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高二数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入


高二数学选修 1-2《数系的扩充与复数的引入》测试题
一、 选择题(每题 6 分,共 60 分)
9

?1? i ? 1、复数 ? ? 的值等于( ?1 ? i ?
(A)
2 2



(B) 2

(C) i

(D) ? i )

r />
2、已知集合 M={1, (m 2 ? 3m ? 1) ? (m 2 ? 5m ? 6)i } ,N={1,3} ,M∩N={1,3} ,则实数 m 的值为( (A) 4 (C)4 或-1 (D)1 或 6 Z ?1 3、设复数 Z ? ?1, 则 Z ? 1 是 是纯虚数的( ) Z ?1 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 4、复数 Z 与点 Z 对应, Z1 , Z 2 为两个给定的复数, Z1 ? Z 2 ,则 Z ? Z1 ? Z ? Z 2 决定的 Z 的轨迹是( ) (A)过 Z1 , Z 2 的直线 (C)双曲线的一支 (B)线段 Z 1 Z 2 的中垂线 (D)以 Z 1 , Z 2 为端点的圆 ) (B)-1

5、设复数 z 满足条件 z ? 1, 那么 z ? 2 2 ? i 的最大值是( (A)3 (B)4 (C) 1 ? 2 2

(D) 2 3

6、复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 1 ? 2i,?2 ? i,?1 ? 2i, 那么第四 个顶点对应的复数是( ) (A) 1 ? 2i (B) 2 ? i (C) 2 ? i (D) ? 1 ? 2i )

7、集合{Z︱Z= i n ? i ? n , n ? Z } ,用列举法表示该集合,这个集合是(

A{0,2,-2} (B) {0,2} (C) {0,2,-2,2 i } (D) {0,2,-2,2 i ,-2 i }

8、 Z1 , Z 2 ? C, Z1 ? Z 2 ? 2 2 , Z1 ? 3, Z 2 ? 2 , 则 Z1 ? Z 2 ? ( (A) 2 (B)
1 2

)

(C)2

(D)2 2

? ? 1 3 1 3 ? 1; i, ? ?? ? i, 9、 对于两个复数 ? ? ? ? 有下列四个结论: ① ?? ? 1 ; ② ?1; ③ ④ ? 3 ? ? 3 ? 1, ? ? 2 2 2 2
其中正确的结论的个数为( (A)1 (B)2 ) (C)3 (D)4 )

10、1, a ? bi , b ? ai 是某等比数列的连续三项,则 a , b 的值分别为( (A) a ? ?
3 1 ,b ? ? 2 2 3 1 ,b ? 2 2 1 3 (B) a ? ? , b ? 2 2 1 3 (D) a ? ? , b ? ? 2 2

(C) a ? ?

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)

1 3 10 1 ? i 6 11、计算: (? ? i) ? ( ) = 2 2 2
12、已知复数 z1=3+4i, z2=t+i,,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于 13、如果复数 z 满足 z ? 1 ? i ? 2 ,则 z ? 2 ? i 的最大值是 14、已知虚数 ( x ? 2) ? yi ( x, y ? R )的模为 3 ,则
y 的最大值是 x



y ?1 的最小值为 x ?1

.

高二数学选修 1-2《数系的扩充与复数的引入》测试题


一、选择题(每题 6 分,共 60 分) 1


2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
线

11、 三、解答题(共 74 分)

12、

13、

14、

15、 (10 分)设复数 Z ? lg(m 2 ? 2m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时


(1)Z 是实数;

(2)Z 是纯虚数;

(3)Z 对应的点位于复平面的第一象限









16、 (12 分)在复数范围内解方程 z ? ( z ? z )i ?

2

3?i (i 为虚数单位) 2?i

17、 (12 分)设 z ? C , 满足下列条件的复数 z 所对应的点 z 的集合表示什么图形
log 1
2

z ?1 ? 4 z ?1 ? 2

? ?1 .

2 18、 (12 分)已知复数 Z1 , Z 2 满足 10Z12 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 ,且 Z1 ? 2Z 2 为纯虚数,求证: 3Z1 ? Z 2 为实数

19、 (14 分)已知 Z1 ? x 2 ? i x 2 ? 1 , Z 2 ? ( x 2 ? a)i 对于任意实数 x,都有 Z1 ? Z 2 恒成立,试求实数 a 的取值 范围

20、 (14 分)设关于 x 的方程 x 2 ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 , 若方程有实数根,求锐角 ? 和实数根

高二数学选修 1-2《数系的扩充与复数的引入》测试题参考答案 一、选择题(每题 6 分,共 60 分) 1 D 2 B 3 C 4 B 5 B 6 C 7 A 8 A 9 B 10 C

二、填空题(每题 4 分,共 16 分)
1 3?2 ? i 2 2
3 4

11、 ?

