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三角函数(4、5)—图象及性质(教师版)


三角函数(4)—图象及性质
一、基础知识
(一)“五点法”描图 (1)y=sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0), (

?
2

, 1) (π,0), (

3? , ?1) (2π,0). 2 3? ,0) ,(2π,1). 2

(2)

y=cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1), ( ? ,0) ,(π,-1), (
2

(二)三角函数的图象和性质 函数性质 y=sin x y=cos x y=tan x π {x|x≠kπ+ ,k∈Z} 2

定义域

R

R

图象

值域

[-1,1] π 对称轴:x=kπ+ (k∈Z) 2 对称中心:(kπ,0)(k∈Z)

[-1,1] 对称轴:x=kπ(k∈Z) π ? 对称中心:? ?kπ+2,0??k∈Z? 2π

R 无对称轴 kπ ? 对称中心:? ? 2 ,0?(k∈Z) π

对称性

周期

2π 单调增区间

单调性

?2kπ-π ,2kπ+ π?(k∈Z); 2 2? ?
单调减区间

单调增区间 [2kπ-π,2kπ](k∈Z); 单调减区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) π π 单调增区间? kπ+ 2? ?kπ-2 , ? (k∈Z)

?2kπ+π ,2kπ+ 3π?(k∈Z) 2 2? ?
奇偶性 奇





1

(三)方法与要点
1、两条性质 (1)周期性 函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为 y=Asin ωx 或 y=Atan ωx,而偶函数一般可化为 y=Acos ωx+b 的形式. 2、三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用 sin x、cos x 的有界性; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式逐步分析 ωx+φ 的范围,根据正弦函数单调性写出函 数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 2π π ,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|

二、基础自测
π? 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y=cos? ?x+3?,x∈R( A.是奇函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 π ? 2.函数 y=tan? ?4-x?的定义域为(
? ? π x≠kπ- ,k∈Z? A.?x? 4 ? ? ? ? ? π x≠kπ+ ,k∈Z? C.?x? 4 ? ? ?
2

).

B.是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 ).
? ? π ? B.?x? ?x≠2kπ-4,k∈Z ? ? ? ? π ? D.?x? ?x≠2kπ+4 ,k∈Z ? ?

3.已知 k<-4,则函数 y ? 2 cos x ? 1 ? k (cos x ? 1) 的最小值是( (B) -1 (C) 2k+1 (D) -2k+1 π ? 4.y=sin? ). ?x-4?的图象的一个对称中心是( A.(-π,0) 3π ? B.? ?- 4 ,0? 3π ? C.? ? 2 ,0? (A) 1

)

π ? D.? ?2,0?

π? 5.函数 f(x)=cos? ?2x+6?的最小正周期为________.

三、题型分析 (一) 三角函数的定义域与值域
例题 1、 (1)求函数 y=lg sin 2x+ 9-x2的定义域.
2

π? (2)求函数 y=cos2x+sin x? ?|x|≤4?的最大值与最小值.

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ① y ? a sin x ? b ,设 t ? sin x 化为一次函数 y ? at ? b 在闭区间 t ?[?1,1] 上的最值求之; ②形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ③形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可先设 sin x=t,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); ④形如 y=asin xcos x+b(sin x± cos x)+c 的三角函数,可先设 t=sin x± cos x,化为关于 t 的二次函数求值域 (最值). 【训练 1】 (1)求函数 y= sin x-cos x的定义域.

(2)已知函数 f ( x) ? (A) ? ?1,1?

1 1 (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2 2
(B) ? ?

? ?

2 ? ,1? 2 ?

(C) ? ?1,

? ?

2? ? 2 ?

(D) ? ?1, ?

? ?

2? ? 2 ?
( )

cos2 x (3) (04 年广东卷)当 0 ? x ? 时,函数 f ( x ) ? 的最小值是 cos x sin x ? sin 2 x 4
A. 4 B.

?

1 2

C.2

D.

