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湖南省衡阳八中2015届高三上学期第四次月考试题数学(文)


衡阳市八中 2015 届高三第四次月考试题
文科数学 命题:罗欢 曾令华 审题:彭学军

注意事项: 1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 一、选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。
2 1.已知集

合 M ? ?0,1, 2,3? , N ? x x ? 3 x ? 0 ,则M ? N = (

?

?

) D. ?1, 2?

A. ?0?

B. x x ? 0

?

?

C. x ? ? x ? 3 )

?

?

2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e? x 3.函数 y ? sin ? B. y ? ln x

C. y ? x3

D. y ? x

?? ? ? 2 x ? , x ? R 是( ?2 ?



A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为 ? 的偶函数 4.以 q 为公比的等比数列 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件

? 的奇函数 2 ? D.最小正周期为 的偶函数 2
B.最小正周期为 )

?an ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a3 ”是“ q ? 1 ”的(
B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.若 a ? 1 , b ? 2 , c ? a ? b ,且 c ? a ,那么 a 与 b 的夹角为( A. 150 B. 120 ) C. 60 D. 30

6.下列说法正确的是( A.若 a ? b ,则

1 1 ? a b

x B.函数 f ( x) ? e ? 2 的零点落在区间 ( 0 , 1 ) 内

C.函数 f ( x ) ? x ?

1 的最小值为 2 x

D.若 m ? 4 ,则直线 2 x ? m y ? 1 ? 0 与直线 m x ? 8 y ? 2 ? 0 互相平行 7.若函数 f ( x) ? k ? cos x 的图象过点 P(

? ,1) ,则该函数图象在 P 点处的切线斜率等于( ) 3

第 1 页 共 8 页

A.1

B. ? 3

C.2

D.

3 2

8. 将 函 数 f ( x) ? s i n ( x 2 ?? 的 ) 图 象 向 右 平 移 ? (? ? 0) 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数 g ( x) 的 图 象 , 若

f ( x), g ( x) 的图象的对称轴重合,则 ? 的值可以是(
A.

) D.

? 4

B.

3? 4

C.

?
2
1 4

?
6


9.设 a ? cos 420 ? ,函数 f ( x) ? ? A.8 B.7

?a x , x ? 0, ?log a x, x ? 0,
C.6

,则 f ( ) ? f (log 2 ) 的值等于( D.5

1 6

10.已知 an ? ( ) ,把数列 ?an ? 的各项排列成如下的三角形状,
n

1 3

10,12 ) 记 A(m, n) 表示第 m 行的第 n 个数,则 A( =
( ) A. 1 3
92





( ) B.

1 3

93

C.( )

1 3

94

( ) D.

1 3

112

二、填空题:本大题共 5 小题。每小题 5 分,请将答案填写在答卷相应的位置上。 11.设 i 是虚数单位,复数

a?i 是纯虚数,则实数 a ? 2?i

. .

12.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,那么该数列的前 13 项和 S13 等于

?? ? ? ?? 13.函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? 在区间 ?0, ? 上的最小值是 4? ? ? 2?
14.在 ?ABC 中,AB=2,AC=3,D 是边 BC 的中点,则 AD ? BC ? 15 已知函数 f ( x ) ?

?

x2 ?5 x ? 4 , x?0 2 x ?2 , x ?0

,若方程 f ( x) ? a x 恰有 4 个不等根,则实数 a 的取值范围为

三、解答题: (本大题有 6 个小题,共 75 分。要求写出详细解答过程) 16(本小题满分 12 分) .等差数列{ a n }足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列{ a n }前 n 项和. (1)求数列{ a n }通项公式; (2)若 k ? N * ,且 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 值.

第 2 页 共 8 页

17. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1), B(2,3), C (3,2) ,点 P(x, y) 在 ?ABC 三 边围成的区域(含边界)上,且 OP ? mAB ? nAC(m, n ? R) . (1)若 m ?

n?

2 ,求 |OP| ; 3

(2)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最大值.

18. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC= 2,AA1=3,D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动. (1)证明:AD⊥C1E; (2)当异面直线 AC,C1E 所成的角为 60°时,求三棱锥 C1-A1B1E 的体积.

