随机变量 ? 表示获得 64 ( | x | ? | y | ) 元的奖金,求 ? y 的数学期望。 ∵ ( x, ) ? ( i ? j , ? l ) ? ( 2, ) ? i ? j ? 2, ? l ? 2 ? i ? 2, ? 0, ? 2, ? 0 , y k 2 k j k l ∴
p ( 2, ) ? 2
2 C4 4 4

?

3 128


1 3 32

E? ? 0 ? p ( 0, ) ? 128 ? 4 ? 16 ? 128 ? 4 ? 0


? 256 ? 4 ?

1 256

? 256 ? 8 ?

1 64

? 256 ? 4 ? 128 ? 140

3

0 1 2 2 2 21. (12 分 ) 在 ( x 2 ? x ? 1)n ? Dn x 2 n ? Dn x 2 n ?1 ? Dn x 2 n - 2 ? ? ? Dn n ?1 x ? Dn n 的展开式 0 中,把 Dn ,

1 Dn , n , , n n 叫做三项式的 n 次系数列。 D2 ? D2

(1)写出三项式的 2 次系数列和 3 次系数列; ∵ ( x 2 ? x ? 1)2 ? x 4 ? x 2 ? 1 ? 2 x3 ? 2 x 2 ? 2 x ? x 4 ? 2 x3 ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 , 0 D1 D2 D3 D4 ∴ D2 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 3, 2 ? 2, 2 ? 1 。 ∵ ( x 2 ? x ? 1)3 ? ( x 4 ? 2 x3 ? 3 x 2 ? 2 x ? 1) ( x 2 ? x ? 1) ? x 6 ? 3 x5 ? 6 x 4 ? 7 x3 ? 6 x 2 ? 3 x ? 1 , 0 D1 D D3 D D5 D6 ∴ D3 ? 1, 3 ? 3, 32 ? 6, 3 ? 7, 34 ? 6, 3 ? 3, 3 ? 1 。

(2)列出杨辉三角形类似的表 ( 0 ? n ? 4, ? N ) ,用三项式的 n 次系数表示 n 0 1 k ?1 Dn ?1 , n ?1 , n ?1 D D
(1 ? k ? 2 n ? 1) ; 1
1 1 1 3 2 6 1 3 7 1 2 6 1 3 1

1 4 10 16 19 16 10 4 1
0 0 1 0 k k k Dn ?1 ? Dn ? 0, n ?1 ? Dn ? Dn ? n ? 1, n ?1 ? Dn ?1 ? Dn ? Dn ?1 (1 ? k ? 2 n ? 1) 。 D1 D k ?1 3 (3)用二项式系数表示 Dn 。 1 0 1 2 2 0 1 D12 ? 1, 2 ? D10 ? D1 ? D12 ? 3 ? C32 , 32 ? D2 ? D2 ? D2 ? 6 ? C4 , 4 ? D3 ? D3 ? D32 ? 10 ? C52 , , D2 D D2 ? 2 0 1 2 2 2 ? Dn ?1 ? Dn ? 2 ? Dn ? 2 ? Dn ? 2 ? 1 ? n ? 2 ? Cn ?1 ? Cn 。

∵ ∴ ∵ ∴

3 1 2 3 Dn ? Dn ?1 ? Dn ?1 ? Dn ?1 , 3 3 1 2 1 2 2 Dn ? Dn ?1 ? Dn ?1 ? Dn ?1 ? Cn ? Cn ? 1 ? Cn ?1 ? 1 。 3 3 2 3 3 2 3 2 D3 ? D2 ? C4 ? 1 , 4 ? D3 ? C52 ? 1 , 5 ? D4 ? C6 ? 1 , , n ? Dn ?1 ? Cn ?1 ? 1 , D3 D3 ? D3 3 3 2 2 2 Dn ? D2 ? C4 ? C52 ? C6 ? ? ? Cn ?1 ? ( n ? 2 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 ? ( C5 ? C4 ) ? ( C6 ? C5 ) ? ( C7 ? C6 ) ? ? ? ( Cn ? 2 ? Cn ?1 ) ? ( n ? 2 )

3 3 ? Cn ? 2 ? C4 ? ( n ? 2 ) 3 ? Cn ? 2 ? ( n ? 2 ) 。



3 3 1 Dn ? Cn ? 2 ? Cn 。


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