1 4

(二)三角函数的奇偶性与周期性
【例 2-1】?判断下列函数的奇偶性及周期性,若具有周期性,则求出其周期. (1) f ( x) ? sin x (2) f ( x) ? sin x (3) f ( x)=log 2 cos x (4) f ( x)=3 sin(

x

?

? 2)

求三角函数的最小正周期的一般方法: ①先化为 y ? A sin(?x ? ? ) ,在由公式 T ?

2?

?

求之;

②由周期函数的定义: f ( x ? T ) ? f ( x) 求得

?x ? ? ) 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半 ③ 一般地, y ? sin(?x ? ? ) 或 y ? cos(
【例 2-2】设 有 函 数 f ? x ? ? a s i n ?kx?

? ?

??

?? ? ? 和 ? ? x ? ? b tan ? kx ? ? , k ? 0 ,若 它 们 的 最 小 正 周 期 3? 3? ?

3

的和为

3? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? , 且 f ? ? ? ? ? ? , f ? ? ? ? 3? ? ? ? 1 , 求 f ? x ? 和 ? ? x ? 的 解 析 式 。 2 ?2? ?2? ?4? ?4?

【例 2-3】?已知函数 f ( x) ? log 1
2

2 sin( x ? ) . 4

?

(1)求它的定义域,值域; (2)判定它的奇偶性和周期性; (3)判定它的单调区间及每一区间上的单调 性.

【训练 2】 1、定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期是 ? ,且当 x ? [0,

?
2

] 时,

f ( x) ? sin x ,则 f (
A. ?

1 2

5? ) 的值为 3 3 1 B. C. ? 2 2

D.

3 2

2、函数 y ? sin A

x 的最小正周期是 2
C 2? D 4?

? B ? 2 3、函数 y ? ? x cos x 的部分图象是
y y O B x

y O C x

y O D x

O A

x

4、给定性质:①最小正周期为 ? ,②图象关于直线 x ? 的是 ( B. y ? sin(2 x ? )

?
3

对称,则下列四个函数中,同时具有性质①②

x ? A. y ? sin( ? ) 2 6

?
6

)

C. y ? sin | x |

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

(三) 三角函数的单调性

4

【例 3-1】?已知 f ( x) ?

2 sin(x ?

?
2

) , x ? ?0, ? ? 求 f ( x) 的单调递增区间.

【例 3-2】?(2011 年高考安徽卷理科 9)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若 f ( x ) ? f ( )

?

6

对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是

?

2

(A) ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?

? , k? ? (k ? Z ) [来源: 2 ?

(1)求三角函数的单调区间的一般方法是:①首先化为 y ? A sin(?x ? ? ) ;②再解不等式:

2 3? 解 ? ? ?x ? ? ? (增)或 ? ?x ? ? ? ,然后再在区间端点前面加上周期的 k 倍) 2 2 2 2 (2)如果题目中还限制了自变量 x 的取值范围,还应在规定范围下求单调区间的子区间。

2k? ?

?
2

? ?x ? ? ? 2k? ?

?
2

(增函数区间)或 2k? ?

?

? ?x ? ? ? 2k? ?

?

?

?

3? (减函数区间) (也可先 2

【训练 3】 1、 y ? sin ? x ?

? ?

??

? 的单调减区间是( 3? 5? ? ?k ? ?? 6 ? ?



A. ? k ? ?

? ?

?
6

, k? ?

B. ? 2 k ? ?

? ?

?
6

, 2 k? ?

5? ? ?k ? ?? 6 ? ?

C. ? k ? ?

? ?

7? ?? , k? ? ? ? k ? ? ? 6 6?

D. ? 2 k? ?

? ?

7? ?? , 2 k? ? ? ? k ? ? ? 6 6?

2、 (2011 年全国新课标卷)设函数 f ( x) ?

2 sin(?x ? ?+ ( ) ? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且 4 2

?

?

f (? x) ? f ( x) ,则
A. f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2?