19. (本小题满分 13 分) 已知在△ABC 中,三条边 a,b、c 所对的角分别为 A、B,C,向量 m= (sinA,cosA) , n=(cosB,sinB),且满足 m·n=sin2C. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA,sinC, sinB 成等比数列,且 AC ? ( AB ? AC) ? ?8 ,求边 c 的值并求△ABC 外接圆的面积。

2 20 . (本小题满分 13 分)已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx + c 的图象通过原点,对称轴为 x ? ?2n ,

(n ? N* ) . f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数,且 f ?(0) ? 2n, (n ? N* ) .
(1)求 f ( x) 的表达式(含有字母 n ) ; (2)若数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ?(an ) ,且 a1 ? 4 ,求数列 ?an ? 的通项公式; 第 3 页 共 8 页

(3)在(2)条件下,若 bn

? n?2

an ?1 ?an 2

, Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,是否存在自然数 M ,使得当 n ? M 时

n ? 2n?1 ? Sn ? 50 恒成立?若存在,求出最小的 M ;若不存在,说明理由.

21(本小题满分 13 分).已知 m, t ? R ,函数 f ( x ) ? ? x ? t ? ? m
3

(1)当 t ? 1 时,若 f ( x) ? 1 ,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? x3 ?1 在区间 ?1, 2? 上有解,求 m 的取值范围; (3)已知曲线 y ? f ( x) 在其图像上的两点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 ))( x1 ? x2 ) 处的切线分别为 l1 , l2 ,若 直线 l1 与 l2 平行,试探究点 A 与点 B 的关系,并证明你的结论。

2015 届高三文科数学月考(4)答案
一选择题:50 分

1-------5: D 6------10: B
二填空题:25 分

C B

C C

A A

B B

第 4 页 共 8 页

11. 1

2

12.

208

13.

?

2 2

14.

5 2

15.

1? a ? 2

三解答题:75 分
16.(1)由条件, (2) S n ? 17. (1)

a1 ? d ? a1 ? 3d ? 6? ?a1 ? 1 ? an ? n ; ??? a1 ? 5d ? 3a1 ? 3d ? ?d ? 1

n(n ? 1) , ∵ a3k 2 ? ak ? S2k ? 9k 2 ? k ? k (2k ? 1) ? k ? 4 . 2

A(1,1), B(2,3), C(3,2) ? AB ? (1,2) , AC ? (2,1)
又m ?

OP ? mAB ? nAC
? OP ?
(2) 即?

n?

2 3

2 2 AB ? AC ? (2, 2) 3 3

?|OP|=2 2
? ( x, y) ? (m ? 2n, 2m ? n)
两式相减得: m ? n ? y ? x

OP ? mAB ? nAC

? x ? m ? 2n ? y ? 2m ? n

令 y ? x ? t ,由图可知,当直线 y ? x ? t 过点 B(2,3) 时, t 取得最大值 1,故 m ? n 的最大值为 1.
y
3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1

B C A
1 2 3 4 5

x

O
–1 –2 –3

18 解: (Ⅰ)∵AB=AC,D 是 BC 的中点, ∴AD⊥BC. ① 又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥平面 ABC,而 AD?平面 ABC, ∴AD⊥BB1. ② 由①,②得 AD⊥平面 BB1C1C. 由点 E 在棱 BB1 上运动,得 C1E?平面 BB1C1C, ∴AD⊥C1E.???????????????????????????6 分 (Ⅱ)∵AC∥A1C1, ∴∠A1C1E 是异面直线 AC,C1E 所成的角,由题设,∠A1C1E=60°. ∵∠B1A1C1=∠BAC=90°, ∴A1C1⊥A1B1,又 AA1⊥A1C1, 从而 A1C1⊥平面 A1ABB1,于是 A1C1⊥A1E. 第 5 页 共 8 页

A1C1 故 C1E=cos60°=2 2,又 B1C1= A1C12+A1B12=2, ∴B1E= C1E 2-B1C12=2. 1 1 1 2 从而 V 三棱锥 C1-A1B1E=3S△A1B1E×A1C1=3×2×2× 2× 2=3.???????12 分 19. (1)m·n=sin2C.

