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2011年22届“希望杯”全国数学邀请赛高一第2试试题和答案


2011 希望杯 高一 第二试 含详细答案

2011 年 希望杯 高一数学 详细答案 本答案由雨来哥哥独家提供,如有疏漏之处,多多包涵。QQ:369555335 选择题 1. A 简单,仅 3、4、5 一种; 2. C 注意集合 A 的元素是 y; 3. A 简单,等价于|2x-1|<1/3 4. B 特殊值法,取等边三角形即可;事实上,锐角三角形中,恒有 sinA>cosB 这里 A、B 位置可交换; 5. B 因为 a=1/(1-a)无实数解,故而不可能只有 1 个元素。设 a 是其元素,1/(1-a)

也是其元素且不等于 a,于是 1/[1-1/(1-a)]也是其元素,令它等于 a,此时有解 于是 A={2,1/2,-1} 6. 题目遗漏 7. D 注意旋转体的上下差异。可以取下面的一半来算:先将下面的一半分成两部分 然后相加即可。 8. D 设直线交 y 轴于 D。∠BOA=120°,于是 r=4/ ,然后解△BOD,正弦求出面积,余弦 求 BD ,解得距离 9. B 理解题意。先算得 y=(x+2)(x+2)-7,作出两个函数的图像,简单看一下即可 10.D 特殊值法,算出 a1,a2 即可。 填空题 11. 1/2012 令 x=1,迭代前面几个,找出规律 12. 7 注意,360/(a-x)和-360/(a-x)都是 A 中元素,两者的 x 和为 2a,而 360 的正因子共有 4*3*2=24 个,故而 2a*24=336,解得 a=7 13. 简单,注意到 a 为负!令 a= -1 即可 14. 或 将集合 A 化简,可得 x=sina, y=1+cosa ,于是 ,和直线相切 15. 两小时中行驶的路程为 210 或 110,除以 2 即可 16. 3 5 变形, , 先考虑正整数情况 为正整数

由于 2011 为素数,故而 x-2011=1 或 x-2011=2011 或 而

,所以 x-2011=1 或 x-2011=2011

17. 18. 19. 20.

注意到 x,y 位置可互换。 整数情形类似。此时要对称的考虑负数情况 作 B 关于直线 L 的对称点,连接 AB 并延长,交直线 L 于 M,M 点即为所求 简单。{ }是首项为-2,公比为-3 的等比数列 去绝对值,分别算出两种情形下的面积,相加。 注意到,等式左右两边分别是 x,y,其实这种情形可以立即看出答案, 左边的最大值=右边的最小值。简单化简后 cosx-sinx= ,siny=1

解答题 21 此题简单至极。估计参加杯赛的都会,不附答案了。 22. 此题也非常容易。注意到第二问,画出函数(分段)图像,简单看一下即可知道结果。 23. 唯一有点分量的题目。雨来哥哥个人觉得题目略有歧义,猜测出题者的意思,应该是只考 虑队间胜负情况,而与具体选手无关。 由于比赛场次只可能是 6,7,8 三种情况,下面分类讨论。 为叙述简单,以下约定 ABC 表示各代表队选手出局。比如,前三场分别是 B 胜 C,A 胜 B, A 胜 C,则可记为:CBC 这里的唯一规则是,不能连续出现 BB(或 CC) ,除非 C(或 B) 已经全部出局。 由于 BC 先赛,不妨设 B 胜,故而只需将以下结果乘以 2 即可。

1) 赛 6 场 此时 A 队全胜,没有字母 A 出现,故而只能是: CBCBCB 共1种 2) 赛 7 场 此时 A 队输一场,只能出现一次 A,故而: CACBCBB 或 CABCBCB CBABCBC 或 CBACBCB CBCACBC 或 CBCABCB CBCBABC 或 CBCBACB CBCBCAB 这里的排列规则是,A 出现时,其后一位可以是 B 或 C,但最后一种情况例外,此时 C 已经全部出局了 共9种 3) 赛 8 场 此时 A 队输两场,出现两次 A,故而: A 出现在 2、4 位, CACACBBB 等 4 种,即是 A 出现时,其后一位可以是 B 或 C A 出现在 2、5 位, CACBACBB 等 4 种 A 出现在 2、6 位, CACBCABB , 此时倒数三位只能是 ABB,因为 C 已全部出局 CABCBABC CABCBACB 3 种 A 出现在 2、7 位 CABCBCAB CACBCBAB 共 2 种 A 出现在 3、5 位 CBABABCC 等 4 种 A 出现在 3、6 位, CBABCABC 等 4 种 A 出现在 3、7 位 CBABCBAC CBACBCAB 2 种 A 出现在 4、6 位 CBCABABC CBCACABB CBCABACB 3 种 A 出现在 4、7 位置 CBCBACAB CBCBABAC 2 种 A 出现在 5、7 位置

CBCBABAC CBCBACAB 2 种 A 出现在 6、7 位置(此种情况最容易遗漏,因为 C 已全部出局,故 A 可以连续) CBCBCAAB 所以总共 41*2=82 种 上述算法如有遗漏,请各位同学按照上述分类方法,自己算一下。


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