B. f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递 ?

C. f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? ? 3? ? ? 单调递增 D. f ( x) 在 ? , ? 单调递增 ? 2? ?4 4 ?

(四)三角函数的对称性
5

π? 【例 4-1】? (1)函数 y=cos? ?2x+3?图象的对称轴方程可能是( π π π π A.x=- B.x=- C.x= D.x= 6 12 6 12

).

π π ? (2)若 0<α< ,g(x)=sin? ?2x+4+α?是偶函数,则 α 的值为________. 2 (3) (2009 全国卷Ⅰ文)如果函数 y ? 3cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( (A)

4? , 0) 中心对称,那么 ? 的最小值为 3

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

【例 4-2】?已知函数 f ( x) ?

3 sin(2 x ? ? ) ,若 f (a ) ? 3 ,则 f (a ?
B、 f ( a ?

5? ? ) > f (a ? ) 6 12 5? ? C、 f ( a ? ) = f (a ? ) 6 12
A、 f ( a ?

5? ? ) < f (a ? ) 6 12

5? ? ) 与 f (a ? ) 的大小关系是 6 12

D 大小与 a、 ? 有关

(1)正、余弦函数的图象既是中心对称图形,又是轴对称图形.正切函数的图象只是中心对称 图形,应熟记住它们的对称轴和对称中心,并注意数形结合思想的应用. (2)三角函数的对称性及其应用:①对称中心 ? 图象上的平衡点,对称轴 ? 图象上的极值点;② 三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。 【训练 4】 π |φ|< ?的一条对称轴为 x= π ,则 φ=________. (1)函数 y=2sin(3x+φ)? 2? ? 12 (2)如果函数 y=3 cos ? 2 x+? ? 的图像关于点 ? (A)

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ? 3 ?

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

(3)f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? A、f(x)的图象过点(0, ) C、f(x)的图象的一个对称中心是点(

?
2

? 2

?? ?

?
2

) 的图象关于 x=

1 2

B、f(x)在区间 [

5? ,0) 12

5? 2? , ] 上是减函数 12 13

2? 对称, 它的周期是 ? , 则 ( 3



D、f(x)的最大值是 A

( 4 )已知 f ( x) ? sin( ? x?

?

? ? __________.

)? ( ? 0),f ( ? ) f ( ,)且 f ( x) 在区间 ( , ) 有最小值 , 无最大值 , 则 6 3 3 6 3

?

?

? ?

三角函数(5)—正弦型 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
6

一、基础知识
(一) .用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π -φ 2 ω π 2 A π-φ ω π 0 3π -φ 2 ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0

ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

(二)函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤

(三)当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做振幅,T= 1 期,f= 叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. T (四)图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形,具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+ ,k∈Z)成轴对称图形. 2 (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ,k∈Z)成中心对称图形. (五)方法与要点 1、一种方法

2π 叫做周 ω

M-m M+m 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= ,k= ,ω 由周期 T 确定, 2 2 2π 即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω 2、一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变换(伸缩变换), |φ| 平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是 (ω>0)个单位.原因在于相位 ω 变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 3、两个注意
7

作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意:(1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数, 应先求出周期, 作图象时先作一个周期的图象, 再由周期性作整个函数的图象.

(二)基础自测
π? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin? ?2x-4? 的振幅、频率和初相分别为( 1 π A.2, ,- π 4 1 π B.2, ,- 2π 4 1 π C.2, ,- π 8 ).

1 π D.2, ,- 2π 8

π? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)? ?|φ|<2?的部分图象如图所示, 则该简谐运动的最小正周期 T 和初相 φ 分别为( π A.T=6π,φ= 6 ). π D.T=6,φ= 3 ).

π π B.T=6π,φ= C.T=6,φ= 3 6

π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( 2 A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x

π? 解析 由图象的平移得 g(x)=cos? ?x+2?=-sin x. π? 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin? ?ωx+3?+2 的图象向右平移 3 个单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是( 2 A. 3 4 B. 3 3 C. 2 D.3 ).

