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2014年福建省高一数学竞赛


2014 年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准 (考试时间:5 月 11 日上午 8:30-11:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知集合 A ? ? x 值范围为( ) )
x ? 1 ? a ? , B ? ? y y ? 2 x ,x ? 2 ? ,若 A ? B ? A ,则实数 a 的取

2.若一个

圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥内切球的体积为( A.

4 3 ? 27

B.

32 3 ? 27

4 C. ? 3

D.

16 ? 3

3.函数 y ? x ? 4 ? x 2 的值域为( 4.给出下列命题:



(1)设 l , m 是不同的直线, ? 是一个平面,若 l ? ? , l∥ m ,则 m ? ? 。 (2) a , b 是异面直线, P 为空间一点,过 P 总能作一个平面与 a , b 之一垂直,与另 一条平行。 (3)在正四面体 ABCD 中, AC 与平面 BCD 所成角的余弦值为

3 。 3

(4)在空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD ? 1 ,则 AC 的取值范围是 (0 , 3) 。 其中正确的命题的个数为( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

3 5. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且对任意 x ? R , 均有 f ( x ? 3) ? f ( x) , 当 x ? (0 ,) 2

时, f ( x) ? ln( x2 ? x ? 1) ,则函数 f ( x) 在区间 ?0 , 6? 上的零点个数为( A.6 个 B.7 个 C.8 个 D.9 个



6.已知函数 f ( x) ?

x2 ? 6 x ? 13 ? x2 ? 10x ? 29 。给出下列四个判断:
(2) f ( x) 的图像是轴对称图形; (4)方程 f ? f ( x)? ? 29 ? 13 有解。 D.4 个

(1) f ( x) 的值域是 ?0 , 2? ; (3) f ( x) 的图像是中心对称图形; 其中正确的判断有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个

二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 7 . 已 知 集 合
A ? ? (x , y ) ( x ? 2014) 2 ? ( y ? 2014) 2 ? 1 ?

, 。

B ? ? (x , y)

x ? 2014 ? 2 y ? 2014 ? a ? , 若A? B, 则实数 a 的取值范围为
1

8.如图,在等腰直角三角形 ABC 中, CA ? CB ? 4 , D 、 E 分别为
AC 、 AB 的中点。将 △ADE 沿 DE 折起,使得折起后二面角 A ? DE ? B

为 60 ? 。则折起后四棱锥 A ? DEBC 的体积为 9.已知函数 f ( x) ? log 2 ( 标为 。 10.△ABC 中,已知 AB ? 4 ,若 C A ? 3C B
2



2x ?1 ) 的图像关于点 A 对称,则点 A 的坐 x

,则 △ABC 面积的最大值为



11.已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若对任意 x ??0 , 2? 均有 f ( x) ? 2 成立,则 b 的最 大值为 。 。

12.不等式 2 x ? 8 ? 6 ? log 2 x 的解集为

三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分) 13. (本题满分 16 分) 求二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2x ? 1 在区间 ?1, 2? 上的最小值 g (a) 的表达式。
1 1 【解答】 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? 1 ? 。 a a

当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时, 若0 ? 若1 ?

1 ? 0 , f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (2) ? 4a ? 3 。 …………… 4 分 a 1 ?0。 a

1 ? 1 ,即 a ? 1 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (1) ? a ? 1 。…………… 8 分 a 1 1 1 ? 2 ,即 ? a ? 1 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (a ) ? 1 ? 。 a 2 a

……………………… 12 分 若
1 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在区间 ?1, 2? 上的最小值为 f (2) ? 4a ? 3 。 a 2



1 ? 且a? 0 ? 4a ? 3 a ? 2 , ? 1 1 ? g (a ) ? ? 1 ? ? a ?1 。 a 2 ? a ?1 ? a ?1 ? ?

