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甘肃省天水一中2014届高三上学期第三阶段考试数学(文)试题Word版含答案


天水一中 2011 级(高三)2013-2014 学年度第一学期 第三阶段考试
命题人:张志义

(数学文科)
审题人:蔡恒录

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A={1,2,3,5},B={2,4,6},则下 图中阴影表示的集合为 ( )

A.{2} 2.已知 sin ? ? A. ?

B.{4,6}

C.{1,3,5} ( )

D.{4,6,7,8}

2 ,则 cos( ? ? 2? ) ? 3
B. ?

5 3

1 9
3

C.

1 9
(

D. ) D. ?

5 3

???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 3.在 VABC 中,已知 AD ? 2DB ,且 CD ? CA ? ? CB ,则 ? ?

A.

2 3

B.

1 3

C.

?

1 3

2 3


4.若等差数列 ?a n ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a 7 成等比数列,则 A.2
2 2

a2 ?( a1

B.

2 3
( )

C.

1 2

D.

3 2

5.下列命题是真命题的是 C. ?x ? R , 2 > x
x
2

A. a ? b 是 ac ? bc 的充要条件

B. a ? 1 , b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 D. ?x0 ? R , e 0 < 0 ( ).
x

6.直线 x+ay+1=0 与直线(a+1)x-2y+3=0 互相垂直,则 a 的值为

A.-2

B.-1

C .1

D.2

? x ? 0, ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A. 0 B. 2 ( C. 4 ) B. log 4 3 ? 0.4 ? 3
3 0.4





D. 6

8.下列大小关系正确的是 A. 0.4 ? 3
3 0.4

? log 4 3

C. 0.4 ? log 4 3 ? 3
3

0.4

D. log 4 3 ? 3

0.4

? 0.4 3

9.函数 y ? f ( x ) 的图像如图所示,在区间 ? a, b ? 上可找到 n(n ? 2) 个不同的数 x1 , x2 ,? , xn ,使得 的取值范围为 A. ?2,3? ( ) C ?3, 4? D. ?3, 4,5?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n ? ?? ? x1 x2 xn

B. ?2,3, 4?

10 .若定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2? ? f ?x ? 且 x ? ?0,1? 时 , f ?x ? ? x, 则方程

f ? x ? ? log3 x 的零点个数是
A. 2 个 B. 3个

(

) C. 4 个 D. 多于 4 个

11.已知 f ( x) ? 2sin(? x+? ) ( ? >0 , ?

?
2

?? ?

?
2

) , A、B 为图象上两点,B 是图象的

最高点,C 为 B 在 x 轴上的射影,且点 C 的坐标为 ( ( ). A.

?
12

? ??? ? ??? ,0), 则 AB ·BC ?

? ?4 4

B.

? ?4 4

C. 4

D. ?4

x3 mx2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点分别为 x1,x2,且 x1? (0, 1) ,x2? (1, ? 3 2 +? ), 记 分 别 以 m , n 为 横 、 纵 坐 标 的 点 P(m,n) 表 示 的 平 面 区 域 为 D , 若 函 数
12.已知函数 y ?
y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为

(

)

A. (1,3] 13. sin 585 ? 的值为

B. (1,3)

C. (3, ??)

D. [3, ??)

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) .
2

14.已知关于 x 的不等式 x ? ax ? 2a ? 0 在 R 上恒成立,则实数 a 的取值范围是 15.观察下列等式:
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5

照此规律, 第 n 个等式可为________. 16.设 g ( x) 是定义在 R 上的以 1 为周期的函数,若函数 f ( x) ? x + g ( x) 在 ? 0,1? 上的值域为

? ?2,5? 。则 f ( x) 在 ? 0,3? 上的值域为
三.解答题。 17. (本小题满分 10 分) 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-4x+a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x2+x>2+ax,对 ? x∈(-∞,-1)上恒 成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) 某厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品 (生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得的利 润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5 ?