5.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则 ω=________.

三、题型分析 (一) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象
题型 1:给出函数作图象 π 3 ? ? ?π ? 【例 1-1】?设函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0?的最小正周期为 π ,且 f? ?= . 2 ? ? ?4? 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象. [审题视点] (1)由已知条件可求 ω ,φ ; (2)采用“五点法”作图,应注意定义域[0,π ].

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点,而后列表、描点、连线即可.

? φ? (2)变换法作图象的关键看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移, 对于后者可利用 ω x+φ =ω ?x+ ? ? ω?
来确定平移单位.

8

?1 π ? 【训练 1-1】 已知函数 f(x)=3sin? x- ?,x∈R. 4? ?2
(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y=sin x 的图象作怎样的变换可得到 f(x)的图象?

题型 2:给出图象求函数 π 【例 1-2】?(1)已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,|φ|< ,ω>0) 2 的图象的一部分如图所示. (1)求 f(x)的表达式; (2)试写出 f(x)的对称轴方程.

(2) (07 年江西卷)如图,函数 y ? 2cos(? x ? ? )( x ? R,≤ 0 ? ≤ ) 的图象与 y 轴 相交于点 (0,3) ,且该函数的最小正周期为 ? . (1)求 ? 和 ? 的值;

π 2

(x0 , y 0 ) 是 PA 的中点, (2)已知点 A ,点 P 是该函数图象上的一点,点 Q ( , 0)

?

2

当 y0 ?

3 ? , x ? [ , ? ) 时,求 x 0 的值。 2 2

给出图象求函数一般有两种方法,方法 1:待定系数法,即找出图象上两个已知点的坐标,代入 函数式中联解方程组求出? 、 ? 的值; 方法 2:先由函数图象上的三个平衡点及两个极值点求出函数的周期(三个平衡点和两个极值点把函数的 一个周期分为四等分,所以只要知道这五个点其中的两个就可以求出周期 T)再由 T ?

2?

?

求出? ;再找

出图象其中一个周期中的起始点的坐标 x 0 (注意,这里的 x 0 不一定是 ? )然后用 ( x ? x 0 ) 代入函数

?x ? x0 ) ) (特别注意:是 y ? sin? ( x ? x0 ) 而不是 y ? sin( 。 y ? ?x 中得 y ? sin? ( x ? x0 ) 整理即得。
至于振幅 A 的值则有图象上的最高点或最低点的纵坐标而求得。 (如果最高点和最低点的纵坐标不关于 x 轴对称,则函数式应是 y ? A sin( ?x ? ? ) ? k 的形式)

9

【训练 1-2】 1、 (05 年四川卷)下列函数中,图象的一部分如右图所示的是 (A) y ? sin ? x ?

? ?

??
? 6?

(B) y ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

(C) y ? cos ? 4 x ?

? ?

??
? 3?

(D) y ? cos ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

2、 (2005 天津卷文)函数 y ? A sin(?x ? ?)(? ? 0, ? ? 的部分图象如图所示,则函数表达式为

? , x ? R) 2

? ? ? ? ) (B) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4 ? ? ? ? (C) y ? ?4 sin( x ? ) (D) y ? 4 sin( x ? ) 8 4 8 4
(A) y ? ?4 sin( x ? 3、 (2009 宁夏海南卷理)已知函数 y=sin( ? x+ ? ) ( ? >0, - ? ? ? < ? )的图像如图所示,则

y
1 o -1
3? 4

2?

x

? =________________

.

4、 (2009 辽宁卷理)已知函数 f ( x) =Acos( ? x ? ? ) 的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

(A) ?

2 3

(B)

2 3

2 ,则 f (0) = 3 1 1 (C)- (D) 2 2

21 世 纪教育 网

(二) 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换
题型 1:给定原函数 f ( x) 和变换过程求变换后的函数 【例 2-1】?(1) (2009 全国卷Ⅱ理)若将函数 y ? tan ? ? x ?