12、

13、 13 ? 2

14、 3

,

3 ? 21 6

三、解答题(共 74 分) 15、 (10 分)设复数 Z ? lg(m 2 ? 2m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时 (1)Z 是实数; 解: (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一象限

2 ? ?m ? 2 m ? 2 ? 0 (1)? 2 解得m ? ?2或- 1。即m ? ?2或- 1时,Z是实数 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

2 ? ?m ? 2m ? 2=1 (2)? 2 解得m ? 3。即m ? 3时,Z是纯虚数 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0
2 ? ?m ? 2m ? 2 ? 1 (3)? 2 解得m ? 3或m ? -2。即m ?? 3或m ? -2时, ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ?

Z 对应的点位于复平面的第一象限

16、 (12 分)在复数范围内解方程 z ? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单位) 2?i (3 ? i )(2 ? i ) 解:设Z=x ? yi, 代入方程得x 2 ? y 2 ? ( x ? yi ? x ? yi)i ? (2 ? i )(2 ? i )
2

? x 2 ? y 2 ? 2 xi ? 5 35 ?Z ? ? ? i 6 6

5 5 5 5 5 35 ? i ? x 2 ? y 2 ? ,2 x ? ? , 解得:x ? ? , y ? ? 3 3 3 3 6 6

17、 (12 分)设 z ? C , 满足下列条件的复数 z 所对应的点 z 的集合表示什么图形
log 1
2

z ?1 ? 4 z ?1 ? 2

? ?1 .

解:由log 1
2

z ?1 ? 4 z ?1 ? 2

? ?1可得

| Z ? 1 | ?4 | Z ? 1 | ?8 ? 2, 化简得: ?0 | Z ? 1 | ?2 | Z ? 1 | ?2

?| Z ? 1 | ?8 ? 0 ?| Z ? 1 | ?8 ? 0 可得: 或? ? ?| Z ? 1 | ?2 ? 0 ?| Z ? 1 | ?2 ? 0 所以 | Z ? 1 |? 2或 | Z ? 1 |? 8 所以Z表示以点( 1, 0)为圆心, 2为半径的圆的内部或以 ( 1, 0)为圆心 以8为半径的圆的外部。
2 18、 (12 分)已知复数 Z1 , Z 2 满足 10Z12 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 ,且 Z1 ? 2Z 2 为纯虚数,

求证: 3Z1 ? Z 2 为实数
2 解:由题意可设 Z1 ? 2Z 2 ? Ki ( K为实数)则Z1 ? Ki ? 2Z 2 , 代入10Z12 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 2 2 得: 10 (Ki ? 2Z 2 ) 2 ? 5 z 2 ? 2( Ki ? 2Z 2 ) Z 2 , 化简可得: 49Z 2 ? 42KiZ 2 ? 10K 2 i 2

解得:Z 2 ?

42Ki ? 14K 14Ki ? 28K , Z1 ? ? 3Z1 ? Z 2 ? ? K ? 3Z1 ? Z 2为实数。 98 98

19、 (14 分)已知 Z1 ? x 2 ? i x 2 ? 1 , Z 2 ? ( x 2 ? a)i 对于任意实数 x,都有 Z1 ? Z 2 恒成立,试求实数 a 的取值 范围 解:

| Z1 |? x 4 ? x 2 ? 1, | Z 2 |? x 4 ? a 2 , | Z1 |?| Z 2 |?| Z1 | 2 ?| Z 2 | 2 ? x 4 ? x 2 ? 1 ? x 4 ? a 2 ? x 2 ? 1 ? a 2 ? ?1 ? a ? 1

20、 (14 分)设关于 x 的方程 x 2 ? (tan? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 , 若方程有实数根,求锐角 ? 和实数根 解: 原方程可化为 x 2 ? x tan? ? 2 ? ( x ? 1)i ? 0

? x 2 ? x tan? ? 2 ? 0 ? 解得x ? ?1,? ? k? ? ? 4 ?x ? 1 ? 0


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