3 x

1 3 ? ); x x2

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最 大利润. 19.(本小题满分 12 分) ?ABC 的三个内角 A,B,C 依次成等差数列. (Ⅰ)若 sin B ? sin A sin C ,试判断 ?ABC 的形状;
2

(Ⅱ)若 ?ABC 为钝角三角形,且 a ? c ,试求 sin 围. 20. (本小题满分 12 分)

2

C A A 1 ? 3 sin cos ? 的取值范 2 2 2 2

2 * 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ? n (n ? N ) ,数列 {bn } 为等比数列,且满足 b1 ? a1 ,

2b3 ? b4
(1)求数列 {a n } , {bn } 的通项公式; (2)求数列 {a n bn } 的前 n 项和。

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C: ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 ,直线 l1 过定点 A (1,0).
2 2

(1)若 l1 与圆 C 相切,求 l1 的方程; (2)若 l1 与圆 C 相交于 P、Q 两点,求三角形 CPQ 的面积的最大值,并求此时直线 l1 的方 程.

22. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x , a ? R (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅲ)是否存在实数 a ,使 f ( x) 在区间 ?0, e? 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存 在,说明理由.

天水一中 2011 级(高三)2013-2014 学年第一学期 第三学段考试(文科数学)
答案 1. B 12.B 2. A 3. A 4. D 5. B 6. A 7.C 8.C 9. B 10.C 11. D

?
13. 14.

2 2

a ? (0,8)

(n ? 1)( n ? 2)( n ? 3)?(n ? n) ? 2 n ?1? 3 ? 5?? (2n ? 1)
15.

16.

? ?2, 7?

17. 【解析】 试题分析:先将命题 p:和 q:翻译为最简,即命题 p: a ? 2 ,命题 q: a ? 1 ,然后根据条件命 题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题解得 1 ? a ? 2 . 试题解析:命题 p:等价于对于函数 ax 2 ? 4 x ? a ,需满足?<0 且 a ? 0 ,即 a ? 2 ;命题 q: 等价于 a ?

2x ? 2 x ?1 2x ? 2 2x ? 2 为增函数且 ? x∈(-∞,-1) 有 ? 1 ,要使 x ?1 x ?1

对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,而函数 y ?

a?

2x ? 2 对 ? x∈(-∞,-1),上恒成立,必须有 a ? 1 .又“ p ? q ”为真命题,命题“ p ? q ”为假 x ?1

命题,等价于 p , q 一真一假.故 1 ? a ? 2 .

18 试题解析:
【答案】解:(1)每小时生产 x 克产品,获利 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? ? , 生产 a 千克该产品用时间为 x?

a 3? a 1 3? ? ? ,所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x x? x x x ? ? ?
(2)生产 900 千克该产品,所获利润为 90000 ? 5 ?

? ?

? ? 1 1 ? 61 ? 1 3 ? ? 2 ? ? 90000 ? ?3 ? ? ? ? ? x x ? ? ? x 6 ? 12 ?

所以 x ? 6 ,最大利润为 90000 ?

61 ? 457500 元. 12
2 2

【解析】答案(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ sin B ? sin A sin C ,∴ b ? ac . ∵ A, B, C 依次成等差数列,∴ 2B ? A ? C ? ? ? B , B ? 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

?
3

.

a 2 ? c 2 ? ac ? ac ,∴ a ? c .
∴ ?ABC 为正三角形. (Ⅱ) sin 2

C A A 1 ? 3 sin cos ? 2 2 2 2

=

1 ? cos C 3 1 ? sin A ? 2 2 2
3 1 ? 2? ? sin A ? cos ? ? A? 2 2 ? 3 ?

=

=

3 1 3 sin A ? cos A ? sin A 2 4 4 3 1 sin A ? cos A 4 4

= =

1 ? sin(A ? ) 2 6 ? 2? 2? ? 5? ∵ ? A? ,∴ , ? A? ? 2 3 3 6 6


1 ?? 3 1 1 ?? 3 ? ? ? sin ? A ? ? ? , ? sin ? A ? ? ? . 2 6? 2 4 2 6? 4 ? ?
2

∴代数式 sin 20. 试题解析:

?1 3? C A A 3 ? 3 sin cos ? 的取值范围是 ? ? 4 ,4 ? ?. 2 2 2 2 ? ?