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 个单位 4? 6

?

度后,与函数 y ? tan ? ? x ? A.

? ?

??
1 4

? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6?
C.
10

1 6

B.

1 3

D.

1 2

【例 2-1】?(2)函数 y=cosx 的图象向左平移 倍,所得的函数图象解析式为
1 ? (A) y=3cos( x+ ) 3 2

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 3 2

(
? ) 3

)

(B) y=3cos(2x+

(C) y=3cos(2x+

2? ) 3

1 ? 1 (D) y= cos( x+ ) 6 2 3

1 ? (3)若改为: “把函数 y=cosx 的图象先横坐标缩小到原来的 ,再向左平移 个单位”其他不变呢? 3 2

给定原函数 f ( x) 和变换过程求变换后的函数时, ①左右平移变换:用 x ? b 替换 x ,得 f ( x ? b) ,其中,左移用“+” ,右移用“-” ; ②横坐标伸缩变换:用

? ? x 替换 ?x ,得 f ( x ) ; a a

③纵坐标伸缩变换(即振幅变换) : f ( x) ? Af ( x) ;

?? f ( x ? b) ??? ?? f ( ④注意先后顺序:若先平移再左右伸缩,则 f ( x) ???
左右平移 b

左右伸缩 a

1 x ? b) ; a

若先左右伸缩再平移,则 f ( x) ?? ? ?? f (
左右伸缩 a

1 1 b x) ?左右平移 ?? ? ? f [ ( x ? b)] a a

⑤振幅变换无需考虑顺序(但须看其最大值与最小值是否关于 x 轴对称) 【训练 2-1】 (1)(2012 年高考浙江卷理科 4)把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

(2)先将函数 y=f(x)的图象向右移

y ? sin(?2 x ?

?
3

? ? 个单位,再将所得的图象作关于直线 x= 的对称变换,得到 6 4


) 的函数图象,则 f(x)的解析式是(

A、 y ? sin(?2 x ? C、 y ? sin(2 x ?

?
3 )

)

B、 y ? sin(?2 x ? D、 y ? sin(2 x ?

?
3

)

?
3

?

3

)

( 3 )把函数 y = sin(2x+ 为 .

? ? 1 ) 的图象向右平移 个单位 , 再将横坐标缩小为原来的 , 则其解析式 2 4 8
11

题型 2:给定变换前后函数求变换过程 【例 2-2】?(1) f ( x) ? sin(

?
3

? 2 x) 其图象可以由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到?

【例 2-2】?(2) (05 年天津卷)要得到函数 y ? 象上所有的点的(C)

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin(2 x ?

?
4

) 的图

1 ? 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? (B)横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4 ? (C)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 个单位长度 4 ? (D)横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8
(A)横坐标缩短到原来的 给定变换前后函数求变换过程,一般用待定系数法,即设左右平移了 b 个单位及横坐标伸长或缩 短到原来的 ? 倍 (1)若仅有初相位 ? 不同而 ? 相同,则只作平移变化;例如:把 y ? sin(2 x+ ) 经过怎样的变化得到

?

y ? sin(2 x ? ) 的图象?解:设左右平移了 b ,则函数变为 y ? sin[2( x ? b)+ ] ? sin[2 x ? (2b ? )] 4 3 3 ? ? ? ? 7? 7? ∵ sin[2 x ? (2b ? )] ? sin(2 x ? ) ,∴ 2b ? ? ? ,解得 b ? ? ,∴向右平移 3 4 24 24 3 4 x ? (2)若仅有频率 ? 不同而初相位 ? 相同;则只作周期变化。例如:把 y ? sin( + ) 经过怎样的变化得 2 3 ? 1 1 1 到 y ? sin(2 x+ ) 的图象?解:设横坐标伸长或缩短到原来的 a 倍, ? 由 变为 ? , 2 2 a 3 1 ? ? 1 1 1 ∵ sin ? 2 解得 a ? ,∴横坐标缩短到原来的 倍 ( x ? ) ? sin(2 x ? ) ,∴由 2a 4 4 a 3 3
(3)若频率 ? 和初相位 ? 均不同,例如:把 y ? sin(3x- ) 经过怎样的变化得到 y ? sin(2 x+ ) 的图

?

