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高中数学必修4


3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式

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想一想:cos15

??

cos15 ? cos(45 ? 30 )

? cos 45? cos 30? ? sin 45? sin 30?
2 3 2 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 那 cos75 呢?

6? 4 2

cos 75 ? cos(30 ? 45 ) ? ?

探索新知一 思考:由 cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin? sin? 如何 求: cos(? ? ? ) ? ? 分析:注意到 ? ? ? ? ? ? ,结合两角差的余 (? ?) 弦公式及诱导公式,将上式中以??代?得

cos(? ? ? ) ? cos[? ? (? ? )]
1、

? cos ? cos(?? ) ? sin ? sin(?? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
cos(α+β) = cosαcosβ- sinαsinβ

上述公式就是两角和的余弦公式,记作 c(? ? ? )。

探索新知二
cos 75 ? cos(30 ? 45 )
? cos30 cos 45 ? sin 30 sin 45
? 6? 2 4

思考:如何求 sin(? ? ? ) ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? cos[ ? (? ? ? )] ? cos[( ? ? ) ? ? ]

2、

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

2 2 ?? ? ?? ? ? cos ? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? sin ? ?2 ? ?2 ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
S (? ? ? ) 。

上述公式就是两角和的正弦公式,记作

探索新知二


sin(?-? ) ? ?
由sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

将上式中以??代?得

有sin[? ? (?? )] ? sin ? cos(?? ) ? sin(?? )cos ?

? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
3、

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
S (? ? ? ) 。

上述公式就是两角差的正弦公式,记作

探索新知三
用任意角的 ? , ? 正切表示 tan(? ? ? )及 tan(? ? ? ) 的公式的推导:

sin ? 由 tan ? ? , cos ?

tan(? ? ? ) ?

sin(? + ? ) cos(? + ? )

sin? cos? + cos? sin? ? cos? cos? - sin? sin?

分子分母同时除以cos ? cos ? 当cos ? cos ? ? 0时,
4、

tan? + tan? tan(? + ? )= 1- tan? tan?

记:T(? + ? )

探索新知三



tan(?-? ) ? ?
tan ? ? tan(? ? ) tan? - tan? tan[? ? (? ? )] ? = 1 ? tan ? tan(? ? ) 1+ tan? tan?

将上式两角和的正切公式以??代?得

5、

tan? - tan? tan(? - ? )= 1+ tan? tan?

记T(? -? )

注意:1、必须在定义域范围内使用上述公式。
即:tan?,tan?,tan(?±?)只要有一个不存 在就不能使用这个公式。 2、注意公式的结构,尤其是符号。

例题剖析
3 ? 例3:已知 sin a ? ? , ? 是第四象限的角,求 sin( ? ? ), 5 4 cos(

?

3 解:由sin? =- , ? 是第四象限的角,得 5 4 2 3 2 cos ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? (? 5 ) ? , 5 sin ? 3 所以 tan ? ? ?? cos ? 4
于是有sin(

4

? ? ), tan(? ?

?

4

)的值。

?

4

? ? ) ? sin

?

4

cos ? ? cos

?

4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

cos(

?
4

? ? ) ? cos

?
4

cos ? ? sin

?
4

sin ?

2 4 2 3 7 2 ? ? ? ? (? ) ? ; 2 5 2 5 10

tan ? ? 1 4 tan(? ? ) ? ? ? 4 1 ? tan ? 1 ? tan ? tan 4 3 ? ?1 4 ? ? ?7 3 1 ? (? ) 4

?

tan ? ? tan

?

例题剖析
例4:利用和(差)角公式计算下列各式的值: (1)sin72。cos 42。? cos 72。sin 42。 ; (2) sin 70 cos 70。? sin 20。sin 70。 ; 1 ? tan15。 (3) . 。 1- tan15

解:(1)由公式得:
。 。 。 sin72 cos 42 ? cos 72 sin 42 ? sin(72 ? 42 ) ? sin 30 ?









1 ; 2

(2)sin 70。cos70。? sin 20。sin 70。 ? cos 20。cos 70。? sin 20。 sin 70。 ? cos(20。? 70。 ) ? cos90。? 0;
1 ? tan15。 tan 45。? tan15。 。 。 。 (3) ? ? tan(45 ? 15 ) ? tan60 ? 3 。 。 。 1- tan15 1- tan 45 tan15

求下列各式的值: (1)cos75°; (2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°;
例5

1 + t an 15 (3 ) o ; 1 - t an 15

o

(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28°
sin(2a + b ) sin b 求证: sin a - 2 cos(a + b ) = sin a

例3

.

课堂练习与提升 例6
1 3 已知函数f(x)= cos x ? sin x, 2 2 (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)求f(x)的单调递增区间。 ? ?
3 cos x ? sin sin x ? cos( x ? ), 3 3

解:(1)、由已知 f(x)=cos

?

则f ( x)的最小正周期为T ? 2? ; 最大值为1.
? (2)、令z=x ? ,由f ( x) ? cos z的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ], 3 ? 4 ? 由2k? ? ? ? x+ ? 2k? , 解得2k? ? ? ? x ? 2k? ? ;因此,f(x) 3 3 3 4 ? 的单调递增区间为[2k? ? ? , 2k? ? ]. 3 3

小结
1
、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、推导及应用;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
tan(α+β)= tanα+ tanβ 1 - tanαtanβ

tan(α-β)=

tanα- tanβ 1+ tanαtanβ

2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用使用公式.

课外作业
1、化简:① 3 15 sin x ? 3 5 cos x ②
3 sin x x ? cos 2 2

2、已知函数 f (? ) ? sin ? ? cos? ,

(1)求f (? )的单调区间; ? (2)当? ? [0, ]时,求f (? )的最小值.
2


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