2 (1)由已知 S n ? n ,得 a1 ? S1 ? 1,
2 2 当 n ≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n ? (n ? 1) ? 2n ? 1,
* 所以 an ? 2n ? 1(n ? N ). ……5 分

……1 分 ……3 分

由已知, b1 ? a1 ? 1 ,

设 等 比 数 列 {bn } 的 公 比 为 q , 由 2b3 ? b4 得 2q ? q
2

3

, 所 以

q ? 2,
所以 bn ? 2n ?1. ……8 分

……7 分

(2)设数列 {a n bn } 的前 n 项和为 Tn , 则 Tn ? 1 ? 1 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ,

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? 5 ? 2 3 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n ,
两式相减得 ? Tn ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? ... ? 2 ? 2 n ?1 ? (2n ? 1) ? 2 n ……10 分

? 1 ? 2(2 ? 2 2 ? ... ? 2 n?1 ) ? (2n ? 1) ? 2 n ? 1 ? 4(2 n ?1 ? 1) ? (2n ? 1) ? 2 n ……11 分
? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3,
所以 Tn ? (2n ? 3)2n ? 3. 21. 试题解析: (1) ①若直线 l1 的斜率不存在,则直线 l1 : x ? 1 ,符合题意. ②若直线 l1 斜率存在,设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . 由题意知,圆心(3,4)到已知直线 l1 的距离等于半径 2, 即:
3k ? 4 ? k k ?1
2

……12 分

……2 分

? 2 ,解之得 k ?

3 . 4

所以所求直线 l1 的方程是 x ? 1 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 . (2)因为直线与圆相交,所以斜率必定存在,且不为 0, 设直线方程为 kx ? y ? k ? 0 , 则圆心到直线 l1 的距离为 d ? 又∵△CPQ 的面积 S ?

……6 分

2k ? 4 1? k 2



1 d ? 2 4 ? d 2 ? d 4 ? d 2 = 4d 2 ? d 4 ? ? (d 2 ? 2) 2 ? 4 2

∴ 当 d= 2 时,S 取得最大值 2. ∴d ?

2k ? 4 1? k 2

= 2 ,∴ k ? 1 或 k ? 7 ,

所以所求直线 l1 方程为 x ? y ? 1 ? 0 或 7 x ? y ? 7 ? 0 . ……12 分 22.

? ? ? ,因为 f ( x) ? ax ? ln x , 试题解析: (Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 ?0, 所以 f ?( x) ? a ?
当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ? ln x , f ?( x) ? 2 ?

1 x

1 ,所以 f (1) ? 2 , f ?(1) ? 2 ? 1 ? 1 x
3分

所以曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .

(Ⅱ)因为 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,所以 f ?(1) ? 0 , 由(Ⅰ)知 f ?(1) ? a ? 1 ,所以 a ? 1 经检验, a ? 1 时 f ( x) 在 x ? 1 处有极值. 所以 f ( x) ? x ? ln x ,令 f ?( x) ? 1 ? 4分

1 ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 1 ; x

? ??, ? ? ? ,所以 f ?( x) ? 0 的解集为 ?1, 因为 f ( x) 的定义域为 ?0, ? ??. 即 f ( x) 的单调递增区间为 ?1,
6分

(Ⅲ)假设存在实数 a ,使 f ( x) ? ax ? ln x 在区间 ?0, e? 上有最小值 3,由 f ?( x) ? a ? ① 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 ?0, e? 上单调递减,

1 , x

4 ,舍去. 8分 e 1 1 1 1 ②当 a ? 即 0 ? ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增, e a a a 1 10 分 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 ,解得 a ? e 2 ,满足条件. a 1 1 ③ 当 0 ? a ? 即 ? e 时, f ?( x) ? 0 , e a 4 所以 f ( x) 在 ?0, e? 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,解得 a ? ,舍去. e

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 ,解得 a ?

2 综上,存在实数 a ? e ,使 f ( x) 在区间 ?0, e? 上的最小值是 3.

12 分


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