3

?

?

?

?

4

4

象?则又分两种情况: ①若先平移再伸缩,则先设平移了 b ,得 y ? sin[3( x ? b)- ] ? sin[3x ? (3b ? 得b ?

?

?
4

1 3 ? 2 解得 a ? ; 2 6 a ? 3 结论:先向左平移 ,然后横坐标在伸长到原来的 倍。 2 6 1 3 ? ②若先伸缩再平移,则先设伸缩到原来的 a 倍,由 3 ? ? 2 解得 a ? ,函数式变为 y ? sin(2 x- ) ; 2 a 4
;然后在设伸缩到原来的 a 倍,由 3 ? 然后再设平移了 b , 函数式变为 y ? sin[2( x ? b)- ] ? sin[2 x ? (2b ? 结论:先横坐标在伸长到原来的

?

4

)] ,由 3b ?

?
4

?

?
4



?

?

3 ? 倍,然后向左平移 。 2 4
12

4

4

由 2b ? )] ,

?

4

?

?

4

解得 b ?

?

4



(4)若所给的原函数与变化后的新函数不是同名函数;则需用诱导公式先化为同名函数:

sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? ? ) ,或 cos(?x ? ? ) ? sin(?x ? ? ? ) 2 2
(5)仔细审题,分清楚那个是原函数,那个是变化后的函数。 【训练 2-2】 (1)要得到函数 A、向左平移 个单位 的图象,只要将函数 y=sin2x 的图象( B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 ) D、向右平移 个单位

?

?

2)将 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象变为 y ? sin(3x ?

?
3

) ,其变换方法是______________________

(3)已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移 (4)有下列四种变换方式:

? 个单位长度 8 ? D. 向右平移 个单位长度 4
B. 向右平移

? 1 1 ? ,再将横坐标变为原来的 ;②横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 4 2 2 8 1 ? ? 1 ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; ④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; 2 4 8 2 ?
①向左平移 其中能将正弦曲线 y ? sin x 的图像变为 y ? sin(2 x ? A.①和② B.①和③

4

) 的图像的是(



C. ②和③

D. ②和④

(5、 )写出函数 y=4sin2x (x∈R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同 的变换)

(三)

三角函数模型的简单应用
8 m 2 m 13

【例 3】?一个大风车的半径为 8 米,12 分钟旋转一周,它的最低点

P
h

离地面 2 米,求风车翼片的一个端点离地面距离 h(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系式.

【训练 3】 设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口某一天从 0 至 24 时记 录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象. 根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin )

?t

6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(

?t

自我检测题
一,选择题 1、 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则( ) . A. f ( x ? 1) 一定是奇函数 C. f ( x ? 1) 一定是奇函数 B. f ( x ? 1) 一定是偶函数 D. f ( x ? 1) 一定是偶函

2、函数 y=tg(

)在一个周期内的图象(



14

A、

B、

C、

D、

3、 (2005 福建卷理)函数 y ? sin(?x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的部分图象如图,则 A. ? ? C. ? ?

?
2

,? ?

?
4

B. ? ?

?
3

?

4

,? ?

?

4

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4

,? ?

?

4 、 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的 部 分 图 象 如 图 所 示 , 则

f (1) ? f (2) ? ? ? f (11) 的值是(
A、0 B、-1

) C、2+2 2 D、 2-2 2

5、函数 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ,给出下列三个命题: ①函数 f ( x) 在区间 ?

?