?sin( A ? B) ? 2sin C cos C
(2) sinA,sinC, sinB 成等比数列

?c o s C?

1 ? ? ,C ? 2 3

? c2 ? ab

AC ? ( AB ? AC ) ? ?8 ? AC ? BC ? 8
? ab ? 16 ?c ? 4
设外接圆的半径为 R ,由正弦定理可知: 2 R ?

c 4 4 8 ? ? ? 0 sin C sin 60 3 3 2

?R ?

4 3

?S ?

16? 3
1分

20.试题解析: (1)由已知,可得 c ? 0 , f ?( x) ? 2ax ? b ,

?b ? 2n 1 ? ∴? b 解之得 a ? , b ? 2n 2 ? 2n ? ? 2a
? f ( x) ? 1 2 x ? 2nx 2
4分

3分

(2)? an?1 ? an ? 2n

5分

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1
= 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1) ? 4 ? 2 ?

n(n ? 1) ? 4 ? n2 ? n ? 4 2

8分

(3) an?1 ? an ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 4 ? (n 2 ? n ? 4) ? 2n

? bn ? n ? 2

an ?1 ? an 2

? n ? 2n
( 1)

9分

S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n 2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 23 4? ? n ? 2n?1

(2) 第 6 页 共 8 页

(1)—(2)得: ? S n ? 21 ? 2 2 ? ?2 n ? n ? 2 n?1 ? 2 n?1 ? 2 ? n ? 2 n?1

? 11 分

? n ? 2 n?1 ? S n = 2 n?1 ? 2 ? 50 ,即 2 n?1 ? 52 ,当 n ? 5 时, 2 n?1 ? 52 ? 12 分
? 存在M ? 4 ,使得当 n ? M 时, n ? 2 n?1 ? S n ? 50 恒成立
21.试题解析: (1)因为 f (1) ? 1 ,所以 m ? 1 , 则 f ?x? ? ?x ?1? ? 1 ? x3 ? 3x 2 ? 3x ,
3

13 分

1分

而 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ??) . (2)不等式 f ( x) ? x3 ? 1 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 3x 2 ? 3x ? m ? 0 在区间 [1, 2] 上有解, 即不等式 m ? 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上有解, 等价于 m 不小于 3 x 2 ? 3 x 在区间 [1, 2] 上的最小值.
1 3 因为 x ? [1, 2] 时, 3x2 ? 3x ? 3( x ? )2 ? ? ?0,6? , 2 4 所以 m 的取值范围是 [0, ?? ) . 8分

4分

6分

(3)因为 f ( x) ? x3 的对称中心为 (0, 0) , 而 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 可以由 f ( x) ? x3 经平移得到, 所以 f ( x) ? ( x ? t )3 ? m 的对称中心为 (t , m) ,故合情猜测,若直线 l1 与 l2 平行, 则点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 对猜想证明如下: 因为 f ( x) ? ? x ? t ? ? m ? x3 ? 3tx2 ? 3t 2 x ? t 3 ? m ,
3

9分

所以 f ?( x) ? 3x2 ? 6tx ? 3t 2 ? 3( x ? t )2 , 所以 l1 , l2 的斜率分别为 k1 ? 3( x1 ? t )2 , k2 ? 3( x2 ? t )2 . 又直线 l1 与 l2 平行,所以 k1 ? k 2 ,即 ( x1 ? t )2 ? ( x2 ? t )2 , 因为 x1 ? x2 ,所以, x1 ? t ? ?( x2 ? t ) , 从而 ( x1 ? t )3 ? ?( x2 ? t )3 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? ?( x2 ? t )3 ? m ? ( x2 ? t )3 ? m ? 2m . 又由上 x1 ? x2 ? 2t , 第 7 页 共 8 页 11 分

所以点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 )关于点 (t , m) 对称. 故当直线 l1 与 l2 平行时,点 A 与点 B 关于点 (t , m) 对称. 13 分

第 8 页 共 8 页


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