……………………… 16 分

2

14. (本题满分 16 分) 已知两个同心圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 和 C2 : x2 ? y 2 ? 16 , P 圆 C2 上一点。过点 P 作圆 C1 的两 条切线,切点分别为 A 、 B 。 (1)若 P 点坐标为 (2 2 , ? 2 2) ,求四边形 OAPB 的面积。 (2)当点 P 在圆 C2 上运动时,是否存在定圆恒与直线 AB 相切?若存在,求出定圆的方 程;若不存在,请说明理由。 【解答】 (1)依题意,OA ? AP ,OB ? BP ,且 OA ?OB ? 2 , PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。 ∴
1 S△OAP ? S△OBP ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 。 2

∴ 四边形 OAPB 的面积为 4 3 。 (2)设 P(m , n) ,则 m ? n ? 16 。
2 2

………………… 4 分

当 点 P 在 圆 C2 上 运 动 时 , 恒 有

PA ? PB ? 42 ? 22 ? 2 3 。
∴ 点 A 、 B 在以 P 为圆心, 2 3 为半径的圆上。 该圆方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? n)2 ? 12 。 …………………… 8 分 又点 A 、 B 在圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 上。 联 立 两 圆 方 程 , 消 二 次 项 , 得

?2mx ? 2ny ? m2 ? n2 ? 12 ? 4 。即 mx ? ny ? 4 ? 0 。
∴ 直线 AB 方程为 mx ? ny ? 4 ? 0 。 ∵ 原点 O 到直线 AB 的距离 d ?
2 2

………………… 12 分
2 2

0?0?4 m ?n

?

4 ? 1 为定值。 4

∴ 圆 x ? y ? 1恒与直线 AB 相切。 ∴ 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x2 ? y 2 ? 1。 注:本题也可以用平面几何方法求解: 设 OP 与 AB 的交点为 D ,则 OD ? AB 。 在 △OAP 中,由 OA ? AP , OA ? 2 , OP ? 4 ,知 OD ? 1 。 ∴ 以 O 为圆心,1 为半径的圆恒于直线 AB 相切。 ∴ 存在定圆恒与直线 AB 相切,定圆方程为 x2 ? y 2 ? 1。 ………………… 16 分 ………………… 8 分 ………………… 12 分 ……………… 16 分

3

15. (本题满分 16 分) 如图,在 △ABC 中, AD 为 ? A 的平分线且与 BC 交 于点 D , E 为 AD 中点, F 、 G 为 BE 、 CE 上的点,且
?AFC ? ?AGB ? 90? 。

求证: ?FBG ? ?GCF 。

【解答】如图,过点 C 作 AD 的平行线交直线 BA 于点 P , BE 于点 Q 。 则由 E 为 AD 中点知, Q 为 CP 中点。 ∵ ∴ ∴
AD 平分 ?BAC ,

………………… 4 分

?BAD ? ?P ? ?DAC ? ?ACP 。

AC ? AP , AQ ? CP 。

结合 ?AFC ? 90? 知, A 、 F 、 C 、 Q 四点共圆。 ∴ ∴ ∴ …………… 8 分
?AFQ ? ?ACQ ? ?P ? ?BAE 。 △ABE ∽△FAE 。
AB BE AE ? ? AE 2 ? EF ? EB 。 , FA AE FE

同理, DE 2 ? EG ? EC 。 ……………………… 12 分 ∴ ∴
EF ? EB ? EG ? EC , F 、 B 、 C 、 G 四点共圆。 ?FBG ? ?GCF 。

…………………… 16 分

4

16. (本题满分 16 分) 给出 5 个互不相同的实数,若这 5 个数中任意两个数的和或积中至少有一个是有理数, 求证:这 5 个数的平方都是有理数。 【解答】设 x 为其中的一个数,依题意,其余的 4 个数为 理数。
r 或 r ? x 的形式,其中 r 为有 x

…………………………

4分

r r r (1) 若这 4 个数中至少有 2 个为 ( r ? Q ) 的形式, 设它们为 1 , 2( r1 ? r2 且 r1 , 。 r2 ? Q ) x x x