? ? ? 5? ? , ? 上是减函数;②直线 x ? 是函数 f ( x) 的图象的一条对称; 8 ?2 8 ?
2 sin 2 x 的图象向左平移
C.②③

4

③函数 f ( x) 的图象可以由函数 y ? 其中正确的是 A.①③ B ①②

? 而得到。 4

( D.①②③



6、 函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? A. y ? 2sin(

?
2

, 则函数表达式为 ( ) , x ? R) 的部分图象如图所示,

?
3

x?

?
6

) ?1

B. y ? 2sin( C. y ? 2sin(

?

?

x? ) 6 3 3 6 x? x?

?

y
3

?

D. y ? 2sin(

?

?

6 3

) ?1 ) ?1

1 O ?1

2

13 2

x

x ? 7、 (06 年江苏卷江苏卷)为了得到函数 y ? 2 sin( ? ), x ? R 的图像,只需把函数 y ? 2 sin x, x ? R 的图像 3 6

上所有的点 (A)向左平移

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 6 3
15

? 6 ? (C)向左平移 6 ? (D)向右平移 6 ? (D)向右平移 6
(B)向右平移

1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) 3

个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变) 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)

8、 (2009 浙江理)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能 是 ( ...

)

9.函数 y ? tan x ? sin x ? tan x ? sin x 在区间 (
y
y

? 3?
2 , 2
y

) 内的图象是
y
?
2

2o

?
? 2

2 -

?
? 2

?2 x

o

?

3? 2

? 2

x

o

?

3? 2

x

?
A

3? 2

x o

?
B

?

?2 -

?
10 、

3? 2

C

D

02 年北

京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的 面积为 1,小正方形的面积是 1 ,则 sin2θ-cos2θ 的值是
25

(

) (D) - 7

(A) 1

(B) 24

25

(C) 7

25

25

二填空题 11、.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是

;最小正周期是________________

16

12、已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

1 ],则函数 y=f(sin2x) 的定义域.是____________________ 4

? ? ? ? ? ? 25? ? ? 17? ? ; 13、对于下列四个命题:① sin? ? ? ? ? sin? ? ? ;② cos? ? ? ? cos? ? ? ? 4 ? ? 4 ? ? 18 ? ? 10 ? ③ tan138?? tan143? ;④ tan 40?? sin 40? 。其中正确命题的序号是_________________ π 5π π ωx+ ? (ω > 0) 的单调递增区间为 ?kπ- ,kπ+ ? (k ∈ Z) ,单调递减区间为 14 、已知函数 f(x) = sin ? 3 12 12 ? ? ? ?

?kπ+ π ,kπ+7π?(k∈Z),则 ω 的值为________. 12 12? ?
1 在 y 轴右侧有无数个交点,把交点的横坐标从小到大依次记为 2

15 、 曲 线 y ? sin 2 x 和直线 y ?

x1 , x2 , ??????, xn , 则 x3 等于____.
三、解答题 16、已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ?

?
2

)的图象与 x 轴的交点中,相邻两

? 2? ,且图象上一个最低点为 M ( , ?2) 2 3 ? ? (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [ , ] 时,求 f ( x) 的值域. 12 2
个交点之间的距离为

17、函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探究顺序,研究 函数 f(x)= 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的性质,并在此基础上,作出其在 [?? , ? ]上的图象。 (提示: sin x ? 2 sin

x x cos ) 2 2

17

18、已知 f ( x) ? ?2a sin(2 x ?

?

? 3? ) ? 2a ? b, x ? [ , ] ,是否存在常数 a, b ? Q ,使得 f(x)的值域为 6 4 4

[?3, 3 ? 1] ?若存在,求出 a、b 的值;若不存在,说明理由。

19、已知定义在区间 [ ? ? 当 x ?[ ?

? 2

2 ? , ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称, 6 3
y
1

? ? , ? ] 时,函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? ? ? ? ) , 2 2 6 3
新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

其图象如图 3 所示

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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特级教师 王新敞
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(1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , (2)求方程 f ( x) ?

2 ? ] 的表达式; 3

?



?

2 的解. 2

x??

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

18


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