则由条件知, 当

r1 r2 r r ? ? Q 与 1 ? 2 ? Q 中至少有 1 个成立。 x x x x

r1 r2 r ?r ? ? Q 时, 1 2 ? Q , x ? Q , x 2 ? Q 成立。 x x x

r r rr 当 1 ? 2 ? Q 时, 1 22 ? Q , x 2 ? Q 成立。 x x x

………………………

8分

r (2)若这 4 个数中最多只有 1 个为 ( r ? Q )的形式,则至少有 3 个数为 r ? x( r ? Q ) x

的形式。设这三个数为 r1 ? x , r2 ? x , r3 ? x ( r1 , r2 , r3 互不相同,且 r1 , r2 , r3 ? Q ) 。 下面考虑这三个数的和与积。 ① 若 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) , (r3 ? x) ? (r1 ? x) 中至少有两个为有理数。 不妨设 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) 为有理数, 则 (r1 ? x) ? (r2 ? x) ? (r2 ? x) ? (r3 ? x) ? r1 ? 2r1 ? r3 ? 4 x ? Q 。 ∴
x ? Q , x 2 ? Q 成立。

………………………

12 分

② 若 (r1 ? x) ? (r2 ? x) , (r2 ? x) ? (r3 ? x) , (r3 ? x) ? (r1 ? x) 中最多只有 1 个为有理数,则

(r1 ? x)(r2 ? x) , (r2 ? x)(r3 ? x) , (r3 ? x)(r1 ? x) 中至少有两个为有理数。
不妨设 (r1 ? x)(r2 ? x) , (r2 ? x)(r3 ? x) 为有理数。 则 (r1 ? x)(r2 ? x) ? r1r2 ? (r1 ? r2 ) x ? x2 ? Q , (r2 ? x)(r3 ? x) ? r2r3 ? (r2 ? r3 ) x ? x2 ? Q 。 两式相减,得 r1r2 ? r2r3 ? (r1 ? r3 ) x ? Q , (r1 ? r3 ) x ? Q 。 ∴
x ? Q , x 2 ? Q 成立。

由①、②知,此时 x 2 ? Q 成立。 综上可得, x 2 ? Q 。因此,这 5 个数的平方都是有理数。
5

……………

16 分

17. (本题满分 14 分) (1)设集合 A ? ? 1,,, 2 3 , 13 ? ,集合 B 是 A 的子集,且集合 B 中任意两数之差都不等 于 6 或 7。问集合 B 中最多有多少个元素? (2)设集合 M ? ? 1,,, 2 3 , 2014 ? ,集合 N 是 M 的子集,且集合 N 中任意两数之差都 不等于 6 或 7。问集合 N 中最多有多少个元素? 【解答】 (1)构造 A 的下列 13 个子集:? 1, 7 ? ,? 2 , 10 ? ,? 5 , 8 ? ,? 3, 9 ? ,? 4 , 11 ? ,

12 ? , ? 7 , 13 ? , ? 1, 8 ? ,? 2 , 9 ? ,? 3, 10 ? , ? 4 , 11 ? , ? 5 , 12 ? ,? 6 , 13 ? ( A 中每一 ? 6,
个数恰好属于 2 个子集) 。 由于从 A 中任取 7 个元素,它们分别属于上述 13 个子集中的 14 个子集,由抽屉原理知 其中必有 2 个元素属于同一个子集,它们的差为 6 或 7。 因此, A 中任意 7 个元素都不能同时属于集合 B 。即 B 中最多只有 6 个元素。 ………………………… 要求。 ∴ 集合 B 中最多有 6 个元素。 或 7。 由于 2014 ? 13 ?155 ? 1 ,因此,集合 M 中最多只有 155 ? 6 ? 930 个数满足任意两数之差都 不等于 6 或 7。 …………………………… 11 分 ………………………… 7分 4分 又 B ? ? 1,,,,, 集合 B ? ? 1,,,,, 2 3 4 5 6 ? 中任意两数之差都不等于 6 或 7。 2 3 4 5 6 ? 符合

(2)由(1)知,任意连续 13 个正整数中最多只有 6 个数满足任意两数之差都不等于 6

2 ,, 3 4, 5, 6, k ? 0 ,, 1 2 ,, 3 , 154 ? 是集合 N 的子集,且 又显然集合 M ? ? 13k ? b b ? 1,

集合 M 中任意两数之差都不是 6 或 7。集合 N 中有 930 个元素。 ∴ 集合 N 中最多有 930 个元素。 ………………………… 14 分

6

7


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